11.5 第1课时 提公因式法-【指南针·课堂优化】2025-2026学年新教材八年级上册数学（华东师大版2024）

第十一章整式的乘除 11.5 因式分解 第①课时提公因式法 知识点2 公因式的找法 例2(1)3xy,2x2y,-5x2z的公因式是 密课前优学 (2)多项式-7ab+14ahx-49aby的公因式 1.因式分解的定义：把一个多项式化为几个 是 的形式，叫做多项式的因式分解。 (3)多项式-8(a-b)3-4(b-a)2+2(a-b) 2.提公因式法 的公因式是 (1)多项式中 都含有的因式，叫做公 因式，公因式可以是 ,也可以是 (2)如果多项式的各项有 ,可以把这 个公因式提取出来，从而将多项式化成几个 因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做 3.公因式的找法：公因式的系数取各项系数的 掘律和方法 ,字母取各项都含有的 首项系数为负的，公因式系数通常取负.让提 ,指数取相同字母的 完公因式后的首项为正， 注意：提公因式的实质是逆用乘法分配律.提 公因式时，要避免出现“漏项”的错误。 之即学即练 影雾课堂精讲 2.把12abc-8abc+6abc2分解因式时，应提取 知识点1 因式分解的定义 的公因式是 () 例1下列等式从左到右变形，属于因式分解的是 A.2 B.2abc C.2ab'c D.2a2bc 3.若多项式-6ab+18ahx+24aby的一个因式是 一6ab,则另一个因式是 () A.2a-1=a2-d》 A.-1-3.x+4y B.1+3.x-4y B.(a+b)(a-b)=a2-6 C.-1-3.x-4y D.1-3x-4y C.x2-2.x+1=(x-1)9 知识点3 利用提公因式法分解因式 D.x2+6x+8=x(x+6)+8 例3把下列各式分解因式： 规健和方法 (1)a.x2-a.x; (2)-25.x2y3+15.x3y2-10x2y2: ；注意因式分解与整式乘法的区别就易于判 (3)(m-n)十n(n-n)3十n(n-n)3. 断了. 之即学即练 1.对于①x-3xy=x(1-3y),②(x+3)(x-1) x2十2x一3，从左到右的变形，表述正确的是() A.都是因式分解 B.都是乘法运算 C.①是因式分解，②是乘法运算 D.①是乘法运算，②是因式分解 ·57 搞南针·八年纸上静·数学(HS) 阀翻方法 二、填空题 ①公因式可以是一个单项式，也可以是一个多 5.分解因式： 项式，掌握符号的变化规律； (1)2x2-4.x ②提公因式后，剩下的另一个因式应注意整 (2)(x+3)2-(x+3)= : 理，整理后还有公因式，应继续提取公因式，直！ (3)m(x-y)+n(x-y)= 到不能再分解为止； (4)a(b-2)-a(2-b)= ③分解因式后若有相同的因式，应将相同的因 6.已知(2x-21)(3.x-7)-(3.x-7)(x-13)可分 式写成暴的形式： 解因式为(3x十a)(x十b),其中a、b均为整数，则 。。a。。 a+3b= 之即学即练 7.用简便方法计算： 4.分解因式： (1)2014+20142-20152= (1)3a2-6a= 22015 (2)2-2丽 (2)a2+2a= (3)3.2×200.9+4.7×200.9+2.1×200.9= (3)9x2+3-27.x-1= (4)-5.x2+25.x= 5.因式分解： (④36.8×号+20.2×号-2× 55 55 55 (1)(x+y)2-3(x+y)= 8.(1)若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab的值是 (2)3.x(x-y)+2x(y-x)-y(x-y)= (2)已知x2-2.x-V3=0,则x3-2.x2十√3(1一 (3)m2n(m-n)2-2mm(n-m)3= x)的值是 (3)已知a2-a-1=0,则a2-a2-a+2015= 兰课外精练 A组·基础过关 三、解答题 一、选择题 9.将下列各式分解因式： 1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 (1)8ab2-16a2b: ( A.(m-n)(x-y)=(x-y)(m-n) B.x2+2.x+1=x(x+2)+1 C.(x+1)(x+3)=x2+4.x+3 D.x2-x=x(x+1)(x-1) 2.多项式6ab-3a一18ab分解因式时，应提 (2)-10x2y-5.xy2+15.xy: 取的公因式是 () A.3a2b B.3ab C.3ab D.3a262 3.多项式77x2-13.x-30可因式分解成(7x+a)· (hx+6),其中a、b均为整数，则a+b的值为 ( A.0 B.10 C.6 D.22 (3)(a+b)-(a+b)2: 4.若(p一q)2-(g-p)3=(q-p)2·E,则E是 ( A.1-q-p B.q-p C.1+p-q D.1+q-p ·58· 第十一章整式的乘龄 (4)(3a-4b)(7a-8b)+(11a-12b)(8b-7a). 14.阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的 问题： 1+x+x(.x+1)+x(.x+1)月 =(1+x)[1+x十x(x+1)] =(1十x)(1十x) =(1十x)3. (1)上述分解因式的方法是 ,共 2.x十y=6, 用了次. 10.已知x-3y=1: 在不解方程组的条件下，求 (2)若分解1十x十x(x+1)十x(x十1)2+…+ x(x+1)1,则结果是 7y(x-3y)2-2(3y-x)3的值. (3)依照上述方法分解因式：1十x十x(x+1)十 x(x十1)2十…十x(x十1)(n为正整数). 11.已知a、b、c为△ABC的三边，且a2c2一bc2= a一b,a+b≠c2,判断△ABC的形状 15.先阅读下面的材料，再分解因式： 要把多项式am十an十bm十b加分解因式，可以先 把它的前两项分成一组，并提出；再把它的后两项分 成一组，并提出b,从而得到a(m十n)十b(1十).这 时，由于a(m十n)十b(n十n)又有因式m十n,于是可 提公因式m十n,从而得到(m十n)(a十b).因此有 am+an+bm+bn (am +an)(bm+bn)= a(m十n)十b(m十n)=(m十n)(a十b).这种因式 分解的方法叫做分组分解法.如果把一个多项式的 项分组并提出公因式后，它的另一个因式正好相 同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解 B组·能力提升 因式了. 12.化简（一2）05+（一2)的结果为 请用上面材料中提供的方法分解因式： A.2014 B.-2214 (1)ab-ac+bc-b; C.-221 D.2 13.在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b (a>b)的正方形纸片按图1，图2两种方式放置 (图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠)， 矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴 影表示，设图1中阴影部分的面积为S,图2中 (2)m2+5n-m-5m. 阴影部分的面积为S.当AD一AB=2时， S2一S的值为 图1 图2 A.2a B.26 C.2a-2h D.-2b ·59·指南针·入年城上 毒是调感五整式的案隆法 上(1期，原式牡上一鞋《1期，眼式=亡+1山 (3朝：=一4y 1湘眼t-山-g十12湘原试-一士+y一7 痛，大一 4潮家这--十 乙+ -iry+0 十+D 11,5因式分解 第1时公闻人清 1课时相用完金平本会人什人舟 灌酸优率1整式的积本山得一明单现式家里式公国： a士 式量公式进人是大公景自相时学号是且文都 重前饮学 里觉骑诗例！细：原火=山一，那式=一a一 大=红十严，1或=②十. 0一凌h衡一2a-M 即学聊准1B:1期：眼式=-4一的 G2架.单其=心-y(y十2y1解1腺其=山十1w一 飘多.解，1)纹L士一中的里或一5一r十h .原式以 (3事天2同一 刷7娜1=4△A程等左期居 那掌尾等《(1。=影4心4中影(3)4产tt 0学0低144制：△C为等据三角8 送并轴练LD1A3C4化5.0u一1)2加a十1 44)50-3)Cl%中民。十-110a一 (384信-1P64里4象<1》-190绿度 克1解，夏大-a+(2米原武=-✉(-) 2r+十2)一y十 (4x-2+ 2《45-1十4必1-1214A 5.《1)两十上1一6 21当4=2.b =1时，单式有镜，情为 《1博a4.=】时，大有品第为17. 专理到篮六因式分解 141周会式球120十 0解.3图们十手十r十山十十P十一十x十%mE 相监=(1+x产+ 核小架原式=达一%一好2解第式=m一m一自 4钢，最式红+D(一1 课前优学1，C4十们a一的 1111解：题R=吴2一1》2中12解第式=y1 球度特解1解，1D绿式=山十一2： 2)原式=一一2十小3原试=+1Dy+iy-山. 那学联道1.B主1解：期式=e十1y的一1 -9 十 0解：银式-和一1以十ym一x 0解：额式=(4+1) 0解源火一十(2韩厘火=一和，=40 31解：现太m一2h164一25一2) 40解：题其=3十10a十110a-1中 6解：火1网+-m+)1w+一1 飘3解，1原式=腾国式特子《的期式一项 11113十1+3}C2风431x=■) 400m-1r-11【41(1一33+h 0+35N:一(W+30-+2到 811,图+4rr5r十11 20解：醇求=e一1)0e+1D0.2+0 第十一摩章复习 L1解，原或=十子一工2解原次=一= 8解：额火44解：国火一4 21解单大-一25期，原其=一￥-山y中山 33 F·数学家考答案S) 表i解.原=-一E 潭度附拼例1(10C2A 零学四练1包2内结角相等，两直线平行 制2延两野 3幅领t户一1之r+9=12一4立+13，期L龙1空 C解，40 黑（解见武=+一 2i解.p式=[3y-s-3 0制.原或mCy+1My-1,+1 表工.式角色的内森规是1了 发过可璃头再醇观C11.出 C1领值重=C1。中1：1 住平新系直垂直它证纲席 k期1114y==于期a=14=14=1 2.2三角形会等的定 7.解，者12-1,1空1 重湘原式-时潮：聚文一到 第十二章全等三角形 ∠B 21命眼，定义，司理与正用 A++A-十AEm 温时世中1.命纸1务件的论1有命期银金国地粒明 个合可有，果见个角直角，金该几个角等 L￥中∠B4Ce8==支40C·B=k 细果个形是三，厚它时内角有为1条件是】 2A38 4r11门=D一官=1 是形，结论是，它的内角和为1幻其个合题可写或，室梨一 能数边未位莹是5，是么道被5数晚条行超。一个整数销末位数字是 (2C时D重典.服AC三级理由F ,06L023 ”A且1D1 又点AC在具一事直线上 ·∠EC=∠A6D=时，潭C4BD量直 (14DI王观自如下： 发山于a 直线平行程 8092A5 条件：网条直找整第三条直线厂表，同寿内南置补 。D 在直角△AHD中：∠A+∠D=对， ∠A十C=探， ∠APC=,海家1AB 第2绿时地 优学两边夫角对52一的角不一定 课外辅感1，A2C1C4A多m能装数2a是斜拔直 么两个角是对演角 的，FAD平分∠B4C∠RC=,∠AD=∠EC 工.则铜用●除口任何一个数，郑必其结单是5短具心店金 ∠A-,∠B+∠A=∠AC .解，】)看eh德，是食想： ∠零+∠AC=∠C,∠BUD+∠AHD=∠E+ 两个无州告的和是无现数，■程适 ∠AAa△A,乙AaD-A,E 反制，1十1a0,相程内年■山 a若三角影的三长=，k:满程4-610=)4》=，期三角 影更等边元角形.是相命通：反解：=6时，a一)C一1 g暴0性48 发0)位明略 2D第，∠KPa,∠℃ ∠=∠BF+∠℃=4+=. ”A座B∠s=∠正=74 件，青个角是第年的论1这两个角王并 AARMADEE 收订：如果在月一平图内两直气亲直十月一直线密丛这两第 像外陆继LC名B人B4A系△AFD△EC 8AS 平内同条套线垂直于一直线 反过干印来气证影博 限解，D证得，2A& A用= ∠=∠卫在△0中， ∠n=∠D 11.①G012②心0