专题01 分式的混合运算和新定义型问题的七种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题01 分式的混合运算和新定义型问题的七种模型 目录 题型一：分式的混合运算问题 1 题型二：分式的混合运算先化简求值问题 6 题型三：分式的混合运算错解复原问题 9 题型四：分式的混合运算规律探究问题 15 题型五：分式的混合运算新定义型问题 21 题型六：分式的混合运算假分数问题 31 题型七：分式的混合运算“倒数法”求值问题 35 题型一：分式的混合运算问题 1．化简： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．（1）计算：； （2）化简：． 4．计算： (1)； (2) 5．化简： (1)； (2)． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 题型二：分式的混合运算先化简求值问题 7．先化简，再求值：，其中． 8．先化简，再求值：，其中． 9．先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 10．化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 11．先化简，再求值：．请从：1，，3，四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 12．先化简，再求值：，请从，，中，选一个合适的数作为的值，代入求值． 题型三：分式的混合运算错解复原问题 13．下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 14．先化简，再求值：，其中． 小文的部分解答过程如下： 原式……① ……② ……③ 当时，原式． 请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 15．下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 16．以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 17．下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：         第一步         第二步         第三步             第四步             第五步                 第六步 (1)化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______． (2)上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______． (3)请写出正确的化简过程． 18．下面是小彬同学化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：         第一步             第二步                     第三步                         第四步                         第五步 任务： (1)上述解答过程中，第一步进行的是___________（填“约分”或“通分”），其依据是___________； (2)上述解答过程中从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； (3)请直接写出正确的化简结果：___________． 题型四：分式的混合运算规律探究问题 19．观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… (1)第5个等式是_______________； (2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性． 20．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式； (2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明． 21．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：________________________； (2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由． 22．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式_____； (2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）； (3)通过代数运算说明（2）中猜想正确． 23．观察下列各式 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ．．．．．． (1)第5个式子：________； (2)试猜想第个式子（为正整数）； (3)请直接用（2）中的规律化简． 24．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 题型五：分式的混合运算新定义型问题 25．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 26．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 27．定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 28．定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 29．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 30．观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 题型六：分式的混合运算假分数问题 31．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 32．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 33．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 题型七：分式的混合运算“倒数法”求值问题 34．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由，可知， ，即① ②， 故的值为． (1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； (3)已知：，求的值． 35．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 36．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 37．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 分式的混合运算和新定义型问题的七种模型 目录 题型一：分式的混合运算问题 1 题型二：分式的混合运算先化简求值问题 6 题型三：分式的混合运算错解复原问题 9 题型四：分式的混合运算规律探究问题 15 题型五：分式的混合运算新定义型问题 21 题型六：分式的混合运算假分数问题 31 题型七：分式的混合运算“倒数法”求值问题 35 题型一：分式的混合运算问题 1．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可； （2）根据分式的性质，分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后计算分式的乘法即可； （2）先分解分式，将除法转化为乘法，计算分式的乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键． （1）先进行幂运算，变分式除法为乘法，约分化简即可； （2）先将括号内式子通分，再将分子、分母因式分解，最后约分化简即可． 【详解】解：（1） ； （2） 4．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分式的乘除法计算，分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 5．化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）将括号内分式进行通分化解，然后因式分解化简即可； （2）将括号内分式进行通分化解，将除法换算成乘法，对分式进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 6．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了分式混合运算，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据分式除法运算法则计算即可； （2）根据异分母分式加减运算法则进行计算即可； （3）根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型二：分式的混合运算先化简求值问题 7．先化简，再求值：，其中． 【答案】2 【分析】本题需要先对分式进行化简，再代入求值，首先处理括号内的加法运算，将整式与分式合并为一个分式，然后进行分式的除法运算，转化为乘法后约分，最后代入数值计算， 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原式． 【点睛】本题的关键在于分式的通分和因式分解，解题的关键是将括号内的项通分为一个分式，然后利用分式除法的性质进行化简． 8．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先计算小括号内的分式的减法，再计算除法，结果化为最简形式，然后利用零指数幂及负整数指数幂计算，再代入前面化简的式子计算即可．掌握相应的运算法则、公式及运算顺序是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 9．先化简：，再从，1，2中选择一个合适的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，先通分再运算除法，化简得，经分析，得，，故把代入进行计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵ ，， ， 原式． 10．化简求值：，从不等式中选择一个适当的整数，代入求值． 【答案】，当时值为3 【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行求值即可． 本题主要考查了分式化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则，准确的计算是解题的关键． 【详解】解： ， 因为，，， 所以，，， 因为，且为整数， 所以不等式组中符合条件的整数有，0,或2， 所以当时，原式．（答案不唯一）…… 11．先化简，再求值：．请从：1，，3，四个数中选择一个合适的数作为a的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把恰当的的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 因为当，1，时，原代数式无意义， 所以． 当时，原式． 12．先化简，再求值：，请从，，中，选一个合适的数作为的值，代入求值． 【答案】，当时，原式 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质化简，代入计算是关键． 根据分式的性质，分式的混合运算法则计算，再根据分式的分母不为0，找出合适的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴原式， 题型三：分式的混合运算错解复原问题 13．下面是小华化简分式的过程： 解：原式．第一步 第二步 第三步 (1)小华的化简过程从第______步开始出现错误； (2)请你写出正确的化简过程，并从2，3，4，5中选择一个合适的数代入求值． 【答案】(1)二 (2)，7 【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算法则． （1）根据小华的解答过程及小华的化简过程从第二步开始出现错误，即可得出结果； （2）先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】（1）解：小华的化简过程中，小华的化简过程从第二步开始出现错误， 故答案为：二； （2）解： ， ∵， ∴， 当时，原式． 14．先化简，再求值：，其中． 小文的部分解答过程如下： 原式……① ……② ……③ 当时，原式． 请指出小文解答过程中最早出现错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】最早出现错误步骤的序号是①，见解析 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先找出最早出现错误步骤的序号，再计算即可． 【详解】解：第①步不应该乘以，即最早出现错误步骤的序号是①， 原式 当时，原式 15．下面是小聪同学进行分式运算的过程，请仔细阅读并完成任务． 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ……第四步 (1)任务一：小聪同学的求解过程从第________步开始出现错误； (2)任务二：请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】本题主要考查了分式的加减乘除混合运算，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式的混合运算法则进行分析，即可解题； （2）利用分式的混合运算法则进行正确计算，即可解题． 【详解】（1）小聪同学的求解过程从第二步开始出现错误； （2） ． 16．以下是小明同学完成课本129页计算的解答过程． 解： ① ② ③ ④ ⑤ 小明的解答过程对吗？如果正确，请写出每一步运用的数学知识；如果不对，请写出错误步骤的序号，并写出正确的解答过程． 【答案】小明的解答过程错误，错误出现在第③步，见解析 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则及分式的基本性质． 根据分式的基本性质以及分式的加减运算法则去判断即可求解． 【详解】解：小明的解答过程错误，错误出现在第③步， 正确的解题过程如下： ． 17．下面是小红化简分式的过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：         第一步         第二步         第三步             第四步             第五步                 第六步 (1)化简过程中，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是____，第二步变形的依据是______． (2)上述解答过程中第______步开始出现错误．错误的原因是______． (3)请写出正确的化简过程． 【答案】(1)完全平方公式；分式的基本性质 (2)三；括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号 (3)见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）观察解答过程可得答案； （2）观察解答过程知第三步开始出现错误，原因的括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （3）先通分算括号内的，把除化为乘，再分解因式约分． 【详解】（1）解：观察解答过程可得，第一步进行因式分解变形时，应用的乘法公式是完全平方公式，第二步变形的依据是分式的基本性质； 故答案为：完全平方公式，分式的基本性质； （2）解：观察解答过程知，解答过程中第三步开始出现错误． 错误的原因是括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； 故答案为：三，括号前面是“”号，去掉括号后，括号里面的第二项没有变号； （3）解： ． 18．下面是小彬同学化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：         第一步             第二步                     第三步                         第四步                         第五步 任务： (1)上述解答过程中，第一步进行的是___________（填“约分”或“通分”），其依据是___________； (2)上述解答过程中从第___________步开始出现错误，这一步错误的原因是___________； (3)请直接写出正确的化简结果：___________． 【答案】(1)通分，分式的基本性质 (2)二；分式减法运算时，“”项没有变号 (3) 【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据通分的计算判定即可； （2）根据分式加减运算法则判定即可； （3）根据分式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：将变为，是通分，运用的分式的基本性质， 故答案为：通分，分式的基本性质； （2）解：， ∴上述解答过程中从第二步开始出错，出错的原因是分式减法运算时，“”项没有变号， 故答案为：二，式减法运算时，“”项没有变号； （3）解：，计算过程如下， ， 故答案为：． 题型四：分式的混合运算规律探究问题 19．观察下列一组等式，根据你所发现的规律解答问题： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；… (1)第5个等式是_______________； (2)用含（为正整数）的代数式表示第个等式，并证明等式的正确性． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算、分式的加减乘除混合运算，数字规律，列代数式，关键是找出数字的规律变化． (1)观察规律写出即可； (2)观察出规律：等号左边第一个分数分母为n，分子比分母大1；第二个分数分母为，分子固定为2；等号右边的分数分母为等号左边两个分数分母的乘积，分子为. 【详解】（1）解：(1) 第1个等式：；  第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：；…… 根据此规律，第5个等式为：. 故答案为：. （2）由题目中给定的规律，第n个等式为：. 下面证明：等式左边=右边 ∴. 20．观察以下等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； 第5个等式：；．．． 按照以上规律，解决下冽问题： (1)写出第7个等式； (2)写出你猜想的第个等式：_______________________（用含的等式表示），并证明． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题主要考查数字类变化规律，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． （1）根据前5个等式得出第7个等式即可； （2）通过观察分子和分母上的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第7个等式为． （2）解：猜想的第个等式：， 证明：∵左边右边， ∴等式成立． 21．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，回答下列问题： (1)写出第5个等式：________________________； (2)猜想：用含的等式表示第个等式：________________，并说明理由． 【答案】(1)； (2)；理由见解析； 【分析】（1）根据前4个等式得出第五个等式即可； （2）通过观察减号后面的数字规律，再结合每个式子找到规律，最后写出即可． 本题主要考查数字类变化规律，分式混合运算，仔细观察每个式子中对应位置的数字，并找到相关系数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… ∴第5个等式： （2）解：用含的等式表示第个等式：， 理由：左边， 右边． ∴左边右边，即猜想的等式成立． 22．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式_____； (2)猜想并写出第n个等式_____（用含n的式子表示）； (3)通过代数运算说明（2）中猜想正确． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 【分析】本题主要考查数字规律，理解题意，找出规律是关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）结合材料提示方法得到猜想； （3）根据分式的混合运算法则计算判定即可． 【详解】（1）解：根据材料提示方法得到，， 故答案为：； （2）解：根据材料的计算方法得到，， 故答案为：； （3）解：说明如下， 左边 ， ∴左边右边， ∴等式成立，即猜想正确． 23．观察下列各式 第1个式子：； 第2个式子：； 第3个式子：； 第4个式子：； ．．．．．． (1)第5个式子：________； (2)试猜想第个式子（为正整数）； (3)请直接用（2）中的规律化简． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查规律探索，分式的化简求值，结合题干找出规律是解题关键． （1）根据例题计算即可； （2）根据题中例子找出规律即可； （3）根据规律拆分计算即可． 【详解】（1）解：； （2）猜想第个式子为； （3） 24．观察下列等式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；第4个等式：； …… 按照以上规律，解决问题； (1)写出第5个等式：________； (2)写出第个等式（用含的式子表示，为正整数）； (3)利用上述规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化规律，分式的运算，正确得出规律是解题的关键． （1）根据题目中的等式，可以写出第5个式子即可； （2）根据题目中的等式的特点，可以写出第n个式子； （3）将所求式子变形，再利用规律运算，然后拆项，即可计算出所求式子的值． 【详解】（1）解：∵第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； ∴第5个等式：， 故答案为：； （2）解：根据题意，得：第个等式：； （3）解：原式 题型五：分式的混合运算新定义型问题 25．定义：如果一个分式能够化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和美分式”， 如： (1)下列分式中，属于“和美分式”的是 （填序号）； ①②③④ (2)请将“和美分式”化为一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)若为整数，且“和美分式”的值也为整数，求符合条件的整数x的所有取值． 【答案】(1)①②③ (2) (3)，，， 【分析】本题考查了分式的加减，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （2）根据和美分式的定义，进行计算即可解答； （3）先把化为，根据为整数，也为整数，可得，或，即可求出答案． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 上列分式中，属于“和美分式”的是①②③， 故答案为：①②③； （2） ； （3） 为整数，也为整数， ，或， 或或或． 26．定义：若分式与分式的差等于它们的积．即，则称分式是分式的“友好分式”．如与．因为，．所以是的“友好分式”． (1)填空：分式______分式的“友好分式”．（填“是”或“不是”） (2)已知分式是分式A的“友好分式”． ①求分式A的表达式； ②若整数x使得分式A的值是正整数，求分式A的值． 【答案】(1)是 (2)①；② 1​, 3​ 或 4​ 【分析】分析 ​​（1）计算 和 ​，判断是否相等． ​​（2）​​​①​ 设分式A，由定义 ，解方程求A． ​②​ 令A为正整数，求整数x，再得A的值． 【详解】（1）解：设． ， ， 故​ 是的“友好分式”， 故答案为： ​是； （2）​​​①​分式是分式A的“友好分式”， 设分式． 则 移项，得， ， ， ， 分式A为 ​​． ​②​，要求A为正整数，x为整数且 ． 令（k正整数），则：， ， ， ， x整数，故 k−2 整除2，即： 当时， 当时，， 当时， 当时（舍去，非正整数） A的值为 1​, 3​ 或 4​． 【点睛】本题考查了分式运算（减法、乘法）、分式有意义的条件，解方程、整数解问题．解题的​关键​是理解新定义“友好分式”（差等于积），并转化为方程求解． 27．定义：如果两个分式A与B的差为1，则称A是B的“最友好分式”，如分式，则A是B的“最友好分式”． (1)已知分式，请判断C是否为D的“最友好分式”，并说明理由； (2)已知分式，且E是F的“最友好分式”． ①求P（用含x的式子表示）； ②若为定值，求m与n之间的数量关系． 【答案】(1)C是D的“最友好分式”，理由见解析 (2)①，② 【分析】本题主要考查新定义下分式的混合运算和解一元一次方程， （1）根据“最友好分式”的定义，计算的值即可； （2）①根据题意得，结合E是F的“最友好分式”可求得；②当时，化简得，设，可得，结合定值得且，即可求得m和n之间的关系． 【详解】（1）解：C是D的“最友好分式”，理由： ∵ ∴C是D的“最友好分式”； （2）①∵分式，且E是F的“最友好分式”， ∴， 解得； ②当时，， 设， ∴， ∴， ∵为定值， ∴且， 由解得， 把代入，得 ∴． 28．定义：若分式A与分式B的和等于它们的积的倍（为常数，），即，则称分式互为“n倍和积分式”．例如与，因为，，所以与互为“2倍和积分式”． (1)下列每组两个分式互为“倍和积分式”的是______；（填序号） ①与，②与，③与，④与． (2)已知与互为“n倍和积分式”，则n的值为______； (3)若分式与分式互为“倍和积分式”，则分式为______； (4)若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”，则的值为______． 【答案】(1)②④ (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查分式的混合运算、解一元一次方程方程，解决本题的关键是对新定义“n倍和积分式”的理解与应用，涉及分式的运算、方程求解及代数变形能力． （1）逐一验证各选项的和与积是否成固定倍数关系； （2）正确通分并化简，注意分母变形技巧； （3）设未知分式A，建立方程并解出A； （4）通过分式恒等条件，建立关于p和q的方程，消去n后求代数式的值． 【详解】（1）解：对于①，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于②，， ， 所以与互为“4倍和积分式”； 对于③，，，所以与不是互为“n倍和积分式”； 对于④，， ，， 所以与互为“倍和积分式”； 故答案为：②④； （2）解：因为与互为“n倍和积分式”， 所以， ， ， 所以与互为“倍和积分式”， n的值为， 故答案为：； （3）解：分式与分式互为“倍和积分式”， 所以，即， 所以， 所以， ， 故答案为：； （4）解：若关于x的分式与（为常数）互为“n倍和积分式”， 所以 ， ， 所以可得：，， 即，． 故答案为：． 29．（一）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （）若为正整数，且为“和谐分式”，请直接写出的值． （二）关于“和谐分式”我们还可以这样来定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：．则是“和谐分式”． （）下列分式：①；②；③．其中是“和谐分式”的是_____（填序号）； （2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：__________； （3）先化简，并求取什么整数时，该式的值为整数？ 【答案】（一）（）②；（）的值为或；（二）（）①②③；（），；（）． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值及分式的定义，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质及对和谐分式的定义的理解． （一）（）由“和谐分式”的定义求解即可； （）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （二）（）由“和谐分式”的定义对各式变形即可得； （）由原式，再整理可得； （）根据和谐分式的定义整理为，再讨论得出答案． 【详解】解：（一）（）①不是“和谐分式”，②是“和谐分式”，③不是“和谐分式”， 故答案为：②； （）∵为“和谐分式”， ∴或或，， ∴或或或， ∵a为正整数， ∴或， 当时，为“和谐分式”， 当时，为“和谐分式”， ∴的值为或； （二）（）①，是和谐分式； ②是和谐分式； ③，是和谐分式． 故答案为：①②③． （）， 故答案为∶，． （） ， ∴当或时，分式的值为整数， 此时或或或， 又∵分式有意义时、、、， ∴． 30．观察下列分式及其变形过程， ① ② ③ ④ …… 我们把一个分子次数小于分母次数的分式，称为“真分式”；若一个分式可以化成一个整式与一个真分式和的形式，则称为“奇妙分式”．根据上述信息，完成下列各题： (1)下列式子中，属于“奇妙分式”的是______；（只填写字母代号） A．        B．        C．        D．        E． (2)若奇妙分式的值为整数，求正整数a的值； (3)已知分式是奇妙分式， ①把其化成一个整式与一个真分式和的形式； ②用a表示①中的整式部分，用b表示①中真分式的分母部分，若式子可化简为一个整式，求常数m的值． 【答案】(1)A、B (2)2 (3)①；② 【分析】（1）根据“奇妙分式”定义，判断每个选项能否化为整式与真分式和的形式，逐一分析选项． （2）先将变形为整式与真分式的和，再依据值为整数的条件，确定的取值，进而求出正整数． （3）①通过对分子进行变形，将拆分为整式与真分式的和；②先确定①中整式部分、真分式分母，代入式子化简，根据可化简为整式的条件求 ． 【详解】（1）解：A选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． B选项：，是整式，是真分式（分子次数分母次数），属于奇妙分式． C选项：分子次数分母次数，是真分式，不能拆出整式，不属于奇妙分式． D选项：是整式（为常数，分式可化为整式形式 ），不属于奇妙分式． E选项：（），是整式，不属于奇妙分式． 综上，答案为A、B． （2）解： 分式值为整数，是正整数， 是的因数． 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，，（符合正整数要求），或（舍去，非正整数）； 当时，，（舍去，非正整数）； 当时，（无实数解，舍去）． 正整数的值为． （3）解：① ②由①知，整式部分，真分式分母． 式子可化简为整式， 能被整除． ∴当时，， 即， 解得 ． 题型六：分式的混合运算假分数问题 31．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 32．阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 33．阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”．而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式） 如：； 再如：． 解决下列问题： (1)分式是_______（填“真分式”或“假分式”）； (2)如果分式的值为整数，求出所有符合条件的整数x的值． (3)把分式化成一个带分式（即：整式与真分式的和的形式），体现化简过程． 【答案】(1)假 (2)或 (3) 【知识点】分式的判断、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的加减法、分式的定义，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由假分式的定义即可判断得解； （2）依据题意得，结合题意可得从而求出结果； （3）根据题意化简即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意，∵当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”， ∴分式是假分式． 故答案为：假； （2）由题意得：， 分式的值为整数， ． 或； （3）． 题型七：分式的混合运算“倒数法”求值问题 34．阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由，可知， ，即① ②， 故的值为． (1)第②步运用了公式：______；（要求：用含a、b的式子表示） (2)上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知：，求的值； (3)已知：，求的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算以及倒数法的应用，读懂题意并能正确应用倒数法解题是关键． （1）由完全平方公式变化得到结果； （2）仿照示例，应用倒数法，可求得结果； （3）先分别求出的值，应用倒数法，即可得到结果． 【详解】（1）解：或； （2） ； （3） ． 35．（一）操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由，知，所以，即． ， 的值为7的倒数，即． 以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”， （二）实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题： 已知，求的值． （三）问题解决： 已知：．求代数式的值． 【答案】实践探索：；问题解决：6 【知识点】倒数、通过对完全平方公式变形求值、分式的求值、分式加减乘除混合运算 【分析】实践探索：把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可； 问题解决：得出，，，求出，得出，，，再求出结果即可． 【详解】实践探索：解：由，知， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴的值为61的倒数，即． 问题解决：由可知：，，， ∴， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴，，， ∴． 【点睛】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键． 36．阅读下面的解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即 所以： 所以的值为 该题的解法叫“倒数法”，请你也利用“倒数法”解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)若，求的值； (3)拓展：已知，，，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题． 根据可得，根据求出的值，可得； 仿照例题先求倒数可得：，根据可求的值，可得； 仿照例题求倒数可得：，，，可得，所以可得，利用倒数法可得． 【详解】（1）解：，可知， ， ， ， ； （2）解：，可知， ， ， ， ， ； （3）解：，，，可知，，， ，，， ，，， ， ， ， ． 37．阅读下面的解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即． 因此，所以的值为． 该题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题： 已知，求的值． 【答案】 【知识点】倒数、分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．先根据题意求出的值，再求出代数式倒数的值，进而得出结论． 【详解】解：由知 ，即 ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$