专题02 分式与分式方程中常见的易错与含参数问题的八种模型（高效培优专项训练）数学湘教版2024八年级上册

专题02 分式与分式方程中常见的易错与含参数问题的八种模型 目录 题型一：分式值为0时求值，忽略分母不为0 1 题型二：整式与分式混合运算易错 2 题型三：自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 4 题型四：解分式方程不验根 8 题型五：求使分式值为整数时未知数的整数值 12 题型六：分式方程无解与增根混淆不清 17 题型七：已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 20 题型八：分式混合运算和分式方程中的新定义问题 22 题型一：分式值为0时求值，忽略分母不为0 1．若分式的值为0，则的值为 ． 2．若分式的值为0，则的值为 ． 3．若分式的值为0，则 ． 4．若分式的值为0，则 ． 5．分式的值为0，则 ． 题型二：整式与分式混合运算易错 6．计算：． 7．化简． 8．计算：． 9．化简：． 10．计算：． 题型三：自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 11．先化简：，再从，，0，1中选一个数代入求值． 12．先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 13．先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值． 14．先化简，再求值：，从，2，中选一个值，代入求值． 15．先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数代入计算． 题型四：解分式方程不验根 16．解分式方程： (1)； (2)． 17．解方程： (1) (2) 18．解分式方程： (1)； (2)． 19．解方程： (1)； (2)． 20．解下列分式方程： (1) (2) 题型五：求使分式值为整数时未知数的整数值 21．若分式的值为整数，求整数x的值． 22．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 23．使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 24．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 25．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 题型六：分式方程无解与增根混淆不清 26．若关于x的分式方程有增根，则增根是 ． 27．若分式方程无解，则m等于 ． 28．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 29．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 30．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 题型七：已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 31．已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 32．若关于的方程有正数解，则的取值范围为 ． 33．已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 34．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 35．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 题型八：分式混合运算和分式方程中的新定义问题 36．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 37．综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 38．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 39．定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 40．新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 分式与分式方程中常见的易错与含参数问题的八种模型 目录 题型一：分式值为0时求值，忽略分母不为0 1 题型二：整式与分式混合运算易错 2 题型三：自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 4 题型四：解分式方程不验根 8 题型五：求使分式值为整数时未知数的整数值 12 题型六：分式方程无解与增根混淆不清 17 题型七：已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 20 题型八：分式混合运算和分式方程中的新定义问题 22 题型一：分式值为0时求值，忽略分母不为0 1．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 根据分子等于0，且分母不等于0列式求解即可． 【详解】∵分式的值为0， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 2．若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为0，根据分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴； 故答案为：． 3．若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，因式分解．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．据此求解即可． 【详解】解：由题可得，且， 解得， 故答案为：． 4．若分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，理解当分子为零且分母不等于零时分式的值为零是解题关键．根据分式值为零及分式有意义的条件列方程及不等式求解． 【详解】解：由题意可得 ， 解得：， 故答案为： 5．分式的值为0，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值，直接利用分式的值为零则分子为零，分母不为零，进而得出答案，熟知分式的值为时要满足的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得， 故答案为：． 题型二：整式与分式混合运算易错 6．计算：． 【答案】 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查了分式的加减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键；根据分式的加减法则进行计算即可求解． 【详解】解：原式 ． 7．化简． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算．原式被除数括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果即可． 【详解】解： ． 8．计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，先对括号内分式进行通分，再把除法运算转换为乘法运算，进行约分，即可得到结果． 