精品解析：湖南省永州市江华瑶族自治县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学仿真模拟试题

湖南省永州市江华瑶族自治县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学仿真模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（　　） A. B. C. D. 3. 嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ） A. 36° B. 54° C. 60° D. 72° 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. 三边的长度分别为1，2， B. ，，的度数比为 C. D. 6. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，若，则的度数为（ ） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 7. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的每条对角线平分一组对角 C. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 8. 小明和小刚想探究旗杆的高度，他们将旗杆顶端系上绳索，绳索顺着旗杆下垂后，堆在地面的部分有米，牵着绳索从旗杆底部向后退行，在离旗杆米处绳索用尽（绳索一端紧贴地面无剩余），若设旗杆高度为米，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为，较短直角边长为6，则图中小正方形（空白区域）的面积为__________． 12. 在平行四边形中，如果，那么度数是_____ 13. 生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 _____． 14. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________． 15. 如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为_____． 17. 如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为_________． 18. 如图所示，矩形的边长是，顺次连接各边中点，得到，顺次连接各边中点，得到，……，以此类推，则__． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题，每题6分，第21、22题，每题8分，第23、24题，每题9分，第25、26题，每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 若一个边形内角和比它的外角和的3倍多． （1）求的值； （2）在（1）条件下，求正边形的一个内角度数及对角线条数． 20. 如图，在中，，M为中点． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，求． 21. 如图，，是半圆O的切线，切点分别为，，为半圆O的直径．与的延长线交于点E，连结，． （1）求证：． （2）若，，，请你思考后，从，，三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是_______． ②写出求解过程（结果用字母表示）． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长． 23. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 24. 如图，在中，，是边的中线，过点D作，连结交于F，交于M，点M恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 25. 【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形的三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 26. 如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的，上，顶点B，D分别在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若A为的中点，菱形的周长是28，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 湖南省永州市江华瑶族自治县2023-2024学年八年级下学期期中考试数学仿真模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形：一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形沿着某个点旋转后能与原图形完全重合的图形，依次分析即可． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不合题意； B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意． 故选：B． 2. 小明把一副直角三角板按如图所示的方式摆放，其中，，，则等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角板中的角度计算、三角形的外角性质、三角形内角和定理，关键是掌握三角形外角的性质，并能得出有关的等式．由三角形的外角性质和三角形内角和定理，即可计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 3. 嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子（内部有一个正五边形），则∠1的度数为（ ） A. 36° B. 54° C. 60° D. 72° 【答案】D 【解析】 【分析】根据正五边形每个内角为108°，根据长方形纸片对边平行，再根据两直线平行，同旁内角互补可求解． 【详解】∵折的图形为正五边形， ∴∠2= =108°， 又∵长方形纸片对边平行， ∴∠1+∠2=180°， ∠1=180°-∠2=180°-108°=72° 故选D． 【点睛】本题考查折纸中角的度数，熟练掌握正五边形每个内角的度数，平行线的性质是解决本题的关键． 4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA，BC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交AC于点D．若AC＝12，则在△ABD中AB边上的高为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】作DE⊥AB于E．利用BD是角平分线以及直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半即可求解． 【详解】解：作DE⊥AB于E．如图： 由作图可知，BD是△ABC的角平分线． ∴DE=CD． ∵∠A=30°，∠AED=90°． ∴AD=2DE． ∵AC＝12． ∴AD+DC=AD+DE=12． ∴DE=4． 故选：B． 【点睛】本题考试角平分线定义和直角三角形特殊角的边关系，关键在于利用其性质进行解答． 5. 具备下列条件的中，不是直角三角形的是（ ） A. 三边的长度分别为1，2， B. ，，的度数比为 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理和三角形内角和定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、， 是直角三角形，故此选项不符合题意； B、，， 最大角， 不是直角三角形，故此选项符合题意； C、， 又， ， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； D、，， ， 是直角三角形，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在正方形中，点是对角线上一点，连接，，若，则的度数为（ ） A. 105° B. 120° C. 135° D. 150° 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形性质可知，再在等腰三角形中求出和的度数，即可解决问题． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 7. 下列说法错误的是（ ） A. 平行四边形的对边相等 B. 菱形的每条对角线平分一组对角 C. 正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形 D. 矩形的对角线互相垂直平分 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质，一一判断即可． 【详解】、平行四边形的对边相等，此选项说法正确，不符合题意； 、菱形的每条对角线平分一组对角，此选项说法正确，不符合题意； 、正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形，此选项说法正确，不符合题意； 、矩形的对角线互相平分且相等，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了命题与定理，平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握正方形的性质及其应用． 8. 小明和小刚想探究旗杆的高度，他们将旗杆顶端系上绳索，绳索顺着旗杆下垂后，堆在地面的部分有米，牵着绳索从旗杆底部向后退行，在离旗杆米处绳索用尽（绳索一端紧贴地面无剩余），若设旗杆高度为米，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，勾股定理的应用，设旗杆高度为米，则绳索长为米，由勾股定理可列方程，即可求解，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设旗杆高度为米，则绳索长为米， 依题意得，， 故选：． 9. 如图，点分别是四边形边的中点．则下列说法：①若，则四边形为矩形；②若，则四边形为菱形；③若四边形是平行四边形，则与互相平分；④若四边形是正方形，则与互相垂直且相等．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形、正方形、菱形的判定与性质，中点四边形的性质，由中点四边形的性质得出四边形是平行四边形，再由菱形的判定即可判断①；由矩形的判定即可判断②；由平行四边形的性质即可判断③；由正方形的判定与性质即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：点分别是四边形边的中点， ，，，， 四边形是平行四边形， ①若，则，则四边形是菱形，故原说法错误，不符合题意； ②若，则，则四边形为矩形，故原说法错误，不符合题意； ③若四边形是平行四边形，不能判定与互相平分，故原说法错误，不符合题意； ④若四边形是正方形，则，，则与互相垂直且相等，故原说法正确，符合题意； 综上所述，正确的有④，共个， 故选：A． 10. 如图，在中，，，．分别是上的动点，连接，分别为的中点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，直角三角形的性质，勾股定理，垂线段最短，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 连接，过点作于，由平行四边形的性质得到，得出求出，求出，由三角形中位线定理得到，当时，有最小值，即有最小值，当点与点重合时，的最小值为，得到 的最小值为，即可得到答案． 详解】解：如图，连接，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 分别为的中点， ， 当时，有最小值，即有最小值， 当点与点重合时，的最小值为， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝．如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的斜边长为，较短直角边长为6，则图中小正方形（空白区域）的面积为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，求解小正方形的边长是解题的关键． 由勾股定理可求解直角三角形的较长的直角边，进而可求得小正方形的边长，即可求解面积． 【详解】解∶由勾股定理可得∶较长的直角边的边长为， 空自小正方形的边长为， 空白小正方形的面积为． 故答案为∶4． 12. 在平行四边形中，如果，那么的度数是_____ 【答案】##60度 【解析】 【分析】本题考查了利用平行四边形的性质求角度，解题关键是熟悉平行四边形的性质． 先根据平行四边形的性质，得出，，再根据，求出即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， 故答案为：． 13. 生活中，我们所见到的地面常常是由一种或几种形状相同的图形拼接而成的．如图所示是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成的无缝隙、不重叠的地面的一部分，则n的值为 _____． 【答案】12 【解析】 【分析】根据题意求出，再求出该正多边形的一个外角，即可求出n的值． 【详解】解：∵是由一块正三角形瓷砖与三块相同的正n边形瓷砖拼成， ∴， ∴该正多边形的一个外角， ∴， 故答案为：12． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，正多边形的性质，解题的关键是掌握正多边形每个内角都相等． 14. 如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得结果． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AE∥BC，AD=BC， ∴∠AEB=∠EBC， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠EBC， ∴∠ABE=∠AEB， ∴AB=AE， ∴AE+DE=AD=BC=6， ∴AE+2=6， ∴AE=4， ∴AB=CD=4， ∴▱ABCD的周长=4+4+6+6=20， 故答案为20． 15. 如图，在中，AD为BC边上的中线，于点E，AD与CE交于点F，连接BF.若BF平分，，，则的面积为________． 【答案】4 【解析】 【分析】过F作FG⊥BC于G，根据角平分线的性质求得FG=EF=2，再根据三角形一边上的中线将三角形面积平分求解即可． 【详解】解：过F作FG⊥BC于G， ∵BF平分，FG⊥BC，即EF⊥AB， ∴FG=EF=2， ∵AD为△ABC的BC边上的中线， ∴FG为△BFC的BC边上在中线，又BC=8， ∴S△CDF= S△BFC= BC·FG= ×8×2=4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、三角形的中线性质、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理以及三角形一边上的中线将三角形面积平分是解答的关键． 16. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，E为的中点，且，则菱形的边长为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】此题主要考查了菱形的性质以及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系，得出与的数量关系是解题关键． 直接利用菱形的性质得出进而得出答案． 【详解】解：∵在菱形中，对角线相交于点， ∴， ∵为的中点，且， ∴． 故答案为：4． 17. 如图，在边长为的正方形中，是边上的一点，且，点为对角线上的动点，当取得最小值时，的面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称最短路径的计算，勾股定理的运用，掌握以上知识，数形结合是关键． 如图所示，连接、，得出点关于的对称点是点，此时，点运动到点处，，的值最小，取得最小值是，如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是正方形形，设，利用的面积求出，由面积的计算公式求解即可． 详解】解：如图所示，连接、， ∵四边形是正方形， ∴，点关于的对称点是点，此时， ∵点是动点， ∴， ∴当三点共线时，即点运动到点处，的值最小， 在中，， ∴， ∴取得最小值是， 如图所示，过点作于点，作于点，则四边形是矩形， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形形， 设， ∴，即， 解得：， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 18. 如图所示，矩形的边长是，顺次连接各边中点，得到，顺次连接各边中点，得到，……，以此类推，则__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形中位线的性质，先根据勾股定理求出，再根据三角形中位线的性质可得，观察图形找出变化规律，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 矩形中，， ， 是的中点， ， 通过图形特点可得，，…… 以此类推，可得， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题，每题6分，第21、22题，每题8分，第23、24题，每题9分，第25、26题，每题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 若一个边形的内角和比它的外角和的3倍多． （1）求的值； （2）在（1）条件下，求正边形的一个内角度数及对角线条数． 【答案】（1）9； （2），35条． 【解析】 【分析】（1）根据边形的内角和为，其外角和为，且边形的内角和比它的外角和的3倍多，列方程，求解即可； （2）正10边形的内角和为：，正多边形的每一个内角都相等，所以正边形的一个内角度数，其对角线的条数为：条． 【小问1详解】 解：∵边形的内角和为，其外角和为， 由题意可得：，解得：． 【小问2详解】 解：由（1）可知：， ∴正边形为正10边形， ∵正10边形的内角和为：， ∴正边形的一个内角度数， 其对角线的条数为：条． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和，一元一次方程的实际应用，多边形的对角线问题，解题的关键是掌握多边形的内角和为：，外角和为，n边形有条对角线． 20. 如图，在中，，M为中点． （1）求证：； （2）若，求的度数； （3）若，求． 【答案】（1）见解析； （2）； （3）1． 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练运用相关性质是解题的关键． （1）由题意可知为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得证； （2）由（1）可得：，根据等边对等角和三角形外角的性质得，，进而可得； （3）设，由（2）可得，由，解出x的值，得，过点E作于点F，由即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴为直角三角形， ∵M为中点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可得：， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴； 【小问3详解】 解：设，由（2）可得： ， ∵， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴， 过点E作于点F， ∴， ∴． 21. 如图，，是半圆O的切线，切点分别为，，为半圆O的直径．与的延长线交于点E，连结，． （1）求证：． （2）若，，，请你思考后，从，，三个已知数中选用适当的数，设计出计算半圆O的半径r的一种方案： ①方案中你选用的已知数是_______． ②写出求解过程（结果用字母表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①a，b（答案不唯一）②见解析 【解析】 【分析】（1）是半圆O的切线的性质知，，又由于，公共边，由判定； （2）方案一：选用，在中用勾股定理得； 方案二：选用，在中用勾股定理得：； 方案三：选用，在得：； 方案四：选用，由连接，可证，得． 【小问1详解】 证明：，是半圆O的切线， ， ，， ； 【小问2详解】 ①方案中选用的已知数是，(答案不唯一)． ②方案一：选用， 在中，由勾股定理，得， ， ； 方案二：选用， 分别切半圆于点， ，， 在中，，，，且， 即， 解得：（舍负值）； 方案三：选用， 分别切半圆于点， ，， ， 又， ， ， 即， 解得：（舍负值）； 方案四：选用， 如图，连接， 分别切半圆于点， ，，， ，， ， ， ， ， ，即， ． 【点睛】本题考查了切线的概念，切线长定理，相似三角形的性质和判定，勾股定理及全等三角形的判定等知识点的综合运用，解题的关键是掌握以上知识点． 22. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OB． （1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若AB=2，∠AOB=60°，求BC的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）2 【解析】 【分析】（1）证法一就根据“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”由OA=OB=OC=OD得AC=BD，所以四边形ABCD是矩形；证法二则是根据“有一个角为直角的平行四边形是矩形”由，得△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形，得∠BAD=90°，根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形； （2）由题意知OA=OB，∠AOB=60°知△AOB是等边三角形，易知AC=4，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2可求得BC=． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD 又∵OA=OB ∴OA=OB=OC=OD ∴AC=BD ∴四边形ABCD是矩形 证法二： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD 又∵OA=OB ∴△ABD是以∠BAD为直角的直角三角形， ∴∠BAD=90° 根据矩形的定义知，四边形ABCD是矩形． （2）∵OA=OB，∠AOB=60° ∴△AOB是等边三角形， ∴OA=OB=AB=2 ∴AC=2OA=4 ∴在Rt△ABC中，根据勾股定理，有AB2+BC2=AC2 ∴BC2=AC2-AB2=42-22=16-4=12 ∴BC= 【点睛】本题利用了矩形的判定和性质，勾股定理定理的应用求解． 23. 为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，． （1）求出空地的面积； （2）若每种植1平方米草皮需要350元，问总共需投入多少元？ 【答案】（1）； （2）39900元． 【解析】 【分析】（1）连接，在中，利用勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断得到，四边形面积等于面积+面积，求出即可． （2）由（1）求出的面积，乘以350即可得到结果． 【小问1详解】 连接， ∵，，，，， ∴在中， 在中，而， ∴， ∴， 则 ； 答：空地的面积为． 【小问2详解】 需费用（元）， 答：总共需投入39900元． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理及逆定理是解本题的关键． 24. 如图，在中，，是边的中线，过点D作，连结交于F，交于M，点M恰为中点． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据，点M为中点，证明，得到，根据直角三角形斜边中线的性质得到，即得； （2）根据菱形的对称性和直角三角形斜边中线性质得到，设，根据得到，根据勾股定理得到，根据，得到，得到，根据得到，得到，解得，根据得到，求出的面积，即得． 【小问1详解】 ∵， ∴，， ∵点M为中点，∴， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边的中线， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题主要考查了菱形与三角形综合，熟练掌握全等三角形判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，三角形面积公式，是解题的关键． 25. 【阅读材料】在解决数学问题时，我们要仔细阅读题干，找出有用信息，然后利用这些信息解决问题．有些题目信息比较明显，我们把这样的信息称为显性条件：而有些信息不太明显，需要结合图形、特殊式子成立的条件、实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件，做题时，我们要注意发现题目中的隐含条件． 【感知探索】补全下面两个问题的解答过程： （）已知，化简． 解：原式， ∵（显性条件）， 请进一步完成的化简． （）三角形三边长分别为，化简． 解：∵三角形的三边长分别为， ∴的取值范围是______．（隐含条件） 化简． 【拓展应用】解方程：． 【答案】（）；（），；【拓展应用】． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式，三角形的三边关系，解方程等， （）根据二次根式的性质即可求出答案； （）根据三角形的三边关系可得，然后根据二次根式的性质即可求出答案；根据二次根式的性质可得x的取值范围，然后根据二次根式的性质化简，再解方程即可求出答案； 解题的关键是熟练运用二次根式的性质以及三角形的三边关系． 【详解】解：（）原式， ∵（显性条件）， 由题意得（隐含条件）， ∴， ∴， ∴原式， ； （）∵三角形的三边长分别为， ∴， ∴的取值范围是，（隐含条件） ∴原式 ， ， 故答案：； 【拓展应用】由题意得， ∴（隐含条件）， ∴原方程可化为：， 解得，符合题意． 26. 如图，矩形的顶点A，C分别在菱形的，上，顶点B，D分别在菱形的对角线上． （1）求证：； （2）若A为的中点，菱形的周长是28，求的长． 【答案】（1）见解析； （2）7． 【解析】 【分析】本题考查矩形和菱形性质，全等三角形的性质和判定，数量掌握矩形和菱形的性质是解题的关键．其中辅助线的添加是解决本题的重点，也是难点． （1）通过矩形和菱形的性质，根据证明和全等，再根据全等的性质即可证明结论； （2）连接，可证四边形是平行四边形，与相等，而根据矩形对角线相等可得与相等，从而将求的长转化为求菱形的边长． 【小问1详解】 证明：四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 在和中 ， ． 【小问2详解】 如图，连接． 为的中点， ． 由（1）知， ． 四边形是菱形， ． ，． 四边形是平行四边形 ． 菱形的周长是28， ． ． 四边形是矩形， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$