17.2　勾股定理的逆定理 第二课时课件2024－2025学年人教版数学八年级下册

第十七章 勾股定理 17.2　勾股定理的逆定理 第二课时 问题　前面的学习让我们对勾股定理及其逆定理的知识有了一定的认识，你能说出它们的内容吗? a2＋b2＝c2 (a，b 为直角边，c 斜边） Rt△ABC，∠C是直角 勾股定理 勾股定理的逆定理 a2＋b2＝c2 (a，b 为较短边，c 为最长边） Rt△ABC，且∠C 是直角. 一、温故知新 快速填一填. 1．已知 △ABC 中，BC＝41，AC＝40，AB＝9，则此三角形为________三角形， ________是最大角. 2．等腰 △ABC 中，AB＝AC＝10 cm，BC＝12 cm，则BC 边上的高是 cm. 8 直角 ∠A 一、温故知新 例1　某港口 P 位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16 n mile，“海天”号每小时航行 12 n mile．它们离开港口一个半小时后分别位于点 Q，R 处，且相距 30 n mile ．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ R Q P E N 二、探究 问题1　认真审题，弄清已知是什么？要解决的问题是什么？ 问题2　由于我们现在所能得到的都是线段长，要计算角，由此你联想到了什么？ 解：根据题意得， PQ＝16×1.5＝24 , PR＝12×1.5＝18 , QR＝30 . ∵　242＋182＝302，即 PQ2＋PR2＝QR2， ∴　∠QPR＝90°. 由“远航”号沿东北方向航行可知，∠1＝45°. ∴　∠2＝45°，即“海天”号沿西北方向航行. N E P Q R 1 2 解决实际问题的步骤：1．构建几何模型(从整体到局部)；2．标注有用信息,明确已知和所求；3．应用数学知识求解. 二、探究 例2 一个零件的形状如图(1)所示,按规定这个零件中∠A 和 ∠DBC 都应为直角,工人师傅量得这个零件各边的尺寸如图(2)所示,这个零件符合要求吗? D A B C 4 3 5 13 12 D A B C 图(1) 图(2) 二、探究 6 解：在 △ABD 中， AB2＋AD2＝32＋42＝25， BD2＝52＝25， ∴　 AB2＋AD2＝BD2， ∴　△ABD 是直角三角形， ∠ A是直角. 在 △BCD 中， BD2＋BC2＝52＋122＝169，CD2＝132＝169， ∴　 BD2＋BC2＝CD2， ∴　△BCD 是直角三角形，∠DBC是直角. 因此，这个零件符合要求. 二、探究 D A B C 4 3 5 13 12 练习　如图，四边形 ABCD 中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四边形 ABCD 的面积． 解析：连接AC，把四边形分成两个三角形．先用勾股定理求出AC的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 △ACD 是直角三角形． A D B C 3 4 13 12 二、探究 解：连接 AC. 在 Rt△ABC 中， 在 △ACD 中， AC2＋CD2＝52＋122＝169＝AD2， ∴　△ACD 是直角三角形，且 ∠ACD＝90°. ∴　S四边形ABCD＝SRt△ABC＋SRt△ACD＝6＋30＝36. A D B C 3 4 13 12 方法总结：对角线是常用的辅助线，它把四边形问题转化成两个三角形的问题.在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭挡”，经常配套使用. 二、探究 9 解：连接 BD. 在 Rt△ABD 中, 由勾股定理得 BD2＝AB2＋AD2， ∴　BD＝5 . 又∵　CD＝12，BC＝13, ∴　BC2＝CD2＋BD2，∴　△BDC 是直角三角形. ∴　S四边形ABCD＝SRt△BCD－SRt△ABD＝ BD·CD－ AB·AD ＝ ×(5×12－3×4)=24 (cm2)． 变式练习　如图，四边形 ABCD 中，AB⊥AD，已知AD＝3 cm，AB＝4 cm，CD＝12 cm，BC＝13 cm，求四边形ABCD 的面积. C B A D 二、探究 勾股定理的逆定理的应用 应用 航海问题 方法 认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆定理来解决问题 与勾股定理结合解决不规则图形等问题 三、归纳总结 1．A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，C 在 B 地的什么方向？ A B C 5cm 12cm 13cm 解：∵　BC2＋AB2＝52＋122＝169，AC2 ＝132＝169， ∴　BC2＋AB2＝AC2． 即 △ABC 是直角三角形，∠B＝90°. 答：C 在 B 地的正北方向． 四、课堂练习 2．如图，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现 AB＝DC＝8 m，AD＝ BC＝6 m，AC＝9 m，请你运用所学知识帮他检验一下挖的是否合格？ 解：∵　AB＝DC＝8，AD＝BC＝6， ∴　AB2＋BC2＝82＋62＝64＋36＝100. 又∵　AC2＝92＝81， ∴　AB2＋BC2≠AC2， ∴　∠ABC≠90°， ∴　该农民挖的不合格． 四、课堂练习 3．如图，将一个边长分别为 4，8 的长方形纸片 ABCD折叠，使 C 点与 A 点重合，则 AF 的长是_____. 四、课堂练习 5 A B E F D C 4．如图，在 △ABC 中，AB：BC：CA＝3：4：5 且周长为 36 cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以每秒 2 cm 的速度移动，点 Q 从点 C 沿 CB 边向点 B 以每秒 1 cm 的速度移动，如果同时出发，则过 3 s 时，求 PQ 的长． 解：设 AB 为 3x cm，BC 为 4x cm，AC 为 5x cm， ∵　周长为 36 cm，即 AB＋BC＋AC＝36 cm， ∴　3x＋4x＋5x＝36，解得 x＝3. ∴　AB＝9，BC＝12，AC＝15. 四、课堂练习 B A C P Q ∵　AB2＋BC2＝AC2， ∴　△ABC 是直角三角形， 过 3 秒时，BP＝9－3×2＝3(cm)，BQ＝12－1×3＝9(cm)， 在 Rt△PBQ 中，由勾股定理得 四、课堂练习 B A C P Q 五、作业 教科书习题 17.2 第 3，4，5，6 题. $$