【详解】解： ． 9．化简：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】题目主要考查分式的混合运算，先将括号内进行通分，加减计算，然后计算除法运算即可，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解：原式 ． 10．计算：． 【答案】 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的除法运算，解题的关键是掌握相应的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型三：自主取值再求值时，忽略分母或除式不能为0 11．先化简：，再从，，0，1中选一个数代入求值． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解：原式 当，，1时，原分式无意义． 当时，原式． 12．先化简，再从，0，1中选择一个恰当的数代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分括号内的式子，再算括号外的乘法，然后从，0，1中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ， ， 当时，原式． 13．先化简：，并在，，，中选一个合适的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，分式有意义的条件，熟练分式的混合运算法则是解题的关键，先利用分式混合运算法则化简，再利用分式有意义的条件确定可取的值，再代入求解即可． 【详解】解：       ， ∵，，， 得，，， ∴， 代入得，原式=． 14．先化简，再求值：，从，2，中选一个值，代入求值． 【答案】, 【分析】本题考查了分式的化简求值，完全平方公式．熟练掌握分式的运算法则，完全平方公式是解题的关键． 先将分式化简，化简分式时，需要运用分式运算的基本规则，包括通分和约分，然后把x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，2 ∴ 当时，原式． 15．先化简，再求值：，其中，选取一个合适的整数代入计算． 【答案】，时值为（答案不唯一） 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法，直至化为最简分式，然后根据分式有意义的条件确定的值，再代入求解即可． 【详解】解：原式 . ，， ，. 又，且为整数， 可选或. ，此时（答案不唯一）． 题型四：解分式方程不验根 16．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可． （2）按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， 故是原方程的解． （2）解：∵， 去分母，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案； （2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，再检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得；， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验，当时，， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． 18．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题的关键． （1）根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，最后检验即可； （2）根据解分式方程的方法，先把原方程转化为整式方程，解整式方程，求出的值，最后检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 解得：， 检验：把代入， 原分式方程的解为； （2）解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 把代入， 是分式方程的增根， 原分式方程无解． 【点睛】 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解； (2)． 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法及步骤是解题的关键． （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解； （）先将分式方程两边同时乘以化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后检验即可求解． 【详解】（1）解： ， ∴， 检验，当时，， ∴原分式方程无解； （2）解： ∴， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为：． 20．解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2)按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2）解：∵， 即， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 系数化为1，得 经检验，时，， 是原方程的增根， 故原方程无解． 题型五：求使分式值为整数时未知数的整数值 21．若分式的值为整数，求整数x的值． 【答案】或或或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的求值，根据题意可得是整数，则可得到是2的因数，即或，据此求解即可． 【详解】解；∵分式的值为整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或． 22．阅读下列材料，解决问题： 在处理分式的时候，有时候分子的次方高于分母的次方，在实际运算时往往难度比较大，这时我们可以将分式拆分成一个整式和一个分式的和的形式． 例如：将分式拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加． (1)请将拆分成一个整式和分式（分子为整数）相加的形式． (2)如果分式的值是整数，求所有符合条件的整数x的值． 【答案】(1) (2)x的值为2或4或16或 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的值，关键读懂题意，把分式表示成一个整式与分式的和的形式； （1）按照题干的拆分方法进行即可； （2）由（1）知，只要拆分后的分式的分母是分子的整数因数即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； ∵的值为整数， ∴是13的所有整数因数， 即， ∴或或或； 即x的值为2或4或16或． 23．使分式的值为整数的整数x的值有多少个？ 请先阅读解题过程，回答有关问题． 因为， 又因为分式的值及x的值均为整数，所以2能整除，当时，因为，所以分母为零，分式无意义． 所以可取的值为，，1，2，相应的x的值为，0，2，3，那么，满足条件的x值共有4个． (1)本题的解题思路是 　 　； (2)运用这种解题思路，求出使分式的值为整数的整数x的值． 【答案】(1)将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题 (2)、、、0、2、3、4、7 【知识点】求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查了分式的化简，分式的结果要化成最简分式的形式，解题思路为：一般是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （1）先把分式化简成最简分式或整式，后利用分子是分母的倍数，分类计算即可，注意要保证分式有意义． （2）仿照样本题思路，解答即可． 【详解】（1）解：解题思路是将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题； 故答案为：将分式先化简为最简分式或整式，再代入求值或根据已知解决问题． （2）， 要使分式的值为整数， ①当时，， ②当时，， ③当时，， ④当时，， ⑤当时，， ⑥当时，， ⑦当时，， ⑧当时，， ∴使分式的值为整数的整数x的值、、、0、2、3、4、7． 24．通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如这样的分式就是假分式：这样的分式就是真分式．类似地，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如． 解决下列问题： (1)分式是_____分式（填“真”或“假”）； (2)将假分式化为带分式； (3)若分式的值为整数，x为整数，求分式的值． 【答案】(1)真 (2) (3)． 【知识点】分式的判断、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题主要考查了分式的定义，分式的值，分式的运算，本题是阅读型题目，连接题干中的新定义并熟练应用是解题的关键． （1）利用真分式和假分式的定义解答即可； （2）利用题干中的方法化简运算即可； （3）利用整数和整除的意义讨论解答即可． 【详解】（1）解：由题意得：分式是真分式， 故答案为：真； （2）解： ； （3）解：； ∵分式的值为整数，x为整数． ∴或， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴整数的值是． 25．阅读下列材料，并解答问题． 将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立，解得 ． 这样，分式就拆分成了整式与分式的和的形式． (1)若将分式拆分成（为整数），则______，______． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． (3)已知分式的值为负整数，直接写出满足条件的整数的值． 【答案】(1)3；4 (2) (3)3或 【知识点】分式的求值、求使分式值为整数时未知数的整数值 【分析】本题考查分式的化简求值； （1）根据求解即可； （2）参考材料中的过程求解即可； （3）参考材料中的过程得到，再根据分式的值为负整数，得到是整数，推出或，最后分情况讨论求值即可． 【详解】（1）∵， ∴若将分式拆分成（为整数），则，， 故答案为：3；4． （2）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． （3）解：因为分母是，可设， 则． 对于任意的值上述等式都成立， ， 解得， ． ∵分式的值为负整数， ∴是整数， ∴或， 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 当时，，，不合题意； 当时，，，符合题意； 综上所述，分式的值为负整数，满足条件的整数的值为3或． 题型六：分式方程无解与增根混淆不清 26．若关于x的分式方程有增根，则增根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根．分式方程的最简公分母等于0时的未知数的值就是分式方程的增根．据此求出x的值即可．熟练掌握增根的定义是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∴最简公分母为， ∵关于x的分式方程有增根， ∴， ∴． 故答案为：． 27．若分式方程无解，则m等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握分式方程的解法是解题关键．先方程两边同乘以可得，则可得，再根据方程无解可得，则可得，由此即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵分式方程无解， ∴，即， ∴， 解得， 故答案为：． 28．若关于的分式方程有增根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，解分式方程得，由分式方程有增根得，即得，解方程即可求解，理解分式方程增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 29．若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了分式方程的增根，解分式方程.去分母转化为整式方程，表示出方程的解，令方程的解为2，即可求出a的值． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 则， 解得：， ∵关于的分式方程有增根， ∴， 即， 解得：， 故答案为：2． 30．已知关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤得到，当，即时，此时方程无解；当，则原方程有增根，即或，进而可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 当，即时，方程的左边等于0，右边不等于0，此时方程无解； 当时， ∵原方程无解， ∴原方程有增根， ∴或， ∴或， ∴或， 解得或； 综上所述，的值为或或， 故答案为：或或． 题型七：已知方程的根的情况求参数的取值范围，应舍去分母为0时参数的值 31．已知关于的方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，掌握分式方程的解法是解题关键．先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可． 【详解】解：， 两边都乘以，得， 解得， ∵解为正数， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴且． 故答案为：且． 32．若关于的方程有正数解，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参数，熟练掌握解分式方程的方法骒解题的关键． 先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“方程有正数解”建立不等式求m的取值范围． 【详解】解：去分母得，， 解得：， ∵方程有正数解， ∴且， ∴且， 故答案为：且． 33．已知关于x的方程的解为非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，一定要注意分式方程的最简公分母不能为0． 先解关于x的方程可得，再根据方程的解x为非负数可得且，然后进行计算即可解答． 【详解】解：， 去分母得： 解得 ∵分母 ，即 ，代入解得：， ∴， 又∵关于x的方程解为非负数，即， ∴， ∴. 综上， 的取值范围是 且 。 34．若关于的分式方程的解为负数，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了由分式方程的解求参数的取值范围，解分式方程得，由分式方程的最简公分母不为零得，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得， ， 解得：， 解为负数， ， 解得：， ， ， ， 解得：， 的取值范围为且， 故答案为：且． 35．