专题02 一次函数与三角形综合问题的三种模型（高效培优专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

专题02 一次函数与三角形综合问题的三种模型 目录 题型一：一次函数与三角形的面积问题 1 题型二：一次函数与三角形全等问题 14 题型三：一次函数与三角形存在性问题 41 题型一：一次函数与三角形的面积问题 1．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，两条直线和相交于点，两直线与轴所围成的的面积是______． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求两直线围成的三角形的面积，求直线与坐标轴的交点，求得直线解析式是解题的关键． 先根据交点坐标求得，进而求得点的坐标，的坐标，进而根据三角形面积公式求解即可 【详解】解：两条直线和相交于点， 解得 ， 令，解得 由，令，解得， ． 故答案为：． 2．（25-26八年级下·全国·周测）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点，过点的直线平分的面积且与轴交于点，则直线对应的函数解析式为__________． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、三角形中线性质，熟练掌握以上知识点是关键． 先求出点、的坐标，根据中线性质得到点坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数的图象与轴、轴分别交于，两点， 令，则，令，则， ，． 过点的直线平分的面积， ， ． ， 设直线对应的函数解析式为． 把代入，得，解得， 直线对应的函数解析式为． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·贵州贵阳·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，，且与直线交于点A，点P沿的折线运动． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，直接写出此时点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式、两直线的交点坐标，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法解答即可求解； （2）联立两函数解析式，可得点A的坐标，再由三角形的面积公式解答即可； （3）先求出，设点P的横坐标为m，然后分两种情况：当点P在上时，点，当点P在上时，点，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 把点，代入得： ，解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：联立得：， 解得：， ∴点A的坐标为， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵的面积是的面积的， ∴， 设点P的横坐标为m， 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 当点P在上时，点， ∴， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 4．（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴相交于点、点，直线与相交于点，与轴相交于点，与轴相交于点，点是轴上一动点． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)当的面积等于面积时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）将点代入直线得，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）首先求得直线与x轴的交点的坐标，直线与x轴的交点D的坐标，进而可求得的长，于是可求得的面积； （3）设点的坐标为，利用三角形的面积公式可列出方程，解方程即可求出点的坐标． 【详解】（1）解：把点代入直线中，得： ， ， 设直线的表达式为，把点和点代入得： ， 解得：， 直线的表达式为； （2）解：直线与x轴相交于点， 令，则， 解得：， ， 直线与x轴相交于点， ∴令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴ ； （3）解：点是y轴上一动点， 可设点的坐标为， 的面积等于的面积， ， ， 解得：或， 点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，解二元一次方程组，一次函数图象与坐标轴的交点问题，求一次函数的函数值，已知两点坐标求两点距离，三角形的面积公式，解一元一次方程，绝对值方程等知识点，深刻理解并灵活运用数形结合思想是解题的关键． 5．（22-23八年级上·四川达州·月考）如图，在平面直角坐标系中，为等腰直角三角形，其中，直线与直线交于点，有一个动点M 沿路线O→A→C 运动． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)当的面积是的面积的时，求出这时点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标是：或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出，的坐标，利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求出点坐标，利用三角形的面积公式即可求解； （3）当的面积是的面积的时，根据面积公式即可求得的横坐标，然后代入解析式即可求得的坐标． 【详解】（1）解：为等腰直角三角形，其中， ， 设直线的解析式是， 根据题意得： ， 解得：， 则直线的解析式是：； （2）解：直线与直线交于点， ， 解得， ， ， ； （3）解：当的面积是的面积的时， 的横坐标是， 在中，当时，，则的坐标是； 在中，则，则的坐标是． 则的坐标是：或． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式．先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解即可得到函数解析式．掌握求函数中字母的值就是求关于字母系数的方程的解是解题关键． 6．（24-25八年级上·全国·期末）如图，一次函数的函数图象与轴，轴分别交于点，． (1)若点为第三象限内一个动点，请问的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请说明理由？ (2)在（1）的条件下，试用含的代数式表示四边形的面积；若的面积是，求的值． 【答案】(1)不变，面积是1 (2)， 【分析】本题考查了一次函数与几何图形，一次函数与坐标轴交点问题； （1）求出、点的坐标，利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）由，即可得出四边形的面积，再由的面积是可得出的值． 【详解】（1）解：不变，理由是： 一次函数的图象与轴、轴分别交于、， 当时，，当时， 则点、的坐标分别为、， ∴ ∵点为第三象限内一个动点， ∴． （2）解：∵, , ∴ 解得． 7．