精品解析：山东省德州市乐陵市2024—2025学年下学期八年级期末数学试卷

2024-2025学年山东省德州市乐陵市八年级（下）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A B. C. D. 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 4. 一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 5. 关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 某位教育家曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，而是阅读、阅读、再阅读．”嘉琪统计了某校九年级（1）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（　　） A. 5小时 B. 8小时 C. 5或8小时 D. 5或8或10小时 7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 8. 四边形是平行四边形，下列尺规作图不能使一定是等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 18 10. 如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11 计算：__________． 12. 如图，数轴上点D表示的实数是________． 13. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 14. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则______． 15. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是______． 16. 如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为______． 三、解答题：本题共7小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各： （1）； （2）． 18. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 19. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 20. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 21. 著名数学教育家·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． （2）根据上述思路，化简并求出的值． 22. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． （1）求m和b的值； （2）直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年山东省德州市乐陵市八年级（下）期末 数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列二次根式中是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】被开方数含有开不尽方的因数或因式，且不含分母，这样的二次根式是最简二次根式，根据此概念进行判断即可． 【详解】A、此二次根式再也不能化简了，故是最简二次根式，符合题意； B、，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了最简二次根式的识别，二次根式的性质，掌握最简二次根式的概念是关键． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是勾股数，满足的三个正整数，根据勾股数的定义解答即可． 【详解】解：A、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意； B、0.3，0.4，0.5，不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C、，是勾股数，符合题意； D、，故不是勾股数，不符合题意． 故选：C． 3. 矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（　　） A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形和平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】矩形的对角线互相平分且相等，而平行四边形的对角线互相平分，不一定相等． 故选C． 【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如：矩形的对角线相等；四个角都是直角等． 4. 一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最感兴趣的是这组鞋号的（ ） A. 众数 B. 平均数 C. 中位数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数据，故应注意众数的大小． 【详解】解：根据题意可得：经销商最感兴趣的是这组鞋号中哪个尺码最多，即这组数据的众数． 故选：A． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键． 5. 关于的一次函数，若随的增大而增大，且图象与轴的交点在原点下方，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：随的增大而增大， ． ． 图象与轴的交点在原点下方， ． ． ． 故选：C． 6. 某位教育家曾说过：“让学生变聪明的方法，不是补课，而是阅读、阅读、再阅读．”嘉琪统计了某校九年级（1）班五位同学每周课外阅读的平均时间，其中四位同学每周课外阅读时间分别是5小时、8小时、10小时、4小时，第五位同学每周的课外阅读时间既是这五位同学每周课外阅读时间的中位数，又是众数，则第五位同学每周课外阅读时间是（　　） A. 5小时 B. 8小时 C. 5或8小时 D. 5或8或10小时 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数的定义等知识点、理解中位数、众数的定义是解题的关键． 分别将各选项时间代入，然后运用中位数和众数的定义分析判断即可． 【详解】解：当第五位同学的课外阅读时间为4小时时，此时五个数据为4，4，5，8，10，众数为4，中位数为5，不合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为5小时时，此时五个数据为4，5，5，8，10，众数为5，中位数为5，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为8小时时，此时五个数据为4，5，8，8，10，众数为8，中位数为8，符合题意； 当第五位同学的课外阅读时间为10小时时，此时五个数据为4，5，8，10，10，众数为10，中位数为8，不合题意； 故第五位同学的每周课外阅读时间为5或8小时． 故选C． 7. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示（图中为一折线）．这个容器的形状可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的走势：较缓，较陡，陡，注水速度是一定的，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢，从而得到答案． 【详解】解：从函数图象可以看出：OA段上升最慢，AB段上升较快，BC段上升最快，上升的快慢跟容器的粗细有关，越粗的容器上升高度越慢， ∴题中图象所表示的容器应是下面最粗，中间其次，上面最细； 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象的性质在实际问题中的应用，判断出每段函数图象变化不同的原因是解题的关键． 8. 四边形是平行四边形，下列尺规作图不能使一定是等腰三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，解题关键是根据各个图形，结合相关性质求解．根据平行四边形的性质，尺规作线段的垂直平分线，尺规作角平分线，角平分线的意义，垂直平分线的性质，对四个图形逐一分析，作出判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴一定是等腰三角形，故A不符合； B、∵点在的垂直平分线上， ∴， ∴一定是等腰三角形，故B不符合； C、∵四边形是平行四边形， ∴， ∵平分， ∴， ， ， ∴一定是等腰三角形，故C不符合； D、只能得出，不能得出中有两边相等， ∴不一定是等腰三角形，故D符合， 故选：D． 9. 如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（ ） A. B. C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、垂线段最短等知识，正确添加常用辅助线构造全等三角形是解题的关键． 如图：连接．先根据菱形的性质说明都是等边三角形，再结合已知条件证明可得，进而证明是等边三角形；再根据垂线段最短求得的最小值为，最后求的周长即可． 【详解】解：如图：连接． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴都是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 根据垂线段最短可知，当时，的长最短， 如图：过B作垂足为， ∵, ∴, ∴， ∴,即的最小值为， ∴周长的最小值为． 故选B． 10. 如图，在平面直角坐标系中 ，已知关于的函数图象与轴有且只有三个公共点，坐标分别为，，．关于该函数的四个结论如下：①当时，；②当时，有最小值；③将该函数图象向右平移个或个单位长度后得到的函数图象经过原点；④点是该函数图象上一点，则符合要求的点只有两个．其中正确的结论有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，根据函数图象分析其上坐标的特点是解题的关键． 通过观察可判断①②③，通过点得到所在的直线表达式，作出图象后可判断． 【详解】解：①：当时，或，故①错误； ②：由图象可知，当时，有最小值，故②正确； ③：将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，将该函数图象向右平移个单位后，原图象上坐标为的点会过原点，故③正确； ④：令，， ∴， ∴点在直线的函数图象上，如图所示： 由图象可得，它们有三个交点，故④错误； ∴正确的有②③， 故选：B． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 计算：__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，根据二次根式的除法运算法则计算即可求解． 【详解】解：． 故答案为：3． 12. 如图，数轴上点D表示实数是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查在数轴上表示无理数，正确理解实数与数轴上的点一一对应的关系是解题关键． 直接根据勾股定理即可求解． 【详解】解：， ∴数轴上点D表示的实数是． 故答案为：． 13. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 14. 如图，把长方形沿直线向上折叠，使点落在的位置上，已知，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键．先由长方形的性质和折叠的性质证得，再设，则，由勾股定理得出方程，即可得出结果． 【详解】解：四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 故答案为：． 15. 一次函数与的图象如图所示，则下列结论：①；②；③的值每增加，的值增加；④．其中正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，掌握一次函数的图象与系数的关系，数形结合是解题的关键． 根据函数图象直接得到，，，，进一步即可得到；根据当时，，即可求得；求得，根据解析式即可求得的值每增加，的值增加；当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：，，，， ，， ，故正确； 一次函数与图象的交点的横坐标为， ， ，即，故正确； ，， ， ， ， 的值每增加，的值增加，故正确； 当时，，，由图象可知， ，故错误． 故答案：． 16. 如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形、、、、，按如图所示的方式放置，其中点、、、、均在一次函数的图象上，点、、、、均在轴上，若点的坐标为，点的坐标为，则点的横坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，涉及到的知识点有待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及等腰直角三角形的性质．解答该题的难点是找出点的坐标的规律．首先，根据等腰直角三角形的性质求得点，的坐标；然后，将点，的坐标代入一次函数解析式，利用待定系数法求得该直线方程是；最后，利用等腰直角三角形的性质推知点的坐标，即可求得点的坐标，进一步可得答案． 【详解】解：由条件可知，，则． 是等腰直角三角形，， ． 点的坐标是． 同理，在等腰直角中，，，则． 点，均在一次函数图象上， ，解得， 该直线方程是． 当时，，即，则， ． ， ， 当时，， 即点的坐标为 的坐标为 故答案为： 三、解答题：本题共7小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算下列各： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答； （2）先计算二次根式的乘法，再算加减，即可解答． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 18. 如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端A的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点C处，到旗杆底部B的距离为9米． （1）求旗杆的高度； （2）小明在C处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点E处，问小明需要后退几米（即的长）？ 【答案】（1）旗杆的高度为 （2）小明需后退 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过E作重为M，证明四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【小问1详解】 解：设旗杆的高度为，则， 在中，，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． 【小问2详解】 解：过E作重为M， 则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， 答：小明需后退． 19. 如图，在中，交的延长线于点E，． （1）求证：四边形是矩形； （2）F为的中点，连接，．已知，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先由四边形是平行四边形，得，，因为，故，，得证四边形是平行四边形，再结合有一个角是的平行四边形是矩形，即可作答． （2）因为四边形是矩形，则，因为为CD的中点，所以，因为，由勾股定理得，代入数值进行计算，即可作答． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， ，， ∴四边形是平行四边形， 又， ， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：由（1）得四边形矩形，， ， 为的中点， ， ∵ ， 由勾股定理得． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，勾股定理，矩形的判定与性质，斜边上的中线等于斜边的一半，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 20. 根据以下素材，探索完成任务．如何选择合适的种植方案？ 如何选择合适的种植方案？ 素材1 湖州市某中学为了加强劳动教育，拟建一处劳动实践园，2025年计划将其中100平方米的土地全部种植甲、乙两种蔬菜． 素材2 甲种蔬菜种植总成本元与甲种植面积（平方米）的函数关系如右图所示，其中；乙种蔬菜的种植每平方米的成本为40元． 问题解决 任务1 列出函数关系 （1）求甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； 任务2 确定种植成本 （2）若乙种蔬菜种植面积为55平方米，求2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为多少元？ 任务3 设计种植方案 （3）若甲种植面积不超过乙种植面积的3倍，设2025年甲乙两种蔬菜总种植成本为元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使最小？并求出的最小值． 【答案】（1） （2）元 （3）甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米，为元 【解析】 【分析】（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为，把，代入，解方程组即可求出、的值，进而得出甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式； （2）由乙种蔬菜种植面积为55平方米可得，甲种蔬菜种植面积为平方米，把代入，得元，然后求出乙种蔬菜种植总成本为元，两者相加，即可求出年甲乙两种蔬菜总种植成本； （3）甲种植面积为，则乙种植面积为，由题意得，解得，再结合，可得，可推出甲乙两种蔬菜总种植成本为，整理得，然后根据函数的增减性，并结合的取值范围，即可确定出的最小值． 【详解】解：（1）设甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为， 把，代入，得： ， 解得：， 甲种蔬菜种植总成本与甲种植面积的函数关系式为； （2）乙种蔬菜种植面积为55平方米， 甲种蔬菜种植面积为：（平方米）， 把代入，得： （元）， 乙种蔬菜种植总成本为：（元）， 年甲乙两种蔬菜总种植成本为：（元）， 答：年甲乙两种蔬菜总种植成本为元； （3）甲种植面积为，乙种植面积为， 由题意得：， 解得：， 又， ， 甲乙两种蔬菜总种植成本为：， 整理，得：， ， 随的增大而减小， 当时，取得其最小值，元， 此时，乙种植面积为：（平方米）， 答：甲种植面积为平方米，乙种植面积为平方米时，最小，的最小值为元． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用（分配方案问题），求一次函数的函数值，解二元一次方程组等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出算式、函数关系式或不等式是解题的关键． 21. 著名数学教育家·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： （1）在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． （2）根据上述思路，化简并求出的值． 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个二次根式化简，进而即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意可得： ， 故答案为：；；； 【小问2详解】 ． 22. 课本再现 思考： 我们知道，菱形的对角线互相垂直．反过来，对角线互相垂直的平行四边形是菱形吗？ 可以发现并证明菱形的一个判定定理； 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． （1）定理证明：为了证明该定理，小明同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在平行四边形中，对角线，垂足为． 求证：平行四边形是菱形． （2）知识应用：如图2，在平行四边形中，对角线和相交于点，，，． ①求证：平行四边形是菱形； ②延长至点，连接交于点，若，求证：是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质，得到，结合平行四边形的性质，得到 证明四边形是菱形． （2）①根据平行四边形的性质，得，结合，证明，从而证明平行四边形是菱形； ②延长至点，根据题意，得，结合平行四边形是菱形，得到，结合，，得到从而证明是等腰三角形． 【小问1详解】 证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ∴，， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问2详解】 ①证明：∵平行四边形中，对角线和相交于点， ，，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； ②证明：延长至点，根据题意，得， ∵平行四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质，勾股定理的逆定理是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． （1）求m和b的值； （2）直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）①7秒；②当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【解析】 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点，，； （2）①由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；②分、、三种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：把点代入直线中得：， 点， 直线过点， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：①由题意得：， 中，当时，， ， ， 中，当时，， ， ， ， 的面积为10， ， ， 则的值为7秒； ②设点，点、的坐标为：、， 当时，则点在的中垂线上，即， 解得：； 如图，当时，过点作轴于，则， ∵直线与轴，轴分别交于，两点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合时，故， 解得：； 当时，由勾股定理得：， ∴, ∴ 故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算及勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$