已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是 ． 【答案】且/且 【分析】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解．再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可． 【详解】解：原分式方程可化为： 去分母得： 解得 又分式方程的解是非负数 且 的取值范围是：且 题型八：分式混合运算和分式方程中的新定义问题 36．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“雅中式”，这个常数称为关于的“雅中值”．如分式，，则是的“雅中式”，关于的“雅中值”为． (1)已知分式，，判断是否为的“雅中式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“雅中值”． (2)已知分式，，是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是，为整数，且的值也为整数，求所代表的代数式及所有符合条件的的值． 【答案】(1)是的“雅中式”，关于的“雅中值”为 (2)，的值为 【知识点】同分母分式加减法、异分母分式加减法 【分析】（）根据定义解答即可求解； （）由定义可得，即得，进而可得，根据为整数，且的值也为整数可得可能是，， 据此解答即可求解； 本题考查了分式的加减运算，理解定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴是的“雅中式”，关于的“雅中值”为； （2）解：∵是的“雅中式”，且关于的“雅中值”是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为整数，且的值也为整数， ∴是的因数， ∴可能是，， ∴的值为． 37．综合与实践 问题情境 如果我们定义一种运算，可以将一个分式转化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“优美分式”．如，，则和都是“优美分式”． 初步验证 （1）下列各式中，属于“优美分式”的是_______（填序号）． ①；②；③；④． （2）将化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式． 探究应用 （3）当时，求的最小值． 【答案】（1）①③④；（2）；（3）的最小值为． 【知识点】分式化简求值、约分 【分析】本题考查分式的约分和化简求值，掌握分式的基本性质是解题关键． （1）根据“优美分式”的定义进行变形解答； （2）将变形为，进而求解即可； （3）首先将变形为，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）①，故①是“优美分式”； ②不是分式，故②不是“优美分式”； ③，故③是“优美分式”； ④，故④是“优美分式”； 综上所述，属于“优美分式”的是①③④； （2） ； （3） ∵ ∴ ∴ ∵在分母上， ∴当取得最大值时，有最小值 ∴当时， ∴的最小值为． 38．阅读理解题． 我们定义：如果两个分式与的差为常数，且这个常数为正数，则称是的“和谐式”，这个常数称为关于的“和谐值”． 例：分式，，，则是的“和谐式”，关于的“和谐值”为2． (1)已知分式，，判断是否为的“和谐式”．若不是，请说明理由；若是，请求出关于的“和谐值”． (2)已知分式，，是的“和谐式”，关于的“和谐值”是1，为整数，且的值也为整数， ①求所表示的代数式． ②求所有符合条件的的值． (3)已知分式，，是的“和谐式”，则关于的“和谐值”是______．（直接写出答案即可）． 【答案】(1)不是的“和谐式”，理由见解析 (2)①；②2，4，0，6 (3) 【知识点】同分母分式加减法、分式化简求值、构造二元一次方程组求解、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查的是新定义情境下的分式的运算，分式的化简，解二元一次方程组， （1）计算，再根据“和谐值”的定义可得答案； （2）①由定义可得，即有，整理可得：的表达式； ②化简，根据为整数，且“和谐式”的值也为整数，得到：是3的因数，从而可得答案； （3）首先表示出，然后根据题意设，得到，求出，进而求解即可． 【详解】（1），， ， 不是的“和谐式”； （2）①是的“和谐式”，且关于的“和谐值”是1， ， ，， ， ， ， ②， 为整数，且的值也为整数， 是的因数， 可能是：，， 的值为：2、4、0、6， 且都满足； （3） ∵是的“和谐式”， ∴设 ∴ ∴ 解得 ∴． ∴关于的“和谐值”是． 39．定义：如果两个分式M与N的和为常数k，且k为正整数，则称M与N互为“和整分式”，常数称为“和整数值”．例如，，，，则M与N互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，，判断A与B是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”k；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，C与D互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求P所代表的代数式； ②若分式D的值为正整数，求正整数x的值． 【答案】(1)A与B互为“和整分式”，“和整数值”. (2)①，②1 【知识点】分式加减乘除混合运算、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，理解题意是解此题的关键． （1）先计算，再根据结果即可得解； （2）①求出，结合题意得出，计算即可得解；②先求出，再结合题意计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∴A与B互为“和整分式”，和“整数值”； （2）解：，， ∴ ∵C与D互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴，即， ∴； ②∵， 若分式D的值为正整数， ∴或， 解得或（舍去）， ∴正整数x的值为1． 40．新定义：如果两个实数使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”． 例如：，使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)判断下列数对是否为关于x的分式方程的“关联数对”，若是，请在括号内打“”若不是，打“”．①（ ）；②（ ）． (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求的值． (3)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程有整数解，求整数的值． 【答案】(1)①×；②√； (2)； (3)或 【知识点】解分式方程（化为一元一次）、根据分式方程解的情况求值、新定义下的实数运算 【分析】（1）根据“关联数对”定义分别判断即可； （2）根据“关联数对”定义计算即可； （3）根据“关联数对”定义计算即可； 【详解】（1）解：当，时， 分式方程为：分式方程，方程无解，故①的答案是×， 当，时， 分式方程为：分式方程，方程的解为：， ∵， 故②的答案是√； （2）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， 解得：； （3）解：∵数对是关于x的分式方程的“关联数对”， ∴，， ∴， ∴， 化简得：， 解得：， ∵关于x的方程有整数解， ∴或， 解得：或或1或， ∵， ∴或 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$