12.2 第2课时 边角边-【指南针·课堂优化】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第②课时边角边 争课前优学 1.边角边公理： 如果两个三角形有 及其 分别 相等，那么这两个三角形全等，简记为 2.特别注意： 两边和其中 分别相等的两个三 角形 全等 争号课堂精讲 知识点1 边角边公理的应用 例1如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,AD AC,延长AD到点E,使得AE=AB,连结BE,CE. (1)求证：△ABD≌△AEC: (2)若∠BAC=60°，求∠BCE的度数. 规律和方法 ；运用“边角边”判定两个三角形全等，要抓住角 是两边的夹角，边必是夹该角的两边。 。。 之即学即练 1.如图，有一块三角形镜子，小明 不小心摔破成I、Ⅱ两块，现需 配制同样大小的镜子.为了方 便起见，需带上第 (填 “I”或“Ⅱ”)块即可，其理由是 7 第十二幸全等三角形 2.(1)如图①，AD是△ABC的高，AD=BD,DE= DC,∠AEB=120°，则∠C= B 图① 图 (2)如图②，已知AB⊥BD,垂足为点B,ED⊥ BD,垂足为点D,且AB=CD,BC=DE,则 ∠ACE= 3.如图，BD∥AC,BD=BC,点E在BC上，且 BE=AC.求证：∠D=∠ABC. 知识点2利用等式性质找相等线段、相等角，证 三角形全等 例2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D、F 分别在AB、AC上，CF=CB,连结CD,将线段CD 绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE,连结EF. (1)求证：△BCD≌△FCE: (2)若EF∥CD,求∠BDC的度斯 9 捣南针·八年纸上静·数学(HS) 昶狸和方法 若要证全等的两个三角形的边（角）有公共部！ 分，常据已知条件利用等式性质证得它们一对： 边（角）相等，为证全等创造一个条件 之即学即练 4.如图，在△ABC中，点D在 BC上，且AB=AD,AC= AE,∠BAD=∠CAE,DE= 12,CD=4,则BD= 5.如图，已知A,D,C,E在同一 直线上，BC和DF相交于点O,AD=CE,AB∥ DF.AB=DF. (1)求证：△ABC≌△DFE: (2)连结CF,若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求 ∠DFE的度数 警课外精练 A组·基础过关 一、选择题 1.如图，AB=AD,AC平分∠BAD,点E在AC 上，则图中全等三角形共有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 (第1题图) (第2题图) 2.如图，点E,F在AC上，AD=BC,DF=BE,要 使△ADF≌△CBE,还需要添加的一个条件是 A.∠A=∠C B.∠D=∠B C.AD∥BC D.DF∥BE 8 3.如图，OD=OC,BD=AC,∠O=70°，∠C=30°， 则∠BED等于 A.45 B.50° C.55 D.60 5 (第3题图) (第4题图) 4.如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB< AC,则BE与CD之间的大小关系是 () A.BE=CD B.BE>CD C.BE<CD D.不确定 二、填空题 5.如图，已知AF=BE,∠A=∠B,AC=BD,经分 析 C≌ ,根据是 6.如图，AC平分∠DCB,CB=CD,DA的延长线 交BC于点E,若∠EAC=49°，则∠BAE的度数 为 (第5题图) (第6题图) 7.如图，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE, ∠1=28°，∠2=30°，则∠3= 8.(2024·潼南区一模)如图，已知AB=AC,AD= AE,∠BAC=∠DAE=52°，B、D、E在同一直 线上，则∠BEC的度数为 (第7题图》 (第8题图) 三、解答题 9.(2023·陕西)如图，在△ABC中，∠B=50°， ∠C=20°.过点A作AE⊥BC,垂足为E,延长 EA至点D.使AD=AC.在边AC上截取AF= AB,连结DF,求证：DF=CB. 0 10.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，满 足CD=AB,过点C作CE∥AB且CE=BC, 连结DE并延长，分别交AC、AB于点FG. (1)求证：△ABC≌△DCE: (2)若∠B=50°，∠D=22°，求∠AFG的度数. 11.如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD= AE,∠BAC=∠DAE=90. (1)当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有 怎样的数量关系和位置关系？直接写出你 猜想的结论： (2)将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转角a (0°<a<90°)，如图②，线段BD、CE有怎样 的数量关系和位置关系？请说明理由 图① 图② ·8 第十二章全等三角形 B组·能力提升 12.如图，AD是△ABC的中线，E、F分别是AD和 AD延长线上的点，且DE=DF,连结BF,CE, 下列说法：①CE=BF:②S△BD=S△MD: ③BF∥CE:④△BDF≌△CDE,其中正确的有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (第12题图) (第13题图) 13.如图，已知四边形ABCD中，AB=10厘米， BC=8厘米，CD=12厘米，∠B=∠C,点E为 AB的中点.如果点P在线段BC上以3厘米/ 秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线 段CD上由C点向D点运动.当点Q的运动速 度为 厘米/秒时，能够使△BPE与 △CQP全等. 14.请阅读，并完成证明和填空 (1)如图1，在等边三角形ABC中，在AB、AC 边上分别取点M,N,使BM=AN,连结 BN、CM交于点O,发现BN=CM,且 ∠NOC=60°. 请证明：∠VOC=60°： (2)如图2，在正方形ABCD中，在AB、BC边上 分别取点M、N,使AM=BN,连结AN、 DM,那么AN= ,且∠DON= (3)如图3，在正五边形ABCDE中，在AB、BC 边上分别取点M、N,使AM=BN,连结 AN、EM,那么AN= ,且∠CON= 图1 图2 图3 1指南针·入年筑 专量调感五整式的票隆法 1.自第根减经r一1任解，显天=。+1 14州t一r-w+士2湘，原d-山十女 4斯，大一别 4制螺式=子4 解，+ 11,5国式分解 第1碳时库人 理稀优单1整的图1H一明单晚式多限式：公到 式是公理式进表层大公算台相字年量且食等 黄前父单a兰 满量精请期1解厚式--，1原大一一4 即学LC 山式rT,(4》式=但十， 4一i输星1升一@- 即￥海国1之小算：服人=一⅓一 2想，的其=G一)（好十子0氧1其=山+1，a一1 酬3解，1D将式4女—：2想次”一rF年一u+h 4.原武=y 1期元网一。1 所解=车在A是等山已期原 即家第4有：一力2。+力3=4 即学弹铺入。4解：△A联：为等程已角形 速米轴E1D工A又C4北天H年一1(4十 141-10」11东t4十风。十-当1里一￥1 8e一1P64书481)-日18然或8端 课韩特解1【：2高4《： 1,6-+:家支一一一(c6 541满十■)料一有1 销f写女=，A= 一1鞋规式有组小值为可 工)44=1时：梨大有最小销为记. 专理们莲六因式分解 4入民给月试球1DI十 1I1十t十r十1十rHr+1中+十Lr十1"# 想指1m非+yT1 庆1解期武=h一，4一1解，第式==一4▣一 2原发一ut14-1 3等：2或=十1一1V4挥，里kr+10一 潭密代学1，么十A1a一 141解：p发=3家一1r4中#民期度式=：y4 深变得券解【期441)原其=(4十D上一： 2期其一一二山十子：□其=t十1川十1判Y一. 期章形道上B1川i.原式=U+一351 u- 眼单时练又(3期：犀这=32（一1十已—￥一为） 口1年：月5发=十2g一1智y十1 位解：2式一十y一yL a解：显火=，+261+D a1解：期发+y一1解湿大=一 月4w 14解，报火=u4e+1a+a一中 信解：顿式m+如十6知+期一创 制1,1原武-西2国大一8子3厚(-30 110:+11.412时4a1C+24 口1a111142一10十1》 8r十14y9(-2(448+1h一16+1 模11，的7一13一男中1 31每，期5发=一1H+11+4 潭外得解.A1柱3C4Ag178一日 11解：每式=2÷子=4第甲人=0w一= 8解：显式y4解，规大阳一4 3目解：厚发=-灯解厚大=产y=y十4 33 后·数学参考答案HB》 2解.原武=一N+# 重量精讲钢11D2A 尊学边1非工月销角相等，两直线平打 (0销.眼式=一2十与=一山十1娘式=日 (4期140 系翰职成一，+风：一D 期，=y一y一) x1期，式ay+1h,-1H,+1 是t志A形段真角朝银 L好明路专证明路推C山达 2(1)平行系直系自区国 12.1三角形会等的定 M解111= 用42L4=1,6m1.4=1 1.￥，12=-1：已名 具潮：第丈一1事期文一别 第章全等三角形 12.1合理，定交，定理与正别 屋地使乎1.合制1函并故论支直合销程合辑重别性州 c45 金可使，银几个角星白，军么a人个 IL期l1∠B0=C华8时宁女，AB■ 一个显自，更么它的角新，是。 2A山 4销.IE=出一以=1m 自数前求数是一么道地其梦聚晕件量， 一个楚数养和处数学是 ECy地系真：单AC⊥血白下， +金@米4， 夏：点A月，C在风-一条直候上· ∠Cm∠A焊3=：解0量点 3AD{不理佳￥F MKF交U于点F 直平 AH2a 条传：两条直线短第三务直线别限，同零内前夏并 2温汽★T平I:是A0延 在直角△AD中.∠A+∠D=f 解：妇明受位调个的大个蛋名能销大养双有《 二A=,犀活AA 重霸饮第是秀山夫角5：一山的对角千一室 潭外花每1，A.工C3C4A民4基相数 女是亮货真 么两个角是对商角 2解平骨∠，∠=6，六∠810=∠E 1细螺用0降位正制一下教.厚么其结果部地6国4心泽生 子∠C-r.:C十∠Ab=∠Ab 复解，D若a,期a,是程量远 以例>，r411 (周个无得数的仍性无位，程目意程 正同：一1十。生月：他县有用题 3活三作彩的已力6aA满程c一一→4-g)=则三霸 即学围适人入 生1正到琳 工每：枫，∠1=2 ,十/气十了特， u2w.∴∠n=2:, 2议好如在-平省月同条直线角直同一直线.军名这两泰 直线互用平群真复 舞精值128B4AA1FD△b:5S 长行：具一子海内的调保直度单在料一直线 解I,宝9 w-c 指南什·入年氨土香·数学象考答案（格】 号∠C=∠D1=r 零藏调蓝七象落三角形中的中点处理挂巧 品∠LC-∠Dr=nr∠Dc, AF+T=E中日了，翠E=食△A1g程马T中， ∠A=∠A△ug回MDs51.i证=TD∠n=L址0w 都∠H心m∠CAE 1E=A0 A0= ∠D=∠E 1N=1MM有候的中点。，f= 在△1AD样△E电.”∠HAD=∠A A网事 /C,在△w有门下中，∠=∠C ,△fg M■ ADSAE D:△2△球，二A=在△A程△4中 lD-C AHs了d TAA9,T=口于，出E一F=1一T,品口= onM ”,/m ∠Am∠aA-△24D48: treAr 是片文于点F,文工T点， C-C ⊥AE,1D⊥AC.∠E1Bm∠D/ AODEAB-PC ∠NB=∠CB8三 A球=F ∠EAD+a=m,本∠AN=∠A+∠E=r 线D1A 1 品∠且W=∠F-, ∠r=∠U山在△D剩△AV中， ∠p=∠AN, CD1时4多作M平分∠Au山空AN￥真M.f平∠A地 1I解：∠A家+∠A位=1了：理即事在△A山色T 边=N 以非1卫3厘来/件减一规果料 用年分4.，4》=47,2A月 A月' 14IM满路Wr山W 乙AF-∠=4，∠Mw= u 第》溪对角边用 ∠不=∠N △雀中 E十A《删∠F=∠E。在△是Ee△E 速常仕平L两角丸诗具1再角 一角前球道AAS 自)期：∠建=∠，廉电年事在△A用和6AC中 ∠=∠E,i峰Ea0KAs: 4 深空精法鳞1址请隐 ,.=.销m 在6A和△G中，∠Am∠， 年=，在ABF面中，∠F=∠1xE=' 21H11国14,2，个a 第5深时部边直具边 钟2 A= NA件十M级.出=【，十 速蜜精储例11证%略.的或文.理山麻 4适雨，过或市马防1B交F的超聚线于点G.:∠D= ,C7g=一》m4 雾4课时连线填 即学那库1.工D 镇D的长为+， CC-Z ∠工AD=∠原五和△：P.(C=n 例2明，库&样△A日中，(：m,五△AC四 保量活1年网1d写 角销高.：∠A=∠F买=山△FE为面△餐 了A 其单即雄1D未aA群，后⊥A,列由如下，速情AE在 AD-AC 中5，边=1D,,=n位∠1：=43G上LT 损-∠速 E4△A比中，E-法，i△M口△4ri5s,△EFIE S FIL.,÷∠A=∠P有a和2，E中 △4中《∠BC ..6Ja415A4 AB048 1∠A∠E = ∠F:-∠FIA六RFOLAIFISAS, 用m二 刷gMW,AM=yAuy=YwyL车=在 理量■感4国可两 =2下：1H AC有△M中，《AV△A回△Hs,象E明：A-w,二C十于=F十学，真A=球 Cu 5谓：：∠AC■w了，+∠AF=m广，：gL, :草一∠I不-6T△成秀K△，在地△AT与1雨宽最球专AP相炙于点F,巴A, ∠A=∠B在△C用△位中 -tC 1,∠BA=∠AT=T,i∠HE+∠1=r, C-D六6kFa△EL N为∠4和∠n的平法找， ·品△￥△nA ∠FA=∠E,2A=∠2E ∠F=C,在△下w5中 ∠=， ∠U∠ MC' ∠A=∠在张△正与8中，∠A=∠山 六C入0-(m“因与打有相平分 c-nD △A温△A拉A):s=A.E=K是M△@ △AF2△1E,AF=nE △E.F=&,AB=F=AD+F=AD十a 月A D十=A 1E在AAD有AE中 .用：U,4F分洲是两十纯角T和6正的高， kT000 AF 品△A△U第△U,△AF客为数△. 2属，好显△纳间：∠EMm∠E 打每4 TSA的.Dm主， 己t作一个料是0 在△△FF中-A A0= 2,∠+ ∠DE ∠2十∠BB博 阶AA204mA=用 -TOAn...ZRMZAIC- ,∠相mC4是Aa@AT队里 e产。 试+=F+,厚= 在吧电△中，二 4DP 14=Ar ∠A=AN 在△A:花△下中，=： 地一T山好一F.厚阀银 ∠M=0∠+∠∠十∠A= F 1词1 ∠∠名(1证进一（视长法：用.在线具AK上腹数 10 周A样灯时， 4.证明11①四的C∠H下=47，-△AP.△为A ∠M3=∠作，4∠探买∠0 B3h1正A154,铜M上.41”=人十0Y 库《X=D 在△4：E△40中 ◆S二rCk3星.AD-m,企装 相a4F 性AP交域：十E,F数△甲=量心W∠P= 4d1》,,,,年，4401,41m A=∠A用= 在△A和I口中，A1雀=∠F ∠(，∠十∠D=∠D十∠D1P- 1=1e ∠A,P⊥∠A格=AD= 4∠1=∠4I=时，∠WTd∠W血”， 区通略。 二∠W=1=4∠Pm=∠M=时， ANFR T11 m,,∠D1岸=/￥N两p,0=,,以An+ ∠1=∠2，i6A世盟wSA9,i∠L=∠Ls 36