专题2.5 可化为一元一次方程的分式方程（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题2.5 可化为一元一次方程的分式方程 教学目标 1. 理解分式方程的概念，能准确判断分式方程，明晰其与整式方程的区别。 2. 熟练掌握解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤，包括去分母、解整式方程、验根 。 3. 体会“转化”思想，能将分式方程转化为整式方程求解，提升数学思维和运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握去分母化为整式方程，再求解整式方程的步骤。 （2）理解分式方程验根的必要性，熟练掌握验根方法，即把解代入最简公分母判断是否为零 。 2.难点 （1）理解解分式方程时产生增根的原因，明白去分母过程中，整式可能为零导致同解性改变。 （2）能准确找出实际问题中的等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题 。 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 【即学即练1】 1．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程得定义，分母中含有未知数的有理方程是分式方程，据此进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故选项不符合题意； B．不是方程，故选项不符合题意； C．是分式方程，故选项符合题意； D．是一元一次方程，故选项不符合题意． 故选：C． 2．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的定义，分母中含有未知数的方程即为分式方程．逐一分析各方程分母是否含未知数即可判断． 【详解】解：方程①：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 方程②：，无分母，为整式二次方程，不是分式方程． 方程③：，分母为常数3和2，不含未知数，属于整式方程，不是分式方程． 方程④：，分母为和，均含未知数，故为分式方程． 综上，分式方程为①和④， 故选：D． 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 【即学即练2】 7．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）去分母转化为整式方程求解并检验； （2）去分母转化为整式方程求解并检验． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 8．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的解； （2）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 把代入得：， ∴是原方程的增根，原方程无解． 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根． 【即学即练3】 1．（24-25八年级下·上海·期中）若关于x的方程有增根，则值为 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，分式方程的增根是整式方程的解但是使分式方程分母为，熟记增根特点是解题的关键． 先把分式方程去分母化成整式方程，再代入增根即可． 【详解】解：， ， ， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 解得：， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知分式方程无解，那么常数 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的无解问题．根据题意分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0，故此可以得到本题答案． 【详解】解：， 去分母得：， ∵当时，分母为0，方程无解， ∴， 解得． 故答案为：． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是 ． 【答案】且． 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法．利用解分式方程的一般步骤解出方程，根据题意列出不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 方程两边同乘得，， 解得：， 且， 且， 的取值范围是且． 故答案为：且． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程；④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）；⑥答． 【即学即练4】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工厂原计划用一定的时间生产某种零件4000个．现由于进行了技术改造，每天比原计划增产了，结果提前10天完成任务．原计划日产多少个零件？ 【答案】原计划日产80个零件 【知识点】分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键． 设原计划日产x个零件，根据现由于进行了技术改造，每天比原计划增产了，结果提前10天完成任务．列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设原计划日产x个零件， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划日产80个零件． 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． (1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； (2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 【答案】(1)120千克，100千克 (2)480千克 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程的工程问题 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设B组每小时搬运x千克冰冻原料，根据A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等列方程求解即可； （2）设A组搬运m千克原料，根据不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设B组每小时搬运x千克冰冻原料，则A组每小时搬运千克冰冻原料， 根据题意，得 解得，   经检验是原方程的解． ． 答：A组每小时搬运120千克原料，B组每小时搬运100千克原料． （2）解：设A组搬运m千克原料． 根据题意，得 解得． 答：A组至少搬运480千克原料． 题型01 分式方程的概念 【典例1】下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的识别．根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断． 【详解】解：A、B、C项分母中都含未知数，是分式方程， D项中的方程分母中不含未知数，故不是分式方程． 故选：D． 【变式1】在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】直接根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程进行判断即可得到答案． 【详解】解：①，是分式，不是分式方程，故①错误，不符合题意； ②是关于的分式方程，故②错误，不符合题意； ③，是一元一次方程，不是分式方程，故③错误，不符合题意； ④，是关于的分式方程，故④正确，符合题意； 关于的分式方程的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握分母中含有未知数的方程叫做分式方程是解题的关键． 【变式2】下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】 解：①分母中含有未知数，故是分式方程； ②分母中不含有未知数，故是整式方程； ③分母中含有未知数，故是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式3】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】解：①分母中不含有未知数，是整式方程； ②分母中含有未知数，故是分式方程； ③不是等式，故不是方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． ⑤分母中不含有未知数，故不是分式方程； ⑥分母中不含有未知数，故不是分式方程； 综上所述：分式方程有②④，共2个， 故选：B． 【点睛】本题考查了分式方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键． 题型02 解分式方程 【典例2】解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程． （1）将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得． （2）将分式方程化成整式方程，再解一元一次方程，然后将所求的方程的解代入分式方程进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得： 整理得：， 解得：， 检验：当时， ∴是分式方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解是． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)是原方程的解 (2)原方程无解 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得； （2）先化为整式方程，再解一元一次方程，然后对所求的方程的解进行检验即可得． 【详解】（1）解： 去分母得， 解得    检验：将代入 ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴是原方程的增根 ∴原方程无解． 【变式2】解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查解分式方程，将分式方程化为整式方程是解题的关键，注意验根． （1）方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可； （2）方程两边同乘，变成整式方程，解整式方程，再检验即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解． （2）方程两边同乘，得 ， 解得， 检验：当时，， ∴不是原方程的解． 即原方程无解． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解． 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， 即分式方程无解． 题型03 解分式方程错解复原问题 【典例3】对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1)一 (2)，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）第一步去分母时方程右边的1没有乘以公分母，据此可得答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第一步开始出现错误，错误原因是去分母时方程右边的1没有乘以公分母； （2）解： 方程两边同乘，得， ∴， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 【变式1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【答案】(1)一，去分母时3没有乘最简公分母； (2)正确过程见解析； (3)去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【分析】此题考查了解分式方程，分式方程的增根，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）观察小亮解分式方程的过程，找出出错的步骤，分析错误原因即可； （2）写出正确的解方程过程即可； （3）分析解分式方程产生增根的原因即可． 【详解】（1）解：小亮同学的求解过程从第一步开始出现错误，错误的原因是去分母时3没有乘最简公分母； 故答案为：一，去分母时3没有乘最简公分母； （2）解：去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是增根，分式方程无解； （3）解：解分式方程产生增根的原因是去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 故答案为：去分母时，在分式方程两边同乘最简公分母，将其转化为整式方程，若该整式方程的解恰好使最简公分母为零，就产生增根． 【变式2】佳佳计算分式方程的过程如下： 解方程： 去分母，得             第①步 移项，得              第②步 合并同类项，得              第③步 系数化1，得                     第④步 经检验，是该分式方程的解． (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）观察式子特征，第一次出现错误的步骤是①，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解出，验根，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，第一次出现错误的步骤是①， 则正确的是：去分母得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 经检验，是该分式方程的解． 【变式3】解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 【答案】（1）二，等式的性质2；（2）三，去括号时忘记变号；（3）；（4）见解析 【分析】本题考查解分式方程．根据题意逐一对步骤进行分析，并解出最后答案即可． 【详解】解：（1）第二步是是去分母，去分母的依据是等式的性质2，即等式两边同时乘以相同的数，等式大小不变， 故答案为：二，等式的性质2； （2）第三步出现错误，因为完全平方展开后去括号忘记变号了， 故答案为：三，去括号时忘记变号； （3）， ， ， ， 解得：， 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解； （4）最后一步忘记检验 检验：将代入分式方程，方程有解， ∴为分式方程的解． 题型04 已知分式方程的增根求参数 【典例4】关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【答案】 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程有增根的问题，解题的关键是理解增根的含义．依据分式方程的增根确定字母参数的步骤是：①分式方程转化为整式方程；②由题意求出增根；③将增根代入所化得的整式方程，解之就可得到字母参数的值． 【详解】解：根据题意得：， 分式方程有增根， 最简公分母， 解得，， 将代入，得， 故答案为： 【变式1】若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【答案】 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式的增根问题，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．可按如下步骤进行： ①让最简公分母为0确定增根； ②化分式方程为整式方程； ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母为0，得到，然后代入去分母后的整式方程算出a的值． 【详解】解：由分式方程的最简公分母是， 得分式方程的增根是. 分式方程转化成整式方程为， 把代入， 得， 解得． 故答案为：． 【变式2】当 时，方程会产生增根． 【答案】 【知识点】分式无意义的条件、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的增根，增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的父母为的根． 先把方程化为整式方程得到，根据题意得到，，代入求出． 【详解】解：把方程化为整式方程得， 方程有增根， ， ， 把代入得， ， 故答案为：． 【变式3】若分式方程有增根，则它的增根是 ． 【答案】 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题主要考查了分式方程的增根．熟练掌握增根的意义和产生过程，是解决问题的关键．去分母化分式方程为整式方程，让最简公分母，得到或，然后代入整式方程算出a的值，即可确定增根． 【详解】解：由， 去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴或， 当时， ， 解得； 当时， ， 矛盾，a不存在． 故答案为：． 题型05 已知分式方程的无解求参数 【典例5】关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．根据分式方程无解的两种情况即可求出的值． 【详解】解： 去分母得， ， 当增根为或时， 或 解得或， 即或时，分式方程无解， 当时，即时，整式方程无解，分式方程无解， 综上可知，当的值为或或． 故答案为：或或 【变式1】如果关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，掌握方程无解时满足的条件是解题的关键．先求方程的解得到，再由方程无解可得或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号得，， 移项、合并同类项，得， ， 方程无解， 或， 解得或， 故答案为：或． 【变式2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【答案】3 【知识点】分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据题意，解分式方程可得，因为方程无解，即，，即，求出，据此解答． 【详解】解：， 去分母得：， 解得，， 因为方程无解，即， 解得，， 即， 得：． 故答案为：3． 【变式3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查了分式方程的解，根据分式方程无解，分两种情况求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：， ∴， 整理得：， 当，方程无解， ∴， ∴原分式方程无解， 当时，，若分式方程无解，则， ∴， 综上，的值为或， 故答案为：或． 题型06 根据分式方程解的情况求值 【典例6】若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为负数确定出m的范围即可． 【详解】解： 原方程去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得： ∵关于x的分式方程的解为负数， ∴且． ∴且． 故答案为：且． 【变式1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【答案】且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、求一元一次不等式的解集 【分析】本题主要考查了解分式方程、分式方程的解、一元一次不等式等知识．根据解分式方程的步骤，可得分式方程的解，再根据分式方程的解是正数，可得不等式，解不等式，可得答案，并注意分母不为零． 【详解】解：由原方程去分母，得， 解得， 关于x的方程的解是正数， ， 解得， 又， ， ，， 故m的取值范围为且， 故答案为：且． 【变式2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【答案】3，4，0 【知识点】根据分式方程解的情况求值 【分析】本题考查了解分式方程；先求出分式方程的解，再根据解为整数即可求得整数m的值． 【详解】解：方程两边乘以，得：， 整理得：； 由于方程有解，则，即， ∴； 由于方程有整数解，则， 解得：或或或， 当时，，此时方程无解； 综上，整数m的值为3，4，0． 【变式3】已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 【答案】 且 【知识点】根据分式方程解的情况求值、分式方程无解问题 【分析】本题考查分式方程的解，将分式方程转化为整式方程是求解本题的关键． （1）先将分式方程化为整式方程，再求b． （2）先表示分式方程的解，再求范围． 【详解】（1） 方程两边同乘得：． ∴． 方程无解， ， ． ∴． ∴． 故答案为：． （2）由（1）知：． ∴． 方程的解是非负数． ∴． ∴． ， ∴ ． ∴． ∴且 故答案为：且． 题型07 列分式方程 【典例7】甲，乙两人合作录入一份稿件．甲先单独录入了，余下部分由乙单独用才完成．已知甲需要用录入的稿件由乙录入需要．若设甲单独录入这份稿件需，则根据题意可列方程 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程和理解题意能力，关键设出甲需要多少小时完成这项工作，然后表示出乙，根据工作量工作效率工作时间列方程求解．设甲单独完成需小时，根据已知甲独做6小时的工作量，由乙独做要用7.5小时，可求出乙完成这份稿件需要小时，根据工作量工作效率工作时间，可列方程求解． 【详解】解：设甲完成这份稿件需小时，乙所需要的时间为，根据题意列方程得： ， 故答案为：． 【变式1】某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为 ． 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题考查分式方程的应用，先根据题意得到现在计划每天生产产品，再根据提前2天完成列分式方程即可． 【详解】解：设原计划每天生产产品，则现在计划每天生产产品， 根据题意，得， 故答案为：． 【变式2】我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 . 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】本题主要考查了由实际问题中抽象出分式方程，正确理解题意找到等量关系是解题的关键．绫布有x尺，则罗布有尺，然后根据绫布和罗布分别全部出售后均能收入文；绫布和罗布各出售一尺共收入文列出方程即可． 【详解】解：设绫布有x尺，则罗布有尺， 由题意得：， 故答案为： 【变式3】某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，设原计划每亩平均产量为x万千克，根据题意列方程为 【答案】 【知识点】列分式方程 【分析】根据种植亩数总产量平均亩产量，结合改良后的种植面积比原计划少亩，即可列出关于的方程． 【详解】原计划种植亩数为改良后种植亩数为根据题意，得 故答案为：． 题型08 分式方程的实际应用 【典例8】甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？ 【答案】； 【知识点】分式方程的行程问题 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列分式方程求解是关键． 设步行速度为，则自行车的速度为，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设步行速度为，则自行车的速度为， ∴， 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴步行速度为， ∴， ∴自行车的速度为． 【变式1】新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 【答案】吨、吨 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、分式方程的工程问题 【分析】本题考查分式方程的实际应用，熟练根据题意正确设元并列出等式是解题的关键．设乙队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍”得甲队每天开采锰矿石的量为吨，利用“甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天”列式，求解即可． 【详解】解：设乙队每天开采锰矿石的量为吨，则甲队每天开采锰矿石的量为吨， 根据题意，得：， 解得：（吨）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， （吨）， 答：甲、乙两队每天开采锰矿石的量分别为吨、吨． 【变式2】据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元 (2)最少要花3210元钱 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）先设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个，根据种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，得，解得，再设购进、两种哪吒玩偶所需元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍， ∴设购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∵某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共15个． ∴， 解得， 经检验：是原分式方程的解， 则（元） ∴购进、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， （2）解：∵该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个， ∴设该玩具店购进种哪吒玩偶个，则该玩具店购进种哪吒玩偶个， ∵种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍， ∴， 解得， 设购进、两种哪吒玩偶所需元， ∵、两种哪吒玩偶的单价分别是元，元， ∴， ∵， ∴随着的增大而减小， ∵，且为正整数， ∴当时，有最小值，且． 【变式3】在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 【答案】(1)购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元 (2)20个 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、分式方程和差倍分问题 【分析】本题考查了分式方程以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购买一个“雪花形会徽徽章”需要x元，则一个“滨滨”需要元，根据“购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半”，进行列式，解出，注意验根，即可作答． （2）设购买雪花形会徽徽章m个，根据总费用不超过2700元进行列式，解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购买一个雪花形会徽徽章需元，则一个吉祥物“滨滨”玩偶元． 根据题意得：， 解得：． 经检验是原方程的解， ， 答：购买一个雪花形会徽徽章需15元，一个吉祥物“滨滨”玩偶50元； （2）解：设购买雪花形会徽徽章个．根据题意得， 解得， 答：最多购买雪花形会徽徽章20个． 一、单选题 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的定义，理解并掌握分式方程的定义是解题关键．分母里含有字母的方程叫做分式方程．根据分式方程的定义判断即可． 【详解】解：A.是分式方程，不符合题意； B. 不是分式方程，符合题意； C. 是分式方程，不符合题意； D. 是分式方程，不符合题意． 故选：B． 2．解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解分式方程，掌握将分式方程转化成整式方程求解是解题的关键． 首先将方程右边的分母转化为与左边相同的分母形式，确定最简公分母为，然后两边同乘最简公分母，去分母得到整式方程． 【详解】解： 变形得． 方程两边同乘，得 ， 故选：A． 3．若在解关于的方程时，会产生增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查分式方程的增根，理解增根不是分式方程的根，是分式方程转化为整式方程的根是解题的关键． 增根是使分式方程分母为0的根．先将方程两边同乘最简公分母化为整式方程，再将可能的增根代入整式方程求解m的值． 【详解】， 去分母，得， 方程的增根是：，即， 把代入， 得， 解得： 故选：C． 4．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一次分钱的人数为人，则第二次分钱的人数为人，根据两次每人分得的钱数相等，可建立方程． 【详解】解：设第一次分钱的人数为， 根据题意得：， 故选：C． 5．若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法，理解增根的意义是解题的关键．解分式方程可得，由于方程无解，所以或，求出即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘以，得， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， ， 方程无解， 或， 或， 或， 故选：D． 二、填空题 6．关于x的分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的求解，按照求解步骤并验证解是解决本题的关键 ． 先将分式方程去分母变成整式方程，按照整式方程的求法求出未知的值，再验证即可 ． 【详解】解：分式方程为， 去分母：， 去括号：， 移项合并同类项：， 检验：当时，， 所以原方程的解为 ． 故答案为： ． 7．已知关于x的分式方程的解为2，那么m的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查分式方程的解，先将代入分式方程中得到关于m的方程，然后解方程即可求解． 【详解】解：∵分式方程的解为， ∴，解得， 故的值为10， 故答案为：10． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查分式方程的增根，将原方程去分母得，把增根代入解得的值即可． 【详解】解：原方程去分母得， ∵该分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：4． 9．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式方程无解问题，正确理解方程无解的含义、掌握求解的方法是关键； 分式方程去分母化为整式方程，根据方程无解可得x的值，代入整式方程即可求出答案． 【详解】解：去分母，得， ∵原分式方程无解， ∴当方程产生增根时方程无解， 即当时方程无解， 代入上述整式方程可得； 故答案为：3． 10．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，掌握分式方程的解法，理解分式方程增根的定义是正确解答的关键．根据分式方程的解法得出，因为分式方程的解是正整数，而，得出，进而可得出答案． 【详解】解：将分式方程的两边都乘以，得 ， 解得， 由于分式方程的增根是， 所以， 即， 因为分式方程的解是正整数，而， 则x的最小值为2， 所以， 解得， 故答案为：4． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， ∴原分式方程无解． 12．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法和步骤是解题的关键． （1）先给方程两边乘以公分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可； （2）先给方程两边乘以公分母将分式方程化成整式方程求解，然后再检验即可． 【详解】（1）解： 方程的两边同乘以， 得： 整理得：；解得： 经检验是方程的增根． 所以原分式方程无解． （2）解： 方程两边同乘以，得： ，解得 经检验是原分式方程的根． 13．下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得  第一步     第二步     第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解   第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 【答案】任务一：一，漏乘了；任务二：正确解题过程见解析 【分析】本题考查解分式方程，涉及分式方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，根据分式方程的解法步骤即可确定解题步骤错误之处及原因，最后根据分式方程解法步骤求解即可得到答案．熟记分式方程的解法步骤是解决问题的关键． 【详解】解：任务一：上述解题过程从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是漏乘了， 故答案为：一，漏乘了； 任务二：该题的正确解题过程如下： ， 去分母得， ， 去括号得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 原分式方程的解为． 14．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值． 【答案】(1) (2)a的值为3 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，理解分式方程有增根和解的含义是解题的关键． （1）把代入方程计算，即可求出a的值； （2）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，得到或，代入整式方程计算即可求出a的值． 【详解】（1）解：分式方程的根是， ， 解得； （2）去分母得， 整理得， 分式方程有增根， 或， 当时，，此时不存在a的值； 当时，，解得， 综上，a的值为3． 15．为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】(1)甲单独做需要60天完成全部工作 (2)施工费用不够，见解析，需要追加万元 【分析】本题考查了分式方程与一元一次方程的应用，列分式方程解应用题的一般步骤：设、列、解、验、答． （1）设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期，根据题意列出分式方程求解即可； （2）设甲乙两队合作完成这项工程需要y天，根据题意列出一元一次方程，求解即可． 【详解】（1）解：设甲单独做需要x天完成全部工作，则乙单独做需要天完成工期， 由题意可得：， 解得： 经检验，时，， 则是原分式方程的解， 答：甲单独做需要60天完成全部工作． （2）解：设甲乙两队合作完成这项工程需要y天， 由题意可得：， 解得：， 需要施工费用：，需追加：（万元） 答：施工费用不够，需要追加万元． 16．已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 【答案】(1)或或 (2)或 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时方程有增根，当时原分式方程无解，从而求解； （）由，得，然后根据方程的解为整数得出，，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 当时，得， 解得； 当时，得， 解得， ∴若方程有增根，的取值为或； ∵， ∴当时原分式方程无解， ∴， ∵当或时方程有增根， ∴若方程无解，的取值为或或； （2）解：∵， ∴， ∵方程的解为整数， ∴，， 当时，（舍去）； 当时，（舍去）； 当时，； 当时，； ∴或． 17．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则 ， ． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程和分式方程的解． （1）根据已知条件中的新定义把写成，根据十字分式方程的定义求出答案即可； （2）先根据已知条件求出和的值，再根据完全平方公式求出，然后把所求分式通分再代入进行计算即可． 【详解】（1）解：可写成， ∵为十字分式方程， ∴，， 故答案为：，； （2）解：∵十字分式方程的两个解分别为，， ∴，， ∴， ∴． 18．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.5 可化为一元一次方程的分式方程 教学目标 1. 理解分式方程的概念，能准确判断分式方程，明晰其与整式方程的区别。 2. 熟练掌握解可化为一元一次方程的分式方程的一般步骤，包括去分母、解整式方程、验根 。 3. 体会“转化”思想，能将分式方程转化为整式方程求解，提升数学思维和运算能力。 教学重难点 1.重点 （1）可化为一元一次方程的分式方程的解法，掌握去分母化为整式方程，再求解整式方程的步骤。 （2）理解分式方程验根的必要性，熟练掌握验根方法，即把解代入最简公分母判断是否为零 。 2.难点 （1）理解解分式方程时产生增根的原因，明白去分母过程中，整式可能为零导致同解性改变。 （2）能准确找出实际问题中的等量关系，列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题 。 知识点01 分式方程的概念 分式方程的概念： 叫做分式方程． 注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据． 【即学即练1】 1．下列式子中，是分式方程的是（    ） A． B． C． D． 2．在方程：①，②，③， ④中，是分式方程的有（        ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 知识点02 分式方程的解法 （1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母． （2）解分式方程的步骤：①找 ，当分母是多项式时，先分解因式；② ，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解 ；④ ． 注意：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解． 【即学即练2】 7．解下列方程： (1)； (2)． 8．解分式方程： (1) (2) 知识点03 分式方程的增根 增根：在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是 中，使最简公分母 的根是增根，否则是原方程的根． 【即学即练3】 1．（24-25八年级下·上海·期中）若关于x的方程有增根，则值为 ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知分式方程无解，那么常数 ． 3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）关于的分式方程的解为正实数，则的取值范围是 ． 知识点04 分式方程的应用 （1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等． 每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝，时间＝等． （2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设 ；②找 ；③列 ；④解 ；⑤检 （一验分式方程，二验实际问题）；⑥ ． 【即学即练4】 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）某工厂原计划用一定的时间生产某种零件4000个．现由于进行了技术改造，每天比原计划增产了，结果提前10天完成任务．原计划日产多少个零件？ 2．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）列方程或不等式解应用题： 为迎接南方小土豆的到来，冰雪大世界做好冰雕艺术品制作，某公司有A、B两搬运组搬运冰冻原料，已知A组每小时比B组每小时多搬运20千克，且A组搬运1200千克所用时间与B组搬运1000千克所用时间相等． (1)求这两个搬运组每小时分别搬运多少千克冰冻原料； (2)为生产效率和生产安全考虑，A，B两组都要参与冰冻原料运输但两组不能同时进行工作，如果要求不超过5小时需完成对580千克冰冻原料的搬运，则A组至少搬运多少千克冰冻原料？ 题型01 分式方程的概念 【典例1】下列关于的方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】在①，②，③，④中，其中关于的分式方程的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥．其中，是关于x的分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型02 解分式方程 【典例2】解分式方程： (1)； (2)． 【变式1】解方程： (1)； (2)． 【变式2】解方程． (1)； (2)． 【变式3】解方程： (1)； (2)． 题型03 解分式方程错解复原问题 【典例3】对于分式方程的求解过程，小叶同学的解答如下． 解：方程两边同乘，得，        第一步 ，         第二步 ．        第三步 检验，当时，， 所以，是分式方程的解．          第四步 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_______步开始出现错误； (2)请写出正确的解答过程． 【变式1】下面是小亮同学解方程的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得，，第一步， 去括号得，，第二步， 解得，．第三步， 检验：当时，，第四步， ∴是原方程的根，第五步． 任务： (1)小亮同学的求解过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ； (2)请你改正并写出完整的解方程过程； (3)解分式方程产生增根的原因是 ． 【变式2】佳佳计算分式方程的过程如下： 解方程： 去分母，得             第①步 移项，得              第②步 合并同类项，得              第③步 系数化1，得                     第④步 经检验，是该分式方程的解． (1)佳佳在计算过程中，第一次出现错误的步骤是_______（填序号）： (2)请你写出正确的解答过程． 【变式3】解分式方程：． 下面是解题过程，请认真阅读并完成任务． 解： ………………………第一步 …………………………第二步 ……………………第三步 解得：……………………第四步 任务一：填空 （1）第______步是去分母，去分母的依据是______． （2）第______步出现错误，错误的原因是______． 任务二：填空 （3）直接写出该分式方程的正确结果______． （4）解完分式方程，最后还少了一步，请补充完整． 题型04 已知分式方程的增根求参数 【典例4】关于x的分式方程有增根，则m的值为 ； 【变式1】若关于x的方程有增根，则a的值是 ． 【变式2】当 时，方程会产生增根． 【变式3】若分式方程有增根，则它的增根是 ． 题型05 已知分式方程的无解求参数 【典例5】关于的分式方程无解，则的值为 ． 【变式1】如果关于的方程无解，则的值为 ． 【变式2】已知关于x的分式方程无解，则k的值为 ． 【变式3】已知关于的分式方程，若分式方程无解，则的值为 ． 题型06 根据分式方程解的情况求值 【典例6】若关于x的分式方程的解为负数，则m的取值范围是 ． 【变式1】关于x的方程的解是个正数，那么m的取值范围是 ． 【变式2】若关于x的分式方程有整数解，则整数m的值为 ． 【变式3】已知分式方程． （1）若分式方程无解，则b的值为 ． （2）若分式方程的解是非负数，则b的取值范围为 ． 题型07 列分式方程 【典例7】甲，乙两人合作录入一份稿件．甲先单独录入了，余下部分由乙单独用才完成．已知甲需要用录入的稿件由乙录入需要．若设甲单独录入这份稿件需，则根据题意可列方程 ． 【变式1】某工厂计划生产产品，如果每天比原计划多生产，可提前2天完成．设原计划每天生产产品，则可列方程为 ． 【变式2】我国明代《永乐大典》记载“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文.问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（丈尺，）已知绫布和罗布分别出售均能收入文，每尺绫布和每尺罗布一共需要文.问绫布有多少尺，罗布有多少尺？”设绫布有x尺，则可得方程为 . 【变式3】某生态示范园计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，设原计划每亩平均产量为x万千克，根据题意列方程为 题型08 分式方程的实际应用 【典例8】甲、乙两组学生从学校出发，去距学校的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发后，乙组学生骑自行车开始出发，骑自行车速度是步行速度的倍，结果两组学生同时到达敬老院．步行与骑自行车的速度各是多少？ 【变式1】新能源汽车有着动力强、能耗低的特点，正逐渐成为人们喜爱的交通工具．在新能源电池正极材料的制备过程中，锰是不可或缺的重要元素．现安排甲、乙两个采矿队开采锰矿石，已知甲队每天的开采量是乙队每天开采量的倍，甲队开采吨锰矿石所用时间比乙队开采同样数量的锰矿石所用时间少天，求甲、乙两队每天开采锰矿石的量各为多少吨？ 【变式2】据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个B种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且A种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【变式3】在哈尔滨2025年亚洲冬季运动会期间，多款亚东会特许商品受到大家的喜爱，少数民族风格的“滨滨”“妮妮”吉祥物玩偶融入了地域文化特色，冬雪徽章则以雪花造型融入哈尔滨美食文化和亚冬会吉祥物元素，某团队购买吉祥物“滨滨”玩偶花费2000元，购买雪花形会徽徽章花费300元，且购买徽章数量是购买“滨滨”玩偶数量的一半，已知购买一个吉祥物“滨滨”玩偶比购买一个雪花形会徽徽章多花35元． (1)求购买一个吉祥物“滨滨”玩偶和一个雪花形会徽徽章各需多少元？ (2)某旅行团计划购买一批吉祥物“滨滨”玩偶和雪花形会徽徽章，且购买玩偶的数量比购买徽章数量的2倍还多8个，总费用不超过2700元，则最多能购买多少个雪花形会徽徽章？ 一、单选题 1．下列方程不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．解分式方程，去分母得（   ） A． B． C． D． 3．若在解关于的方程时，会产生增根，则的值为（   ） A． B． C．3 D．1 4．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分元钱，每人分得若干，若再加上人，平分元钱，则第二次每人所得的钱数与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 5．若分式方程无解，则a的值是（   ） A．3或2 B．1 C．1或3 D．1或2 二、填空题 6．关于x的分式方程的解为 ． 7．已知关于x的分式方程的解为2，那么m的值为 ． 8．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 9．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 10．已知关于的分式方程的解为正整数，则的最小值是 ． 三、解答题 11．解方程： (1)； (2)． 12．解分式方程： (1) (2) 13．下面是小华同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成任务： 解：方程两边同乘，得  第一步     第二步     第三步 检验，当时， 所以，是分式方程的解   第四步 任务一：上述解题过程从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______； 任务二：请写出该题的正确解题过程． 14．已知关于x的分式方程． (1)若分式方程的根是，求a的值； (2)若分式方程有增根，求a的值． 15．为了确保第三届永州旅游发展大会在祁阳唐家山景区顺利进行，现景区有一处地方需要整改，有两个工程队共同参与．甲单独做正好按期完成，乙单独做则要超期30天才能完成．现甲、乙合做20天，余下的由乙单独做正好完成． (1)求甲单独做需要多少天完成全部工作？ (2)已知甲队每天施工费用为0.84万元，乙队每天施工费用为0.56万元，工程预算施工费用为50万元，为缩短工期在旅游发展大会前完工，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 16．已知，关于x的方程：． (1)若方程无解，求m的取值； (2)若方程的解为整数，求整数m的取值． 17．我们把形如（a，b不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如为十字分式方程，可化为，∴，． 再如为十字分式方程，可化为， ∴，． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若为十字分式方程，则 ， ． (2)若十字分式方程的两个解分别为，，求的值． 18．新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$