精品解析：四川省绵阳市梓潼县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

四川省绵阳市梓潼县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≤3 B. x≥﹣3 C. x≠3 D. x≥0 2. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 15，20，25 C. 2，3，4 D. 1，，3 3. 如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 4. 下午放学后，小明站在校门口的公交车站等车，下列图象中能大致刻画等车这段时间离家的距离与时间关系的是（ ） A. B. C. D. 5. 学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（ ） A. 176cm B. 178cm C. 179cm D. 180cm 6. 已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ） A. B. C. D. 7. 菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 8. 一组数据，，，，，的方差为，若将该组数据中的每一个数扩大倍得到新的一组数据，，，，，，那么新一组数据的方差是多少？（ ） A. B. C. D. 9. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是_____． 14. 直线 上有两点， 则______（填“”、“=”、“”） 15. 已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是______． 16. 如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解_______． 17. 将直线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为______． 18. 如图所示，正方形的边长为，在平面内任取一点（与点不重合），以DE为一边作正方形．设，点F、G与点的距离分别为、，则的最小值为__________． 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）计算： 20. 某中学八年级组织了一次“汉字听写比赛”，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，语文教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根损换供的信息解答下列问题. (1)把一班比赛成统计图补充完整； (2)填表: 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 一班 a b 85 二班 84 75 c 表格中:a=______，b=______，c=_______. (3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析: ①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩； ②从B级以上(包括B级)的人数方面来比较-班和二班的成绩. 21. 如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． （1）若，，求证：； （2）若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 22. 某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． （1）根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ （2）在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，将矩形纸片分别沿，折叠，使点，恰好都落在对角线的中点处，点，分别在，边上． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 24. 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 问题提出 如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点E，F． 操作发现 （1）当时，的度数为_______，的度数为_______． 数学思考 （2）连接，当为中点时，求证：； 拓展应用 （3）若，是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省绵阳市梓潼县八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若式子有意义，则x的取值范围是（ ） A. x≤3 B. x≥﹣3 C. x≠3 D. x≥0 【答案】A 【解析】 【分析】由二次根式有意义的条件可得从而可得答案． 【详解】解： 式子有意义， 解得： 故选A 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握“二次根式的被开方数为非负数”是解本题的关键． 2. 以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（ ） A. 4，5，6 B. 15，20，25 C. 2，3，4 D. 1，，3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三边长判断三角形是否为直角三角形，只需满足勾股定理逆定理（其中c为最长边）即可． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B、，能构成直角三角形，故B选项符合题意； C、，不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D、，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理逆定理的应用．若三角形的三边a、b、c满足，则这个三角形为直角三角形． 3. 如图顺次连接矩形四条边的中点得到四边形，若，，则四边形的面积为（ ） A. 6 B. 6.5 C. 7 D. 7.5 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形中位线定理证明四边形是菱形，四边形和四边形是矩形，再根据菱形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接、、、， 矩形， ，，，，，， 分别为矩形四条边的中点， 分别是的中位线， ，， ， 四边形是菱形， ，，， 四边形是矩形， 同理可证，四边形是矩形， ，， 菱形的面积． 4. 下午放学后，小明站在校门口的公交车站等车，下列图象中能大致刻画等车这段时间离家的距离与时间关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在校门口的公交车站等车，离家的距离不变，从而得出答案． 【详解】解：∵小明站在校门口的公交车站等车， ∴这段时间离家距离不会随时间的变化而变化， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决． 5. 学校男子篮球队的12位队员的身高如下表： 身高（单位：cm） 176 178 180 181 人数 1 5 4 2 这12位队员身高的中位数是（ ） A. 176cm B. 178cm C. 179cm D. 180cm 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解： ，第六，七位队员身高分别是178cm，180cm， 位队员身高的中位数是， 故选：C． 6. 已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 7. 菱形两条对角线的长分别为2和6，则它的面积是（ ） A. 24 B. 12 C. 8 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求菱形的面积，解题的关键是掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积公式即可解答． 【详解】解：∵菱形的两条对角线的长度分别为2和6， ∴该菱形面积， 故选：D． 8. 一组数据，，，，，的方差为，若将该组数据中的每一个数扩大倍得到新的一组数据，，，，，，那么新一组数据的方差是多少？（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求方差；根据方差的性质可知，数据中的每个数据都扩大倍，则方差扩大倍，即可得出答案． 【详解】解：设这组数，，，，，的平均数是，方差为，则， ，，，，，的平均数是，及， 这组数据，，，，，，的平均数为， 这组数据，，，，，的方差为 故选：D． 9. 如图，平行四边形的顶点O，A，C的坐标分别是，则顶点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，点坐标平移的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质．根据平行四边形的性质，以及点的平移性质，即可求出点B的坐标． 【详解】解:∵四边形是平行四边形， ∴， ∴点B的纵坐标为3， ∵点O向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点C， ∴点A向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点B， ∴点B的坐标为：； 故选：A． 10. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，线段的两个端点都在正方形网格的格点上，则的长度可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理计算即可． 【详解】线段在正方形网格的边上时，的长度可能是， 线段不在正方形网格的边上时，的长度可能是，，，，，， 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理的知识，解答本题的关键是掌握格点三角形中勾股定理的应用． 11. 如图，在菱形中，，点E在边上，且，F是边上一动点，将沿直线折叠，点D落在点N处，当点N在四边形内部（含边界）时，的长度的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动．由此可找出临界点，当点落在上时，最短，当点落在边上时，最长．根据轴对称的性质分别求解，可得出的取值，进而得最大值． 【详解】解：根据题意可知，点在以为圆心，长为半径的圆上运动， 如图所示： 当点正好落在边上时， ， 是等边三角形， ， 最短， 此时； 当点落在边上时，最长， 过点作于点，分别过点作的垂线，交的延长线于点． 四边形是矩形， 在菱形中，，， 点在边上，且， ，，，， ， ， ，，， 在中，，， ， ， ， 设，则，， 在中， 由勾股定理可知，， 即， 解得， ， 故答案为：A． 【点睛】本题在折叠的背景下考查菱形的性质，矩形的性质，含角的直角三角形，勾股定理等知识，得出点N的运动轨迹并找到临界点是解题关键． 12. 如图，在矩形中，，的平分线交于点，于点，连接并延长交于点，连接交于点，有下列结论：①平分；②；③；④．其中正确的结论有（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出①正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出②正确；求出，，证明，可得，判断出③正确；判断出不是等边三角形，从而得到，即，得到④错误． 【详解】解：在矩形中，平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 平分，故①正确； ，， ， ， ，， ， ， ， ，故②正确； ， ， 又，， 在和中， ， ， ，，故③正确； ，， 不是等边三角形， ， 即，故④错误； 综上所述，正确的结论是①②③，共3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 已知直线经过第一、二、三象限，且点在该直线上，设，则m的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与系数的关系：对于与轴交于，当时，在轴的正半轴上，直线与轴交于正半轴；当时，在轴的负半轴，直线与轴交于负半轴；当的图象在一，二，三象限；，的图象在一，三，四象限；的图象在一，二，四象限；的图象在二，三，四象限．解决本题的关键是用表示出． 先利用一次函数图象上点的坐标特征得到，再利用一次函数与系数的关系得到，，则k的范围为，接着用k表示m，然后根据一次函数的性质求m的范围． 【详解】解：把代入得，故， 因为直线经过第一、二、三象限， 所以，，即， 所以k的范围为， 因为， 所以m的范围为． 故答案为：． 14. 直线 上有两点， 则______（填“”、“=”、“”） 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，计算解答即可． 本题考查了一次函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】∵中，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是，， 斜边长， ， ， 即的斜边上的高是 故答案为： 16. 如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式. 先利用解析式确定P点坐标，然后结合函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：把代入，得， 解得， 则， 因为当时，， 所以关于x的不等的解集为． 故答案为：． 17. 将直线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为______． 【答案】##y=-6+2x 【解析】 【分析】根据平移的性质“左加右减，上加下减”，即可找出平移后的直线解析式，此题得解． 【详解】解：将直线向右平移2个单位，再向上平移1个单位后，所得的直线的表达式为：y=2（x-2）-3+1=2x-6． 故答案为：y=2x-6． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，牢记平移的规则“左加右减，上加下减”是解题的关键． 18. 如图所示，正方形的边长为，在平面内任取一点（与点不重合），以DE为一边作正方形．设，点F、G与点的距离分别为、，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质，连接， 证得则 ，故当点在同一直线上时， 最小，最小值为线段长，根据勾股定理求出即可. 【详解】如图， 连接， 在正方形和正方形中， ， ， ， ， ， ∴当点在同一直线上时 (此时点与点重合) ， 最小，最小值为线段长， 在 中，， ∴的最小值为 故答案为：2. 三、解答题：本题共6小题，共46分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. （1）计算： （2）计算： 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则，准确计算． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式． ． 20. 某中学八年级组织了一次“汉字听写比赛”，每班选25名同学参加比赛，成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A等级得分为100分，B等级得分为85分，C等级得分为75分，D等级得分为60分，语文教研组将八年级一班和二班的成绩整理并绘制成如下的统计图，请根损换供的信息解答下列问题. (1)把一班比赛成统计图补充完整； (2)填表: 平均数(分) 中位数(分) 众数(分) 一班 a b 85 二班 84 75 c 表格中:a=______，b=______，c=_______. (3)请从以下给出的两个方面对这次比赛成绩的结果进行分析: ①从平均数、众数方面来比较一班和二班的成绩； ②从B级以上(包括B级)的人数方面来比较-班和二班的成绩. 【答案】(1) 统计图补充完整如图所示见解析；(2)二班的平均数为:a=82.8 ，一班的中位数为：b=85， 二班的众数为：c=100 ； (3)①从平均数和众数的角度来比较二班的成绩更好；②从B级以上(包括B级)的人数的角度来比较一班的成绩更好． 【解析】 【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得一班C等级的学生数，从而可以解答本题； （2）根据表格中的数据可以求得一班的平均数和中位数，以及二班的众数； （3）根据表格中的数据，可以从两方面比较一班和二班成绩的情况． 【详解】解：(1)一班中C级的有25-6-12-5=2人 如图所示 (2) 一班的平均数为：a= =82.8， 一班的中位数为：b=85 二班的众数为：c=100 ； (3)①从平均数和众数的角度来比较二班的成绩更好； ②从B级以上(包括B级)的人数的角度来比较一班的成绩更好． 故答案为(1) 统计图补充完整如图所示见解析；(2)二班的平均数为:a=82.8 ，一班的中位数为：b=85， 二班的众数为：c=100 ； (3)①从平均数和众数的角度来比较二班的成绩更好；②从B级以上(包括B级)的人数的角度来比较一班的成绩更好． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、众数、中位数、加权平均数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21. 如图，已知中，点D、E分别在边、上，点F在上． （1）若，，求证：； （2）若D、E、F分别是、、的中点，连接，若四边形的面积为9，试求的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2）24 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形中线的性质，三角形中位线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据可证，根据平行线的性质可证，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可证明； （2）根据三角形中位线的性质得出，进而得出，根据三角形中线的性质可设，，进而得出，结合已知可求出x ，则可求，然后根据三角形中线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵D、F分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 又∵， ∴， ∵点 F 是的中点， ∴设， ∵点 D 是的中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点 E 是的中点， ∴． 22. 某网店销售甲、乙两种遮阳帽，进价和售价格如表所示． 名称 甲种遮阳帽 乙种遮阳帽 进价（元/顶） 30 15 售价（元/顶） 40 20 根据上面提供的信息，解答下列问题． （1）根据消费者需求，该网店决定用不超过2280元购进甲、乙两种遮阳帽共100顶，且甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量，则购进甲、乙两种遮阳帽有多少种进货方案？ （2）在（1）的条件下，哪种进货方案可使获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）2种 （2）购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽；760元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽，，利用总价单价数量，结合“总价不超过元，且购进甲种遮阳帽的数量超过乙种遮阳帽的数量”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各购进方案； （2）利用总利润每顶甲种遮阳帽的利润购进甲种遮阳帽的数量每顶乙种遮阳帽的利润购进乙种遮阳帽的数量，可求出各方案所需费用，比较后，即可得出结论． 【小问1详解】 解：设购进x顶甲种遮阳帽，则购进顶乙种遮阳帽， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为51，52， 该网店共有2种进货方案， 方案1：购进51顶甲种遮阳帽，49顶乙种遮阳帽； 方案2：购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽； 【小问2详解】 选择方案1可获利元； 选择方案2可获利元 ， 购进52顶甲种遮阳帽，48顶乙种遮阳帽可使获利最大，最大利润是760元． 23. 如图，将矩形纸片分别沿，折叠，使点，恰好都落在对角线的中点处，点，分别在，边上． （1）求证：； （2）求证：四边形是菱形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和折叠的性质证明，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，四边形是平行四边形，再证明，即可证明； 【小问1详解】 证明：是矩形的对角线， ， 又由折叠轴对称性质，得： ，， ， 又，， ， ； 【小问2详解】 证明：，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 点在上，，， ， 点在上，且， 平行四边形是菱形． 【点睛】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，菱形的判定，矩形的性质，折叠的性质，以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 24. 某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程： 问题提出 如图，正方形中，在边上任意一点（不与点重合），以为旋转中心，将逆时针旋转，得到，连接，，分别交于点E，F． 操作发现 （1）当时，的度数为_______，的度数为_______． 数学思考 （2）连接，当为中点时，求证：； 拓展应用 （3）若，是否存在最小值？如果存在，求此最小值；如果不存在，说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）当时，存在最小值，此时取得最小值为5． 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质及旋转的性质可知，，，进而可得，然后利用角度之间互余关系及三角形的内角和定理即可求解； （2）过点作交延长线于，于，则，根据正方形的性质及旋转的性质证明四边形为矩形，，可知，，由为的中点，得，则，进而可证明四边形为正方形，易知是等腰直角三角形，即可证明结论； （3）连接，根据正方形的性质结合勾股定理可知，由此可知当取最小值时，有最小值，而，则当取最大值时，有最小值时，即：当取最大值时，有最小值，设，，则，证明，得，得，易知时，有最大值1，此时，，则，即可求得此时取得最小值为5． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴， 由旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，； （2）过点作交延长线于，于，则， ∵四边形是正方形， ∴，， 则，， ∴四边形为矩形， 由旋转可知：，，则， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴，则， ∴四边形为正方形， ∴，则， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （3）连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由勾股定理可知，由此可知当取最小值时，有最小值， 而，则当取最大值时，有最小值时， 即：当取最大值时，有最小值， 设，，则， 由（2）可知，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴时，有最大值1， 此时，，则，， 即：当时，存在最小值，此时取得最小值为5． 【点睛】本题主要考查了正方形的判定及性质，旋转的性质，三角形全等的判定和性质，余角的性质，三角形内角和定理，勾股定理等知识点，解题的关键是作出辅助线，证明三角形全等及三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $