精品解析：江苏省常州市天宁区朝阳中学等学校2024--2025学年九年级下学期月考数学试卷（4月份）

2025年江苏省常州市天宁区朝阳中学等学校 九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（　　　）． A. B. C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 5. 为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（　　） A. a＞b B. |a|＞|b| C. ﹣a＜b D. a+b＜0 7. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了、两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（ ） A. 消耗1升汽油，车最多可行驶5千米 B. 车以40千米小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油 C. 对于车而言，行驶速度越快越省油 D. 某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车更省油 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 计算：=___． 10. 分解因式：x2－9＝______． 11. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为__________ 12. 计算： =______________． 13. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 15. 扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______． 16. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____． 17. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则=___________． 18. 如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是______． 三、解答题：本题共10小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）化简：． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 21. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位；小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析． （1）下列抽取方法具有代表性的是__________． A. 随机抽取一个班的学生 B. 从12个班中，随机抽取50名学生 C. 随机抽取50名男生 D. 随机抽取50名女生 （2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2 ①这组数据的众数是__________，中位数是__________； ②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少． 22. 随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付． （1）小张选择微信支付的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 23. 某公司销售一种商品，成本为每件40元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 70 80 90 … 每天销售数量/件 … 30 20 10 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式______； （2）设该公司销售这种商品每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 24. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接，求的面积． 25. 中国迎来智慧农田时代，某地使用无人机给稻田喷洒农药，当无人机飞行到C处时，操控者在A处测得无人机的仰角为，无人机沿正东方向以的速度飞行到A的正上方D处，然后以相同的速度向正东方向飞行到E处，操控者在B处测得无人机的仰角是，已知B在A的正东方向处． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求无人机从点D飞行到点E需要多长时间？（结果保留根号）． 26. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，三个顶点的坐标分别是、、． （1）的外接圆半径是______； （2）请在第四象限的空白处画一个格点，使，且相似比为； （3）作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的； （4）绕点M顺时针旋转后可与重合，则点M的坐标是______． 27. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式． （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，4），若在⊙O上存在一点N，使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 28. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年江苏省常州市天宁区朝阳中学等学校 九年级（下）月考数学试卷（4月份） 一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 2025的相反数是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，熟知相反数的概念是关键； 根据相反数的定义，数值相同但符号相反的两个数互为相反数即可得到答案. 【详解】解：相反数的定义为：一个数的相反数是在其前面添加负号所得的数； 2025是正数，其相反数为；选项中B符合相反数的定义； A是原数，C和D分别为倒数和负倒数，均不符合题意； 故选B. 2. 如果二次根式有意义，那么的取值范围是（　　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，解题关键是理解二次根式有意义的条件：被开方数非负．根据二次根式有意义的条件可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，二次根式有意义， 则有，解得． 故选：A． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】需分别根据合并同类项、幂的乘方、同底数幂乘法、同底数幂除法的法则计算各选项，选出结果为的选项． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，运算结果不是，A错误； 选项B：根据幂的乘方法则，，结果不是，B错误； 选项C：根据同底数幂乘法法则，，结果为，C正确； 选项D：根据同底数幂除法法则，，结果不是，D错误； 故选：C． 4. 方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，可以判断该方程根的情况，从而可以解答本题． 【详解】解：∵ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 【点睛】本题考查根的判别式，解答本题的关键是明确题意，会用根的判别式判断根的情况． 5. 为丰富学生课余活动，某校用5000元购买了某品牌篮球y个，该品牌篮球的单价是x元/个，则y与x的函数关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列函数表达式，根据总价等于单价乘以数量，列出函数关系式即可． 【详解】解：依题意得， 即：． 故选：B． 6. 如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（　　） A. a＞b B. |a|＞|b| C. ﹣a＜b D. a+b＜0 【答案】C 【解析】 【分析】根据数轴确定出a、b的正负情况以及绝对值的大小，然后对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】根据数轴，a＜0，b＞0，且|a|＜|b|， A、应为a＜b，故本选项错误； B、应为|a|＜|b|，故本选项错误； C、∵a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，∴a+b＞0，∴﹣a＜b正确，故本选项正确； D、应该是a+b＞0，故本选项错误． 故选C． 7. 关于x的二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象与y轴的交点坐标为 C. 图象的顶点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据二次函数的开口方向、与y轴的交点坐标、顶点坐标及增减性逐一判断即可求解，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：A、图象的开口向下，则错误，故不符合题意； B、当时，，则图象与y轴的交点坐标为，则错误，故不符合题意； C、图象的顶点坐标是，则错误，故不符合题意； D、图象的对称轴为：，当时，y随x的增大而减小，则正确，故符合题意； 故选：D． 8. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油最多可行驶的公里数．如图描述了、两辆汽车在不同速度下的燃油效率情况．根据图中信息，下面4个推断中，合理的是（ ） A. 消耗1升汽油，车最多可行驶5千米 B. 车以40千米小时的速度行驶1小时，最少消耗4升汽油 C. 对于车而言，行驶速度越快越省油 D. 某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车更省油 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和函数图象可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、由图象可知，当车速度超过时，燃油效率大于，所以当速度超过时，消耗1升汽油，车行驶距离大于5千米，故此项不合理，不符合题意； B、车以40千米小时的速度行驶1小时，路程为，，最少消耗4升汽油，此项合理，符合题意； C、对于车而言，行驶速度在时，越快越省油，故此项不合理，不符合题意； D、某城市机动车最高限速80千米小时，相同条件下，在该市驾驶车比驾驶车燃油效率更高，所以更省油，故此项不合理，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查函数的图象，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分． 9. 计算：=___． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据立方根的定义，求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的立方根． 【详解】∵（－2）3=－8， ∴， 故答案为：-2 10. 分解因式：x2－9＝______． 【答案】(x＋3)(x－3) 【解析】 【详解】解：x2-9=（x+3）（x-3）， 故答案为：（x+3）（x-3）. 11. 我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为__________ 【答案】 【解析】 【分析】该题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时小数点移动的位数． 【详解】解：将21500000用科学记数法表示为， 故答案为：． 12. 计算： =______________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题主要考查分式的加减运算，熟练掌握分式运算法则是关键， 根据同分母分式加减法法则计算，并把结果化成最简形式即可． 【详解】解： ， ， 故答案为：1． 13. 某反比例函数具有下列性质：当时，y随x的增大而减小，写出一个满足条件的k的值是__________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，反比例函数的图象是双曲线，当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，当，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．直接根据反比例函数的性质写出符合条件的值即可． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴ 故答案为：1（答案不唯一）． 14. 如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在图中阴影区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出指针指向阴影区域的概率． 本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A），然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：∵转盘被分成八个面积相等的三角形，其中阴影部分占3份， ∴指针落在阴影区域的概率为， 故答案为：． 15. 扎染是一种民间传统染色工艺，如图，这是使用扎染工艺制作的手帕图案，将该图案放在如图所示的平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则点B的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的知识点是关于原点对称的点的坐标、坐标确定位置，解题关键是熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征． 关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得答案． 【详解】解：点与点关于原点对称， 点的坐标为 ． 故答案为：． 16. 一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得，，则圆形镜面的直径为_____． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和勾股定理等知识点．连接，根据，得出是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出即可． 【详解】解：连接， ∵，且是圆周角， ∴是圆形镜面的直径， 由勾股定理得：， 所以圆形镜面的直径为， 故答案为：13． 17. 如图，在矩形中，，将矩形沿折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则=___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了矩形与折叠的性质，勾股定理，锐角三角函数，充分利用勾股定理求出线段是解本题的关键．先利用勾股定理求出，进而利用勾股定理建立方程求出，即可求出，最后用三角函数即可得出结论． 【详解】解：由折叠知，，，， ， 在△中，， 设，则， ，， 在△中， 根据勾股定理得， ， ， ， ， 故答案为：． 18. 如图，衣夹简化的示意图中夹臂可分别绕点M，N旋转，此时夹嘴闭合（即C，D两点重合），．当夹子完全张开时（即A，B两点重合），能夹衣物的最大厚度是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，掌握两边对应成比例，其夹角相等的两个三角形相似是解题的关键．连接，先利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似证明，然后利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴能夹衣物的最大厚度是， 故答案为：． 三、解答题：本题共10小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】； 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂计算后再算加减即可； （2）利用完全平方公式，单项式乘多项式法则展开后再合并同类项即可． 本题考查了二次根式的性质，零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式，单项式乘多项式，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：（1） ； （2） ． 20. 解不等式组，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】； 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，然后求出不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：原不等式组为， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∴原不等式组的解集为 ， 将不等式组的解集表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键． 21. 某学校九年级有12个班，每班50名学生，为了调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间，并规定如下：设每个学生平均每天的睡眠时间为t（单位；小时），将收集到的学生平均每天睡眠时间按、、分为三类进行分析． （1）下列抽取方法具有代表性的是__________． A. 随机抽取一个班的学生 B. 从12个班中，随机抽取50名学生 C. 随机抽取50名男生 D. 随机抽取50名女生 （2）由上述具有代表性的抽取方法抽取50名学生，平均每天的睡眠时间数据如表： 睡眠时间（小时） 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 人数（人） 1 1 2 10 15 9 10 2 ①这组数据的众数是__________，中位数是__________； ②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数大约为多少． 【答案】（1）B （2）①7小时，7小时②估计九年级学生平均每天睡眠时间的人数为144人． 【解析】 【分析】（1）根据抽样的广泛性和代表性逐项进行判断即可； （2）①根据中位数，众数的定义即可求解； ② 根据九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数所占比例即可求解． 【小问1详解】 解：应12个班中，随机抽取50名学生调查该校九年级学生平均每天的睡眠时间, 故选B. 【小问2详解】 解：①众数是7，中位数是7. 故答案为：7小时，7小时； ②12×50×=144（人） 故该校九年级学生平均每天睡眠时间t≥8的人数大约为144人． 【点睛】本题考查抽样调查，统计表的有关知识，中位数、众数，解题的关键是仔细地审题，从图中找到解题的信息． 22. 随着互联网经济的发展，人们的购物模式发生了改变，不带现金也能完成支付，比如使用微信、支付宝、银行卡等．在一次购物中小张和小王从微信（记为A）、支付宝（记为B）、银行卡（记为C）三种支付方式中随机选择一种方式进行支付． （1）小张选择微信支付的概率是 ； （2）请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【答案】（1）；（2）两人恰好选择同一种支付方式的概率为 【解析】 【分析】（1）根据概率公式可直接进行求解； （2）利用列树状图可直接进行求解概率． 【详解】解：（1）由题意得： 小张选择微信支付的概率是； 故答案为； （2）解：根据题意画树状图如下： ∵由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式（记做事件A）有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键． 23. 某公司销售一种商品，成本为每件40元，经过市场调查发现，该商品的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 销售单价/元 … 70 80 90 … 每天销售数量/件 … 30 20 10 … （1）直接写出y与x之间的函数关系式______； （2）设该公司销售这种商品每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为70元时，每天获利最大，最大利润是900元 【解析】 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润=单个利润×总数量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【小问1详解】 解：设， 把，代入中得： ， 解得：， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵，， ∴， ∴当时，最大元， ∴当销售单价为70元时，每天获利最大，最大利润是900元． 24. 如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于点，，与反比例函数（）的图象交于点，． （1）分别求出两个函数的解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1），；（2）3 【解析】 【分析】（1）将点C、D的横、纵坐标代入反比例函数的解析式，求得m、n的值，从而点D纵坐标已知，将点C、D的横、纵坐标代入一次函数的解析式，求得k、b的值，从而两个函数解析式可求； （2）求出点B的坐标，可知OB的长，利用三角形的面积公式可求三角形BOD的面积． 【详解】解：（1）∵双曲线（m>0）过点C（1，2）和D（2，n）， ∴，解得，． ∴反比例函数的解析式为． ∵直线过点C（1，2）和D（2，1）， ∴，解得，． ∴一次函数的解析式为． （2）当x=0时，y1=3，即B（0，3）． ∴． 如图所示，过点D作DE⊥y轴于点E． ∵D（2，1）， ∴DE=2． ∴ 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、二元一次方程组、三角形的面积等知识点，熟知解析式、点坐标、线段长三者的相互转化是解题的关键． 25. 中国迎来智慧农田时代，某地使用无人机给稻田喷洒农药，当无人机飞行到C处时，操控者在A处测得无人机的仰角为，无人机沿正东方向以的速度飞行到A的正上方D处，然后以相同的速度向正东方向飞行到E处，操控者在B处测得无人机的仰角是，已知B在A的正东方向处． （1）求无人机的高度（结果保留根号）； （2）求无人机从点D飞行到点E需要多长时间？（结果保留根号）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先可求得的长，再根据解直角三角形，即可求解； （2）过点B作，垂足为点F，可证得四边形是矩形，可得， ，再根据等腰三角形的判定，即可求得，据此即可求解． 【小问1详解】 解：由题可知：，， 在中，， 答：无人机的高度为； 【小问2详解】 解：如图：过点B作，垂足为点F， 由题可知：，， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，，， ， ， ， ， 答：无人机从点D飞行到点E需要． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定，二次根式的运算，熟练掌握和运用解直角三角形的方法是解决本题的关键． 26. 如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长为1，顶点都在网格线交点处的三角形叫作格点三角形，三个顶点的坐标分别是、、． （1）的外接圆半径是______； （2）请在第四象限的空白处画一个格点，使，且相似比为； （3）作出绕点A逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的； （4）绕点M顺时针旋转后可与重合，则点M的坐标是______． 【答案】（1） （2）如图，即为所求． （3）如图，和即为所求． （4） 【解析】 【分析】（1）分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点为的外接圆圆心，再利用勾股定理计算即可． （2）在第四象限画格点，使，，即可． （3）根据旋转的性质、中心对称的性质作图即可． （4）分别作线段，的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求，即可得出答案． 【小问1详解】 解：分别作线段的垂直平分线，相交于点， 则点为的外接圆圆心， 由勾股定理得，， ∴的外接圆半径是． 故答案为：． 【小问2详解】 由勾股定理得，，， ∵，且相似比为，， ∴，，． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 分别作线段，的垂直平分线，相交于点M，则点M即为所求， ∴点M的坐标是． 故答案为：． 27. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，如图为点P，Q的“相关矩形”示意图． （1）已知点A的坐标为（1，0）， ①若点B的坐标为（4，1），求点A，B的“相关矩形”的面积； ②点C在直线x＝4上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式． （2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，4），若在⊙O上存在一点N，使得点MN的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围． 【答案】（1）①3；②y=-x+1或y=x-1；（2）2≤m≤6或-6≤m≤-2 【解析】 【分析】（1）①由相关矩形的定义可知：要求A与B的相关矩形面积，则AB必为对角线，利用A、B两点的坐标即可求出该矩形的底与高的长度，进而可求出该矩形的面积；②由定义可知，AC必为正方形的对角线，所以AC与x轴的夹角必为45°，设直线AC的解析式为；y=kx+b，解方程组即可得到结论； （2）由定义可知，MN必为相关矩形的对角线，若该相关矩形的为正方形，即直线MN与x轴的夹角为45°，由因为点N在圆O上，所以该直线MN与圆O一定要有交点，由此可以求出m的范围． 【详解】解：（1）①∵点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（4，1），如图， 由定义可知：点A，B的“相关矩形”的底与高分别为3和1， ∴点A，B的“相关矩形”的面积为3×1=3； ②由定义可知：AC是点A，C的“相关矩形”的对角线， 又∵点A，C的“相关矩形”为正方形， ∴直线AC与x轴的夹角为45°， ∴C（4，3）或（4，-3）， 当点C在x轴上方时，设直线AC的解析为：y=kx+b， 把A，C坐标分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析为：y=x-1， 当点C在x轴下方时，直线AC的解析为：y=kx+b， 把A，C坐标分别代入得， 解得， ∴直线AC的解析为：y=-x+1，， 综上所述，若点A，C的“衍生矩形”为正方形，直线AC的表达式为y=-x+1或y=x-1； （2）设直线MN的解析式为y=kx+b， ∵点M，N的“相关矩形”为正方形， ∴由定义可知：直线MN与x轴的夹角为45°， ∴k=±1， ∵点N在⊙O上， ∴当直线MN与⊙O有交点时，点M，N的“衍生矩形”为正方形， 当k=1时， 作⊙O的切线AD和BC，且与直线MN平行， 其中A、C为⊙O的切点，直线AD与y轴交于点D，直线BC与y轴交于点B， 连接OA，OC， 把M（m，4）代入y=x+b， ∴b=4-m， ∴直线MN的解析式为：y=x+4-m ∵∠ADO=45°，∠OAD=90°， ∴OD=OA=2， ∴D（0，2）， 同理可得：B（0，-2）， ∴令x=0代入y=x+4-m， ∴y=4-m， ∴-2≤4-m≤2， ∴2≤m≤6， 当k=-1时，把M（m，4）代入y=-x+b， ∴b=4+m， ∴直线MN的解析式为：y=-x+4+m， 同理可得：-2≤4+m≤2， ∴-6≤m≤-2； 综上所述，当点M，N的“相关矩形”为正方形时，m的取值范围是：2≤m≤6或-6≤m≤-2 【点睛】本题考查新定义问题，涉及圆的切线性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解相关矩形的定义，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将新旧知识贯穿起来． 28. 如图，平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点、点，与轴相交于点，连接、． （1）求：，的值； （2）当时，函数的最小值是2，求出的值； （3）在抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1），2 （2） （3）存在，点或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的综合运用，涉及待定系数法求表达式，二次函数的性质，二次函数与角度问题等．第（3）问关键是构造三角全等． （1）由题意得：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出点，点，抛物线的对称轴为直线，再根据二次函数的性质解答即可； （3）先求出，分点在左侧时，点在右侧时，两种情况讨论，利用三角形全等的性质解答即可． 【小问1详解】 解：由题意得：， 则，则， 抛物线的解析式为：， 则； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，， 点， 当时，， 点． 由抛物线的表达式知，其对称轴为直线， 当时，函数的最小值是2，即时，函数取得最小值， 则，则（舍去）， ∴的值为； 【小问3详解】 解：存在点，理由如下： ∵，， ∴， ， ①当点在左侧时，如图，在轴上取点，延长交抛物线于点， 在和中， ，，， ， ， ， 设直线的解析式为， 由点、的坐标得，直线的解析式为， 联立上式和抛物线的表达式得：， 则（舍去）或，故点； ②当点在右侧时，如上图，作关于的对称，交二次函数于点， 则，，， ， ， 四边形是正方形， ， 令中，，则， 解得或， ，， ，， ， ， ， 在点抛物线上，即点满足条件， 故存在满足条件的点有两个，分别为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $