17.2.1勾股定理的逆定理 课件 2024-2025学年 八年级数学下册

第17章 勾股定理 17.2.1勾股定理的逆定理 1.掌握勾股定理的逆定理，并能利用其判定一个三角形是不是直角三角形； 2.灵活应用勾股定理的逆定理解决简单实际问题； 3.通过用三角形三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数与形的内在联系，感受定理与逆定理之间的和谐及辩证统一的关系； 4.在实际问题的解决过程中，让逻辑思维能力得到充分的锻炼，培养学生的建模能力. 学习目标 一级标题：黑体， 2 B C A 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. b c a 问题2 求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边c的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； c=5 c=6.5 复习回顾 2.你知道如何判断一个三角形是直角三角形吗? 上面的方法是从角的角度考虑，能用三角形三边的关系来判断是否为直角三角形吗? (1)有一个角是直角； (2)有两个角的和是90°. A B C 复习回顾 一级标题：黑体， 4 　据说，古埃及人曾用这样的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13 个结，然后以3 个结间距，4 个结间距、5 个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角． 上述三角形的三边满足什么数量关系？ 324252 新课讲授 5 思考：从前面我们知道古埃及人认为一个三角形三边长分别为3,4,5,那么这个三角形为直角三角形.按照这种做法真能得到一个直角三角形吗? 大禹治水 相传，我国古代的大禹在治水时也用了类似的方法确定直角. 新课讲授 ① 2.5，6，6.5； ② 3，4，15． 1.画一画：分别以这些数为三边长画出三角形； 2.算一算：每组中较小两个数的平方和与较大数的平方之间有什么关系？ 3.量一量：用量角器分别测量三角形中最大角的度数； 4.想一想：试着判断这些三角形的形状，并提出猜想. 按照下面的规则，进行思考 以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm) 新课讲授 一级标题：黑体， 7 2.5 6 ① 2.5，6，6.5； ② 6，8，10． 以下面各组数为边长的三角形，是直角三角形吗？(单位：cm) 6.5 4 3 5 90° 90° 2.52626.52 324252 a2+b2=c2 新课讲授 一级标题：黑体， 8 我觉得这个猜想不准确，因为测量结果可能有误差. 我也觉得猜想不严谨，前面我们只取了几组数据，不能由部分代表整体. 问题3 据此你有什么猜想呢? 由上面几个例子，我们猜想： 命题2 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 新课讲授 △ABC≌ △ A′B′C′ 　　 ？ ∠C是直角　　　 △ABC是直角三角形　　 A　 B　 C　 a b c 　已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2． 　求证：△ABC是直角三角形． 构造两直角边分别为a,b的Rt△A′B′C′ 分析：在△ABC中，由边的关系a2+b2=c2，推导出为直角很难做到，若作一个与△ABC全等的直角三角形，则可借助全等三角形的性质来说明∠C是直角. 新课讲授 已知：在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，a2+b2=c2. 求证：△ABC是直角三角形. A B C a b c 证明：如图，作△A'B'C'，使∠C'=90°，B'C'=a，A'C'=b. 由勾股定理可得A'B'2=a2+b2. ∵a2+b2=c2，∴A'B'2=c2. A' B' C' a b 在△ABC和△A'B'C'中， ∵AB=A'B'=c，BC=B'C'=a，AC=A'C'=b. ∴△ABC≌△A'B'C'(SSS). ∴∠C'=∠C=90°(全等三角形的对应角相等). c 即△ABC是直角三角形. 新课讲授 一级标题：黑体， 11 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长a 、b 、c满足 a2+b2=c2 那么这个三角形是直角三角形. A C B a b c 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 新课讲授 利用边的关系判定直角三角形的步骤 找：找出三角形三边中的最长边； 算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； 判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 1 2 3 （1）只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边. （2）这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明. 新课讲授 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 结论 区别 联系 在Rt中，∠C=90〫. 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”. 在△中， 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形” ，即由“数”到“形”. 新课讲授 例1 下面以a,b,c为边长的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一个角是直角？ (1) a=15 ， b=8 ，c=17; 解：(1)∵152+82=289，172=289，∴152+82=172， 根据勾股定理的逆定理，这个三角形是直角三角形，且∠C是直角. (2) a=13 ，b=14 ，c=15. (2)∵132+142=365，152=225， ∴132+142≠152，不符合勾股定理的逆定理， ∴这个三角形不是直角三角形. 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 典例解析 1.下面以a，b，c为边长的三角形是不是直角三角形？ (1) a5，b12，c13； (2) a6，b7，c8； 是 不是 是 (3) a1，b2，c . 像5，12，13这样能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 52+122132 62+7282 12+( )222 巩固练习 一级标题：黑体， 16 如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2那么这个三角形是直角三角形. 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数. 常见勾股数： 3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等. 勾股数拓展性质： 一组勾股数，都扩大相同倍数k(k为正整数)，得到一组新数，这组数同样是勾股数. 新课讲授 2. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A.6，8，10 B.7，8，9 C.0.3，0.4，0.5 D.52，122，132 A 根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最长边的平方是否等于其他两边的平方和即可. 新课讲授 3.若△ABC的三边a,b,c满足 a:b: c=3:4:5，是判断△ABC的形状. 解：设a=3k,b=4k,c=5k(k＞0), ∵(3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2, ∴(3k)2+(4k)2=(5k)2, ∴△ABC是直角三角形，且∠C是直角. 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 新课讲授 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2. 命题2 如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形. 前面我们学习了两个命题，分别为： 新课讲授 我们把像这样的两个命题叫做互逆命题. 命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理、勾股定理的逆命题的题设、结论分别是什么？ 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 题设 结论 题设 结论 它们之间有什么关系？ 命题1与命题2的题设、结论正好相反. 新课讲授 一级标题：黑体， 21 命题2 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 如果我们把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题. 原命题 逆命题 真命题 真命题 新课讲授 一级标题：黑体， 22 例2 说出下列命题的逆命题,这些逆命题成立吗？ (1)两条直线平行，内错角相等； (2)如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等； (3)全等三角形的对应角相等； (4)在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 内错角相等，两条直线平行. 如果两个实数的绝对值相等，那么它们相等. 对应角相等的三角形全等 . 在角平分线上的点到角的两边距离相等. 成立 不成立 不成立 成立 原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立. 结论： 典例解析 一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，那么它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理. 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 真命题 真命题 命题1 命题2 互逆命题 勾股定理 勾股定理的逆定理 互逆定理 新课讲授 一级标题：黑体， 24 4.写出下列命题的逆命题，并判断逆命题是否成立. (1)全等三角形的对应角相等. (2)两直线平行，内错角相等. (3)互为相反数的两个数的绝对值相等. 解：(1)对应角相等的两个三角形是全等三角形； (2)内错角相等，两直线平行； (3)绝对值相等的两个数互为相反数. 不成立 成立 不成立 巩固练习 一级标题：黑体， 25 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形. 在直角三角形中常利用勾股定理解决求线段长度或证明线段关系的问题. 勾股定理的逆定理 互逆命题 课堂小结 26 谢谢观看！ $$