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，其中、满足． (1)填空：______，______； (2)如果在第三象限内有一点，用含的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，此时线段与轴交于点，动点在轴上运动，当的面积与的面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P坐标为或 【分析】（1）根据双重非负性可知，，，求解即可； （2）过点M作轴于点N，得到，根据三角形面积公式求解即可； （3）求出，然后利用待定系数法求出所在直线的表达式为，求出，设，表示出，然后根据的面积与的面积相等得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵， ∴且， 解得：，， 故答案为：，； （2）过点M作轴于点N， ∵，， ∴， 又∵点在第三象限， ∴， ∴； （3）当时，， ∴， ∵ ∴设所在直线的表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线的表达式为 ∴当时， ∴ 设 ∴ ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴， ∴或， ∴点P坐标为或． 【点睛】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，坐标与图形性质，一次函数与三角形面积综合等知识点，根据题意建立方程是解题的关键． 8．（24-25七年级下·福建福州·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，a，b满足．点从点出发以每秒2个单位长度沿轴负方向运动．设运动时间为t秒． (1)直接求出______，_______； (2)如图，连接、、，、交于点D， ①求三角形的面积（用含 t的代数式表示）； ②当点运动多少秒时，三角形的面积等于三角形的面积； (3)过点C作轴，交延长线于点，补全图形并证明m与n之差为定值； 【答案】(1)；2 (2)①7 ②秒 (3)图见解析；证明见解析 【分析】（1）利用绝对值和算术平方根的非负性求解； （2）①用含t的式子表示出，再利用三角形面积公式求解；②过B作轴于E，过A作轴于F，根据计算出，设C运动的时间为t秒时，，推出，根据三角形面积公式列方程，即可求解； （3）连接，过A点作轴于M，过B点作轴于N，根据，用含t的式子表示出，再根据列式，用含t的式子表示出m，可得m与n之差为定值． 【详解】（1）解：，，， ，， ，， 故答案为：，2； （2）①解：∵点从点出发以每秒2个单位长度沿轴负方向运动， ∴， ∴． ②解：由（1）知：，， 过B作轴于E，过A作轴于F， 则， ， ， 设C运动的时间为t秒时，，则， ， ， ， ， 当点运动秒时，． （3）解：如图所示，直线即为所求   连接，过A点作轴于M，过B点作轴于N， ∵轴，， ∴， ∴， ∵ ， ∵， ∴， 整理得，， ∴， ∴ ∴m与n之差为定值． 【点睛】本题考查坐标与图形，直线围成图形的面积，非负数的性质等，能够根据点的坐标计算出坐标系中三角形的面积是解题的关键． 9．（2025·上海闵行·二模）一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题．为了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I：一条直线（、都不为0）与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型II：两条直线和（、，且都不为零）与坐标轴所围成的三角形的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系． 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要根据两个函数和符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论． (1)如图1，请你帮助小组求出的面积（用含和的式子表示）． (2)将直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线与两条坐标轴所围成的三角形面积记为，直线、和轴所围成的三角形面积记为，它们和轴所围成的三角形面积记为． ①在图2中已经画出了直线和大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的和符号选项正确的是______． A．，，，        B．，，， C．，，，        D．，，， 此时、、和之间的关系式是______． ②如图3，保持直线不变，改变直线中和的符号（不考虑和的大小），请在图中画出直线的大致图象，此时、、和之间的关系式是______． 【答案】(1) (2)①D，；②． 【分析】本题考查了函数与不等式的关系，掌握函数的性质和三角形的面积公式是解题的关键． （1）根据三角形的面积公式求解； （2）①根据一次函数的性质求解； ②根据三角形的面积的和差求解． 【详解】（1）解：当时，， 当时，，解得：， ∴，， ∴； （2）解：①观察图形得：经过一二三象限，经过一二四象限， ∴，，，，， 故选：D；， ②∵，， ∴图象如下： 由图象得：． 题型二：一次函数与三角形全等问题 10．（22-23八年级下·陕西西安·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、y轴交于点A、点B，将绕坐标原点逆时针旋转得到 (1)求直线的函数表达式； (2)若点Р是直线上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当与全等时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为，或或． 【分析】（1）由旋转的性质得出结论，进而判断出得出，，即可得出点，坐标，用待定系数法即可得出结论； （2）分三种情况利用全等三角形的性质和等面积法即可确定出点的坐标． 【详解】（1）解：直线交轴，轴分别于点，点， ，， ，， 绕坐标原点逆时针旋转得到， ， ，， ，， 设直线 的解析式为， ，解得， 直线 的解析式为， 故答案为：； （2）解：如图1， ①， ， ，， ，， ， 作轴， 则， 即， ， 的纵坐标为， 把代入，得， 解得 点坐标； ②， ， ，， 点坐标； ③， ， ，，， 作轴， 则， 即， ， 的纵坐标为， 把代入，得， 解得 点坐标； 即：和全等时，点的坐标为或或． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，判断出是解本题的关键． 11．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，于点C，点P在直线上运动，点Q在y轴的正半轴上运动．    (1)求点A，B的坐标； (2)求的长； (3)若以O，P，Q为顶点的三角形与全等，求点Q的坐标． 【答案】(1)，； (2) (3)Q的坐标为或或 【分析】（1）将和分别代入求解即可； （2）首先根据点A和点B的坐标得到，然后利用勾股定理求出，然后利用代入求解即可； （3）首先根据题意得到是的斜边，Q为直角顶点，然后设，则，然后分3种情况讨论，分别根据全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）在中，令得，令得， ∴，； （2）由（1）知，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）∵以O，P，Q为顶点的三角形与全等， ∴是的斜边，Q为直角顶点， 设，则， 当，P在C下方时，如图： 则， ∴， ∴， ∴， ∴； 当，P在C上方时，如图：    ∵， ∴． ∴， ∴， ∴； 当时，如图： 则， ∴； 综上所述，Q的坐标为或或． 【点睛】此题考查了一次函数与三角形综合题，全等三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 12．（24-25八年级上·广东深圳·期中）如图1所示，正比例函数的解析式为，直线交x轴，y轴于点A、B，已知点A坐标为且．    (1)求直线的解析式； (2)现将直线沿x轴负方向平移，交直线于点M，交x轴，y轴于点E和F．试问当与全等时，直线需沿x轴负方向平移多少单位长度． 【答案】(1) (2)当与全等时，直线需沿x轴负方向平移个单位长度 【分析】（1）将直线向下平移1个单位，与x轴、y轴分别交于点C、D，交与点E，根据平移得出直线的解析式为，求出，，证明，得出，求出，根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）设直线需沿x轴负方向平移个单位长度后，，根据平移得出直线的解析式为，求出，，根据勾股定理得出，得出，根据三角形全等的性质得出，即，利用平方根解方程即可． 【详解】（1）解：将直线向下平移1个单位，与x轴、y轴分别交于点C、D，交与点E，如图所示：    根据平移可知，直线的解析式为， 把代入得， 把代入得， 解得：， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：设直线需沿x轴负方向平移个单位长度后，， 根据平移可知： 直线的解析式为， 把代入得， 把代入得，解得：， ∴，， ∴，， ∴， 根据解析（1）可知，， ， ∵， ∴， ∴， 即， ， ， ， ， ∴， 解得：或（舍去）， ∴当与全等时，直线需沿x轴负方向平移个单位长度．      【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，求一次函数解析式，三角形全等的性质，平方根定义，解题的关键是数形结合，熟练掌握三角形全等的判定和性质． 13．（24-25七年级上·山东淄博·期末）直线分别与轴交于两点，点A的坐标为，过点的直线交轴正半轴于点，且． (1)求点的坐标及直线的解析式； (2)在轴上方存在点，便以点为顶点的三角形与全等，画出并求出点的坐标； (3)若在线段上存在点，使点到点的距离相等，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)图见解析，点的坐标为或 (3)点的坐标 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出b值，进而得到点B坐标及的长度，从而可求出，得出点C坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）分和两种情况，分别求解即可； （3）设，则．由勾股定理得：，即，求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得． ． ， ， ， 点在轴正半轴上， 设直线的解析式为． 把及代入，得， 解得 直线的解析式为：． （2）解：分和两种情况：如图 当时， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵在第二象限内， ∴； 当时， ∴，， ∴即轴， 又∵，在第二象限内， ∴； 综上，点的坐标为或． （3）解：由题意，．设，则． 在中，， ． ． 解得，． ． 点的坐标． 【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质，平行线的判定，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是：（1）掌握待定系数法求一次函数解析式；（2）分两种情况：当时，当时，分别 求出点D坐标；（3）利用勾股定理建立关于点M纵坐标的方程． 14．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图：直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，，点是直线上与A、B不重合的动点．    (1)求直线的解析式； (2)当点C运动到什么位置时的面积是6； (3)过点C的另一直线与y轴相交于D点，是否存在点C使与全等？若存在，请求出点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线解析式为 (2)点C的坐标为或； (3)存在，、或时，与全等 【分析】（1）求出点A的坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）利用三角形的面积关于y的方程，再求出点C的坐标即可； （3）利用勾股定理列式求出，然后根据，然后分三种情况：当与是对应边时，利用全等三角形对应边相等求出，再写出点C的坐标即可；②与是对应边时，过点C作轴于E，利用面积法求出，再分点C在y轴的左边与右边两种情况求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴直线解析式为； （2）解：由（1）得：， ∵点，的面积是6， ∴， ∴， 解得：， ∴点C的坐标为或； （3）解：存在， 在中，∵， ∴， ∵点C是直线上与A、B不重合的动点，过点C的另一直线与y轴相交于点D， ∴， 当与是对应边时，    ∵， ， ∴， ∴点； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 与是对应边，点C在y轴的左侧时，过点C作轴于E，    ∵， ， ∵， ∴， 解得：，    ∴， ∴， ∴点C的坐标为； 综上所述，点C的坐标为、或． 【点睛】本题是一次函数综合题型，主要利用了一次函数与坐标轴的交点的求解，勾股定理，全等三角形的性质，关键在于根据题意得到，从而确定出三角形的对应边，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观． 15．（23-24八年级上·浙江绍兴·期末）已知，在平面直角坐标系中，直线经过，两点，点C为上一点，横坐标为，直线经过C，两点，交y轴于点E． (1)求点C坐标． (2)猜想的度数并说明理由． (3)若M为直线上一点，N为x轴上一点，以A，M，N为顶点的三角形与全等，直接写出点M的坐标． 【答案】(1)点C的坐标为 (2)，理由见解析 (3)点M的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法求得直线的解析式，再求得横坐标为时，纵坐标的值，即可求解； （2）利用勾股定理分别求得，和，利用勾股定理的逆定理即可求解； （3）分两种情况讨论，当与重合时，可求得点M的坐标；作交轴于点，过点作于点，此时与全等，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过，两点， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵点C为上一点，横坐标为， ∴， ∴点C的坐标为； （2）解：∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （3）解：当与重合时，即点与点C重合，此时点M的坐标为； 作交轴于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点M的坐标为， ∴，即， 解得， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求函数解析式，勾股定理及其逆定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，数形结合是解本题的关键． 16．（2025·广东云浮·一模）【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型．这种模型是证明三角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用．如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于两点． 【模型探索】 （1）如图2，求证：是等腰直角三角形． （2）如图3，是直线上的两动点，连接．若，求的长的最小值． 【模型应用】 （3）如图4，经过点的直线与轴交于点，为线段上的一点，作射线．若，求直线的函数解析式．     【答案】（1）见解析；（2）的长的最小值为8；（3） 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的应用，涉及待定系数法求函数解析式、垂线段最短、坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解题中新定义方法，添加合适辅助线构造“一线三直角”是解答的关键． （1）对于，当时，，当时，，即可求解； （2）由“一线三垂直”模型知，，则，即可求解； （3）由“一线三垂直”模型知，，设点，则，，即且，解得：，即点，进而求解． 