2.1.1 倾斜角与斜率(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

2．1　直线的倾斜角与斜率 2．1．1　倾斜角与斜率 [对应学生用书P31] 学习目标 1．理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程． 2．理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性． 3．会应用斜率公式求直线的斜率． 知识点一　直线的倾斜角 我们知道经过两点有且只有(确定)一条直线．在平面直角坐标系中，经过一点P可以作无数条直线，它们组成一个直线束(如下图).这些直线的区别是什么？ 1．确定直线位置的要素 确定一条直线的条件是一点和一个方向． 规定：水平直线的方向向右，其他直线向上的方向为这条直线的方向． 2．直线的倾斜角的定义 前提条件 直线l与x轴相交 结论 以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角 特殊情况 当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0° 取值范围 0°≤α<180° [练1] 设直线l过原点，其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1，则直线l1的倾斜角为(　　) A．α＋40° B．α－140° C．140°－α D．当0°≤α<140°时为α＋40°；当140°≤α<180°时为α－140° D　解析：因为0°≤α<180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，错误．通过画图可知． 当0°≤α<140°时，如图1所示，l1的倾斜角为α＋40°； 当140°≤α<180°时，如图2所示，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D． [练2] 已知直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是(　　) A．0°≤α<90° B． 90°≤α<180° C．90°<α<180° D．0°<α<180° C　解析：因为直线倾斜角的取值范围是0°≤α<180°，又直线l经过第二、四象限，所以直线l的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 求直线倾斜角的方法和注意事项 (1)直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论． (2)注意倾斜角的范围是0°≤α＜180°. 知识点二　直线的斜率 日常生活中，还有没有其他刻画倾斜程度的量呢？ 1．斜率的定义 一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α． 倾斜角为90°的直线没有斜率． 2．斜率公式 过P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)两点的直线的斜率公式为k＝． (1)运用上述公式的前提是x1≠x2，即直线不与x轴垂直． (2)上述公式与P1，P2在直线上的位置无关，在直线上任取两点，得到的斜率是相同的． (3)需注意公式中横、纵坐标之差的顺序，实际上k＝＝，即下标的顺序要一致． 3．斜率与倾斜角的对应关系 图示 倾斜角(范围) 斜率(范围) α＝0° k＝0 0°<α<90° k>0 α＝90° 不存在 90°<α<180° k<0 4.若直线l的斜率为k，它的一个方向向量的坐标为(x，y)，则k＝． [例1] (1)已知点A的坐标为(3，4)，在坐标轴上有一点B，若kAB＝4，则点B的坐标为(　　) A．(2，0)或(0，－4) B．(2，0)或(0，－8) C．(2，0) D．(0，－8) (2)过A(4，y)，B(2，－3)两点的直线的一个方向向量为n＝(－1，－1)，则y＝ ． 答案：(1)B　(2)－1　解析：(1)设点B的坐标为(x，0)或(0，y)， ∵kAB＝或kAB＝，∴＝4或＝4，解得x＝2或y＝－8， ∴点B的坐标为(2，0)或(0，－8). (2)由题设，＝(2，y＋3)，则＝λn且λ∈R，所以(2，y＋3)＝(－λ，－λ)，即y＋3＝－λ＝2，可得y＝－1． 求斜率的方法 (1)已知倾斜角(或范围)求斜率(或范围)，运用k＝tan α(α≠90°)求解． (2)已知两点坐标求斜率，运用两点斜率公式k＝(x1≠x2)求解． [练3] (2025·聊城高二期中)若过两点A(m2＋2，m2－3)，B(－m2－m＋3，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m＝(　　) A．－2或－1 B． 1 C．－1 D．－2 D　解析：过两点A(m2＋2，m2－3)，B(－m2－m＋3，2m)的直线l的倾斜角为45°，所以＝1，解得m＝－2(m＝－1时，A，B重合，舍去). 综合应用：倾斜角与斜率的范围问题 [例2] 已知两点A(－3，4)，B(3，2)，过点P(1，0)的直线l与线段AB有公共点． (1)求直线l的斜率k的取值范围； (2)求直线l的倾斜角α的取值范围． 解：如右图，由题意可知kPA＝＝－1，kPB＝＝1． (1)要使直线l与线段AB有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是k≤－1或k≥1． (2)由题意可知，直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间， 又PB的倾斜角是45°，PA的倾斜角是135°， ∴α的取值范围是45°≤α≤135°. [练4] 直线l经过A(3，1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是 ． 答案：[，)　解析：直线l的斜率k＝＝1＋m2≥1，所以k＝tan α≥1．又y＝tan α在(0，)上是增函数，因此≤α<. 倾斜角和斜率的应用 (1)倾斜角和斜率都可以表示直线的倾斜程度，二者相互联系． (2)涉及直线与线段有交点问题通常数形结合，利用公式并借助正切函数的单调性求解． 1．知识清单 (1)直线的倾斜角及其范围． (2)直线斜率的定义和斜率公式． 2．方法归纳：数形结合思想． 3．常见误区：忽视倾斜角范围，图形理解不清． ◎随堂演练 1．过A(1，2)，B(－1，0)两点的直线的倾斜角为(　　) A．45° B． 135° C．1 D．－1 A　解析：过A，B两点的直线斜率为k＝＝1，则该直线的倾斜角为45°. 2．(2025·南海实验高中高二期中)如右图所示，直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则下列结论正确的是(　　) A．k1>k2>k3 B． k3>k1>k2 C．k2>k1>k3 D．k2>k3>k1 C　解析：由k＝tan α，结合y＝tan x的函数图象，直线l3对应的倾斜角为钝角，则k3<0， 直线l1与l2都为锐角，且l2的倾斜角大于l1的倾斜角，则k2>k1>0，故k2>k1>k3. 3．(2025·长沙雅礼中学高二期中)已知直线l经过两点A(－1，m)，B(m，1)，若直线l的方向向量的坐标为(3，1).则m＝ ． 答案：　解析：设直线l的斜率为k， 因为直线l的方向向量的坐标是(3，1)，所以k＝. 因为直线l经过A(－1，m)和B(m，1)， 所以k＝＝，解得m＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$