第17章 专项2勾股定理与最短路径问题-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套PPT课件（人教版2012）

八年级数学 （下册） 第十七章　勾股定理 专项2　勾股定理与最短路径问题 B C B 15 平面图形上的最短路径问题　　 如图，在等边三角形ABC中，D是BC的中点，E，P分别是线段AC，AD上的一个动点，已知AB＝2，AD＝ eq \r(3) ，则PE＋PC的最小值是________. eq \o(\s\up7(),\s\do15(1题图)) eq \r(3) [解析]如答图，过点B作BE⊥AC于点E，与AD交于点P，此时PE＋PC的值最小．∵△ABC是等边三角形，且D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE＋PC＝PB＋PE＝BE，即BE的长就是PE＋PC的最小值．∵△ABC是一个边长为2的等边三角形，∴CE＝1，∴在Rt△BCE中，由勾股定理，得BE＝ eq \r(22－12) ＝ eq \r(3) ，∴PE＋PC的最小值是 eq \r(3) . ),\s\do15(1题答图)) eq \o(\s\up7(　　　 (恩施州中考)如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB上且BE＝1，F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do15(2题图)) A．5　 　 　B．6　 　 　C．7　 　 　D．8 [解析]如答图，连接ED交AC于点F′，连接BF′. ∵四边形ABCD是正方形， ∴点B与点D关于AC对称．∴BF′＝DF′. ∴△BF′E的周长＝BF′＋EF′＋BE＝DE＋BE，此时△BEF的周长最小． 由勾股定理，得DE＝5，则△BF′E的周长＝DE＋BE＝5＋1＝6. ),\s\do15(2题答图)) eq \o(\s\up7( 台阶中的最短路径问题　　 如图，一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是这个台阶的两个相对的点，A点处有一只壁虎，它想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只壁虎从A点出发，沿着台阶爬到B点，至少需爬(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do15(3题图)) A．13 cm B．40 cm C．130 cm D．169 cm 圆柱表面的最短路径问题　　 如图，有一个长、宽各为2 dm，高为3 dm且封闭的长方体纸盒，一只昆虫要从顶点A爬到顶点B，那么这只昆虫爬行的最短路程为(　　) eq \o(\s\up7(),\s\do15(4题图)) A．3 dm B．4 dm C．5 dm D．6 dm 长方体(或正方体)表面的最短路径问题　 如图，有一个棱长为9 cm的正方体，一只蜜蜂要沿正方体的表面从顶点A爬到点C(点C在一条棱上，距离顶点B 3 cm处)，则这只蜜蜂需爬行的最短路程是________ cm. ),\s\do15(5题图)) eq \o(\s\up7( [解析]如答图，AC的长即为这只蜜蜂需爬行的最短路程．由题意，得CD＝ 9 cm，AD＝3＋9＝12(cm)，∴AC＝ eq \r(AD2＋CD2) ＝ eq \r(92＋122) ＝15(cm). ),\s\do15(5题答图)) eq \o(\s\up7( 如图，长方体盒子(无盖)的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm. (1)在AB的中点C处有一滴蜜糖，一只小虫从D处爬到C处去吃，有无数种走法，则路程最短的是多少？ (2)若此长方体盒子有盖，则能放入木棒的最大长度是多少？ 解：(1)将长方体的前侧面和右侧面展开在同一平面，连接CD， 如答图①，沿DC爬行路程最短． ∵长方体盒子的长、宽、高分别是12 cm，8 cm，30 cm， ∴AD＝DE＋AE＝20 cm，AC＝ eq \f(1,2) AB＝15 cm. 在Rt△ACD中，根据勾股定理，得CD＝ eq \r(AD2＋AC2) ＝ eq \r(202＋152) ＝25(cm). 故最短路程是25cm. (2)如答图②，连接AG，BG. 在Rt△BFG中，GF＝12 cm，BF＝8 cm， 由勾股定理，得GB＝ eq \r(GF2＋BF2) ＝ eq \r(122＋82) ＝4 eq \r(13) (cm). 在Rt△AGB中，GB＝4 eq \r(13) cm，AB＝30 cm， 由勾股定理，得AG＝ eq \r(AB2＋GB2) ＝ eq \r(302＋（4\r(13)）2) ＝2 eq \r(277) (cm). 故能放入木棒的最大长度是2 eq \r(277) cm. $$