精品解析：辽宁省大连市庄河市2024-2025学年下学期八年级数学期末考试卷

庄河市2024—2025学年度第二学期 八年级数学期末试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法中，错误是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 若一次函数函数值随的增大而增大，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长是（    ） A. B. C. D. 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差（） 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为( ) A B. C. 或 D. 9. 如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径作弧，交于点，连接．若，，则的长为( ) A B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为_____． 12. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为92分、88分、90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是_____分． 13. 已知一次函数，当时，y最大值是_____． 14. 本市歇马杏的上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为_____． 15. 如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是_____． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算． （1） （2）当时，求的值． 17. 如图，在中，，，垂足分别为E，F，且．求证：是菱形． 18. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 19. 水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某科技小组在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，并填写下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 20 40 60 80 … 小组成员在直角坐标系中，根据表中各对数值描点，发现y与t满足我们学过的一次函数关系． （1）画出函数图象，并求出y与t之间的函数关系式； （2）请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 20. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因设备调试暂停一次，之后以原工作效率继续加工，因任务紧，乙组工人中途加入共同加工．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件数为（个），乙组加工零件数为（个），函数图象如下： （1）直接写出a的值，______； （2）求与t的函数关系式及t的取值范围； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为320个？ 21. 某校为了解本校学生对《中华民族大团结》教材的学习情况，对七、八年级学生进行了知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下：在两个年级中各随机抽取了10名参与测试的学生的得分（单位：分）．并整理、描述和分析（成绩用x表示，所有学生测试成绩均大于80分，共分成四组：A．；B．；C．；D．），现在给出了部分信息如下： 信息一： 七年级10名学生的测试成绩是：83，86，87，89，90，94，94，98，99，100． 八年级10名学生的测试成绩在C组中的数据是：92，93，95，95． 信息二： 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 92 92 c 八年级 92 b 97 信息三： 八年级抽取学生测试成绩各组数据占比扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，c的值； （2）若该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，估计该校七、八年级学生中此次测试成绩为“优秀”（为优秀）的总共有多少人？ 22. 【问题提出】（1）如图1，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿翻折得到，点F为点A的对应点．当点F落在边上时，延长，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形； 【特例研究】 ②若，，求菱形的面积． 【类比推广】 （2）在中，点E为边中点，连接，将沿翻折得到．（点H为点C的对应点）．延长交边于点F，若，，求线段的长． 【拓展提升】 （3）在菱形中，点E为边中点，连接，将四边形沿翻折得到四边形．（点H为点C的对应点，点F为点B的对应点），连接．若，，求线段的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象，与一次函数的图象交于点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴上有一点，连接MP． （1）求点A，B的坐标及直线的函数解析式； （2）点E为直线上一点，且横坐标为a，过点E作x轴的垂线交于点F， ①求的面积S与a的关系式； ②当时，的面积等于的面积，求出点M的坐标． （3）若，以为边向下作正方形． ①用含m的式子分别表示点N，点G的坐标； ②连接，若落在四边形的内部（含边上），直接写出m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 庄河市2024—2025学年度第二学期 八年级数学期末试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间共120分钟） 注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1. 如果二次根式有意义，那么x应满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义即被开方数为非负数，由此计算即可． 【详解】解：如果二次根式有意义，那么， 解得， 故选：C． 2. 下列说法中，错误的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，菱形的性质与判定，熟练掌握这些性质定理是解答本题的关键． 根据平行四边形、矩形、菱形的性质及判定定理逐一分析选项即可． 【详解】解：A． 平行四边形的对角线互相平分，符合平行四边形性质，正确； B． 对角线相等的平行四边形是矩形，符合矩形判定定理，正确； C． 菱形的对角线互相垂直且平分，但长度不一定相等，只有正方形（特殊菱形）的对角线才相等，因此该说法错误； D． 对角线互相垂直平分的四边形是菱形，符合菱形判定定理，正确． 综上，错误说法是C． 故选：C． 3. 下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据用勾股定理的逆定理判断A、B，，根据三角形的内角和定理求出最大角的度数，即可判断选项C和选项D． 【详解】解：A.∵，设AB=3k，则BC=4k，AC=5k，∴AB2+BC2=25k2=AC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； B.∵，设AB=k，则BC=2k，AC=k，∴AB2+AC2=4k2=BC2，是直角三角形，故此选项不符合题意； C.∵∠A-∠B=∠C，∴∠A=∠C+∠B，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=90°，∴是直角三角形，故此选项不符合题意； D.∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=75°，不是直角三角形，故此选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 4. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据一次函数的增减性，求参数的范围，根据一次函数的性质，当一次项系数大于时，函数值随的增大而增大．题目中一次项系数为，因此需满足，解不等式即可． 【详解】由题意，函数的函数值随的增大而增大，说明其一次项系数必须大于． 即：， 解得：． 故选：B． 5. 如图，在平行四边形中，，，平分交于点，则的长是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义与等腰三角形的判定定理．注意当有平行线和角平分线出现时，会出现等腰三角形． 由四边形是平行四边形，可得，，，得，又由平分，可得，根据等角对等边，可得，所以求得，问题得解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ． 故选：B． 6. 下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳远运动员选拔赛成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（） 方差（） 根据表中数据，要从中选择一名成绩好又发挥稳定的运动员参加比赛，应该选（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平均数和方差的概念，平均数越大成绩越好，方差越小成绩越稳定，解题的关键是掌握平均数和方差的概念．选择成绩好且发挥稳定的运动员需同时考虑平均数和方差，平均数越大成绩越好，方差越小发挥越稳定． 【详解】解：甲平均数为，乙为，丙为，丁为．甲的平均数最高，成绩最好． 甲和乙的方差均为（最小），丙为，丁为，甲和乙发挥最稳定． 甲的平均数高于乙，且方差与乙相同，因此甲既成绩优异又发挥稳定． 综上，应选择甲， 故选：A． 7. 如图，一次函数与一次函数的图象交于点，则关于x的不等式：的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，正确数形结合是解题关键．直接利用图象得出不等式的解集． 【详解】解：如图所示： 一次函数与一次函数的图象交于点， 关于的不等式的解集是：． 故选：C． 8. 已知点及第一象限的动点，且，设的面积为，当时，则点P的坐标为( ) A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标；根据三角形面积公式及点在第一象限的条件求解，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：点、、构成的，以为底边，其长度为． 点到的垂直距离为，故面积公式为： 当时， 或 若，则，此时点为，在第一象限，符合条件 若，则，此时点为，在第四象限，不符合第一象限要求 选项C包含，但该点不在第一象限；选项B、D的坐标均含负数值，排除． 综上，唯一符合条件的点为，对应选项A． 故选：A． 9. 如图，分别以等腰直角的边，，为直径画半圆，若当时，则所得两个月形图案和的面积之和（图中阴影部分）为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理得到，进而得到半圆面积即可得到答案． 【详解】解：是直角三角形， ， 以等腰的边，，为直径画半圆， 故，，， ， 两个月形图案和的面积之和的面积， 等腰，的长为， ， ， ， 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，以点为圆心，以长为半径作弧，交于点，连接．若，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，过点作于点，先由勾股定理求出，证明和全等得，，进而得，由作图可知，根据得，继而得，设，，则，，，在和中，由勾股定理得出，进而求得，然后由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，过点作于点，过点作于点，如图所示： ， 四边形是矩形，且，， ，，，， 在中，由勾股定理得：， ， ， 在和中， ， ， ，， 由，得：， ， 由作图可知：， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， 设，， 则， ，， ， 在和中，由勾股定理得：， ， ， ， 即， ， 解得： ， 在中，由勾股定理得： 故选：A． 【点睛】此题主要考查了矩形的性质，尺规作图，理解矩形的性质，熟练掌握尺规作图，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用勾股定理构造方程组是解决问题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 计算的结果为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键． 根据二次根式的乘法法则运算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 12. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为92分、88分、90分，若依次按照的比例确定成绩，则小王的成绩是_____分． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键． 根据加权平均数的计算公式列出算式求解即可． 【详解】解：根据题意得：（分）． 故答案为：． 13. 已知一次函数，当时，y的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据一次函数的增减性可得y随x的增大而减小，求出时的函数值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 当时，， ∴当时，y最大值是． 故答案为： 14. 本市歇马杏上市时间约为每年六月份，果农将摘下的成熟歇马杏销往省外某地．某快递公司的收费标准为：不超过物品需付13元，以后每增加，需增加托运费1.5元．直接写出托运歇马杏的费用y（元）的函数关系式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一次函数关系．得到超过的歇马杏的托运费的表示方法是解决本题的关键．当时，托运费的费用超过的托运费用，把相关数值代入后整理即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 15. 如图，把直线向下平移m个单位，与直线的交点在第一象限，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标等知识点，掌握第一象限的点的横坐标大于0、纵坐标大于0是解题的关键． 解方程组可得直线与直线的交点坐标为，依据交点在第一象限，即可得出，再结合已知条件即可解答． 【详解】解：把直线向下平移m个单位，可得， 解方程组，解得：， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第一象限， ∴，解得：． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算． （1） （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，分式的化简求值，熟知二次根式和分式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘除，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 如图，在中，，，垂足分别为E，F，且．求证：是菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定，角平分线的性质定理，等腰三角形的判定等知识，根据平行四边形的性质和平行线的性质可得出，根据角平分线的性质得出，等量代换得出，根据等角对等边得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【详解】证：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形． 18. 有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送（水平距离）时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度． 【答案】5米 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理，根据题意，四边形是矩形，设，则，，在中，，，代入计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 设，则，， 在中，，， ∴， 解得， 答：绳索的长度米． 19. 水是生命之源，节约用水是每个公民应尽的义务．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某科技小组在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，并填写下表： 时间 0 5 10 15 20 … 水量 0 20 40 60 80 … 小组成员在直角坐标系中，根据表中各对数值描点，发现y与t满足我们学过的一次函数关系． （1）画出函数图象，并求出y与t之间的函数关系式； （2）请估算这种漏水状态下一天的漏水量． 【答案】（1）见解析， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了在坐标系内画函数图象、利用待定系数法求解函数的解析式、求解函数的函数值等知识点，熟悉利用待定系数法求解正比例函数解析式是解本题的关键． （1）先描点、连线即可画出函数图象；由点的分布可得是关于的正比例函数，再利用待定系数法求解函数的解析式即可； （2）把代入函数的解析式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将表格中的数据描点、连线作图如下： 设，将代入解析式得：，解得：， 所以函数关系式为． 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，． 答：这种漏水状态下一天的漏水量约为． 20. 工厂某车间需加工一批零件，甲组工人加工中因设备调试暂停一次，之后以原工作效率继续加工，因任务紧，乙组工人中途加入共同加工．设甲组加工时间t（时），甲组加工零件数为（个），乙组加工零件数为（个），函数图象如下： （1）直接写出a的值，______； （2）求与t的函数关系式及t的取值范围； （3）甲组加工多长时间时，甲、乙两组加工零件的总数为320个？ 【答案】（1）280 （2） （3）6小时 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，包括从函数图象中获取信息，一次函数解析式的求解，由图象上的点求解出甲和乙的工作效率并由待定系数法求解一次函数解析式是解决本题的关键． （1）先求解出调试前设备工作效率，再由调试后工作效率不变即可求解a的值； （2）根据乙的函数图象可知，是t的一次函数，设出一次函数解析式，将点和代入解析式即可求解； （3）先计算出乙的工作效率，设甲组加工时间为m小时，再根据甲乙合作零件的总数为320个列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：甲组调试前的工作效率为（个/时）， 因为调试后工作效率不变， ∴当时，个， ∴， 故答案为：280； 【小问2详解】 解：设， 将和代入解析式得： ，解得， ∴； 【小问3详解】 解：乙组的工作效率为（个/时）， 设甲组加工时间为m小时， ∵， 根据题意列方程，得：． 解得：． 答：甲组加工6小时，甲、乙两组加工零件总数为320个． 21. 某校为了解本校学生对《中华民族大团结》教材的学习情况，对七、八年级学生进行了知识竞赛（百分制），从中分别随机抽取了10名学生的竞赛成绩，整理、分析如下：在两个年级中各随机抽取了10名参与测试的学生的得分（单位：分）．并整理、描述和分析（成绩用x表示，所有学生测试成绩均大于80分，共分成四组：A．；B．；C．；D．），现在给出了部分信息如下： 信息一： 七年级10名学生的测试成绩是：83，86，87，89，90，94，94，98，99，100． 八年级10名学生的测试成绩在C组中的数据是：92，93，95，95． 信息二： 七、八年级抽取学生的测试成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 92 92 c 八年级 92 b 97 信息三： 八年级抽取学生测试成绩各组数据占比扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）直接写出a，c的值； （2）若该校七年级有600名学生，八年级有800名学生，估计该校七、八年级学生中此次测试成绩为“优秀”（为优秀）的总共有多少人？ 【答案】（1）， （2）860人 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图、中位数、众数以及样本估计总体，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）先求出组的人数，再用组的人数除以数据总数即可求出的值，根据众数的计算方法进行计算即可求出的值； （2）求出样本中七、八年级优秀人数所占的百分比，然后求出总人数即可． 【小问1详解】 解：八年级组的人数为： （人）， ∴八年级组的人数所占的百分比为： ， ∴； 七年级10名学生的测试成绩出现次数最多的是94，即众数； 【小问2详解】 解：（人） 答：该校七、八年级学生中此次测试成绩为“优秀”的约有860人． 22. 【问题提出】（1）如图1，在矩形中，点E为上一点，连接，将沿翻折得到，点F为点A的对应点．当点F落在边上时，延长，交于点H，连接． ①求证：四边形为菱形； 【特例研究】 ②若，，求菱形的面积． 【类比推广】 （2）在中，点E为边中点，连接，将沿翻折得到．（点H为点C的对应点）．延长交边于点F，若，，求线段的长． 【拓展提升】 （3）在菱形中，点E为边中点，连接，将四边形沿翻折得到四边形．（点H为点C的对应点，点F为点B的对应点），连接．若，，求线段的长． 【答案】（1）①见解析，② （2） （3） 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质得到，，根据折叠的性质得到，，根据平行线的性质得到，得到，求得，推出四边形为平行四边形，根据菱形的判定定理得到结论； ②根据矩形的性质得到，求得，得到，根据折叠的性质得到，求得，根据勾股定理得到，，求得，得到，于是得到结论； （2）（法一）延长，交于点，根据平行四边形的性质得到，，求得，推出△△，根据折叠的性质得到，，求得，于是得到；（法二）连接，根据平行四边形的性质得到，，求得，根据折叠的性质得到，得到，于是得到； （3）连接，延长交于点，分别过点，作，的垂线，交于点P，交的延长线于点Q，根据菱形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，推出四边形为矩形，得到，根据三角形中位线定理得到，求得，根据勾股定理得，，设，则，，得到，根据勾股定理即可得求解． 【详解】解：（1）①证明：∵ABCD是矩形， ∴，， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为菱形， ②∵ABCD是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理可得：， 解得，， ∴， ∴， ∴， 所以菱形的面积． （2）（法一）延长，交于点K ∵是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ （法二）连接， ∵是平行四边形 ∴，， ∴， ∵沿翻折得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， （3）连接，延长交于点O，分别过点A，D作，的垂线，交于点P，交的延长线于点Q， ∵是菱形， ∴， 又∵E为中点， ∴ ∵四边形沿翻折得到四边形． ∴， ∴， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵点F为点B的对应点， ∴，点O为BF中点， ∴，， 又∵， ∴， ∴四边形APFO为矩形， ∴ ∵E为AB中点，点O为BF中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 根据勾股定理得， 在中，， 解得， 设，则，， ， 在与中，， ， 解得， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，平行线的性质，三角形中位线定理，正确地周长辅助线是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象，与一次函数的图象交于点，且与x轴交于点A，与y轴交于点B．在y轴上有一点，连接MP． （1）求点A，B的坐标及直线的函数解析式； （2）点E为直线上一点，且横坐标为a，过点E作x轴的垂线交于点F， ①求的面积S与a的关系式； ②当时，面积等于的面积，求出点M的坐标． （3）若，以为边向下作正方形． ①用含m的式子分别表示点N，点G的坐标； ②连接，若落在四边形的内部（含边上），直接写出m的取值范围． 【答案】（1），， （2）①；②或 （3）①，；② 【解析】 【分析】（1）将代入，可求函数的解析式；再由一次函数上点的坐标特点求、即可； （2）①过点作交于点，过点作轴的垂线交于点，分别求出、点坐标，可得，，当时，，当时，，分别求出△的面积即可； ②过点作轴交轴于点，当时，由①可得，则，根据面积求出，再求点或； （3）①过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作轴交于点，可证明△△，从而求出，同理可证△△，求出； ②确定△在四边形内部的临界点：当点在直线上时，当点在直线上时，当点在轴上时，再求的范围即可． 【小问1详解】 解：将代入， ， 解得， ； 当时，， ， 当时，， ； 【小问2详解】 解：①过点作交于点， 点为直线上一点，且横坐标为， ， 过点作轴的垂线交于点， ， ， ， 当时，， ； 当时，， ， ； ②过点作轴交轴于点， 当时，由①可得， ， ， ， 解得， 或， 点或； 【小问3详解】 解：过点作轴交于点，过点作交的延长线于点，过点作轴交于点， 四边形为正方形， ，， 轴，轴， ， ，， ， ， ，， 由题意可知，， ，， ， 同理可证， ； ②当点在直线上时，， 解得， 当点在直线上时，， 解得； 当点在轴上时，， 解得； 时，落在四边形的内部（含边上）． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，正方形的性质，三角形全等的判定及性质，此题属一次函数与几何综合题目，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $