3.3 轴对称与坐标变化 预习学案 2025--2026学年北师大版八年级数学上册

2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第三章 位置与坐标 3. 轴对称与坐标变化 知识点预习 1. 轴对称的坐标变化规律（核心结论） 关于x轴对称：坐标变化——横坐标不变，纵坐标互为相反数。 几何意义：两点到x轴的距离相等，方向相反。 关于y轴对称：坐标变化——纵坐标不变，横坐标互为相反数。 几何意义：两点到y轴的距离相等，方向相反。 2. 坐标变化与轴对称的互逆关系 正向推导：若两点坐标满足 ，两点关于x轴对称。 若两点坐标满足 ，两点关于y轴对称。 反向判定：若两点关于x轴对称 → 横坐标相同，纵坐标互为相反数。 若两点关于y轴对称 → 纵坐标相同，横坐标互为相反数。 3. 图形轴对称变换的操作方法 作关于x轴的对称图形 步骤：(1) 取原图形各顶点坐标； (2) 将纵坐标y替换为−y得新点；(3) 依次连接新点。 作关于y轴的对称图形 步骤：(1) 取原图形各顶点坐标 ；(2) 将横坐标x替换为− x，得新点 ；(3) 依次连接新点。 4. 总结 本节通过坐标系中的轴对称变换，揭示了 图形对称性与坐标变化 的精确对应关系。核心结论为： x轴对称：横不变，纵变号 → 几何表现为上下翻转。 5. y轴对称：纵不变，横变号 → 几何表现为左右翻转。 需掌握坐标变换规则，并能通过描点作图验证对称性，为后续学习函数图像的对称变换（如抛物线对称轴）奠定基础。 基础题预 1、 选择题预习（30分） 1．在平面直角坐标系中，点A（2，1）和B（2，﹣1）（　　） A．关于直线y＝x对称 B．关于直线y＝﹣x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 【解答】解：∵在平面直角坐标系，点A（2，1）和点B（2，﹣1），横坐标相同，纵坐标互为相反数， ∴点A和点B关于x轴对称． 故选：C． 2．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0.5，4），则点D的坐标为（　　） A．（3.5，4） B．（5.5，4） C．（5，4） D．（6，4） 【解答】解：∵（2，0）与（4，0）对称， ∴对称轴为直线， ∵C（0.5，4）与点D关于直线x＝3对称， ∴点D的坐标为（5.5，4）． 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3） 【解答】解：把A点和直线x＝1，向左移动1个单位得：A′（3，3）和直线x＝0， 点A′（3，3）关于x＝0的对称点为B（﹣3，3）， 把B（﹣3，3）再向右平移1个单位得：（﹣2，3）， 故选：C． 4．若点M（﹣2，1）与点N（﹣2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（　　） A．x轴 B．y轴 C．过点（﹣2，0）且垂直于x轴的直线 D．过点（0，2）且平行于x轴的直线 【解答】解：∵点M（﹣2，1）与点N（﹣2，3）， ∴MN∥y轴， 设MN的中点为A， 则A点坐标为，即A（﹣2，2）， ∴点M（﹣2，1）与点N（﹣2，3）关于某条直线对称，这条直线是过点（0，2）且平行于x轴的直线， 故选：D． 5．如图，直线l∥y轴且与x轴交于点M（3，0），则点P（﹣1，2）关于直线的对称点坐标为（　　） A．（1，2） B．（5，2） C．（2，1） D．（7，2） 【解答】解：∵直线l∥y轴且与x轴交于点M（3，0）， ∴直线l为x＝3， ∴点P（﹣1，2）关于直线的对称点坐标为（7，2）， 故选：D． 6．小明同学进行坐标关于对称轴对称的探索，先在平面直角坐标系中任取一点M（a，b），点M关于x轴的对称点为N，点N关于y轴的对称点为G，则G点坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b） 【解答】解：在平面直角坐标系中，点M（a，b），关于x轴的对称点坐标是N（a，﹣b）， N（a，﹣b）关于y轴对称的点的坐标为G（﹣a，﹣b）， 故选：C． 7．如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b） 【解答】解：∵△AOB与△A'OB关于x轴对称， ∴点P（a，b）关于x轴的对称点为（a，﹣b）， ∴点P的对应点Q的坐标是（a，﹣b）． 故选：D． 8．如图，将点P（﹣1，2）关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点P′，则点P′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 【解答】解：过P（﹣1，2）作PM⊥y轴于M，过P′作P′N⊥x轴于N，PP′交第一、三象限的角平分线l于A，则PM＝1，OM＝2，∠OMP＝∠ONP′＝90°， 由题意可得：OP＝OP′，∠AOP＝∠AOP'，∠AOM＝∠AON＝45°， ∴∠AOP﹣∠AOM＝∠AOP′﹣∠AON， ∴∠MOP＝∠NOP′， ∴△MOP≌△NOP′（AAS）， ∴PM＝P′N＝1，OM＝ON＝2， ∴P′（2，﹣1）． 故选：B． 9．如图，已知△ABO的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（3，0），AB1与AB关于AC所在直线对称．若点B1恰好落在y轴上，则点B1的坐标为（　　） A．（0，﹣3） B．（0，﹣4） C．（0，﹣5） D．（0，﹣8） 【解答】解：∵点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（3，0）， ∴OC＝3，OB＝8， ∴BC＝5， ∵AB1与AB关于AC所在直线对称， ∴CB1＝CB＝5， ∵∠B1OC＝90°， ∴OB14， ∵点B1在y轴的负半轴， ∴点B1的坐标为（0，﹣4）， 故选：B． 10．已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 【解答】解：连接OD， ∵BC⊥x轴于点C，∠OBC＝35°， ∴∠AOB＝∠OBC＝35°，∠BOC＝90°﹣35°＝55°， ∵点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上， ∴OB是线段AD的垂直平分线， ∴∠BOD＝∠AOB＝35°， ∴∠DOC＝∠BOC﹣∠BOD＝55°﹣35°＝20°， ∵点E与点O关于直线BC对称， ∴BC是OE的垂直平分线， ∴∠DOC＝∠OED＝20°． 故选：D． 二、填空题预习（24分） 11．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（﹣1，2），则这条直线为 　x＝0　 ． 【解答】解：∵A（1，2），B（﹣1，2）是纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴A，B关于y轴对称， ∴这条直线是x＝0． 故答案为：x＝0． 12．点P（a，b）关于二四象限的角平分线的对称点表示为　（﹣b，﹣a）　 ． 【解答】解：点P（a，b）关于第二、四象限的角平分线的对称点表示为（﹣b，﹣a）． 故答案为（﹣b，﹣a）． 13．在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B（﹣2，3）是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，则图形中与点C（4，﹣1）成轴对称的点D坐标是 　（﹣4，﹣1）　 ． 【解答】解：∵点A（2，3）与点B（﹣2，3）是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴， ∴该图形的对称轴为y轴， ∴图形中与点C（4，﹣1）成轴对称的点D坐标是（﹣4，﹣1）． 故答案为：（﹣4，﹣1）． 14．若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　1　 ，b＝　　 ． 【解答】解：因为点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称， 所以点P为线段MN的中点， 所以． 故答案为：1，． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 　（0，）　 ． 【解答】解：∵点A（4，0），点B（0，3）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝5， 由题意得：AC＝AB＝5， ∴OC＝AC﹣OA＝1， 故点C（﹣1，0）， 设点D的坐标为：（0，m）， ∵CD＝BD， ∴3﹣m， 解得：m， 故点D（0，）， 故答案为（0，）． 16．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为　（﹣2，0），（2，0），（0，4），（0，﹣4）　 ． 【解答】解：∵△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2）， ∴点B的坐标为（1，2）， 又∵在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2， ∴当点P在x轴上时，OP×2＝2，即OP＝2， 当点P在y轴上时，OP×1＝2，即OP＝4， ∴点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，4），（0，﹣4）， 故答案为：（﹣2，0），（2，0），（0，4），（0，﹣4）． 三、解答题预习（46分） 17．已知点A（a+b，b﹣2）与B（5，﹣1）关于x轴对称，求（a﹣b）2023的值． 【解答】解：∵点A（a+b，b﹣2）与B（5，﹣1）关于x轴对称， ∴a+b＝5，b﹣2＝1， ∴a＝2，b＝3， ∴（a﹣b）2023＝（2﹣3）2023＝（﹣1）2023＝﹣1． 18．在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（2，0），点B'是点B关于直线OA（O为坐标原点）对称的点，写出点B'的坐标，并求出S△ABB'． 【解答】解：因为A（0，3），O（0，0），B（2，0）， 且点B'是点B关于直线OA对称的点， 所以点B'的坐标为（﹣2，0）． 由B（2，0），B'（﹣2，0）得， BB'＝2﹣（﹣2）＝4， 又A（0，3）， 所以． 19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，请回答下列问题： （1）点A在第 　四　 象限，它的坐标是 　（3，﹣2）　 ； （2）点B在第 　二　 象限，它的坐标是 　（﹣2，4）　 ； （3）将△AOB的每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以﹣1，再顺次连接这些点，所得的图形与△AOB关于 　x　 轴对称． 【解答】解：（1）点A在第四象限，它的坐标是（3，﹣2）； 故答案为：四，（3，﹣2）； （2）点B在第二象限，它的坐标是（﹣2，4）； 故答案为：二，（﹣2，4）； （3）将△AOB的每个顶点的横坐标保持不变，A点纵坐标都乘以﹣1，坐标为（3，2），B点纵坐标都乘以﹣1，坐标为（﹣2，4），再顺次连接这些点，所得的图形如图所示， 与△AOB关于x轴对称． 故答案为：x． 20．如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1． （1）方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为 　（0，3）　 ． （2）在方格纸中找出点Q，使P、Q关于AB对称． （3）则点Q到AB的最短距离是 　　 ． 【解答】解：（1）如图，P（0，3）． 故答案为：（0，3）； （2）如图，点Q即为所求； （3）设点Q到AB的最短距离是h，AB2， ∵AB•h＝BQ×2， ∴h． 故答案为：． 21．已知点P（2m+4，m﹣1）． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； （3）若点P（8，1）与点Q（a，b）关于直线x＝1对称，则点Q的坐标是　（﹣6，1）　 ． 【解答】解：（1）∵点P（2m+4，m﹣1）在x轴上， ∴m﹣1＝0， 解得m＝1． （2）∵点P（2m+4，m﹣1）的横坐标比纵坐标大3， ∴2m+4﹣（m﹣1）＝3， 解得m＝﹣2， ∴点P的坐标为（0，﹣3）． （3）∵点P（8，1）与点Q（a，b）关于直线x＝1对称， ∴b＝1，8+a＝2×1， ∴a＝﹣6， ∴点Q的坐标是（﹣6，1）． 故答案为：（﹣6，1）． 22．已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为（﹣4，1），点B坐标为（1，1）． （1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为 　（﹣3，3）　 ； （2）依次连接A，B，C，A，得到△ABC，请判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点C关于直线AB的对称点为点D．则点D的坐标为 　（﹣3，﹣1）　 ； （4）在y轴上找一点F，使△ABF的面积等于△ABD的面积，点F的坐标为 　（0，﹣1）或（0，3）　 ． 【解答】解：（1）建立平面直角坐标系如图所示，C（﹣3，3）， 故答案为：（﹣3，3）； （2）△ABC为直角三角形，理由为： 由网格图，可知AB2＝（1+4）2＝25，AC2＝12+22＝5，BC2＝22+42＝20， ∵20+5＝25， 即BC2+AC2＝AB2， ∴△ABC为直角三角形； （3）在图中作出点C关于直线AB的对称点为点D， ∴D（﹣3，﹣1）， 故答案为：（﹣3，﹣1）； （4）F（0，﹣2）或（0，3），理由如下： ∵△ABF的面积等于△ABD的面积， ∴点F、D到AB的距离相等， 则|yF﹣1|＝1﹣（﹣1）＝2， 解得yF＝﹣1或3， 又∵点F在y轴上， ∴F（0，﹣1）或（0，3）， 故答案为：（0，﹣1）或（0，3）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季北师大版数学八年级上册 知识点及基础题预习 第三章 位置与坐标 3. 轴对称与坐标变化 知识点预习 1. 轴对称的坐标变化规律（核心结论） 关于x轴对称：坐标变化——横坐标不变，纵坐标互为相反数。 几何意义：两点到x轴的距离相等，方向相反。 关于y轴对称：坐标变化——纵坐标不变，横坐标互为相反数。 几何意义：两点到y轴的距离相等，方向相反。 2. 坐标变化与轴对称的互逆关系 正向推导：若两点坐标满足 ，两点关于x轴对称。 若两点坐标满足 ，两点关于y轴对称。 反向判定：若两点关于x轴对称 → 横坐标相同，纵坐标互为相反数。 若两点关于y轴对称 → 纵坐标相同，横坐标互为相反数。 3. 图形轴对称变换的操作方法 作关于x轴的对称图形 步骤：(1) 取原图形各顶点坐标； (2) 将纵坐标y替换为−y得新点；(3) 依次连接新点。 作关于y轴的对称图形 步骤：(1) 取原图形各顶点坐标 ；(2) 将横坐标x替换为− x，得新点 ；(3) 依次连接新点。 4. 总结 本节通过坐标系中的轴对称变换，揭示了 图形对称性与坐标变化 的精确对应关系。核心结论为： x轴对称：横不变，纵变号 → 几何表现为上下翻转。 5. y轴对称：纵不变，横变号 → 几何表现为左右翻转。 需掌握坐标变换规则，并能通过描点作图验证对称性，为后续学习函数图像的对称变换（如抛物线对称轴）奠定基础。 基础题预 1、 选择题预习（30分） 1．在平面直角坐标系中，点A（2，1）和B（2，﹣1）（　　） A．关于直线y＝x对称 B．关于直线y＝﹣x对称 C．关于x轴对称 D．关于y轴对称 2．剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点A与点B对称，点C与点D对称，将其放置在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（2，0），（4，0），（0.5，4），则点D的坐标为（　　） A．（3.5，4） B．（5.5，4） C．（5，4） D．（6，4） 3．在平面直角坐标系中，已知A（4，3），A′与A关于直线x＝1轴对称，则A′的坐标为（　　） A．（﹣4，3） B．（4，﹣1） C．（﹣2，3） D．（4，﹣3） 4．若点M（﹣2，1）与点N（﹣2，3）关于某条直线对称，则这条直线是（　　） A．x轴 B．y轴 C．过点（﹣2，0）且垂直于x轴的直线 D．过点（0，2）且平行于x轴的直线 5．如图，直线l∥y轴且与x轴交于点M（3，0），则点P（﹣1，2）关于直线的对称点坐标为（　　） A．（1，2） B．（5，2） C．（2，1） D．（7，2） 6．小明同学进行坐标关于对称轴对称的探索，先在平面直角坐标系中任取一点M（a，b），点M关于x轴的对称点为N，点N关于y轴的对称点为G，则G点坐标为（　　） A．（﹣a，b） B．（a，﹣b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，b） 7．如图，△AOB关于x轴对称图形△A′OB，若△AOB内任意一点P的坐标是（a，b），则△A′OB中的对应点Q的坐标是（　　） A．（a，b） B．（﹣a，b） C．（﹣a，﹣b） D．（a，﹣b） 8．如图，将点P（﹣1，2）关于第一、三象限的角平分线l对称，得到点P′，则点P′的坐标为（　　） A．（2，1） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2） 9．如图，已知△ABO的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（8，0），点C的坐标为（3，0），AB1与AB关于AC所在直线对称．若点B1恰好落在y轴上，则点B1的坐标为（　　） A．（0，﹣3） B．（0，﹣4） C．（0，﹣5） D．（0，﹣8） 10．已知，如图在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，则∠OED的度数为（　　） A．35° B．30° C．25° D．20° 二、填空题预习（24分） 11．在平面直角坐标系中，若点（1，2）关于某条直线对称后得点（﹣1，2），则这条直线为 　 　 ． 12．点P（a，b）关于二四象限的角平分线的对称点表示为　 　 ． 13．在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B（﹣2，3）是一个轴对称图形上对称的两点，该图形只有一条对称轴，则图形中与点C（4，﹣1）成轴对称的点D坐标是 　 　 ． 14．若点M（﹣1，2）与点N（3，﹣5）关于点P（a，b）对称，则a＝　 　 ，b＝　 　 ． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 　 　 ． 16．已知△ABO关于x轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），若在坐标轴上有一个点P，满足△BOP的面积等于2，则点P的坐标为　 　 ． 三、解答题预习（46分） 17．已知点A（a+b，b﹣2）与B（5，﹣1）关于x轴对称，求（a﹣b）2023的值． 18．在平面直角坐标系中，已知点A（0，3），B（2，0），点B'是点B关于直线OA（O为坐标原点）对称的点，写出点B'的坐标，并求出S△ABB'． 19．如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1，请回答下列问题： （1）点A在第 　 　 象限，它的坐标是 　 　 ； （2）点B在第 　 　 象限，它的坐标是 　 　 ； （3）将△AOB的每个顶点的横坐标保持不变，纵坐标都乘以﹣1，再顺次连接这些点，所得的图形与△AOB关于 　 　 轴对称． 20．如图，方格纸中每个小正方形方格的边长都为1． （1）方格纸中格点A、B的坐标分别为A（1，1）、B（3，3），则格点P的坐标为 　 　 ． （2）在方格纸中找出点Q，使P、Q关于AB对称． （3）则点Q到AB的最短距离是 　 　 ． 21．已知点P（2m+4，m﹣1）． （1）若点P在x轴上，求m的值； （2）若点P的横坐标比纵坐标大3，求点P的坐标； （3）若点P（8，1）与点Q（a，b）关于直线x＝1对称，则点Q的坐标是　 　 ． 22．已知，如图，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，现有A，B，C三点，其中点A坐标为（﹣4，1），点B坐标为（1，1）． （1）请根据点A，B的坐标在方格纸中建立平面直角坐标系，并直接写出点C坐标为 　 　 ； （2）依次连接A，B，C，A，得到△ABC，请判断△ABC的形状，并说明理由； （3）若点C关于直线AB的对称点为点D．则点D的坐标为 　 　 ； （4）在y轴上找一点F，使△ABF的面积等于△ABD的面积，点F的坐标为 　 　 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$