4.2 一次函数知识清单2025-2026学年北师大版数学八年级上册

4.2 认识一次函数 考点1: “均匀”变化 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时另一个变量的改变量是相同的. 考点2: 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数. 特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数. · ①形如y＝kx (k为常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数 ②当b＝0，而k≠0时，y＝kx仍为一次函数，当k＝0时，它不是一次函数. · 1.理解一次函数的概念时要注意以下三点： ①一次函数的关系式y＝kx＋b是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式，分母不能含字母(自变量不能在分母中).[例：y＝是一次函数，而y＝不是一次函数] ②自变量x和因变量y的次数为1，系数k≠0. ③常数b可以是任意实数. 2. 正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 考点3: 根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤： (1)认真分析，理解题意；(2)找出等量关系；(3)写出次函数的关系式. 对于实际问题，解答时，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 考点4: 分段函数 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的关系式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.在用关系式表示分段函数时，每一个关系式的后面必须加上对应自变量的取值范围，如：y＝ · 分段函数是一个函数而不是多个函数. 练习1. 1. 在下列函数中,是正比例函数的是( ). A. y＝2x－1　     B. y＝－2x＋1 C. y＝2x　     D. y＝2x2＋1 2. 下列函数关系中表示一次函数的有( ). ①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④s＝60t；⑤y＝18－26x A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列函数既是一次函数又是正比例函数的是( ). A. y＝3x2 B. y＝ C. y＝5x－4 D. y＝－3x 4. 下列各选项中的y是x的正比例函数的是( ). A.正方形的周长y(厘米)和它的边长x(厘米) B.圆的面积y(平方厘米)与半径x(厘米) C.立方体的体积y(立方厘米)和它的棱长x(厘米) D.一棵树现在的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x个月后这棵树的高度为y厘米 5. 已知y＝(3－k)x＋3是y关于x的一次函数，则k的值不可能是 . 6. 已知函数y＝(k－3)x|k|-2＋6是一次函数，则k＝ . 7. 等腰三角形的周长为10cm，底边长为ycm，腰长为xcm，用x表示y的函数关系式为 . 8. 商场为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略.商品原价为460元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如表： 降价的钱数/元 5 10 15 20 25 30 日销量/件 122 124 126 128 130 132 (1)表中的自变量和因变量分别是什么? (2)从表中可以看出随着降价钱数的变化，日销量的增加是“均匀”的吗?是如何变化的? (3)请你求出降价之前的日销量为多少件. 9. 已知y＝(m＋2)x|m+3|＋n－2. (1)当m，n为何值时，y是x的正比例函数? (2)当m，n为何值时，y是x的一次函数? 10. 已知y＋a与x＋b(a、b为常数)成正比例．y是x的一次函数吗？请说明理由. 11. 小李从深圳通过某快递公司给在广州的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从深圳到广州快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？ 12. 某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：400份以上的部分，每份材料收0.6元印刷费，少于或等于400份免费，但要收800元制版费；乙厂提出：每份材料收1.6元印刷费，不收制版费. (1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式； (2)印刷多少份宣传材料，两印刷厂的印刷费用相同? (3)印刷800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算? 13. 为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠． （1）以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式； （2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2 认识一次函数 考点1: “均匀”变化 所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时另一个变量的改变量是相同的. 考点2: 一次函数和正比例函数的概念 若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数. 特别地，当b＝0时，称y是x的正比例函数. · ①形如y＝kx (k为常数，k≠0)的函数，叫作正比例函数 ②当b＝0，而k≠0时，y＝kx仍为一次函数，当k＝0时，它不是一次函数. · 1.理解一次函数的概念时要注意以下三点： ①一次函数的关系式y＝kx＋b是一个等式，其左边是因变量y，右边是关于自变量x的整式，分母不能含字母(自变量不能在分母中).[例：y＝是一次函数，而y＝不是一次函数] ②自变量x和因变量y的次数为1，系数k≠0. ③常数b可以是任意实数. 2. 正比例函数是特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. 考点3: 根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤： (1)认真分析，理解题意；(2)找出等量关系；(3)写出次函数的关系式. 对于实际问题，解答时，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 考点4: 分段函数 在自变量的不同取值范围内表示函数关系的关系式有不同的形式，这样的函数称为分段函数.在用关系式表示分段函数时，每一个关系式的后面必须加上对应自变量的取值范围，如：y＝ · 分段函数是一个函数而不是多个函数. 练习1. 1. 在下列函数中,是正比例函数的是( C ). A. y＝2x－1　     B. y＝－2x＋1 C. y＝2x　     D. y＝2x2＋1 2. 下列函数关系中表示一次函数的有( D ). ①y＝2x＋1；②y＝；③y＝；④s＝60t；⑤y＝18－26x A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列函数既是一次函数又是正比例函数的是( D ). A. y＝3x2 B. y＝ C. y＝5x－4 D. y＝－3x 4. 下列各选项中的y是x的正比例函数的是( A ). A.正方形的周长y(厘米)和它的边长x(厘米) B.圆的面积y(平方厘米)与半径x(厘米) C.立方体的体积y(立方厘米)和它的棱长x(厘米) D.一棵树现在的高度为60厘米，每个月长高3厘米，x个月后这棵树的高度为y厘米 5. 已知y＝(3－k)x＋3是y关于x的一次函数，则k的值不可能是 3 . 6. 已知函数y＝(k－3)x|k|-2＋6是一次函数，则k＝　－3    . 7. 等腰三角形的周长为10cm，底边长为ycm，腰长为xcm，用x表示y的函数关系式为 y＝10－2x . 8. 商场为减少某种商品的积压，采取降价销售的策略.商品原价为460元/件，随着不同幅度的降价，日销量发生相应的变化，如表： 降价的钱数/元 5 10 15 20 25 30 日销量/件 122 124 126 128 130 132 (1)表中的自变量和因变量分别是什么? 表格中的自变量是降价的钱数，因变量是日销量 (2)从表中可以看出随着降价钱数的变化，日销量的增加是“均匀”的吗?是如何变化的? 从表中可以看出随着降价钱数的变化，日销量的增加是“均匀”的，每降价5元，日销量增加2件 (3)请你求出降价之前的日销量为多少件. 当降价的钱数为0元时，日销量为122－2＝120(件) 9. 已知y＝(m＋2)x|m+3|＋n－2. (1)当m，n为何值时，y是x的正比例函数? m＝－4，n＝2. (2)当m，n为何值时，y是x的一次函数? m＝－4，n为任意实数 10. 已知y＋a与x＋b(a、b为常数)成正比例．y是x的一次函数吗？请说明理由. 解：是；∵y＋a与x＋b成正比例，设比例系数为k，则y＋a＝k(x＋b)， 整理得：y＝kx＋kb－a，∴y是x的一次函数. 11. 小李从深圳通过某快递公司给在广州的外婆寄一盒樱桃，快递时，他了解到这个公司除收取每次6元的包装费外，樱桃不超过1kg收费22元，超过1kg，则超出部分按每千克10元加收费用．设该公司从深圳到广州快递樱桃的费用为y(元)，所寄樱桃为x(kg)． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知小李给外婆快寄了2.5kg樱桃，请你求出这次快寄的费用是多少元？ 解：(1)由题意，得当0＜x≤1时，y＝22＋6＝28； 当x＞1时y＝28＋10(x－1)＝10x＋18； ∴y＝； (2)当x＝2.5时，y＝10×2.5＋18＝43．∴这次快寄的费用是43元． 12. 某公司要印制产品宣传材料，甲印刷厂提出：400份以上的部分，每份材料收0.6元印刷费，少于或等于400份免费，但要收800元制版费；乙厂提出：每份材料收1.6元印刷费，不收制版费. (1)分别写出两厂的收费y(元)与印制数量x(份)之间的函数解析式； (2)印刷多少份宣传材料，两印刷厂的印刷费用相同? (3)印刷800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算? 解：(1)甲厂的收费y(元)与印刷数量x(份)之间的函数解析式为y＝ 乙厂的收费y(元)与印刷数量x(份)之间的函数解析式为y＝1.6x. (2)根据题意可知，当x≤400时, 由800＝1.6x得x＝500(舍去)； 当x＞400时, 由0.6x＋560＝1.6x得x＝560. ∴印刷560份宣传材料,两印刷厂的印刷费用相同. (3)当x＝800时,甲厂的收费为y＝0.6×800＋560＝1 040元. 当x＝800时,乙厂的收费为y＝1.6×800＝1 280元. ∵1 280＞1 040, ∴印刷800份宣传材料时,选择甲印刷厂比较合算. 13. 为庆祝商都正式营业，商都推出了两种购物方案．方案一：非会员购物所有商品价格可获九五折优惠，方案二：如交纳300元会费成为该商都会员，则所有商品价格可获九折优惠． （1）以x(元)表示商品价格，y(元)表示支出金额，分别写出两种购物方案中y关于x的函数解析式； （2）若某人计划在商都购买价格为5880元的电视机一台，请分析选择哪种方案更省钱？ 解：(1)方案一：y＝0.95x；方案二：y＝0.9x＋300； (2)当x＝5880时， 方案一：y＝0.95x＝5586(元)，方案二：y＝0.9x＋300＝5592(元)， 5586＜5592 所以选择方案一更省钱． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $