精品解析：山东省东营市垦利区2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制）

山东省东营市垦利区2024－2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 5. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是( ) A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 5 9. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶，图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，．若，则伞圈下滑的距离的长度为 A. 4 B. C. D. 10. 如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．） 11. 若，则______． 12. 计算：______． 13. 如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则______． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为__________． 15. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 16. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 19. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 20. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列两个条件：①；②． （1）请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 22. 如图，正方形的边长是，为上一动点，将绕点顺时针旋转至点的对应点为点，连接． （1）如图1，当时， ； （2）如图2，连接交于点， ①求证：为的中点； ②直接写出的值是 ． 23. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省东营市垦利区2024－2025学年下学期八年级期末数学试卷（五四学制） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 要使式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数得到，然后求解即可． 【详解】解：要使式子有意义，只需，则． 故选：D． 2. 如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分定理列比例式成为解题的关键． 先根据平行线等分线段定理列比例式求得，再运用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵， ，即，解得：． ． 故选C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】A：与不是同类二次根式，不能合并，故本选项不符合题意； B：，故本选项符合题意； C：， ， ， 故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：B． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的值不能是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项满足题意， 故选：D． 5. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法：三组对应边的比相等的两个三角形相似，两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，有两组角对应相等的两个三角形相似．由相似三角形的判定方法，即可判断． 【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故A不符合题意； B、由得到，由有两组角对应相等的两个三角形相似，判定，故B不符合题意； C、两三角形的两边对应成比例，但夹角和不一定相等，不能判定，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定，故D不符合题意． 故选：C． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为40米，宽为19米，停车场内车道的宽度都相等．停车位的占地面积为352平方米．设停车场内车道的宽度为x米，根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意可得停车位可合成长为米，宽为米的长方形，即可列出关于的一元二次方程，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵停车场的长为40米，宽为19米，且停车场内车道的宽度为x米， ∴停车位可合成长为米，宽为米的长方形， ∴由题意可得：， 故选：A． 7. 在如图所示的平面直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，已知，，则与的周长之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或． 根据与是位似图形，以及A和D的坐标，求出与的相似比为，即可求出与的周长之比． 【详解】∵与是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∵，， ∴与的相似比为， ∴与的周长之比是． 故选：D． 8. 如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ） A. 2.4 B. 2.5 C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴ ∵，， ∴， 则四边形是矩形， ∴， 当时，最小，则最小， 此时， 即， 解得， ∴的最小值为2.4． 9. 油纸伞在我国已有一千多年的历史，是中国古代劳动人民智慧的结晶，图①是一把油纸伞展开后的剖面图，点、分别为伞骨、的中点，伞圈为伞柄上可移动的点，四边形为菱形．当油纸伞打开到图①的程度时，，当油纸伞缩拢到图②的程度时，．若，则伞圈下滑的距离的长度为 A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地求出线段AD的长度及线段AD1的长度是解题的关键．在图①中，由菱形的性质得，，因为，所以，则是等边三角形，所以，在图②中，设、交于点，则，由，，证明是等边三角形，则，所以，则，所以，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图①，四边形是菱形，， ，， ， 是等边三角形， ， 如图②，设菱形的对角线、交于点，则，， ， ， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在中，、分别为边、的中点，是对角线，，交的延长线于点，连接，．有下列结论：①；②四边形是菱形；③四边形是矩形；④．其中正确结论的个数是( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，推导出，且，是解题的关键． 连接，由平行四边形的性质得，，，而、分别为边、的中点，则，，则四边形是平行四边形，所以，可判断①正确；由，得，则，所以四边形是菱形，可判断②正确；由，交的延长线于点，得，则四边形是平行四边形，而，所以四边形是矩形，可判断③正确；设，，则，求得，则，所以，则四边形：：：，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 、分别为边、的中点， ，，， ， 四边形是平行四边形， ， 故①正确； ， ， ， 四边形是菱形， 故②正确； ，交的延长线于点， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 故③正确； 设，，则， ，， ， ，， ∴， 故④错误， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，只要求填写最后结果．） 11. 若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用了分子分母交叉相乘得出与的关系是解题关键．根据比例的性质，可得与的关系，即可求解． 【详解】解：由比例的性质，得． ， 故答案为： 12. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘除法法则计算，得到答案． 【详解】解： 故答案为：2． 13. 如图，在中，点E在边上，连接，交对角线于点F．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、比例的性质、相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．利用平行四边形的性质得到，，，利用比例的性质得到，证明得到，，进而推出，再利用图形面积之间的比例关系即可求解． 【详解】解：， ，，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 已知a和b是方程的两个解，则的值为__________． 【答案】2030 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解． 【详解】解：由条件可知，， ∴， ∴， 故答案为：2030． 15. 大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点B为的黄金分割点（），若，则的长为__________ ．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割. 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（）， ， ∴ ， ∴的长为 ， 故答案为：． 16. 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为，动点Q从点B开始沿边运动，速度为，当点P与点B重合时，停止运动．如果P，Q两点同时运动，设运动时间为t秒，当__________秒时，由P、B、Q三点连成的三角形与相似． 【答案】2秒或秒 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．分两种情况，利用相似三角形的判定建立方程求解即可； 【详解】解：设经过t秒时，以与相似，厘米， ， ∴当时，，即； 解得：， 当时，，即； 解得：， 即经过2秒或秒时，与相似， 故答案为：2秒或秒． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算； （1）先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再计算二次根式的加减运算即可； （2）先计算二次根式的除法，乘法运算，化简二次根式，再计算加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 用适当的方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，能选择适当的方法解方程是解此题的关键． （1）求出的值，即可得出方程无解； （2）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ，，， ， 方程无解； 【小问2详解】 ， ， ， 或， ， 19. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】（1）墙的垂直高度为米 （2）墙的垂直高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 20. 如图，四边形的对角线与相交于点O，，．有下列两个条件：①；②． （1）请你从①②中任选一个作为条件，求证：四边形是菱形； （2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明∶选择②， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 选择①， 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】此题重点考查菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确理解和应用菱形的定义和判定定理是解题的关键． （1）由，得，而，则四边形是平行四边形，若选择①，可根据菱形的定义证明四边形是菱形；若选择②，可根据菱形的判定定理证明四边形是菱形，选择其中一个条件证明四边形是菱形即可； （2）由菱形的性质得，，，因为，所以是等边三角形，则，求得，根据勾股定理求出，则，然后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为、、． （1）以原点O为位似中心，在y轴的右侧画出的一个位似，使它与的相似比为； （2）将向左平移2个单位，再向上平移1个单位后的，判断与，能否是关于某一点M为位似中心的位似图形？若是，请在图中画出位似中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1） 所作如图所示： （2）是，如图画出， M的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了作图位似变换，平移变换，熟练掌握位似变换的性质是解题的关键． （1）根据位似变换的性质找出对应点，再顺次连接对应点，即可解题； （2）根据平移变换的性质画出，再根据位似中心的性质求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：与是关于某一点M为位似中心的位似图形，如图，M的坐标为． 22. 如图，正方形的边长是，为上一动点，将绕点顺时针旋转至点的对应点为点，连接． （1）如图1，当时， ； （2）如图2，连接交于点， ①求证：为的中点； ②直接写出的值是 ． 【答案】（1） （2） ①过点E作交于点N，如图， 则，， ∵四边形为正方形，绕点A顺时针旋转至， ∴点C、点B和点F共线， ∵， ∴， 由旋转知，，则， ∵， ∴， ∴， 即M为的中点； ② 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，等腰直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握以上知识． （1）根据旋转的性质得，，为等腰直角三角形，再根据正方形的性质得，，利用勾股定理求出，再利用勾股定理即可求出答案； （2）①过点E作交于点N，得和，可证，可得，即可证明中点；②根据平行得，有，可求得，由，有，得到即可求得答案； 【小问1详解】 解：根据旋转的性质得：，， ∴为等腰直角三角形． ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 ① 略 ②∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $