专题2.4 整数指数幂（高效培优讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题2.4 整数指数幂 教学目标 1. 知识目标：理解整数指数幂的定义与性质，掌握整数指数幂的运算法则，如an×am=an+m、(an)m=anm 等 ，能够进行整数指数幂的简化和展开。 2. 能力目标：能准确计算整数指数幂，将整数指数幂知识运用到实际问题解决中，熟练运用运算规则。 3. 情感目标：激发对数学的探索兴趣，培养逻辑思维与团队合作精神。 教学重难点 1.重点 （1）整数指数幂的定义与性质：帮助学生深入理解整数指数幂概念，熟悉掌握其性质。 （2）整数指数幂的运算法则：让学生熟练掌握同底数幂的乘法、除法、乘方以及幂的乘方等运算法则。 2.难点 （1）整数指数幂的性质与运算法则的掌握：学生对性质和运算法则的理解运用存在困难，尤其是幂的乘方和积的乘方等法则。 （2）将实际问题转化为整数指数幂模型：学生在将实际问题转化为模型时，常出现理解不清、应用不熟练的情况。 知识点01 同底数幂的除法 法则:同底数幂相除,底数 ,指数 . 用字母表示:(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 同底数幂相除的公式: (a≠0,m,n是正整数,且m>n),反过来也成立,即(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)． 【即学即练2】计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 知识点02 零指数幂和负整数指数幂 1. 零次幂:任何不等于零的数的零次幂都等于 ,即 (a≠0). 2.负整数指数幂:非零数的负整数指数幂可表示为同底数的正整数指数幂的 ,即(a≠0,n是正整数). 【即学即练1】若有意义，则a应满足的条件是 ． 【即学即练2】计算： ． 知识点03 用科学记数法表示绝对值小于1的数 把绝对值较小的数表示成 的形式(1≤|a|<10,n为正整数). 【即学即练1】人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【即学即练2】（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 知识点04 整数指数幂的运算法则 （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，b≠0，n是整数）. 【即学即练1】计算： (1)； (2)． 【即学即练2】先化简，再求值：，其中． 题型01 同底数幂的除法运算 【典例1】计算： ． 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例2】求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 【变式1】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【变式2】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【变式3】本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 题型03 零指数幂 【典例3】计算： ． 【变式1】如果成立，则 ． 【变式2】计算： ． 【变式3】已知，求x的值为 ． 题型04 负整数指数幂 【典例4】 ． 【变式1】计算： 【变式2】如无意义，则 ． 【变式3】若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 题型05 零指数幂和负整数指数幂计算题 【典例5】计算：． 【变式1】计算：． 【变式2】计算：． 【变式3】计算： 题型06 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例6】微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【变式1】红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【变式2】2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 题型07 还原用科学记数法表示的小数 【典例7】将化为原数是 ． 【变式1】一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 【变式2】用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 题型08 整数指数幂的运算 【典例8】计算：． 【变式1】计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【变式2】按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 一、单选题 1．计算的值为（ ） A． B． C． D． 2．某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节．数据0.0000024用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．计算： ． 7．若无意义，则 ． 8．若，则的值为 ． 9．若单项式与可以合并成一项，则的值是 ． 10．，则m的值为 ． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 12．计算： (1) (2) 13．计算： (1)； (2) 14．（1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 15．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 16．（1），，求的值； （2）若，，求． 17．（1）已知：，，求的值； （2）已知，，求的值． （3）若，求的值． （4）若，求m的值． 18．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.4 整数指数幂 教学目标 1. 知识目标：理解整数指数幂的定义与性质，掌握整数指数幂的运算法则，如an×am=an+m、(an)m=anm 等 ，能够进行整数指数幂的简化和展开。 2. 能力目标：能准确计算整数指数幂，将整数指数幂知识运用到实际问题解决中，熟练运用运算规则。 3. 情感目标：激发对数学的探索兴趣，培养逻辑思维与团队合作精神。 教学重难点 1.重点 （1）整数指数幂的定义与性质：帮助学生深入理解整数指数幂概念，熟悉掌握其性质。 （2）整数指数幂的运算法则：让学生熟练掌握同底数幂的乘法、除法、乘方以及幂的乘方等运算法则。 2.难点 （1）整数指数幂的性质与运算法则的掌握：学生对性质和运算法则的理解运用存在困难，尤其是幂的乘方和积的乘方等法则。 （2）将实际问题转化为整数指数幂模型：学生在将实际问题转化为模型时，常出现理解不清、应用不熟练的情况。 