第2章 直线和圆的方程 阶段复习提升课(Word教参)-【优化指导】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书P63] 圆的方程 考点一　圆的方程 求圆的方程的常用方法 　(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程． (2)待定系数法： ①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值； ②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值． [练1] 已知圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2 C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B　解析：由圆心在x＋y＝0上，可设圆心坐标为(a，－a)，又圆C与直线x－y＝0和x－y－4＝0都相切，故＝，解得a＝1，故选B． [练2] (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在⊙M上，则⊙M的方程为 . 答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝5　解析：∵点M在直线2x＋y－1＝0上，∴设点M为(a，1－2a)，又因为点(3，0)和(0，1)均在⊙M上， ∴点M到两点的距离相等且为半径R， ∴＝＝R，即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，∴M(1，－1)，R＝，故⊙M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5. 考点二　直线与圆的位置关系 直线与圆位置关系的判断方法 (1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若d<r，则直线和圆相交；若d＝r，则直线和圆相切；若d>r，则直线和圆相离． (2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ. Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． [练3] (多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，则以下几个命题正确的是(　　) A．直线l恒过定点(3，1) B．直线l与圆C相切 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l与圆C相离 AC　解析：将直线l的方程整理为x＋y－4＋m(2x＋y－7)＝0，由解得则无论m为何值，直线l过定点(3，1)，(3－1)2＋(1－2)2＝5＜25，所以点(3，1)在圆C内，故直线l与圆C恒相交，故A，C正确． [练4] (2023·新课标 Ⅰ 卷)过点(0，－2)与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝(　　) A．1 B． C． D． B　解析：圆x2＋y2－4x－1＝0可化为(x－2)2＋y2＝5，则圆心C(2，0)，半径为r＝. 设P(0，－2)，切线为PA，PB，则PC＝＝2， 在△PAC中，sin ＝，又0≤≤，所以cos ＝＝， 所以sin α＝2sin cos ＝2××＝. [练5] 已知直线3x－y－15＝0与圆O：x2＋y2－2x＋2ay＋1－3a2＝0(a>0)相交，且直线被圆截得的弦长为2，则圆O的一般式方程为 ． 答案：x2＋y2－2x＋4y－11＝0　解析：圆O：(x－1)2＋(y＋a)2＝4a2的圆心为(1，－a)，半径r＝2a， 点(1，－a)到直线3x－y－15＝0的距离为d＝， 则4a2＝6＋()2，而a>0，解得a＝2， 所以圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－11＝0. 考点三　圆与圆的位置关系 1．判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． 2．若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到． [练6] (多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11与圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，则下列说法正确的是(　　) A．若圆C2与x轴相切，则m＝2 B．若m＝－3，则圆C1与圆C2相离 C．若圆C1与圆C2有公共弦，则公共弦所在的直线方程为4x＋(6－2m)y＋m2＋2＝0 D．直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点 BD　解析：因为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，所以若圆C2与x轴相切，则有|m|＝2，故A错误；当m＝－3时，|C1C2|＝＝2>2＋，两圆相离，故B正确；因为两圆有公共弦，所以两圆的方程相减可得公共弦所在直线方程4x＋(6－2m)y＋m2－2＝0，故C错误；直线kx－y－2k＋1＝0过定点(2，1)，而(2－1)2＋(1－3)2＝5<11，故点(2，1)在圆C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11内部，所以直线kx－y－2k＋1＝0与圆C1始终有两个交点，故D正确．故选BD． 考点四　与圆有关的最值问题 [练7] (多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，则下列说法正确的是(　　) A．的最大值为 B．的最小值为0 C．x2＋y2的最大值为＋2 D．x＋y的最大值为3＋ ABD　解析：由实数x，y满足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0可得点(x，y)在圆(x－2)2＋(y－1)2＝1上，作其图象如下， 因为表示点(x，y)与坐标原点连线的斜率，设过坐标原点的圆的切线方程为y＝kx，则＝1，解得k＝0或k＝，故∈，所以()max＝，()min＝0，A，B正确；x2＋y2表示圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点(x，y)到坐标原点的距离的最大值为|OC|＋1，所以x2＋y2最大值为(|OC|＋1)2，又|OC|＝，所以x2＋y2的最大值为6＋2，C错误；因为x2＋y2－4x－2y＋4＝0可化为(x－2)2＋(y－1)2＝1，故可设x＝2＋cos θ，y＝1＋sin θ，所以x＋y＝2＋cos θ＋1＋sin θ＝3＋sin (θ＋)，所以当θ＝，即x＝2＋，y＝1＋时，x＋y取最大值，最大值为3＋，D正确．故选ABD． 与圆有关的最值问题的三种几何转化法 (1)形如m＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； (2)形如m＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； (3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题． [练8] (2023·全国乙卷)已知实数x，y满足x2＋y2－4x－2y－4＝0，则x－y的最大值是(　　) A．1＋ B． 4 C．1＋3 D．72 C　解析：根据题意，x2＋y2－4x－2y－4＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝9， 其几何意义是以(2，1)为圆心，半径为3的圆， 设z＝x－y，变形可得x－y－z＝0， 当直线x－y－z＝0与圆相切时，z才能取到最大值． 此时＝3，解得z＝1±3， 故x－y的最大值为1＋3.故选C． 学科网（北京）股份有限公司 $$