【详解】（1）证明：对于， 当时，，当时，， 即点、的坐标分别为：、， ， 为直角， 是等腰直角三角形； （2）解：如图，当时，最小， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 即的长的最小值为8； （3）解：如图，过点作于点，过点作轴交于点，交过点和轴的平行线于点， ， 为等腰直角三角形，， 同（2）中原理可得，， ， 四边形为矩形， ， 当时，， ，即， 设， ，， 根据，， 可得， 解得：，即点， 设直线的解析式为 把代入可得， 解得， 所以直线的解析式为． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）如图1，在中，，，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足为D、E，即，，此图形可用于验证勾股定理．某学习小组探究三角形全等时，发现这是一组全等模型． (1)求证：． (2)如图2，在平面直角坐标系中，且．已知点A的坐标为，点C的坐标为，连接交y轴于点F，求点F的坐标． (3)如图3，直线分别交x轴、y轴于点G、H．若点P在第二象限，且是等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)或或 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据垂直得出直角，根据直角三角形的性质得出相等的角，利用即可得出结论； （2）根据（1）的结论得出全等三角形，得出相等的边，求出点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式，利用解析式即可求解； （3）分三种情况进行讨论，根据（1）的结论，证明三角形全等，得出相等的边，然后确定点的坐标即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：如图2所示，过点作轴于点，过点作轴于点， 同（1）得， ∴， ∵点A的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴，即， ∴， 假设直线的解析式为， 将和代入得， 解得 ∴直线的解析式为， 当时，， ∴； （3）解：当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴； ∴； ①如图3所示，当时，过点作轴于点， 同（1）得， ∴， ∴， ∴； ②如图4所示，当时，过点作轴于点， 同（1）得， ∴， ∴， ∴； ③如图5所示，当时，过点作轴于点，过点作交的延长线于点， ∴四边形为矩形， ∴， 同（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，或或． 18．（25-26八年级上·广西贺州·期末）综合与实践 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，则有，我们称这种全等模型为“型全等”． 已知：直线与轴，轴分别交于，两点． 【迁移应用】 （1）如图2，当时，在第一象限内构造等腰直角三角形， ①直接写出______，______． ②点的坐标为______． 【拓展应用】 （2）如图3，当的取值发生变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，则的面积是否发生变化？若不变，求出的面积；若变化，请说明理由． 【答案】（1）①3，6；②；的面积不发生变化．理由见解析 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定； （1）把代入即得解析式，分别令求出的长，过点作轴于点，利用三角形全等即可求出点的坐标； （2）过点作轴于点．同样利用三角形全等可以得出结论． 【详解】解：（1）①若，则直线． 当时，， ． 当时，， ， ． ②如图②，过点作轴于点， ， ． 是以为直角顶点的等腰直角三角形，． ， ， ， ， ， 点的坐标为． 故答案为：①3，6；②． （2）解：的面积不发生变化．理由如下： 当变化时，点随之在轴负半轴上运动， ． 如图①，过点作轴于点． ， ． ， ， ， ． ， ， ， ． 故当变化时，的面积不发生变化． 19．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期中）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型． 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D，E．易证： （1）①如图1，若，，则________； ②如图2，，，点B的坐标为，连接交y轴于点M，求点A的坐标，点M的坐标． 【模型应用】（2）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC的边、向外作正方形和正方形，是边上的高，延长交于点I，若，，则________． 【拓展探究】（3）如图4，的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为，点C在直线上，连结，当与的图象的夹角为时，请直接写出点C的坐标________． 【答案】（1）①；②，；（2）；（3）或 【分析】（1）①根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质得到，，于是得到结论； ②如图2，过A作轴于C，过B作轴于D，根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，同理，，，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （3）如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形，同理可得，设，则，，进而表示出点的坐标，代入一次函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：①∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：8； ②如图2，    过A作轴于C，过B作轴于D， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中，， ∴， ∴，， ∵点B的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， 设直线的解析式为，代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时， ∴ （2）如图3，过E作于M，的延长线于N．    ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 同理，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：如图所示，当在轴下方时，以为直角顶点作等腰直角三角形， 设，则， 同理可得 ∴ ∴ ∵在上， ∴ 解得： ∴，， ∴， 当在点的位置时， 综上所述，或 题型三：一次函数与三角形存在性问题 20．（25-26八年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点，点，直线交直线于点，交轴于点．在坐标平面内是否存在点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、以及平行四边形的性质，关键是利用平行四边形对角线互相平分求点的坐标；分别以为对角线这三种情况，求出点的坐标． 【详解】解：对于直线，当时，， ∴， 解方程组得， ∴， 对于直线，当时，， ∴， ∴，，． 设， 若使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，分三种情况讨论： ①当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得， 的坐标为； ②当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③当为对角线时，记为点， ∵四边形为平行四边形， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； 综上所述，存在点，使以、、、为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 21．（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴交于两点，正比例函数图象与交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)求的表达式； (3)在上是否存在一点使得的面积是的面积的倍．若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或． 【分析】（）将点代入直线的解析式求出，再令中，求出与轴的交点； （）设正比例函数的解析式为，将点代入求出，得到的表达式为； （）先求出与轴交点，算出，进而得到；分析可知点D在上方或点D在下方，然后分情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵ 点在直线上， 将代入得：， 解得， ∵是与轴的交点， 将代入，得：，解得， ∴； （2）解：∵是正比例函数，设解析式为， 将代入得：，解得， ∴的表达式为； （3）解：∵是与轴交点， 令得，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D在上方或点D在下方， ∵在上，可设， 当点D在上方时，， 即，解得， ∴， 当点D在下方时，， 即，解得或（舍去）， ∴， 综上，存在符合条件的点，坐标为或． 22．（25-26八年级上·四川成都·期末）如图，已知直线与轴交于点，直线与轴，轴分别交于点和点，且两直线交于点点坐标为． (1)求的值． (2)在轴上是否存在一点，使得与面积相等？若存在，请求出的坐标；若不存在，请说明理由． (3)直线上是否存在点，使得．若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，待定系数法求一次函数解析式，全等三角形的性质与判定． （1）将代入，得出，再代入，即可求解； （2）由（1）可得的解析式为，进而求得，设交轴于点，得出，进而求得面积为，根据与面积相等得出，即可求解； （3）根据，将绕点逆时针旋转得到，得到等腰直角三角形，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则为的交点，证明，求出，直线与直线的交点为；点关于点的对称点，则直线与直线的交点为另一个． 【详解】（1）解：依题意，将代入，得 ∴ 将代入得， 解得：； （2）解：由（1）可得的解析式为， 当时，，解得： ∴ 如图，设交轴于点， 当时，， ∴ ∴ ∵直线与轴交于点， 当时，，则 ∴， ∴ ∵， ∴ ∵与面积相等 ∴ 解得： ∵ ∴或 （3）存在点，使得，理由如下； 将绕点逆时针旋转得到，连接，过点作轴，过点作交于点，过点作交于，则是等腰直角三角形， ∴为的交点 ，， ， ， ， ， ， ，， ， 直线与轴交于点 当时，，解得 设直线的解析式为，代入得 解得： 直线的解析式为， ， 同理可得直线的解析式为， 解得： 设关于的对称点为， 的中点为， 即 同理可得直线的解析式为 解得： ∴ 综上所述，或 23．（25-26八年级上·江苏徐州·期末）如图，直线：与x轴交于点D，直线：与x轴交于点A，且经过定点，直线与交于点． (1)填空：___________，___________，___________； (2)在x轴上是否存在一点E，使的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接，设点P的运动时间为t秒．是否存在t的值，使和的面积比为？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；4；2 (2)存在一点，使的周长最短 (3)存在的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题； （1）利用待定系数法即可求解． （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于，连接，则此时的周长最小，，求出直线的解析式，即可解决问题． （3）分两种情况：①点在线段上，②点在线段的延长线上，由和的面积比为，即可求解． 【详解】（1）解：直线经过定点， ∴， ， 直线为， 直线经过点， ， 点的坐标为， 直线经过点， ． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则的周长最小． ∵，， 直线的解析式为， 令，得， 点的坐标为， 存在一点，使的周长最短； （3）解：直线为 点的坐标为， ， ， 点的运动时间为秒，速度为每秒1个单位， ， 分两种情况： ①如图，点在线段上， 和的面积比为， ， ， ， ； ②如图，点在线段的延长线上． 和的面积比为， ， ， ， ； 综上，存在的值，使和的面积比为，值为或； 24．（25-26八年级上·江苏苏州·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与轴交于点，且． (1)求直线的解析式； (2)线段上是否存在点P，使得将的面积分为两部分．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)射线上是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或，理由见解析 (3)存在，或，理由见解析 【分析】（1）根据非负数的性质，解方程，求出a和b，再用待定系数法求直线的解析式； （2）设，由将的面积分为两部分，得到或，再列方程求解即可； （3）先进行分类讨论，当点M在y轴右侧时，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为．不难得出，是等腰直角三角形．根据等腰直角三角形的性质，可以证出，由全等的性质，计算出点E的坐标，直线与的交点即为点M，利用一次函数计算即可．当点M在y轴左侧时，容易得出此时直线与直线关于y轴对称，利用对称性算出点M的坐标． 【详解】（1）解：， ∴，， ，， 设直线的解析式为， 把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为； （2）解：存在，理由如下： 设，则， ， ， 若将的面积分为两部分，则或， 即或， ∴或， ∴或， ∴或； （3）解：存在，理由如下： ①当点M在y轴右侧时， 如图，在x正半轴上取点E，使得，连接，过点E作的垂线，交于点F，作轴，垂足为G，设点E坐标为，点F坐标为． 由题意可知，直线与的交点即为所求的点M． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点E坐标为，点F坐标为，点B坐标为 ∴，，，， ∴， 解得，， ∴点E坐标为， 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， ②当点M在y轴左侧时， 如图，作点E关于y轴的对称点H，连接， 由对称的性质可得，，点H坐标为， 由①可知，， ∴， ∴直线与与的交点即为所求的点M． 设直线的函数解析式为， 将，代入得， ， 解得，， ∴直线的函数解析式为， 联立方程， 解得，， ∴点M坐标为， 综上所述，点M的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与角度相关的综合问题，一次函数与面积的相关问题，用待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，构造等腰直角三角形解题是关键． 25．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线与直线轴分别交于点． (1)不等式的解集为______． (2)在轴上是否存在一点，使得是以为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． (3)若D，E分别是直线和轴上的动点，是否存在点D，E，使得以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或或 (3)存在，或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键： （1）直接利用图象法求出不等式的解集即可； （2）分两种情况进行讨论求解即可； （3）分四边形为平行四边形和四边形为平行四边形，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， 由图象可知：的解集为：； （2）存在； 当时，， ∴， ∵， ∴； 当时，则：或； 当时，设， ∵，， ∴， ∴， ∴， 综上：或或； （3）把代入，得：， 解得：， ∴， 设， ∵以A，B，D，E为顶点，为一边的四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴； 当四边形为平行四边形时， ∴点先向左移动3个单位，再向下移动个单位得到点， ∴， ∵点在轴上， ∴， ∴， ∴ 综上：或． 26．（23-24八年级上·广东梅州·期末）如图，直线：与轴交于点，直线：与轴交于点，且经过定点，直线与交于点．    (1)填空：　　　　；　　　　； (2)在轴上是否存在一点，使的周长最短？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若动点在射线上从点开始以每秒2个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为秒．是否存在的值，使和的面积比为？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4 (2)存在一点，使的周长最短，； (3)存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）利用待定系数法求解即可． （2）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．求出直线的解析式，即可解决问题； （3）分两种情况：①点P在线段上，②点P在线段的延长线上，由和的面积比为，可得，根据比例的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，且经过定点， ∴， ∴， ∴直线， ∵直线经过点， ∴， ∴， 把代入，得到． ∴，， 故答案为：，4； （2）解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于E，连接，则的周长最小．    ∵， ∴． 设直线的解析式为， 把，代入得， ， ∴， ∴直线的解析式为， 令，得到， ∴， ∴存在一点E，使的周长最短，； （3）解：∵点P在射线上从点D开始以每秒2个单位的速度运动，直线， ∴， ∵， ∴， ∵点P的运动时间为t秒， ∴， 分两种情况：①点P在线段上，    ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴   ∴； ②点P在线段的延长线上，      ∵和的面积比为， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上：存在t的值，使和的面积比为，t的值为或． 27．（24-25八年级下·湖南长沙·月考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，与直线交于点，射线上的动点以每秒个长度单位的速度从点出发，沿着方向作匀速运动，运动时间为秒，连结． (1)则点的坐标____________； (2)若是等腰直角三角形，则的值为_________； (3)若平分的面积，求直线对应的函数关系式． (4)若的面积为，则点的坐标为_____________． (5)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． (6)平面内是否存在一点，使以、、、为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)或 (5)或或或 (6)或 【分析】根据直线与直线交于点，联立成方程组，解方程组即可求出点的坐标； 设的坐标为，由直线与轴的正半轴所夹锐角为，因此当时或当时，是等腰直角三角形，分别求出点的坐标进而得出的值即可； 先求出点的坐标，然后运用待定系数法求出直线的解析式即可； 过作于，根据三角形的面积公式解答即可； 分三种情况讨论：以、为边作菱形；以为边、为对角线作菱形；以为边、为对角线作菱形，分别求解即可； 分别两种情况讨论：以为边作矩形，设的坐标为，根据矩形的性质，利用勾股定理得，再根据和表示的长，列出方程求解即可；以为对角线作矩形，根据矩形的性质求得坐标即可． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， 解得： ， 故答案为； （2）直线与轴的正半轴所夹锐角为， ， 由题意，设的坐标为， 当时，是等腰直角三角形，此时轴于点， ， ， ， ， ； 当时，是等腰直角三角形，此时， 如图，过作于，则， ， ， ， ，， ； 综上所述：或， 故答案为或； （3）如图： 由， 令，得，， 平分的面积， ， ， 设直线的解析式是， 把，代入得：， 解得：， 直线对应的函数关系式是； （4）由（2）于， ，于， ， ， ， ， 的坐标为或； （5）分三种情况讨论： 以、为边作菱形，如图和图， ，，， 设， ，， ，， ， 解得或， 点坐标为或； 以为边、为对角线作菱形，如图， 、关于轴对称，， ； 以为边、为对角线菱形，如图， ，， 设， ，， ，， ， 解得， 坐标为， 综上所述符合条件的的坐标为或或或， 故答案为或或或； （6）分别两种情况讨论： 以为边作矩形， 设的坐标为， 四边形为矩形， ， ，， ， 解得， ； 以为对角线作矩形， ，四边形是矩形， ， ， ， 的坐标为 ， 综上所述点的坐标为或， 故答案为或 ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求出一次函数解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积，等腰直角三角形，菱形的性质，矩形的性质，两点间距离公式以及分类讨论的思想等知识点的应用，题目是一道比较典型的题目，综合性比较强． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02一次函数与三角形综合问题的三种模型 题型归纳 目录 题型一：一次函数与三角形的面积问题 ..1 题型二：一次函数与三角形全等问题.… .14 题型三：一次函数与三角形存在性问题 .41 题型专练 题型一：一次函数与三角形的面积问题 1.(25-26八年级上全国·随堂练习)如图，两条直线y=2x+3和y=kx+6相交于点A1,5),两直线与x轴 所围成的ABC的面积是 V 2.(25-26八年级下全国周测)如图，一次函数y=2x+6的图象与X轴、y轴分别交于A,B两点，过点 4 B的直线1平分△AB0的面积且与x轴交于点C,则直线1对应的函数解析式为 B 3.(23-24八年级上·贵州贵阳期末)如图所示，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点 B(8,0),C(0,4),且与直线，：y=x交于点4，点P沿0→4→B的折线运动. 3 B (1)求直线的函数表达式： (2)求△0AB的面积； 1/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)当△OPB的面积是△OAB的面积的4时，直接写出此时点P的坐标. 1 4.