17.1勾股定理 课件 2024-2025学年 人教版 八年级数学下册

第17章 勾股定理 　17.1 勾股定理 1.掌握勾股定理，并会运用勾股定理解决一些几何问题 ； 2.了解证明勾股定理的方法，在勾股定理的探索过程中，体会数形结合的数学思想； 3.经历观察、计算、猜想、证明的过程，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力； 学习目标 一级标题：黑体， 2 其他星球上是否存在着“人”呢？为了探寻这一点，世界上许多科学家向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等. 新知引入 据说我国著名的数学家华罗庚曾建议“发射”一种勾股定理的图形(如图). 很多学者认为如果宇宙“人”也拥有文明的话，那么他们一定会认识这种语言，因为几乎所有具有古代文化的民族和国家都对勾股定理有所了解. 新知引入 A B C 4个 的面积 4个 的面积  SASB SC  以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的大正方形的面积. 我们一起穿越回到2500年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，看到他朋友家用等腰三角形砖铺成的地面（如图）： 问题1 试问正方形A、B、C面积之间有什么样的数量关系？ 新课讲授 一级标题：黑体， 5 思考：等腰直角三角形的三边之间有什么关系？ A B C SASB SC  a b c a²b² a² b² c² c²  等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和. 其他的直角三角形也有这个性质吗？ A B C 新课讲授 一级标题：黑体， 6 2．如图，直角三角形三边的平方分别是多少？ A C B D F E 图① 图② 三边的平方分别是各正方形的面积． SA SB SC SF SD SE （1）它们满足前面所猜想的数量关系吗？你是如何计算的？ 新课讲授 A C B 图① 正方形A中含有_______个小正方形， 即A的面积是________． 正方形B中含有_______个小正方形， 即B的面积是________． 正方形C中含有_______个小正方形， 即C的面积是________． 观察： 9 9 9 9 18 18 9＋9＝18，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 数格子法 新课讲授 D F E 图② 正方形D中含有_______个小正方形， 即D的面积是________． 正方形E中含有_______个小正方形， 即E的面积是________． 正方形F中含有_______个小正方形， 即F的面积是________． 4 4 4 4 8 8 4＋4＝8，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察： 新课讲授 （2）对于下图中的直角三角形，是否还满足前面所猜想的数量关系？你又是如何计算的呢？ A C B 图① 正方形C的面积可以 怎么计算呢？ 新课讲授 A C B 图① 方法一：分“割”成若干个直角边为整数的三角形 SC＝×4×3×4＋1×1＝25 方法二：把C“补” 成边长为7的正方形 SC＝7×7－×4×3×4＝25 正方形C的面积  4个直角三角形的面积  小正方形的面积 割 正方形C的面积  大正方形的面积  4个直角三角形的面积 补 新课讲授 正方形A中含有________个小正方形， 即A的面积是_________． 正方形B中含有________个小正方形， 即B的面积是_________． 正方形C中含有________个小正方形， 即C的面积是_________． 16 16 9 9 25 25 16＋9＝25，满足两直角边的平方和等于斜边的平方． 观察： A C B 图① 新课讲授 命题1 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.两直角边的平方和等于斜边的平方. 由上面的几个例子，我们猜想： a b c 下面动图形象的说明命题1的正确性，让我们跟着以前的数学家们用拼图法来证明这一猜想. 新课讲授 a b b c a b c a 证法1 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图,再用所拼的图形证明命题吧. 新课讲授 a b c ∵S大正方形＝c2， S小正方形＝(b-a)2, ∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形， 赵爽弦图 b-a 证明： “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲.因为，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学大会的会徽. 新课讲授 证法2 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧. 新课讲授 a a a a b b b b c c c c ∴a2+b2+2ab=c2+2ab， ∴a2 +b2 =c2. 证明： ∵S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4× ab+c2 =c2+2ab， 新课讲授 a a b b c c ∴a2 + b2 = c2. 证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”. 如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2. 新课讲授 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². 勾股定理 勾 股 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”.我国古代学者把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”. 股 勾 弦 勾2股2弦2 a b c 在西方称为 “毕达哥拉斯定理” a、b、c为正数 公式变形： 新课讲授 一级标题：黑体， 19 例1 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c. (1) 已知a5，b12，求c； (2) 已知a6，c10，求b； (3) 已知c25，b15，求a. a²b²c² a b c 常见的公式变形 解： 典例解析 一级标题：黑体， 20 1.求下列图中表示边长的未知数x、y、z的值. (1) (2) (3) 36 64 x y z 625 576 144 169 解：(1) x10； (2) y5 ； (3) z7. 巩固练习 2.(1)直角△ABC的两条直角边a=24，b=32，斜边c=______． A B C 24 32 c a b (2)直角△ABC的一条直角边a=10，斜边c=26，则b=______． A B C 10 26 c a b 24 40 新课讲授 3.已知：Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，则BC= . 当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边. A B C 3 4 5 A B C 3 4 5或 分类讨论 新课讲授 例2 已知∠ACB=90°,CD⊥AB,AC=3,BC=4.求CD的长. 解：由勾股定理可得 AB2=AC2+BC2=25， 即 AB=5. 根据三角形面积公式， ∴ AC×BC= AB×CD. ∴ CD= . A D B C 3 4 由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，它常与勾股定理联合使用． 典例解析 1 1 美丽的勾股树 　　通过这种方法，可以把一个正方形的面积分成若干　个小正方形的面积的和，不断地分下去，就可以得到一棵美丽的勾股树． 新课讲授 注意 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²b²c². 1.勾股定理的适用条件：在直角三角形中； 2.熟悉常见的公式变形； 3.当不能确定哪条边是斜边时，需分类讨论. a b c 勾股定理的认识 课堂小结 26 谢谢观看！ $$