17.1.2勾股定理的应用 课件 2024-2025学年 人教版 八年级数学下册

第17章 勾股定理 　17.1.2勾股定理的应用 1.会利用勾股定理解决生活中的简单实际问题； 2.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，强化转化思想，培养学生的应用意识和分析能力； 3.经历探索勾股定理在实际问题中的应用过程，进一步体会勾股定理的灵活应用； 新课讲授 一级标题：黑体， 2 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². 勾股定理 a b c 1.什么是勾股定理？ a b c 练习：设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a12，b5，则c ； (2) 已知a8，c10，求b  . 13 6 复习回顾 一级标题：黑体， 3 C A B 1.如图，学校教学楼前有一块长方形长为4米，宽为3米的草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“径路”，却踩伤了花草. （1）求这条“径路”的长； 解：(1)在Rt△ ABC中， 根据勾股定理得 ∴这条“径路”的长为5米. 别踩我,我怕疼! 新课讲授 2.观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？ 这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题 新课讲授 一级标题：黑体， 5 思考1：木板能横着或竖着从门框通过吗？ 不能 思考2：那么木板能斜着从门框通过吗？ 需要比较门框对角线AC的长度与木板宽的大小 若AC≥2.2米，则可通过，反之，则不可通过. 如何考虑呢？ 新课讲授 一级标题：黑体， 6 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC≈2.24米． 因为AC大于木板的宽2.2 m，所以木板能从门框内通过． 若木板长3 m，宽2.5 m能通过吗？ AC小于木板的宽，不能通过. 新课讲授 解：在Rt△ABC中，根据勾股定理， AC2=AB2+BC2=12+22=5． AC=≈2．24． 因为AC大于木板的宽2．2 m，所以木板能从门框内通过． 7 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 从实际问题中抽象出几何图形； 确定所求线段所在的直角三角形； 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 求得结果，解决实际问题. 1 2 3 实际问题 数学问题 直角三角形 4 勾股定理 转化 构建 利用 解决 归纳总结 一级标题：黑体， 8 例1 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂，树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 米 6米 典例解析 8 米 6米 A C B 解：根据题意可以构建一直角三角形模型，如图. 在Rt△ABC中， AC=6米，BC=8米， 由勾股定理得 ∴这棵树在折断之前的高度是10+6=16（米）. 典例解析 1.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？ 2.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？ 巩固练习 1.如图，一次“台风”过后，一根旗杆被台风从离地面2.8米处吹断，倒下的旗杆的顶端落在离旗杆底部9.6米处，那么这根旗杆被吹断裂前有多高？ 解：∵旗杆剩余部分、折断部分与地面正好构成直角三角形， ∴BC===10m， ∴旗杆的高=AC＋BC=2.8＋10=12.8m. 答：这根旗杆被吹断裂前至少有12.8米高． 巩固练习 2.如图，一高层住宅发生火灾，消防车立即赶到距大厦9米处（车尾到大厦墙面），升起云梯到火灾窗口，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，问：发生火灾的住户窗口距离地面多高？ 解：∵AC⊥BC，∴∠ACB=90° 根据勾股定理，得 BC= ==12， ∴BD=BC+CD=12+2=14（米） 答：发生火灾的住户窗口距离地面14米． 巩固练习 A 2 1 -4 -3 -2 -1 -1 2 3 1 4 5 例2 如图，在平面直角坐标系中有两点A(-3,5),B(1,2)求A,B两点间的距离. y O x 3 B C 解：如图，过点A作x轴的垂线,过点B作x,y轴的垂线.相交于点C,连接AB. ∴AC=5-2=3，BC=3+1=4， 在Rt△ABC中，由勾股定理得 ∴A,B两点间的距离为5. 两点之间的距离公式：一般地，设平面上任意两点 典例解析 例3 在波平如镜的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面3尺，一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，问湖水多深？ A B D C 解：如图，设红莲在无风时高出水面部分CD长为3尺，点B被红莲吹斜后花朵的位置，BC部分长6尺.设水深AC为x尺. 在Rt△ABC中，∴AC2+BC2=AB2（勾股定理）. 又∵AB=AD=（x+3）尺, ∴（x+3）2=x2+62， 化简解得x=4.5. 答：湖水深4.5尺. 典例解析 3．有一个高为1.5 m，半径是1 m的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m，问这根铁棒有多长？ 解:设伸入油桶中的长度为x m,则最长时: 最短时,x=1.5 所以最长是2.5+0.5=3(m). 答:这根铁棒的长应在2～3 m之间. 所以最短是1.5+0.5=2(m). 新课讲授 4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？ D A B C 解：设水池的水深AC为x尺，则这根芦苇长AD=AB=(x+1)尺， 在直角三角形ABC中，BC=5尺 由勾股定理得，BC2+AC2=AB2 即 52+ x2= (x+1)2 25+ x2= x2+2x+1， 2 x=24， ∴ x=12， x+1=13. 答：水池的水深12尺，这根芦苇长13尺. 新课讲授 例4 如图，一架2.6 m长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO为2.4 m．如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5 m，那么梯子底端B也外移0.5 m吗？ 解：可以看出，BDODOB. 在Rt△AOB中，根据勾股定理， OB2AB2OA22.622.421，OB1. 在Rt△COD中，根据勾股定理， OD2CD2OC22.62(2.40.5)23.15. OD ， BDODOB≈1.7710.77. 所以梯子的顶端沿墙下滑0.5 m时，梯子底端并不是外移0.5 m， 而是外移0.77 m. 提示 (1)梯子的长度不变； (2)梯子底端B外移的长度BDODOB 典例解析 一级标题：黑体， 18 5.如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ 解：（1）根据勾股定理, 所以梯子距离地面的高度为：AO===12（米） 答：这个梯子的顶端距地面有12米高； O 巩固练习 5.如图，一架梯子AB长13米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙5米． （1）这个梯子的顶端距地面有多高？ （2）如果梯子的顶端下滑了5米，那么梯子的底端在水平方向滑动了多少米？ O 解： 梯子下滑了5米即梯子距离地面的高度为 OA′=12﹣5=7（米）， 根据勾股定理： OB′===2 （米）， ∴BB′=OB′﹣OB=（2﹣5）米 答：当梯子的顶端下滑5米时，梯子的底端水平后移了（2﹣5）米. 巩固练习 C B A 问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？ AC+CB >AB（两点之间线段最短） 思考 在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？ 新课讲授 例5 有一个圆柱形油罐，要以A点环绕油罐建梯子，正好建在A点的正上方点B处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是2 m，高AB是5 m，π取3）? A B A B A' B' 解：油罐的展开图如图，则AB'为梯子的最短距离. ∵AA'=2×3×2=12, A'B'=5, ∴AB'=13. 即梯子最短需13米. 典例解析 6.如图，有一个圆柱，它的高等于12 cm，底面圆的周长为18 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点A相对的点B处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ A B 巩固练习 （1）自己做一个圆柱，尝试从点A到点B沿圆柱侧面画几条路线，你觉得哪条 路线最短？ A B A B A B 方案① 方案② 方案③ 巩固练习 （2）如图，将圆柱侧面剪开展成一个长方形，点A到点B的最短路线是什么？ 你画对了吗？ A B A B A B ∵两点之间线段最短， ∴方案③的路线最短． 巩固练习 （3）蚂蚁从点A出发，想吃到点B上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是 多少？ 解：在Rt△ABC中， AC＝12 cm，BC＝18÷2＝9（cm）． 由勾股定理，得 AB＝ ＝ ＝15． 所以最短路程AB＝15 cm． A B C 高12 cm，底面周长18 cm． 巩固练习 数学思想： 立体图形 平面图形 转化 展开 归纳总结 思路： 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 从实际问题中抽象出几何图形； 确定所求线段所在的直角三角形； 找准直角边和斜边，根据勾股定理建立等量关系； 求得结果，解决实际问题. 勾股定理的应用(1) 1 2 3 4 实际问题 数学问题 直角三角形 勾股定理 转化 构建 利用 解决 新课讲授 28 谢谢观看！ $$