4.1 函数 预习 2025—2026学年北师大版数学八年级上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第四章 一次函数 1. 函数 知识点预习 1. 函数的核心概念 定义：在一个变化过程中，有 两个变量x和y对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与其对应。此时称y是x的函数，x是自变量。 本质特征：单值对应性——任意自变量x的值 → 唯一函数值y。 方向性——y随x的变化而变化，但反之不一定成立。 2. 函数的三种表示方法 方法 特点 示例 列表法 用表格列出自变量与函数值的对应关系 摩天轮高度h与时间t的对应表： 关系式法 用数学式子表示y与x的关系 热力学温度：T=t+273.15 图象法 用平面直角坐标系中的图形描述变化规律 摩天轮高度h随时间t变化的曲线 3. 自变量取值范围的确定 原则：使函数关系式 有意义（如分母不为零、根号内非负等）；符合 实际问题限制。 4. 函数值的概念与计算 定义：当自变量 x=a 时，函数 y 的对应值称为 函数值。 计算步骤：将 x=a 代入函数关系式；按运算规则求值。 5. 总结 本节通过生活实例（摩天轮、物体堆放、温度转换）抽象出 函数本质：两个变量间的 单值对应关系。学生需掌握函数的定义（"唯一确定"为核心），熟练运用列表法、关系式法、图象法表示函数，并能结合实际问题确定自变量取值范围、计算函数值。这为后续学习一次函数、反比例函数等奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．圆的面积计算公式为S＝πR2（R为圆的半径），变量是（　　） A．π B．R，S C．π，R D．π，R，S 【解答】解：在圆的面积计算公式S＝πR2中，变量为S，R． 故选：B． 2．关于常量和变量表述不正确的是（　　） A．矩形的面积是3cm2，宽为x cm，长为y cm．在这个问题中3cm2为常量 B．在圆的周长公式C＝2πr中，2，π为常量，C，r均为变量 C．在匀速运动公式S＝vt中，v、S和t均为变量 D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量 【解答】解：A．矩形的面积是3cm2，宽为x cm，长为y cm．在这个问题中3为常量，说法正确，故本选项不符合题意； B．在圆的周长公式C＝2πr中，2，π为常量，C，r均为变量，说法正确，故本选项不符合题意； C．在匀速运动公式S＝vt中，v是常量，S和t均为变量，原说法错误，故本选项符合题意； D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量，说法正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 3．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据函数的定义：在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数， 因此不能表示y是x的函数的是选项B中的曲线，故B符合题意； 能表示y是x的函数的是选项A、C、D中的曲线，故A、C、D不符合题意． 故选：B． 4．张阳将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如下表： 时间t（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上度数（℃） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（　　） A．当t＝25s时，温度计上的度数是14℃ B．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是因变量 C．当温度计的度数为25℃时，经过的时间可能是18s D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 【解答】解：根据题意和表格中的数据逐项分析判断如下： A、根据表格可得，当t＝25s时，温度计上的度数是14℃，说法正确，本选项不符合题意； B、这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是因变量，说法正确，本选项不符合题意； C、观察数据：15s时温度22℃，20s时16℃；温度在15s后持续下降，18s时温度应介于22℃与16℃之间，不可能回升至25℃，原说法错误，本选项符合题意； D、温度从49℃逐渐降至12℃后保持不变，说法正确，本选项不符合题意； 故选：C． 5．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图，则该容器可能是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：相比较而言，前一个阶段，用时较少，高度增加较快，那么下面的物体应较细．由图可得上面圆柱的底面半径应大于下面圆柱的底面半径． 故选：D． 6．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（　　） A．y＝x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+20 D．y＝﹣x+10 【解答】解：根据题意得2（y+x）＝20， y+x＝10， y＝﹣x+10， 故选：D． 7．周六早上，晓蕾从家出发走了20min到达离家900m的书店买书，在书店选书用了10min，再用15min回到家中．下列图象能表示晓蕾离家距离y（单位m）与外出时间x（单位min）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：能表示晓蕾离家距离y（单位m）与外出时间x（单位min）之间的关系的是： 故选：D． 8．“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（　　） A．3h B．4h C．6h D．12h 【解答】解：“漏壶”的漏水速度为：2（cm/h）， ∴水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是3（h）， 故选：A． 9．乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点．如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：根据题意： 乌龟是匀速行走的，所以路程随时间的增大而增大； 兔子开始时跑得快，路程随时间的增大而增大；中睡了一觉，路程随时间的增大而不变；醒来继续跑，路程随时间的增大而增大；跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点，即兔子到终点花的时间多． 故如图能表示它们所行路程与时间关系的图是D． 故选：D． 10．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米/分 【解答】解：由图象可知，小华和小明的家离学校1200米，故A正确； 根据图象，小华乘公共汽车，从出发到达学校共用了13﹣8＝5（分钟），所以公共汽车的速度为1200÷5＝240（米/分），故B正确； 小明先出发8分钟然后停下来吃早餐，由图象可知在小明吃早餐的过程中，小华出发并与小明相遇然后超过小明，所以二人相遇所用的时间是8+480÷240＝10（分钟），即7：50相遇，故C正确； 小明从家到学校的时间为20分钟，所以小明的平均速度为1200÷20＝60（米/分），故D错误． 故选：D． 二、填空题预习（24分） 11．函数的自变量x的取值范围是　x≥2且x≠3　 ． 【解答】解：由题意得：x﹣2≥0且x﹣3≠0， 解得：x≥2且x≠3， 故答案为：x≥2且x≠3． 12．一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 　Q＝50﹣0.3t　 ． 【解答】解：油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是Q＝50﹣0.3t， 故答案为：Q＝50﹣0.3t． 13．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温t（℃） 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 … 根据表格中两个变量之间的关系，当h＝7时，气温t＝　﹣22　 ℃． 【解答】解：观察表格可得：h每增加1千米，气温就下降6℃， ∵海拔高度h＝5时，气温t＝﹣10℃ ∴当海拔高度h＝7时，气温t＝﹣10﹣2×6＝﹣22℃ 故答案为：﹣22． 14．某市出租车的收费起步价为8元，即路程不超过3公里时收费8元，超过的部分每公里收费2元．若乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，则y与x之间的关系式为 　y＝2x+2（x≥3）　 ． 【解答】解：根据题意可知，超过3公里的部分为：（x﹣3）公里，费用为：2（x﹣3）元， ∵总乘车费y＝起步价+超过3公里部分的费用， ∴y＝8+2（x﹣3）＝2x+2． 故答案为：y＝2x+2（x≥3）． 15．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为4，则最后输出因变量y的值为 　132　 ． 【解答】解：输入x＝4，y＝12＜20； 再输入x＝12，y＝132＞20． ∴y的值为：132， 故答案为：132． 16．3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学主注意安全、珍爱生命、小刚骑单车从家出发去上学、当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校、已知小刚家与书店、学校恰好在到一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，如果规定骑单车的速度不得超过400米/分，那么小刚在上学途中　是　 超速．（填“是”或“否”） 【解答】解：0～6分钟时的速度为1200÷6＝200（米/分钟）， 6～8分钟时的速度为（1200﹣600）÷（8﹣6）＝300（米/分钟）， 12～14分钟时的速度为（1500﹣600）÷（14﹣12）＝450（米/分钟）， 450＞400， 故在整个上学的途中12～14分钟小刚骑车速度最快，属于超速． 故答案为：是． 三、解答题预习（46分） 17．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 　y　 ． 【解答】解：由表格中两个变量的对应值可得， 200×0.50＝100＝250×0.40＝400×0.25＝500×0.1＝1000×0.10， 所以y与x成反比例关系， 所以y与x的函数关系式为y， 故答案为：y． 18．某通信公司开设了两种通讯业务“全球通”和“快捷通”．“全球通”：使用者先交50元租费，然后每通话一分钟付0.4元话费；“快捷通”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为P元，Q元． （1）请你分别写出P，Q与x之间的关系式； （2）若某用户一个月内通话时间为120分钟，你认为选择哪种通讯业务更划算？ 【解答】解：（1）由题意得，P＝0.4x+50，Q＝0.6x； （2）当x＝120时，P＝0.4×120+50＝98（元），Q＝0.6×120＝72（元）， 由于98＞72， 所以选择“快捷通”比较划算． 19．某公交车每月的支出费用为5000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． ①请写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值分别是500，1000，1500，2000，2500，3000，3500，4000时y的值； ②当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？ 【解答】解：①由每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． 所以y＝2x﹣5000， 列表如下： x/人 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 y/元 ﹣4000 ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 3000 ②由上表可知： 当x＝2500时，不盈不亏， 当x＞2500时，盈利， 当x＜2500时，亏损， 当每月乘客量达到2500人以上时，该公交车才不会亏损． 20．某药物研究单位研制成功一种新药，经测试，如果患者按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（μg）与时间x（h）之间的关系如图所示，如果每毫升血液中的含药量不小于20μg，那么这种药物才能发挥作用．请根据题意回答下列问题： （1）服药几分钟后，药物开始发挥作用？ （2）服药几小时后，每毫升血液中的含药量最大，最大是多少微克？ （3）服药后，药物发挥作用的时间有多少小时？ 【解答】解：（1）由图象可知：服药一个小时时，每毫升血液中含药60微克， 所以大约20分钟后，每毫升血液中含药20微克， 所以服药后，大约20分钟后，药物发挥作用． （2）由图象得：服药后，大约2小时，每毫升血液中含药量最大，最大值是80微克； （3）由图象可知：x＝7时，y＝20， 7（小时）， 答：药后，药物发挥作用的时间有小时． 21．周末嘉嘉和家人一起驾车从家出发去博物馆，在博物馆内参观了1h，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是 　离家的时间　 ，因变量是 　离家的距离　 ； （2）嘉嘉家与博物馆的距离是 　15　 km，博物馆到姑妈家的距离是 　25　 km； （3）求嘉嘉一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 【解答】解：（1）自变量是离家的时间，因变量是离家的距离． 故答案为：离家的时间，离家的距离； （2）嘉嘉家与博物馆的距离是15km，博物馆到姑妈家的距离是40﹣15＝25km， 故答案为：15；25； （3）根据“速度＝路程÷时间”可得： ， 答：嘉嘉一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度为60km/h． 22．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是　时间　 ，因变量是　离家的路程　 ； （2）小明家到滨海公园的路程为　30　 km； （3）求爸爸驾车经过多少小时追上小明． 【解答】解：（1）由图可得，自变量是时间，因变量是离家路程， 故答案为：时间；离家的路程； （2）由图可得，小明家到滨海公园的路程为30km， 故答案为：30； （3）小明从家出发2.5小时后爸爸驾车出发， 爸爸驾车的平均速度为（km/h）， 小明乘公交车的平均速度为：（km/h）， 设爸爸出发后xh追上小明，根据题意得：30x﹣12x＝12， 解得：． 答：爸爸出发后h追上小明． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第四章 一次函数 1. 函数 知识点预习 1. 函数的核心概念 定义：在一个变化过程中，有 两个变量x和y对于变量x的每一个确定的值，变量y都有唯一确定的值与其对应。此时称y是x的函数，x是自变量。 本质特征：单值对应性——任意自变量x的值 → 唯一函数值y。 方向性——y随x的变化而变化，但反之不一定成立。 2. 函数的三种表示方法 方法 特点 示例 列表法 用表格列出自变量与函数值的对应关系 摩天轮高度h与时间t的对应表： 关系式法 用数学式子表示y与x的关系 热力学温度：T=t+273.15 图象法 用平面直角坐标系中的图形描述变化规律 摩天轮高度h随时间t变化的曲线 3. 自变量取值范围的确定 原则：使函数关系式 有意义（如分母不为零、根号内非负等）；符合 实际问题限制。 4. 函数值的概念与计算 定义：当自变量 x=a 时，函数 y 的对应值称为 函数值。 计算步骤：将 x=a 代入函数关系式；按运算规则求值。 5. 总结 本节通过生活实例（摩天轮、物体堆放、温度转换）抽象出 函数本质：两个变量间的 单值对应关系。学生需掌握函数的定义（"唯一确定"为核心），熟练运用列表法、关系式法、图象法表示函数，并能结合实际问题确定自变量取值范围、计算函数值。这为后续学习一次函数、反比例函数等奠定基础。 基础题预习 1、 选择题预习（30分） 1．圆的面积计算公式为S＝πR2（R为圆的半径），变量是（　　） A．π B．R，S C．π，R D．π，R，S 2．关于常量和变量表述不正确的是（　　） A．矩形的面积是3cm2，宽为x cm，长为y cm．在这个问题中3cm2为常量 B．在圆的周长公式C＝2πr中，2，π为常量，C，r均为变量 C．在匀速运动公式S＝vt中，v、S和t均为变量 D．a比b的2倍多1，在这个问题中，2和1是常量，a和b是变量 3．下列曲线中不能表示y是x的函数的是（　　） A． B． C． D． 4．张阳将温度计从热水杯中取出后立即放入一杯凉水中，每隔5s记录一次温度计上显示的度数，记录结果如下表： 时间t（s） 5 10 15 20 25 30 35 温度计上度数（℃） 49 31 22 16 14 12 12 下列说法中不正确的是（　　） A．当t＝25s时，温度计上的度数是14℃ B．这个表中时间t是自变量，温度计上的度数是因变量 C．当温度计的度数为25℃时，经过的时间可能是18s D．温度计上的度数随时间的增加逐渐减小，最后保持不变 5．均匀地向一个容器内注水，在注满水的过程中，水面的高度h与时间t的函数关系如图，则该容器可能是（　　） A． B． C． D． 6．小明将一根长为20cm的铁丝制作成一个长方形，则这个长方形的长y（cm）与宽x（cm）之间的数量关系为（　　） A．y＝x+5 B．y＝﹣x+5 C．y＝﹣x+20 D．y＝﹣x+10 7．周六早上，晓蕾从家出发走了20min到达离家900m的书店买书，在书店选书用了10min，再用15min回到家中．下列图象能表示晓蕾离家距离y（单位m）与外出时间x（单位min）之间的关系的是（　　） A． B． C． D． 8．“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度y（单位：cm）随漏水时间t（单位：h）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从48cm变化到42cm所用的时间是（　　） A．3h B．4h C．6h D．12h 9．乌龟和兔子进行200米赛跑．它们同时从起点出发，乌龟坚持不懈，匀速跑到终点，兔子倚仗自己跑得快，跑了一段时间后在途中睡了一觉，醒来跑到终点时发现乌龟竟然早已到达终点．如图能表示它们所行路程与时间关系的图是（　　） A． B． C． D． 10．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明7：40先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（　　） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后7：50与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为80米/分 二、填空题预习（24分） 11．函数的自变量x的取值范围是　 　 ． 12．一辆汽车油箱中现存油50升，若油从油箱中匀速流出，速度为0.3升/分钟，则油箱中剩余油量Q（升）与流出时间t（分钟）的关系式是 　 　 ． 13．在学习地理时，我们知道：“海拔越高，气温越低”，下表是海拔高度h（千米）与此高度处气温t（℃）的关系： 海拔高度h（千米） 0 1 2 3 4 5 … 气温t（℃） 20 14 8 2 ﹣4 ﹣10 … 根据表格中两个变量之间的关系，当h＝7时，气温t＝　 　 ℃． 14．某市出租车的收费起步价为8元，即路程不超过3公里时收费8元，超过的部分每公里收费2元．若乘客乘坐出租车行驶的路程为x（x≥3）公里，乘车费为y元，则y与x之间的关系式为 　 　 ． 15．如图所示是关于变量x，y的程序计算，若开始输入自变量x的值为4，则最后输出因变量y的值为 　 　 ． 16．3月28日是全国中小学生安全教育日，倡议中小学主注意安全、珍爱生命、小刚骑单车从家出发去上学、当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校、已知小刚家与书店、学校恰好在到一条直线上，以下是他本次所用的时间与离家距离的关系示意图，如果规定骑单车的速度不得超过400米/分，那么小刚在上学途中　 　 超速．（填“是”或“否”） 三、解答题预习（46分） 17．验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如表： 近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000 镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10 根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为 　 　 ． 18．某通信公司开设了两种通讯业务“全球通”和“快捷通”．“全球通”：使用者先交50元租费，然后每通话一分钟付0.4元话费；“快捷通”：不缴月租费，每通话1分钟，付话费0.6元．若一个月内通话x分钟，两种方式的费用分别为P元，Q元． （1）请你分别写出P，Q与x之间的关系式； （2）若某用户一个月内通话时间为120分钟，你认为选择哪种通讯业务更划算？ 19．某公交车每月的支出费用为5000元，票价为2元/人，设每月有x人乘坐该公交车，每月收入与支出的差额为y元． ①请写出y与x之间的关系式，并列表表示当x的值分别是500，1000，1500，2000，2500，3000，3500，4000时y的值； ②当每月乘客量达到多少人以上时，该公交车才不会亏损？ 20．某药物研究单位研制成功一种新药，经测试，如果患者按规定剂量服用，那么服药后每毫升血液中含药量y（μg）与时间x（h）之间的关系如图所示，如果每毫升血液中的含药量不小于20μg，那么这种药物才能发挥作用．请根据题意回答下列问题： （1）服药几分钟后，药物开始发挥作用？ （2）服药几小时后，每毫升血液中的含药量最大，最大是多少微克？ （3）服药后，药物发挥作用的时间有多少小时？ 21．周末嘉嘉和家人一起驾车从家出发去博物馆，在博物馆内参观了1h，随后驾车去姑妈家．如图表示他们离开家的距离与离开家的时间之间的关系，根据图象解答下列问题： （1）上述过程中，自变量是 　 　 ，因变量是 　 　 ； （2）嘉嘉家与博物馆的距离是 　 　 km，博物馆到姑妈家的距离是 　 　 km； （3）求嘉嘉一家从博物馆到姑妈家驾车行驶的平均速度（不含在博物馆参观的时间）． 22．周末，小明坐公交车到滨海公园游玩，他从家出发0.8小时候达到中心书城，逗留一段时间后继续坐公交车到滨海公园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往海滨公园，如图是他们离家路程s（km）与小明离家时间t（h）的关系图，请根据图回答下列问题： （1）图中自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）小明家到滨海公园的路程为　 　 km； （3）求爸爸驾车经过多少小时追上小明． 学科网（北京）股份有限公司 $$