知识点01 同底数幂的除法 法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减. 用字母表示:(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 同底数幂相除的公式: (a≠0,m,n是正整数,且m>n),反过来也成立,即(a≠0,m,n是正整数,且m>n). 【即学即练1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解； （2）根据同底数幂的除法运算即可求解； （3）根据同底数幂的除法运算即可求解． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【即学即练2】计算： (1) (2)； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2) (3)，－25． 【分析】（1）先算幂的乘方，再算乘除，最后计算加减即可求解； （2）把 作为一个整体，从左往右计算，即可求解； （3）先算括号内的，再计算除法，最后再代入求值，即可求解． 【详解】（1）原式； （2）原式． （3）原式== =， 当=－5时，原式=－25． 【点睛】本题主要考查了幂的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握幂的运算法则，零指数幂，负整数指数幂法则是解题的关键． 知识点02 零指数幂和负整数指数幂 1. 零次幂:任何不等于零的数的零次幂都等于1,即 (a≠0). 2.负整数指数幂:非零数的负整数指数幂可表示为同底数的正整数指数幂的倒数,即(a≠0,n是正整数). 【即学即练1】若有意义，则a应满足的条件是 ． 【答案】且 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂和0指数幂，0指数幂和负整数指数的底数不能为0， 根据零指数幂，负整数指数幂的运算法则列不等式求解． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且． 故答案为：且． 【即学即练2】计算： ． 【答案】0 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了含有乘方的有理数的混合运算，掌握零次幂，负指数幂，有理数的混合运算法则是解题的关键． 分别算出乘方，零次幂，负指数幂的结果，再根据有理数的加减运算法则计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 知识点03 用科学记数法表示绝对值小于1的数 把绝对值较小的数表示成的形式(1≤|a|<10,n为正整数). 【即学即练1】人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，熟练掌握科学记数法的表示形式是解题的关键．将一个数表示成的形式，其中，n为整数，当绝对值小于1时，n为负整数，由第一个非零数字前零的个数决定；确定a、n的值成为解题的关键．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：C． 【即学即练2】（1）某种植物花粉的直径约为，用小数表示为 m； （2）某种生物孢子的直径约为，用科学记数法表示为 m． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数、还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． （1）根据科学记数法表示方法将小数点向左移动5个单位即可． （2）根据科学记数法表示方法解答即可． 【详解】解：（1）用小数表示为． 故答案为：． （2）用科学记数法表示为． 故答案为：． 知识点04 整数指数幂的运算法则 （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，m，n都是整数）； （a≠0，b≠0，n是整数）. 【即学即练1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）运用积的乘方运算法则，负指数幂的运算法则即可求解； （2）运用积的乘方运算法则，负指数幂的运算法则，整式的乘除法运算法则即可求解 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法运算，掌握积的乘方，负指数幂的运算法则，整式整除法运算法则是解题的关键． 【即学即练2】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整数指数幂的混合运算，涉及积的乘方，幂的乘方，同底数幂的乘除法，负整数指数幂；先利用积的乘方，再利用幂的乘方、同底数幂的乘除法计算，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 题型01 同底数幂的除法运算 【典例1】计算： ． 【答案】 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】本题主要查了同底数幂相除．根据同底数幂除法法则计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为： 【变式1】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂的除法运算 【分析】（1）根据同底数幂的除法运算即可求解； （2）根据同底数幂的除法运算即可求解； （3）根据同底数幂的除法运算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 【点睛】本题主要考查整式的乘除法的运算，掌握其运算法则是解题的关键． 【变式2】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】幂的乘方运算、积的乘方运算、同底数幂的除法运算 【分析】（1）把当作一个整体，根据同底数幂的除法法则计算，再利用积的乘方法则计算即可； （2）先根据幂的乘方法则计算，再根据同底数幂的除法法则计算； （3）先根据同底数幂的乘法法则计算同时根据有理数乘方进行运算，再根据同底数幂的除法法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【点睛】本题考查整式的乘除混合运算，掌握相应的运算法则、掌握运算顺序是解题的关键． 【变式3】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】同底数幂的除法运算、积的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】（1）利用同底数幂的除法法则计算即可； （2）利用同底数幂的乘法和除法法则计算即可； （3）利用积的乘方和同底数幂的除法法则计算即可； （4）先把，底数作为一个整体，利用同底数幂的乘法和除法计算即可； 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解：． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练运用这些运算法则是解题的关键． 题型02 同底数幂除法的逆用 【典例2】求值 (1)已知，求的值；（用含、的代数式表示） (2)已知．求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，同体数幂的除法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）逆运用同底数幂的乘法解答即可； （2）逆运用同底数幂的除法，幂的乘方解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴． 【变式1】（1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的灵活运用． （1）首先根据同底数幂的乘法法则求出m的值，然后利用同底数幂的乘除法的法则及幂的乘方的法则对所求的式子进行整理，再代入相应的值运算即可； （2）利用同底数幂的乘法和幂的乘方对整理为，然后求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ； （2） ∴ ∴ ∴． 【变式2】已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)写出，，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂除法的逆用、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，同底数幂的除法的逆运算，熟练掌握幂的运算性质是解题的关键． （1）根据，代入计算即可； （2）根据，结合代入计算即可； （3）根据，结合变形即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵， ∴． （3）解：∵， 又， ∴， ∴． 【变式3】本学期我们学习了“同底数幂除法”的运算， 运算法则如下：． 根据“同底数幂除法”的运算法则，回答下列问题： (1)填空：___________，___________； (2)如果，求出的值； (3)如果，请直接写出的值． 【答案】(1)； (2)3 (3)或或 【知识点】同底数幂除法的逆用、同底数幂的除法运算 【分析】（1）直接利用例题的方法计算； （2）利用例题方法得出，解方程即可； （3）分类讨论，指数相等时，时，时，分别计算即可． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ， ， 解得：， ； （3）解：， 当时，； 当时， ； 当时，． 或或． 【点睛】本题主要考查同底数幂除法,熟练掌握同底数幂除法的运算法则是解题的关键． 题型03 零指数幂 【典例3】计算： ． 【答案】1 【知识点】零指数幂 【分析】本题考查了零指数幂．熟练掌握零指数幂是解题的关键．根据零指数幂求解作答即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：． 【变式1】如果成立，则 ． 【答案】 【知识点】零指数幂 【分析】本题主要考查了零指数幂成立的条件，解题的关键是熟练掌握．根据零指数幂成立的条件，得出，求出结果即可． 【详解】解：如果成立，那么， 解得：． 故答案为：． 【变式2】计算： ． 【答案】5 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】此题考查了零指数幂和有理数的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算零指数幂和有理数的乘方，然后计算加减． 【详解】解： ． 故答案为：5． 【变式3】已知，求x的值为 ． 【答案】或或 【知识点】有理数的乘方运算、零指数幂 【分析】本题考查零指数幂的性质以及有理数的乘方运算等知识，运用了分类讨论的思想，利用零指数幂，负1的偶数次幂等于是解题的关键．零指数幂是指任何一个不等于零的数的零次幂都等于． 直接利用零指数幂的性质以及的偶数次幂等于分别化简求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴当且时， 解得：； 当时， 解得：； 当且为偶数时， 解得：； ∴的值为或或． 故答案为：或或． 题型04 负整数指数幂 【典例4】 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，结合的运算法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：4． 【变式1】计算： 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式2】如无意义，则 ． 【答案】4 【知识点】负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂，由已知无意义，可知，然后代入求值． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为4． 【变式3】若，则大小关系是 ．（按从小到大顺序排列） 【答案】 【知识点】零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负指数幂和零指数幂．解决本题的关键是根据负指数幂的法则可得、、根据指数幂运算法则可得，然后根据计算的结果比较它们之间的大小关系为． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为： ． 题型05 零指数幂和负整数指数幂计算题 【典例5】计算：． 【答案】9 【知识点】实数的混合运算、求一个数的绝对值、零指数幂、负整数指数幂 【分析】此题考查了绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算绝对值，有理数的乘方，零指数幂和负整数指数幂，然后计算加减． 【详解】解： ． 【变式1】计算：． 【答案】． 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值、求一个数的算术平方根 【分析】本题考查了实数的混合运算，根据算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂运算法则进行计算即可，解题的关键是熟知相关运算法则． 【详解】解：原式 ． 【变式2】计算：． 【答案】 【知识点】实数的混合运算、求一个数的算术平方根、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查了负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则，掌握相关运算法则是解题关键．根据题意利用负整数指数幂、算术平方根、绝对值、零指数幂的法则进行化简，然后根据实数运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 【变式3】计算： 【答案】 【知识点】负整数指数幂、零指数幂、求一个数的立方根、实数的混合运算 【分析】本题主要考查了实数的运算，根据，再计算可得答案． 【详解】解：原式 ． 题型06 用科学记数法表示绝对值小于1的数 【典例6】微电子技术的不断进步，半导体材料的精细加工尺寸大幅度缩小，某种电子元件的面积大约为0.00000075平方毫米，用科学记数法表示为 平方毫米． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式1】红细胞是血液中数量最多的一种血细胞，主要负责运输氧气和二氧化碳，人的红细胞的直径大约在左右．数据用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，熟练掌握科学记数法的表示方法是解题的关键； 根据绝对值小于1的负数科学记数法表示，一般形式为，其中，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，据此解答即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【变式2】2023年 5月 31 日，我国首个国际科技组织总部集聚区在北京揭牌并正式启用，首批有国际氢能燃料电池协会等8家国际科技组织入驻． 氢能燃料电池是氢能利用的一种重要形式，能有效推动能源绿色低碳转型． 氢通常的单质形态是氢气，氢气是最轻的气体且难溶于水，其水溶性为，0.00017用科学记数法表示为 ． 【答案】 【知识点】用科学记数法表示绝对值小于1的数 【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为 的形式，其中 ，为整数（确定 的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，小数点向左移为正，向右移为负）． 【详解】解：， 故答案为：． 题型07 还原用科学记数法表示的小数 【典例7】将化为原数是 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法．将科学记数法表示的数，还原成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得到的数． 【详解】解：把数据中6.18的小数点向左移动3位就可以得到为． 故答案为：． 【变式1】一种细菌的半径是米，用小数表示为 米． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：米米， 故答案为：． 【变式2】用科学记数法表示的数，用小数表示为 ． 【答案】 【知识点】还原用科学记数法表示的小数 【分析】本题主要考查了绝对值较大的科学记数法， （其中正整数）表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把的小数点向左移动位所得的数，据此解答即可． 【详解】解：． 故答案为： 题型08 整数指数幂的运算 【典例8】计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式混合运算，计算幂的乘方、同底数幂的乘法，最后合并同类项即可， 【详解】解：． 【变式1】计算： (1)； (2) (3) (4) (5)． (6)． 【答案】(1)； (2)x10； (3)； (4)； (5)； (6) 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，整数指数幂的运算，解题的关键是熟记负整数幂的法则及同底数幂的乘除法则． （1）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （2）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （3）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （4）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （5）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． （6）根据整数指数幂的运算法则进行计算，再化为正整数指数幂的形式即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解： ． （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ； 【变式2】按要求解答下面各题． (1)已知，求的值； (2)已知，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，熟练掌握幂的运算法则正确计算是解决此题的关键． （1）根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法则计算得出，然后把整体代入计算即可； （2）根据幂的乘方法则，同底数幂相乘法把变形为，则可求出，然后根据幂的乘方法则，积的乘方法则以及同底数幂相除法则计算，最后把m的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ ． 一、单选题 1．计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除法．需分步计算各部分的符号和指数，再合并结果即可． 【详解】解： ； 故选：A． 2．某款无人机的影像传感器像素点间距为0.0000024米，能够捕捉到丰富的细节．数据0.0000024用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，即可求解． 【详解】解：． 故选：B． 3．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数运算，涉及合并同类项、积的乘方、负整数指数幂及零指数幂的定义，需逐一验证各选项的正确性 【详解】选项A： 合并同类项：，结果应为而非，故A错误； 选项B： 根据积的乘方法则，，且系数需单独乘方： ，与选项B一致，故B正确； 选项C： 负整数指数幂定义：，故 ，结果应为而非，故C错误； 选项D： 根据初中数学规定，无意义，属于未定义表达式，故D错误； 故选B 4．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据完全平方公式，同底数幂除法，多项式除以单项式计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算错误，不符合题意； B、，计算正确，符合题意； C、，计算错误，不符合题意； D、，计算错误，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式，同底数幂除法，多项式除以单项式，熟知相关计算法则是解题的关键． 5．如果，，，那么，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先依据有理数的乘方，负整数指数幂，零指数幂分别计算a、b、c的值，再比较大小． 【详解】解：，，， 则， 故选：C． 二、填空题 6．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为： 7．若无意义，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂．根据负整数指数幂的性质得到，解之代入求值即可． 【详解】解：∵无意义， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 8．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆用，幂乘方的逆用，利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 9．若单项式与可以合并成一项，则的值是 ． 【答案】/0.5 【分析】本题主要考查了合并同类项，同类项的定义，解方程组，负整数指数幂，熟练掌握所含字母相同，相同字母的指数相同的两个单项式是同类项是解题的关键． 根据题意得到，可求出m，n的值，再代入即可求解． 【详解】解：∵单项式与可以合并成一项 ∴， 解得： ∴． 故答案为：． 10．，则m的值为 ． 【答案】1或0或 【分析】本题考查了零指数幂，有理数的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据1的任何次幂都是1，的偶次幂都是1，零指数幂的运算法则分别计算即可． 【详解】解：当，即时，，； 当，即时，，； 当，，即时，； 综上，的值为1或0或， 故答案为∶ 1或0或． 三、解答题 11．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的混合运算、实数的运算． （1）先根据负整数指数幂、零指数幂、乘方的运算法则化简，然后计算加法即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数混合运算，负整数指数幂，零指数幂，单项式乘除运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）先根据负整数指数幂，零指数幂，绝对值和乘方化简，再计算即可； （2）先算乘方，再算乘法，最后算单项式除以单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ＝ ＝． 13．计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查负整数指数幂，零指数幂，积的乘方，幂的乘方，单项式的乘除，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先计算乘方，负整数指数幂，零指数幂，再计算加减即可； （2）先计算积的乘方，幂的乘方，再计算单项式的乘除即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 14．（1）； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，乘法公式的应用，整式的混合运算，化简求值； （1）先计算绝对值，零次幂，负整数指数幂，乘方运算，再合并即可； （2）先计算括号内整式的乘法运算，再合并同类项，最后计算整式的除法运算得到化简的结果，再把，代入计算即可. 【详解】解：（1） ； （2） ； 当，时， 原式. 15．（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1） （2）， 【分析】本题考查负整数指数幂、零指数幂、含乘方的有理数的混合运算、整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解答的关键． （1）先进行绝对值、零指数幂、负整数指数幂、乘方运算，再加减运算即可求解； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行括号内的运算，再整式除法运算进行化简，再代入字母的值求解即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式= 将，代入上式，得 原式． 16．（1），，求的值； （2）若，，求． 【答案】（1）（2） 【分析】本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）化简，再将已知代入即可； （2）由，，可得，，求出、的值即可求解． 【详解】解：（1），， ∴ ； （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴． 17．（1）已知：，，求的值； （2）已知，，求的值． （3）若，求的值． （4）若，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法，除法运算的逆运算，幂的乘方运算，掌握运算法则是解本题的关键； （1）利用同底数幂的乘法运算的逆运算可得，再把条件变形整体代入计算即可； （2）利用同底数幂的除法运算的逆运算可得，再把条件变形整体代入计算即可； （3）把化为，再把条件变形整体代入计算即可； （4）由可得，再建立方程求解即可； 【详解】解：（1）∵，， ∴，即， ∴； （2）∵，， ∴； （3）∵， ∴， ∴； （4）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：. 18．阅读材料． 对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（1550-1617年），纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（1707-1783年）才发现指数与对数之间的联系． 对数的定义：一般地，若（，），那么x叫做a为底N的对数，记作，比如指数式可以转化为对数式，对数式可以转化为指数式．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质为（，，，）．理由如下： 设，，则，， ∴， 由对数的定义，得， 又∵， ∴． 请你仔细阅读上面的材料之后，解答下列问题． (1)将指数式转化为对数式为 ． (2)计算： ． (3)求证：（，，，）． (4)直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题是新定义试题，主要考查幂的运算性质、新定义对数与指数之间的关系； （1）根据对数式的定义转化即可； （2）根据对数式的定义进行计算，即可求解； （3）先设，，根据对数的定义可表示为指数式为：，，计算的结果，类比所给材料的证明过程可得结论； （4）根据公式：和的逆用，计算可得结论． 【详解】（1）解：将指数式转化为对数式为， 故答案为：． （2）解：∵， ∴ （3）证明：设，，则，， ∴，由对数的定义得， 又∵， ∴； （4） 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$