§2.1.1 倾斜角与斜率 讲义 - 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦直线倾斜角与斜率核心知识点，系统梳理倾斜角的定义、0°-180°取值范围及几何意义，明确斜率定义、两点斜率公式，建立倾斜角与斜率的数形对应关系，为后续直线方程学习搭建解析几何数形结合的基础支架。 资料以“知识梳理+辨析+典例+即学即练”设计，通过倾斜角与斜率对应表培养几何直观（数学眼光），典例分层探究强化逻辑推理（数学思维），学习反思针对性纠错助力规范表达（数学语言），课中提升教学效率，课后帮助学生查漏补缺，夯实基础。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第二章　直线和圆的方程 §2.1.1 倾斜角与斜率 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解直线倾斜角的定义、取值范围，掌握倾斜角的几何意义 (重点) 2. 理解直线斜率的定义，掌握斜率公式，分清斜率与倾斜角的对应关系 (核心公式) 3. 会过两点坐标求解直线斜率，处理特殊直线（水平、竖直）斜率问题 (重难点) 4. 能够根据倾斜角大小判断斜率正负、变化趋势，规避概念易错陷阱 (高频考点) 5. 建立解析几何数形结合思想，为后续直线方程学习做好铺垫 (能力拓展) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 直线的倾斜角 💡 知识梳理 · 设两个非零向量，将两向量起点重合，所成角即为向量夹角. · 在平面直角坐标系中，直线向上的方向与轴的正方向之间所成的最小正角叫做直线的倾斜角. 1. 当直线和轴平行或者重合时，倾斜角. 2. 倾斜角取值范围：. 3. 竖直直线，直线垂直轴，倾斜角. 注意：倾斜角一定是从轴正方向开始旋转，不是与轴夹角. α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° · 辨析： (1) 从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°). (2) 倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度,倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等. (3) 一条直线的倾斜角存在且唯一. 知识点 2 过两点的直线斜率公式 💡 知识梳理 · 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角. · 已知直线经过两点，.若： · 分子分母必须是同一点组的坐标差，与顺序同时调换，斜率不变. · 如果，两点横坐标相等，直线垂直轴，斜率不存在. 要点：异面直线夹角只取到，公式必须带绝对值. 📝 即学即练 （1）求过，的直线斜率. （2）已知直线过点、，求直线倾斜角与斜率. 知识点 3 倾斜角、斜率数形对应汇总 💡 知识梳理 倾斜角 斜率 直线特征 水平直线 从左下向右上倾斜 不存在 竖直直线 从左上向右下倾斜 · 下面特殊角的正切值要熟记: 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 - -1 - . 温馨提示 (1) 根据正切函数在∪上的图象可知,倾斜角与斜率之间是一一对应的,即可以用k的值判定倾斜角的情况. (2) 正确分析斜率随倾斜角的变化规律,注意90°倾斜角没有斜率. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】（1）已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（    ） A．0°≤α<180° B．15°<α<180° C．15°≤α<180° D．15°≤α<195° （2）（多选）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【跟练1】（1）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 （2）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 【典例2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)，； (2)，； (3)，). 【跟练2】已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 【典例3】已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3,－5)，求证：这三点在同一条直线上． 【跟练3】已知三点在同一条直线上，则的值为 A． B． C． D． 【典例4】已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【跟练4】已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 倾斜角范围，描述直线倾斜程度的几何量. 2. 斜率；斜率不存在，水平直线斜率为 0. 3. 两点斜率公式：，斜率不存在. 4. 锐角钝角倾斜角增大，斜率都增大；钝角对应斜率为负值. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．若直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 2．已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C． D． 3．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________  . 4．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围． 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节是解析几何开篇，学生高频错误：把倾斜角范围记成；竖直直线误以为斜率等于 0；钝角倾斜角增大，错误认为斜率减小；两点代入公式分子分母坐标差顺序写反，符号出错.要强化数形结合，画图辅助理解倾斜角与斜率的对应关系，多设置概念辨析选择题扫清误区，为后续直线方程、两直线位置关系打好基础. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第二章　直线和圆的方程 §2.1.1 倾斜角与斜率 同步讲义 学 习 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解直线倾斜角的定义、取值范围，掌握倾斜角的几何意义 (重点) 2. 理解直线斜率的定义，掌握斜率公式，分清斜率与倾斜角的对应关系 (核心公式) 3. 会过两点坐标求解直线斜率，处理特殊直线（水平、竖直）斜率问题 (重难点) 4. 能够根据倾斜角大小判断斜率正负、变化趋势，规避概念易错陷阱 (高频考点) 5. 建立解析几何数形结合思想，为后续直线方程学习做好铺垫 (能力拓展) 笃 学 新 知 汲新知 · 赋新能 知识点 1 直线的倾斜角 💡 知识梳理 · 设两个非零向量，将两向量起点重合，所成角即为向量夹角. · 在平面直角坐标系中，直线向上的方向与轴的正方向之间所成的最小正角叫做直线的倾斜角. 1. 当直线和轴平行或者重合时，倾斜角. 2. 倾斜角取值范围：. 3. 竖直直线，直线垂直轴，倾斜角. 注意：倾斜角一定是从轴正方向开始旋转，不是与轴夹角. α=0° 0°<α<90° α=90° 90°<α<180° · 辨析： (1) 从运动变化的观点来看,直线的倾斜角是由x轴绕一定点按逆时针方向旋转到与直线重合时所得到的最小正角(未作旋转时倾斜角为0°). (2) 倾斜角从“形”的方面体现了直线对x轴的倾斜程度,倾斜程度相同的直线,其倾斜角相等. (3) 一条直线的倾斜角存在且唯一. 知识点 2 过两点的直线斜率公式 💡 知识梳理 · 设异面直线的方向向量分别为，异面直线所成角. · 已知直线经过两点，.若： · 分子分母必须是同一点组的坐标差，与顺序同时调换，斜率不变. · 如果，两点横坐标相等，直线垂直轴，斜率不存在. 要点：异面直线夹角只取到，公式必须带绝对值. 📝 即学即练 （1）求过，的直线斜率. 【答案】 【详解】 （2）已知直线过点、，求直线倾斜角与斜率. 【答案】倾斜角，斜率不存在 【详解】两点横坐标相等，直线竖直，斜率不存在. 知识点 3 倾斜角、斜率数形对应汇总 💡 知识梳理 倾斜角 斜率 直线特征 水平直线 从左下向右上倾斜 不存在 竖直直线 从左上向右下倾斜 · 下面特殊角的正切值要熟记: 倾斜角α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150° 斜率k 0 1 - -1 - . 温馨提示 (1) 根据正切函数在∪上的图象可知,倾斜角与斜率之间是一一对应的,即可以用k的值判定倾斜角的情况. (2) 正确分析斜率随倾斜角的变化规律,注意90°倾斜角没有斜率. 典 例 探 究 研典例 · 悟方法 【典例1】（1）已知直线l的倾斜角为α-15°，则下列结论中正确的是（    ） A．0°≤α<180° B．15°<α<180° C．15°≤α<180° D．15°≤α<195° 【答案】D 【分析】由直线的倾斜角的取值范围求解即可. 【详解】设直线l的倾斜角为β，则β的范围是0°≤β<180°.由题意知β=α-15°，则0°≤α-15°<180°，解得15°≤α<195°. （2）（多选）设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转，得到直线，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】分别在和求得旋转后倾斜角即可. 【详解】直线倾斜角的取值范围为， 当时，旋转后得到的倾斜角为：； 当时，旋转后得到的倾斜角为：. 故选：AC. 【跟练1】（1）（多选）下列命题中，正确的是（    ） A．任意一条直线都有唯一的倾斜角 B．一条直线的倾斜角可以为 C．倾斜角为的直线有无数条 D．若直线的倾斜角为，则 【答案】AC 【分析】直接根据倾斜角的定义依次判断得到AC正确，B错误，举反例得到D错误，得到答案. 【详解】对选项A：任意一条直线都有唯一的倾斜角，正确； 对选项B：倾斜角的范围是，不可能为负，错误； 对选项C：倾斜角为的直线有无数条，它们都垂直于y轴，正确； 对选项D：当时，；当时，，错误. 故选：AC （2）已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为________． 【答案】60°或120° 【分析】根据图形，结合倾斜角的定义确定直线的倾斜角大小. 【详解】有两种情况：①如图（1），直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°. ②如图（2），直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°， 故答案为：60°或120° 【典例2】经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角. (1)，； (2)，； (3)，). 【答案】(1)存在，斜率，倾斜角 (2)存在，斜率，倾斜角 (3) 当时，斜率不存在，则倾斜角； 当时，直线的斜率且倾斜角满足，. 【分析】（1）存在，计算斜率和倾斜角即可； （2）存在，计算斜率和倾斜角即可； （3）考虑和两种情况，计算斜率和倾斜角即可； 【详解】（1）存在，直线AB的斜率，即，又，倾斜角. （2）存在，直线CD的斜率，即，又，倾斜角. （3）当时，斜率不存在，则倾斜角； 当时，直线的斜率且倾斜角满足，. 【跟练2】已知直线经过两点，问：当取何值时： (1)直线与轴平行? (2)直线的方向向量的坐标为． (3)直线的倾斜角为? 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用斜率公式及直线的方向向量的概念求解． 【详解】（1）若直线与轴平行，则直线的斜率，所以． （2）直线的方向向量的坐标为，故，即，解得． （3）由题意可知，直线的斜率，即，解得． 【典例3】已知三点A(1,3)，B(5,11)，C(－3,－5)，求证：这三点在同一条直线上． 【答案】证明见解析 【分析】由斜率的两点公式有kAB＝kAC，且AB与AC都过点A，结论即得证. 【详解】证明：由斜率公式，得kAB＝＝2，kAC＝＝2， ∴kAB＝kAC，且AB与AC都过点A， ∴直线AB，AC斜率相同，且过同一点A， ∴A，B，C这三点在同一条直线上． 【跟练3】已知三点在同一条直线上，则的值为 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由斜率公式，得kAB＝＝1，kAC＝， 因为三点在同一条直线上，所以kAB＝kAC即 【典例4】已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【分析】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可； （2）由斜率与倾斜角的关系求解即可； 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 【跟练4】已知． (1)求直线AB和AC的斜率； (2)若点D在线段BC（包括端点）上移动时，求直线AD的斜率的变化范围． 【答案】(1)直线AB的斜率为，直线AC的斜率为 (2) 【分析】（1）根据斜率公式运算求解； （2）根据倾斜角和斜率之间的关系分析求解. 【详解】（1）由斜率公式可得直线AB的斜率， 直线AC的斜率， 故直线AB的斜率为，直线AC的斜率为. （2）如图所示，当D由B运动到C时，直线AD的倾斜角增大且为锐角， 直线AD的斜率由增大到， 所以直线AD的斜率的变化范围是．    学 习 小 结 理脉络 · 通全局 一、小结 1. 倾斜角范围，描述直线倾斜程度的几何量. 2. 斜率；斜率不存在，水平直线斜率为 0. 3. 两点斜率公式：，斜率不存在. 4. 锐角钝角倾斜角增大，斜率都增大；钝角对应斜率为负值. 二、知识网络 新 学 检 测 学以用 · 知以行 1．若直线斜率的绝对值等于，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】考虑和两种情况，计算得到答案. 【详解】当斜率时，倾斜角为；当斜率时，倾斜角为； 故选：D. 2．已知直线过点，且不过第四象限，则直线的斜率的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由直线不过第四象限，可画出所有符合要求的直线，观察可得. 【详解】 如图，，，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故. 故直线的斜率的最大值为2． 故选：A. 3．直线l 经过点，倾斜角为150°，若将直线l绕点逆时针旋转60°后，得到直线，则直线的斜率为 ________  . 【答案】/ 【分析】求出旋转后的倾斜角再求斜率即可. 【详解】因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点逆时针旋转60°后，得到直线的倾斜角，斜率． 故答案为：． 4．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围． 【答案】（﹣2，1）． 【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围. 【详解】解：∵过P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角， ∴直线的斜率小于0， 即 ，即，解得， 故a的取值范围为（﹣2，1）． 学 习 反 思 思得失 · 促精进 本节是解析几何开篇，学生高频错误：把倾斜角范围记成；竖直直线误以为斜率等于 0；钝角倾斜角增大，错误认为斜率减小；两点代入公式分子分母坐标差顺序写反，符号出错.要强化数形结合，画图辅助理解倾斜角与斜率的对应关系，多设置概念辨析选择题扫清误区，为后续直线方程、两直线位置关系打好基础. 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $