专题01 函数的概念与性质（题型清单）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

专题01 函数的概念与性质 题型1 求函数的定义域 1、求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2、求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； （3）若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量的取值集合． 1．（24-25高三上·北京·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题设， ∴，∴.故选：D 2．（24-25高三上·安徽六安·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意知道，解得，即.故选：D. 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数的定义域为， 所以 ，解得且 ， 所以函数的定义域是，故选：B 4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数的定义域为， 所以函数的定义域为， 则对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为.故选：D. 题型2 求函数的解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 5．（24-25高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 则， 因为，即， 则，解得，所以.故选：C. 6．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】令，则，且，则， 可得， 所以.故选：B. 7．（24-25高三上·四川内江·月考）若，则的解析式为 ． 【答案】 【解析】令，则，因为， 所以，故. 8．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 【答案】 【解析】由，① 将替换成，可得：，② 再将①中替换成：，可得：，③ ①②相减可得：，④ ③④相加可得：， 所以. 题型3 分段函数及其应用 分段函数求值问题的解题思路： （1）求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 9．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．e 【答案】B 【解析】因为函数， 所以， 所以.故选：B. 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】B 【解析】.故选：B 11．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为且，且，则， 则，所以，，即， 解得或（舍），故选：A. 12．（24-25高三下·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递增函数， 所以在区间上也为单调递增函数， 因为时，， 所以的解为， 当时，即有，， 因为，在区间上均为单调递减函数， 所以在区间上也为单调递减函数， 因为时，， 所以的解为， 综上，不等式的解集为.故选：D 题型4 确定函数的单调性(单调区间) 判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性． 13．（24-25高三上·广东普宁·一调）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，画出函数图象，如图所示： 根据图象知：函数的单调减区间为.故选：B. 14．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为.故选：B. 15．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为函数在上单调递减，在上单调递增，是减函数， 根据复合函数的单调性，可得的单调递减区间为．故选：D. 16．（24-25高三上·天津河北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（     ） A．是奇函数，递减区间是 B．是奇函数，递减区间是 C．是偶函数，递增区间是 D．是偶函数，递增区间是 【答案】B 【解析】的定义域为R，且， 所以函数为奇函数， 将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 在上单调递减.故选：B 题型5 已知函数单调性求参数范围 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 17．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，为单调递增函数，不符合题意， 当时，均为单调递增函数，故为单调递增函数，不符合题意， 当时，在单调递增，在单调递减， 故在上单调递减，则，故选：C 18．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可知，在上恒成立， 所以在上恒成立，即在上恒成立. 又由基本不等式可得，当且仅当时，取得等号，所以. 因为函数在上单调， 所以在上单调， 由复合函数单调性可知在上单调， 所以结合二次函数的性质可得：或，解得或. 综上所述，实数的取值范围为.故选：A. 19．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数， 且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是.故选：A. 20．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，， 在中，函数在上是增函数， 解得.故选：A 题型6 与函数最值(值域)有关的问题 求函数最值（值域）的方法 （1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法． 【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域． 21．（24-25高三上·山东济南·月考）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】令，则， 而函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值.故选：D 22．（25-26高三上·河北衡水·一调）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】设，. 所以当时，； 当时，； 当时，. 所以当时，的最小值为3，故选：C 23．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，，因为函数在上单调递增， 所以，此时； 当时，因为函数在上为减函数，在上为增函数， 故，即在上的值域为. 综上所述，函数的值域为.故选：A. 24．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【解析】当时，是单调减函数. ∴的值域为； 当时， 若，则，是单调增函数， 的值域为，不符合题意， 当时，令，得，令，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， , 由题意知，即，解得， 所以.故选：A. 题型7 判断函数的奇偶性 1、判断函数奇偶性的要点 （1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件； （2）若定义域关于原点对称，则判断与是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断(奇函数)或（偶函数)是否成立． 2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数， 偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数． 25．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是.故选：D 26．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 对于A，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故A错误； 对于B，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ，所以B正确； 对于C，，定义域不关于原点对称， 所以不是奇函数，故C错误； 对于D，所以，则， 令，定义域关于原点对称， ， 所以不是奇函数，所以D不正确；故选：B. 27．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A，函数是奇函数，在上单调递增，A是； 对于B，函数是偶函数，不是奇函数，B不是； 对于C，函数是偶函数，不是奇函数，C不是； 对于D，函数是偶函数，不是奇函数，D不是.故选：A 28．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】A：，且定义域为R，满足； B：，且定义域为， 在上，故在上，不符合； C：且定义域为R，不符合； D：且定义域为， 当时，，当且仅当时取等号，不符合.故选：A 题型8 函数奇偶性的应用 1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； 2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3、求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值． 29．（2025·湖北黄冈·三模）已知为奇函数，则实数的值是 ． 【答案】4 【解析】因为函数是奇函数， ， 即恒成立， 即恒成立， 所以恒成立， 整理得恒成立， ，解得或， 当时，函数定义域为， 定义域不关于原点对称，函数不是奇函数， 当时，， 由，可得或， ，满足是奇函数， 所以. 30．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 【答案】3 【解析】由题意有， 又，所以， 31．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由于函数是奇函数，函数为偶函数， 所以，，即，化简解得.故选：A. 32．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，∴. ∵是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， ∴，，∴， ∴，. ∴. 故选：D. 题型9 函数的周期性及应用 常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 33．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．6 D． 【答案】B 【解析】因是上的奇函数，则， 又由可得，则， 故，即4为函数的一个周期. 因当时，，则，， 又，，， ，，， 则， ， 则.故选：B. 34．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（    ） A． B．0 C．2 D．2025 【答案】A 【解析】因为为偶函数，所以①， 因为，所以，， 结合①有②， 因为为奇函数，所以，所以， 结合②有， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 同理，由，得， 因为，所以，即， 因为，所以， 则，则， 所以，所以，所以的周期为8， 所以， 由．得，所以．即， 所以．故选：A． 35．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】D 【解析】因为，所以， 所以. 由，得， 两式相加得，所以， 所以，所以是以6为周期的周期函数. 当时，， 又，所以，所以，所以； 当时，，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：D. 36．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【解析】由关于对称，有， 又为奇函数，则即， 且即， 所以关于点对称，且， 则，作差有， 为周期函数，且周期为4，因为，，则， 因为，，则，， 则，．故选：B． 题型10 函数的对称性及应用 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 37．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】A 【解析】因为，则为奇函数， 所以的图象关于原点对称， 函数的图象可由的图象先向左平移2个单位，再向上平移2个单位得到， 所以函数的图象关于点对称．故选：A 38．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数有意义，则，由的图象关于点对称， 得的定义域关于数2对称，由不在的定义域内，得不在的定义域内， 则，即，此时，， ， 因此函数的图象关于点对称，符合题意， 所以.故选：A 39．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 【答案】C 【解析】∵， ∴函数的图象由的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的. 根据反比例函数的性质可知在和上单调递减，又在上单调递增， 故在同一平面直角坐标系下画出函数与函数的图象如下图所示. 由图可知：函数与函数的图象共有两个交点， 不妨设两个交点的横坐标分别为，，则，是方程的解. 若是方程的解，即. 又，∴是方程的解， ∴，则.故选：C. 40．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【解析】由，得的图象关于对称， 函数，则，即的图象也关于对称， 因此函数与图象的交点关于对称， 不妨设关于点对称的坐标为，，则，， 则，，同理得：，， 即.故选：D 题型11 利用函数性质比较大小 比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 41．（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】定义在上的奇函数满足， 则的图象的对称轴是， 所以，则， 则，所以的周期是8， 所以， 因为在上单调递增， 所以.故选：D. 42．（24-25高三上·天津·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为函数是定义在上的偶函数， 所以， ， 又函数是在上单调递增， 所以，所以.故选：C. 43．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，定义域为，关于原点对称， 且，所以函数为奇函数， 所以， 又， 任取，且，则，则， 故在上单调递增， 又由对数函数的单调性可得， 所以，即.故选：D 44．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（    ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 【答案】A 【解析】因函数是R上的偶函数，则的图象关于直线对称， 因对任意且都有，即函数在单调递增. 因，， 由，可得， 又由对称性可得：， 故再由单调性，可得，即.故选：A. 题型12 利用函数性质解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 45．（24-25高三下·福建福州·模拟预测）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 因为时，单调递增， 又因为为偶函数，故可以做出的图像如图所示， 由图像可知，若，则或.故选：C 46．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，则函数在上为增函数，且， 由于函数为上的增函数，故函数在上为增函数，且， 当时，由，可得；由，可得； 当时，由，可得；由，可得. 接下来解不等式， 当时，即当时，则可得或，可得； 当时，即当时，则可得或，可得. 综上所述，不等式的解集为.故选：C. 47．（2025·河北邢台·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为函数是定义在上的奇函数且， 所以当时，，则； 当时，，则， 所以； 函数的图象可由函数的图象向左严移1个单位长度得到， 作出函数在上的图象，如图所示， 由图可知不等式在上的解集为．故选：A． 48．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得，设函数，， 则在上单调递增， 又因为为定义在上的奇函数，， 所以为偶函数，在上单调递减， 而不等式， 又因为，所以， 所以不等式的解集为.故选：B 题型13 函数性质的综合应用 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 49．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 【答案】BC 【解析】对于A，由题意，，且， 又，即①， 用替换中的，得②， 由①+②得，所以的图象关于点对称，故A错误； 对于B，由，可得，即， 所以， 所以是以8为周期的周期函数，故B正确； 对于C，由①可得，则， 所以，故C正确； 对于D，因为，为偶函数，所以， 令，则有， 令，则有， 令，则有， ， 令，则有， 所以 ，故D错误.故选：BC. 50．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 【答案】ABD 【解析】对于A，因为是上的偶函数，所以， 又因为，所以，即， 所以，所以， 所以函数是周期函数，为函数的最小正周期，故A正确； 对于B，因为，所以，所以函数关于点对称， 又因为函数为偶函数，所以函数关于点对称， 又因为函数的周期为，所以函数关于中心对称，故B正确； 对于C，因为，所以，即， 所以函数的图象关于对称，故C错误； 对于D，因为，所以，即， 所以为奇函数，且定义为，所以， 又因为，所以，所以， 即，所以是周期函数，为最小正周期， 所以，故D正确.故选：ABD. 51．（2025·山东·模拟预测）（多选）已知函数的图象关于原点对称，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，且为偶函数，故， 即，所以，即，得， 则的周期为4，故16也是的周期，故A正确； 对于B，作出在上的大致图象，如图所示，观察可知， 直线为图象的一条对称轴，所以，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，所以由周期性， ，故C正确； 对于D，当时， 当时，则，故， 此时，而，故，故； 当时，则，故， 此时，而， 故，故； 综上，时，故D正确.故选：ACD. 52．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】对于，因为为偶函数，所以， 即①，所以，所以关于对称， 则，故C正确； 对于，因为为偶函数，，， 所以关于对称，由①求导，和， 得， 所以，所以关于对称， 因为其定义域为，所以，结合关于对称， 从而周期，所以，，故B、D正确； 若函数满足题设条件，则函数（为常数）也满足题设条件， 所以无法确定的函数值，故A错误，故选：BCD． 题型14 抽象函数的性质及其应用 1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 53．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是减函数 【答案】B 【解析】对于A，，则， 令，则，故错误； 故，则， 对于B，令，则，则， 同理可得， 令，则，故正确； 对于CD，令，显然满足在，，， 得，令得， 显然当时，，此时单调递减，故C错误； 此时，显然在定义域上单调递增，故D错误. 故选：B. 54．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．方程无解 C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，由题意可得，故A正确； 对于B，假设存在使得，即方程有解， 则由题意可得， 则，令， 所以方程无解，故B正确； 对于CD，由题意可得， 所以， ， 所以， 所以， 所以当时， ， 时， ， 满足，所以对任意有， 所以， ，故C正确，D错误. 故选：ABC 55．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 【答案】ABC 【解析】对于A,根据题意令，则由 可得，解得，即A正确； 对于B,令可得，所以， 即可得对任意的满足，即是偶函数，所以B正确； 对于C,令，则由可得， 即满足，因此可得的图象关于点中心对称，即C正确； 对于D,由于是偶函数，所以满足，即， 可得，也即，所以是的一个周期，即D错误. 故选：ABC 56．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)为奇函数；(2)在上的单调递减，证明见解析；(3). 【解析】（1）结合题意：由函数的定义域为,且， 取，则，即， 取，则，所以， 所以为奇函数. （2）在R上的单调递减，证明如下： 任取，且，则， 令，则， 因为为奇函数，所以， 因为当时，，所以， 即，所以在上的单调递减. （3）由，得， 因为，所以， 因为在上的单调递减，所以， 即时，恒成立， 等价于对任意时，恒成立， 令，则， 所以，所以， 故实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 函数的概念与性质 题型1 求函数的定义域 1、求具体函数的定义域的策略 根据函数解析式，构造使解析式有意义的不等式（组），求解不等式（组）即可；对实际问题，既要使函数解析式有意义，又要使实际问题有意义． 2、求抽象函数的定义域的策略 （1）若已知函数的定义域为，则复合函数的定义域由不等式求出； （3）若已知函数的定义域为，则的定义域为在上的值域． 【注意】的形式如何，定义域均是指其中的自变量的取值集合． 1．（24-25高三上·北京·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽六安·月考）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·甘肃白银·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·河北承德·月考）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 题型2 求函数的解析式 1、待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数等），可用待定系数法． （1）确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；（3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决． 2、换元法：主要用于解决已知的解析式，求函数的解析式的问题． （1）先令，注意分析的取值范围；（2）反解出x，即用含的代数式表示x；（3）将中的x度替换为的表示，可求得的解析式，从而求得． 3、配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，然后以x替代g(x)，便得的解析式． 4、方程组法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式． 例如：若条件是关于与的条件（或者与）的条件，可把代为（或者把代为）得到第二个式子，与原式联立方程组，求出． 5．（24-25高三下·黑龙江牡丹江·开学考试）已知对任意的，都有，则一次函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·江西上饶·月考）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·四川内江·月考）若，则的解析式为 ． 8．（24-25高三上·辽宁·期末）已知函数满足，则 . 题型3 分段函数及其应用 分段函数求值问题的解题思路： （1）求函数值：当出现的形式时，应从内到外依次求值． （2）求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验． 9．（24-25高三下·浙江杭州·月考）已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．e 10．（24-25高一上·福建莆田·期末）设函数，则（    ） A． B． C．0 D．2 11．（24-25高三下·河北沧州·月考）已知且，定义在上的函数，若，则（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高三下·甘肃·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型4 确定函数的单调性(单调区间) 判断函数的单调性的四种方法 1、定义法：按照取值、取值变形、定号、下结论的步骤判断或证明函数在区间上的单调性； 2、图象法：对于熟悉的基本初等函数（或由基本初等函数构成的分段函数），可以通过利用图象来判断单调性； 3、导数法：利用求导的方法（如有ex，lnx的超越函数）判断函数的单调性； 4、复合法：针对一些简单的复合函数，可以利用符合函数的单调性法则（同增异减）来确定单调性． 13．（24-25高三上·广东普宁·一调）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 14．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高一上·甘肃白银·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 16．（24-25高三上·天津河北·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．是奇函数，递减区间是 B．是奇函数，递减区间是 C．是偶函数，递增区间是 D．是偶函数，递增区间是 题型5 已知函数单调性求参数范围 利用单调性求参数的三种情况： 1、直接利用题意条件和单调性代入求参； 2、分段函数求参，每段单调性都符合题意，相邻两段自变量临界点的函数值取到等号； 3、复合函数求参，注意要满足定义域要求，通过分离常数法或构造函数法转化成恒成立或有解问题． 17．（2025·山西·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2025·河北·模拟预测）已知函数在上单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高三上·福建漳州·月考）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高三上·江苏南通·开学考试）已知函数是上的增函数，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型6 与函数最值(值域)有关的问题 求函数最值（值域）的方法 （1）单调性法；（2）图象法；（3）基本不等式法． 【注意】对于较复杂的函数，可通过换元、分离常数法等进行转化，对于无法变形化简的函数，则常利用导数法判断函数的单调性，从而求出其值域． 21．（24-25高三上·山东济南·月考）已知，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D． 22．（25-26高三上·河北衡水·一调）已知，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 23．（2025·云南昆明·模拟预测）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 24．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数的值域为，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D． 题型7 判断函数的奇偶性 1、判断函数奇偶性的要点 （1）函数定义域关于原点对称是函数有奇偶性的前提条件； （2）若定义域关于原点对称，则判断与是否具有等量关系，具体运算中，可转化为判断(奇函数)或（偶函数)是否成立． 2、在公共定义域内：奇函数±奇函数=奇函数，偶函数±偶函数=偶函数，奇函数×奇函数=偶函数， 偶函数×偶函数=偶函数，奇函数×偶函数=奇函数． 25．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（    ） A． B． C． D． 26．（2025·山东济宁·模拟预测）已知函数，则下列是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 27．（2025·广东·三模）下列函数中，既是奇函数又在单调递增的是（    ） A． B． C． D． 28．（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（    ） A． B． C． D． 题型8 函数奇偶性的应用 1、求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解； 2、求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出； 3、求参数：利用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程（组），进而求出参数的值． 29．（2025·湖北黄冈·三模）已知为奇函数，则实数的值是 ． 30．（2025·山东济南·三模）已知函数，则 ． 31．（2025·江苏连云港·模拟预测）设是定义在上的函数，若是奇函数，是偶函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 32．（2025·广东广州·三模）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（    ） A．1 B． C． D． 题型9 函数的周期性及应用 常见求周期的技巧：（是不为0的常数） （1）若，则； （2）若，则； （3）若，则； （4）若，则； （5）若，则； （6）若，则（） 33．（2025·陕西延安·模拟预测）定义在上的奇函数满足，当时，，则（    ） A． B． C．6 D． 34．（24-25高三下·甘肃白银·月考）已知函数，的定义域均为R，为偶函数，为奇函数，，，则（    ） A． B．0 C．2 D．2025 35．（2025·甘肃白银·三模）已知对于，，，，且，则（    ） A． B． C．1 D．0 36．（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知为奇函数，且，则（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 题型10 函数的对称性及应用 1、关于线对称：若函数满足，则函数关于直线对称，特别地，当a＝b＝0时，函数关于y轴对称，此时函数是偶函数． 2、关于点对称：若函数满足，则函数关于点(a，b)对称，特别地，当a＝0，b＝0时，，则函数关于原点对称，此时函数是奇函数． 37．（2025·四川·三模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 38．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）若函数的图象关于对称，且，则实数（    ） A． B． C． D． 39．（2025·山东·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为（    ） A． B．ln2 C．0 D．1 40．（2025·江苏苏州·三模）已知函数，定义域为R的函数满足，若函数与的图象有四个交点，分别为，，，，则（    ） A．0 B．4 C．8 D．12 题型11 利用函数性质比较大小 比较函数值的大小：先将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． 41．（24-25高三上·江苏南通·期末）定义在R上的奇函数满足，且在上单调递增.设，，，则（    ） A． B． C． D． 42．（24-25高三上·天津·月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 43．（2025·天津武清·模拟预测）已知定义在R上的函数，，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 44．（2025·重庆·三模）已知函数是R上的偶函数，对任意且都有，若则的大小关系是（    ） A．b<a<c B．a<b<c C．c<b<a D．b<c<a 题型12 利用函数性质解不等式 解决此类问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成或的形式，再根据奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反，列出不等式（组），同时不能漏掉函数自身定义域对参数的影响． 45．（24-25高三下·福建福州·模拟预测）设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 46．（2025·海南·模拟预测）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 47．（2025·河北邢台·二模）已知函数是定义在上的奇函数，且. 则不等式在上的解集为（    ） A． B． C． D． 48．（2025·河北石家庄·三模）已知是定义在上的奇函数，当、且时，都有成立，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型13 函数性质的综合应用 函数的奇偶性、对称性、周期性和单调性是函数的四大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性、对称性和周期性来确定另一个区间的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 49．（2025·福建福州·一模）（多选）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，则（    ） A．的图象关于点对称 B．是以8为周期的周期函数 C． D． 50．（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在上的可导函数是偶函数，且满足，则下列结论一定正确的是（    ） A．是的一个周期 B．的图象关于点中心对称 C．的图象关于对称 D． 51．（2025·山东·模拟预测）（多选）已知函数的图象关于原点对称，且为偶函数，当时，，则（    ） A． B． C．在上单调递减 D．当时， 52．（2025·云南昭通·模拟预测）（多选）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 题型14 抽象函数的性质及其应用 1、抽象函数求值：以抽象函数为载体的求值问题的常见形式，是给出函数满足的特殊条件，指定求出某处的函数值或某抽象代数式的值．常用赋值法来解决，要从以下方面考虑：令等特殊值求抽象函数的函数值． 2、判断抽象函数单调性的方法： （1）凑：凑定义或凑已知，利用定义或已知条件得出结论； （2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系．有时可能要进行多次尝试． ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或； ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为： 或． 53．（24-25高三上·江苏徐州·期中）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B． C．是增函数 D．是减函数 54．（2025·福建泉州·模拟预测）（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A． B．方程无解 C． D． 55．（24-25高三上·福建漳州·月考）（多选）已知定义在上的函数不恒等于，且对任意的，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 56．（24-25高三上·山东德州·月考）已知函数对任意实数恒有，且当时，，又． (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并证明你的结论； (3)当时，恒成立，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$