(25-26八年级上·江苏泰州·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线y=。x+2分别与x轴、y轴相交于 点A、点B,直线CE与AB相交于点C(-2,m,与x轴相交于点D,与y轴相交于点E(0,-1),点P是y轴 上一动点. B A D E (I)求直线CE的函数表达式： (2)求△ACD的面积； (3)当△ADP的面积等于△ADC面积时，求点P的坐标. 5.(22-23八年级上四川达州月考)如图，在平面直角坐标系中，△0BC为等腰直角三角形，其中0B=6 ,直线y= x与直线BC交于点A,有一个动点M沿路线O一A→C运动. y C B (I)求直线BC的解析式： (2)求a0AC的面积； (3)当aOMC的面积是aOAC的面积的三时，求出这时点M的坐标. 6.(24-25八年级上·全国期末)如图，一次函数y=x+2的函数图象与x轴，y轴分别交于点A,B. 2/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若点P(-1,m)为第三象限内一个动点，请问△0PB的面积会变化吗？若不变，请求出面积；若变化，请 说明理由？ (2)在(1)的条件下，试用含的代数式表示四边形APOB的面积；若△APB的面积是4，求m的值. 7.(24-25七年级下·福建福州期中)如图，在平面直角坐标系中，Aa,0),B(b,0),其中a、b满足 Va+1+(b-3=0 B (1)填空：a= ,b= (2)如果在第三象限内有一点M(-3,m-1),用含m的式子表示△AMB的面积； (3)在(2)的条件下，当m=-1时，此时线段BM与y轴交于点C,动点P在y轴上运动，当△PMB的面积 与△AMB的面积相等，请求出点P的坐标. 8.(24-25七年级下·福建福州期中)如图，在平面直角坐标系中，己知点Aa,4,B(-5,b),a,b满足 √2a+6+b-2=0.点C从0点出发以每秒2个单位长度沿y轴负方向运动.设运动时间为t秒. (I)直接求出a= ，b= (2)如图，连接OA、OB、AB,AC、OB交于点D, ①求三角形AOC的面积（用含t的代数式表示）： ②当点C运动多少秒时，三角形ABD的面积等于三角形COD的面积； (3)过点C作CE∥x轴，交AB延长线于点E(m,n),补全图形并证明m与n之差为定值； 9.(2025·上海闵行·二模)一个数学兴趣小组尝试探究一次函数图象与两坐标轴所围成三角形面积的问题.为 了较为全面地研究这个问题，他们准备把它分成两种类型问题来分别进行研究： 类型I:一条直线y=c+b(k、b都不为0)与两条坐标轴所围成的三角形面积大小； 类型Ⅱ：两条直线马：y=kx+b和l2:y2=k2x+b2(k≠飞2、b≠b,且都不为零)与坐标轴所围成的三角形 的面积、直线与两条坐标轴所围成的三角形面积、直线马与两条坐标轴所围成的三角形面积之间的关系， 小组成员认为第一类问题只要将直线与两坐标轴的交点坐标分别求出来，就能解决；而第二类的问题需要 3/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 根据两个函数k和b符号的不同情况，分别进行研究，才能得出相应的结论 B A 图1 图2 图3 (1)如图1，请你帮助小组求出△AB0的面积S(用含k和b的式子表示)： (2)将直线4与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S,直线马与两条坐标轴所围成的三角形面积记为S2, 直线4、马和x轴所围成的三角形面积记为S,它们和y轴所围成的三角形面积记为S,. ①在图2中己经画出了直线和马大致图象的一种情况，那么关于这两个一次函数的k和b符号选项正确的 是 A.k>0,b>0,k2>0,b2>0 B.k>0,b>0,k2<0,b<0 C.k>0,b<0,k2<0,b2>0D.k>0,b>0,k2<0,b2>0 此时S、S2、S和S,之间的关系式是 ②如图3，保持直线4不变，改变直线中k2和b的符号（不考虑k,和b,的大小），请在图中画出直线的 大致图象，此时S、S2、S和S,之间的关系式是 题型二：一次函数与三角形全等问题 4 10.(22-23八年级下·陕西西安期中)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-。x+4分别与x轴、y轴交于 3 点A、点B,将AOB绕坐标原点逆时针旋转90°得到△COD D (I)求直线CD的函数表达式： (2)若点P是直线CD上一点，点Q是x轴上一点（点Q不与点O重合），当DP9与△COD全等时，直接 写出点P的坐标 ,2023八年级下全困专题练习》如图，一次函数+6的图象与x雅交于点4，与v雅交于点B OC⊥AB于点C,点P在直线AB上运动，点Q在y轴的正半轴上运动. 4/12 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)求点A,B的坐标； (2)求0C的长； (3)若以O,P,Q为顶点的三角形与△0CP全等，求点Q的坐标. 12.(2425八年级上广东深圳期中)如图1所示，正比例函数的解析式为y=,直线马交x轴，》 轴于点A、B,已知点A坐标为(-1,0)且1⊥2. B 1 图1 备用图 (1)求直线的解析式： (2)现将直线I沿x轴负方向平移，交直线Z于点M,交x轴，y轴于点E和F.试问当aBMF与△EOF全等 时，直线需沿x轴负方向平移多少单位长度 13.(24-25七年级上山东淄博期末)直线AB:y=x+b分别与x,y轴交于A,B两点，点A的坐标为-3,0)， 过点B的直线交x轴正半轴于点C,且0B:0C=3:2. A -1 (①)求点B的坐标及直线BC的解析式： (2)在x轴上方存在点D,便以点A,B,D为顶点的三角形与ABC全等，画出△ABD并求出点D的坐标； (3)若在线段OB上存在点M,使点M到点B,C的距离相等，求出点M的坐标. 5/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 14.(24-25八年级下湖南衡阳期末)如图：直线y=x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点， 8含点 C(x,y)是直线y=x+3上与A、B不重合的动点. B 0 (1)求直线y=x+3的解析式： (2)当点C运动到什么位置时△A0C的面积是6： (3)过点C的另一直线CD与y轴相交于D点，是否存在点C使△BCD与AOB全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由 15.（23-24八年级上·浙江绍兴期末)已知，在平面直角坐标系x0y中，直线经过A(0,3),B(1,0)两点， 点C为4上一高，横坐标为，直线马经过C,0-30两点，交y轴于点区. 备用图 (1)求点C坐标. (2)猜想LDCB的度数并说明理由. (3)若M为直线I上一点，N为x轴上一点，以A,M,N为顶点的三角形与△ACD全等，直接写出点M的 坐标。 16.(2025·广东云浮.一模)【模型建立】 如图1，三个直角三角形的直角顶点都在同一条直线上，这一模型叫作“一线三垂直”型.这种模型是证明三 角形全等的常见模型，在数学解题中被广泛使用.如图，一次函数y=一x+10的图象与x轴、y轴分别交于 B,A两点. 【模型探索】 (1)如图2，求证：AOB是等腰直角三角形 (2)如图3，M,N是直线y=x上的两动点，连接BM,AN.若BM⊥MN,BM=6,求AN的长的最小值 【模型应用】 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图4，经过点B的直线y=2x-5与y轴交于点C，H为线段OB上的一点，作射线CH,若 ∠BCH=45°，求直线CH的函数解析式. E 图1 图2 图3 图4 17.(25-26八年级上·安微宿州期末)如图1，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点A、B分别作直 线1的垂线，垂足为D、E,即AD⊥1，BE11,此图形可用于验证勾股定理.某学习小组探究三角形全等 时，发现这是一组全等模型. B G O 图1 图2 图3 (1)求证：△ADC≌△CEB (2)如图2，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°且AC=BC.己知点A的坐标为(-8,3)，点C的坐标为 (-2,0),连接AB交y轴于点F,求点F的坐标. (3)如图3，直线y=2x+4分别交x轴、y轴于点G、H.若点P在第二象限，且△GPH是等腰直角三角形， 请直接写出所有满足条件的点P的坐标. 18.(25-26八年级上广西贺州期末)综合与实践 【探索发现】如图1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA,直线DE经过点C,过点A作 AD⊥DE于点D,过点B作BE⊥DE于点E,则有△BEC≌△CDA,我们称这种全等模型为“K型全等”. 己知：直线y=c+6(k≠0)与x轴，y轴分别交于A,B两点. 【迁移应用】 (1)如图2，当k=-2时，在第一象限内构造等腰直角三角形ABE,∠ABE=90° ①直接写出OA=, OB= ②点E的坐标为 【拓展应用】 (2)如图3，当k的取值发生变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作BN⊥AB,并 且BN=AB,连接ON,则△OBN的面积是否发生变化？若b不变，求出△OBN的面积；若变化，请说明 理由. 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图1 图2 图3 19.(24-25八年级上·辽宁沈阳·期中)某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的全等模型. 【全等模型】如图1，已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A,BD⊥直线1，CE⊥ 直线1，垂足分别为点D,E.易证：△ABD≌△CAE (1)①如图1，若BD=3,CE=5,则DE= A 图1 ②如图2，∠AOB=90°，OA=OB,点B的坐标为1,2)，连接AB交y轴于点M,求点A的坐标，点M的 坐标 B 图2 【模型应用】(2)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3，过△ABC 的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I,若 BH=2,CH=3,则A1= E B 图3 【拓展探究】(3)如图4，y=2x+6的图象分别交x轴和y轴于A、B两点，点D坐标为(0，-1)，点C在 直线AB上，连结CD,当CD与y=2x+6的图象的夹角为45°时，请直接写出点C的坐标 8/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图4 题型三：一次函数与三角形存在性问题 20.(25-26八年级上山东威海·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8分别交x轴，y轴于点A ,点8，直线)一等数号交直线B于点C,交维于点D,在坐标平面内是香存在点F,发以，C,D ,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由. OVD A 21.(25-26八年级下·山东淄博·月考)如图，直角坐标系xO中，一次函数y=-。x+5的图象分别与x,y 2 轴交于A,B两点，正比例函数图象马与交于点C(m,4). A (1)求m的值和A点的坐标； (2)求马的表达式： (3)在马上是否存在一点D使得△ACD的面积是△BOC的面积的6倍.若存在，求出D点的坐标；若不存在， 说明理由. 22.(25-26八年级上四川成都期末)如图，已知直线1：y=x-4与x轴交于点A,直线l:y=2x+8与x轴， y轴分别交于点D和点B,且两直线交于点C,C点坐标为-8，m). 9/12 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D A 备用图 (I)求k的值， (2)在y轴上是否存在一点P,使得△BCP与ABC面积相等？若存在，请求出P的坐标：若不存在，请说明 理由。 (3)直线AB上是否存在点Q,使得∠BDQ=45°.若存在，求出Q的坐标；若不存在，请说明理由 23.(25-26八年级上江苏徐州期末)如图，直线：y=x+1与x轴交于点D,直线2：y=-x+b与x轴 交于点A,且经过定点B(-1,5),直线4与交于点C(2,m) (I)填空：k= ,b= ,n= (②)在x轴上是否存在一点E,使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若动点P在射线DC上从点D开始以每秒1个单位的速度运动，连接AP,设点P的运动时间为t秒.是 否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由. 24.(25-26八年级上江苏苏州·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线1的解析式为y=-x,直线与4交 于点A(-a,a,与y轴交于点B(0,b),且(a-2+Vb-6=0. B 备用图 (1)求直线的解析式： 10/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (②)线段A0上是否存在点P,使得BP将△AB0的面积分为1：2两部分.若存在，请求出点P的坐标；若不 存在，请说明理由： (3)射线A0上是否存在点M,使得∠AB0+∠MB0=45°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理 由. 25.(24-25八年级下·广东梅州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=。x+1与x轴交于点B,直线 2:y=mx+n与直线，x轴分别交于点A1,) C(4,0) B ①不等式)+1>mx+n的解集为 (2)在x轴上是否存在一点M,使得△ABM是以AB为腰的等腰三角形？如果存在，请直接写出点M的坐标； 如果不存在，请说明理由， (3)若D,E分别是直线和y轴上的动点，是否存在点D,E,使得以A,B,D,E为顶点，AB为一边的 四边形是平行四边形？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. 26.（23-24八年级上·广东梅州期末)如图，直线4：y=c+1与x轴交于点D,直线Z:y=x+b与x轴交 于点A,且经过定点B1,5),直线与Z交于点C(-2,m). B (I)填空：k= ；b= (②)在x轴上是否存在一点E,使△BCE的周长最短？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由. (3)若动点P在射线DC上从点D开始以每秒2个单位的速度运动，连接AP,设点P的运动时间为t秒.是 否存在t的值，使△ACP和△ADP的面积比为1：3？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由， 27.2425八年级下衡南长沙月考)如图，直线y=了+3与坐标轴分别交于点4，，与直线y=交 于点C,射线OA上的动点Q以每秒2个长度单位的速度从点O出发，沿着OA方向作匀速运动，运动时间 为t秒，连结CQ. 11/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B (1)则点C的坐标 (2)若△OOC是等腰直角三角形，则t的值为 (3)若CQ平分△0AC的面积，求直线C2对应的函数关系式. (4)若△QAC的面积为5，则？点的坐标为 (⑤)平面内是否存在一点P,使以P、Q、A、C为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. (⑥平面内是否存在一点M,使以M、Q、A、C为顶点的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标： 若不存在，请说明理由. 12/12