第1章 1.1-1.3阶段复习提升课(Word教参)-【优化指导】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版2019）

[对应学生用书P16] 空间向量及其运算 考点一　空间向量的概念及线性运算 [练1] (2025·恩施州高二期中)在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点，设＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A．a＋b－c B． a－b－c C．a＋b＋c D．－a＋b－c A　解析：如图，作DD1的中点G，连接MN，NG， 由题意得＝＋＋＝＋＋a， 因为M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点， 所以＝(b－a)－c＋a＝a＋b－c，故A正确． [练2] (多选)(2025·浙江金华卓越联盟高二上学期联考)已知a＝(－2，2，2)，b＝(1，2，－1)，则下列说法正确的是(　　) A．a＋b＝(－1，4，1) B．a∥b C．a⊥b D．cos 〈a，a－2b〉＝ ACD　解析：对于A选项，a＋b＝(－2，2，2)＋(1，2，－1)＝(－1，4，1)，A正确；对于B选项，因为＝≠，则a，b不共线，B错误；对于C选项，a·b＝－2＋4－2＝0，所以a⊥b，C正确；对于D选项，a－2b＝(－2，2，2)－2(1，2，－1)＝(－4，－2，4)，a·(a－2b)＝8－4＋8＝12，|a|＝＝2，|a－2b|＝＝6，所以cos 〈a，a－2b〉＝＝＝，D正确．故选ACD． 考点二　共线向量、共面向量定理的应用 1．证明空间三点P，A，B共线的方法 (1)＝λ(λ∈R)； (2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)； (3)对空间任一点O，＝x＋y (x＋y＝1). 2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法 (1)＝x＋y； (2)对空间任一点O，＝＋x＋y； (3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； (4)∥ (或∥或∥). [练3] (2025·福州高二期中)已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－1，4，－2)，c＝(1，3，λ)，若a，b，c共面，则λ＝(　　) A．4 B． 2 C．3 D．1 D　解析：因为a，b，c共面，所以存在两个实数m，n，使得c＝ma＋nb， 即(1，3，λ)＝m(2，－1，3)＋n(－1，4，－2)，即解得 [练4] 若A(－1，2，3)，B(2，1，4)，C(m，n，1)三点共线，则m＋n＝ ． 答案：－3　解析：∵＝(3，－1，1)，＝(m＋1，n－2，－2)，且A，B，C三点共线，∴存在实数λ，使得＝λ. 即(m＋1，n－2，－2)＝λ(3，－1，1)＝(3λ，－λ，λ)， ∴ 解得 ∴m＋n＝－3. 考点三　空间向量数量积的应用 1．利用向量的数量积可证明直线与直线的垂直关系． 2．利用夹角公式，可以求异面直线所成的角． 3．可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解． [例] 如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°. (1)求线段AC1的长； (2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值； (3)求证：AA1⊥BD． (1)解：设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos 120°＝－1． ∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c， ∴||＝|a＋b＋c|＝ ＝ ＝＝. ∴线段AC1的长为. (2)解：设异面直线AC1与A1D所成的角为θ， 则cos θ＝|cos 〈，〉|＝. ∵＝a＋b＋c，＝b－c， ∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2， ||＝＝＝＝. ∴cos θ＝＝＝. 故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为. (3)证明：∵＝c，＝b－a， ∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0， ∴⊥，∴AA1⊥BD． [练5] 如图，在正四面体OABC中，已知E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE. (1)试用向量，，表示向量； (2)若正四面体的棱长为2，求·的值． 解：(1)因为点E是线段BC的中点，G在AE上，且AG＝3GE， 根据向量的线性运算法则，可得＝＋＝＋ ＝＋×(＋)＝＋(－＋－)＝＋＋， 即＝＋＋. (2)因为正四面体的棱长为2，且〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°， 可得||＝||＝2，且·＝·＝·＝2×2cos 60°＝2， 由(1)可得知·＝·(－) ＝·－||2＋||2－·＋·－· ＝×2－×22＋×22－×2＋×2－×2＝. 学科网（北京）股份有限公司 $$