精品解析：辽宁省大连市西岗区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年辽宁省大连市西岗区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于矩形叙述正确是（ ） A. 对角线相等且互相垂直 B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等且互相平分的四边形 D. 矩形的对角线平分一组对角 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 8. 一件商品的原价是100元，经过两次降价后价格为81元，设每次降价的百分比都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程解是______． 12. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值是______． 13. 如图，平行四边形的顶点在轴上，顶点在轴正半轴上，，点的坐标，则点的坐标为______． 14. 在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 15. 如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为________． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：； 17. 解下列方程： （1）； （2）用配方法解：． 18. 平行四边形ABCD，E是CD的中点，是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形. 19. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 20. 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 21. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． （1）求双曲线的函数关系式； （2）双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； （3）四边形的面积为______（直接填答案）． 22. 【操作发现】（1）如图，某数学小组在折叠矩形过程中，发现：当点与点重合时，折痕与、边交于、两点，四边形可能是特殊的平行四边形，请判断四边形的形状并给出证明； 【拓展探究】（2）如图，该小组在（1）的操作后，若点的对称点为，连接，若，且，则的长为______； 【类比延伸】（3）该数学小组将两个全等的等腰直角三角形直角边重合，拼成平行四边形后，按上述过程折叠平行四边形，点与点重合时，折痕与、边交于、两点，若原等腰直角三角形斜边长为，则折痕的长为______．（画出图形并直接写出答案） 23. 定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为、两点的“绝对距离”． （1）已知点，则______； （2）函数的图象上存在点，若，则点的坐标为______； （3）菱形顶点的坐标是，，，． ①若点在菱形边上且，求点的坐标； ②已知点，且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于，则的取值范围是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年辽宁省大连市西岗区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A.= 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； B. 是最简二次根式，符合题意； C. =2被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D. =2 被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，解题的关键是掌握最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 2. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】分析：根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 详解：根据题意得，x+3≥0， 解得x≥-3． 故选C． 点睛：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数． 3. 下列各函数中，是的正比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，解题的关键是掌握正比例函数的定义． 根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，需满足变量为一次且无常数项． 【详解】解：选项A：，可化简为，符合的形式，其中，是正比例函数，符合题意； 选项B：，变量的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，不符合题意； 选项C：，虽然的次数为1，但存在常数项，属于一次函数而非正比例函数，不符合题意； 选项D：，展开后为，同样含有常数项，不符合正比例函数的形式，不符合题意； 故选：A． 4. 已知一次函数图象上两点、，则，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 一次函数中，当时，函数值随的增大而减小，根据该性质可直接比较两点纵坐标的大小． 【详解】解：函数中，，因此该函数图象从左向右是下降的，即增大时，减小， ∵点的横坐标小于点的横坐标， ∴， 故选：A． 5. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的定义，只要点的横纵坐标之积等于k即可判断该点在函数图象上，据此求解. 【详解】解：∵， ∴点在反比例函数的图象上， 故选：D. 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知点的横纵坐标满足函数解析式是解题关键. 6. 下列关于矩形叙述正确的是（ ） A. 对角线相等且互相垂直 B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等且互相平分的四边形 D. 矩形的对角线平分一组对角 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质． 根据矩形的性质，逐一分析每个选项是否正确． 【详解】A．矩形的对角线相等，但互相垂直仅当矩形为正方形时成立，故A错误； B．对角线互相垂直的平行四边形是菱形，而非矩形，故B错误； C．对角线互相平分的四边形是平行四边形，若对角线相等，则此平行四边形为矩形，故C正确； D．矩形的对角线平分一组对角仅当其为正方形时成立，普通矩形不满足，故D错误． 故选：C． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握根的判别式与根的情况的关系． 要判断一元二次方程根的情况，需计算判别式的值．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当时，没有实数根． 【详解】对于方程，系数分别为，，， 判别式， 计算得：， 由于，因此方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 8. 一件商品的原价是100元，经过两次降价后价格为81元，设每次降价的百分比都是x，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】原价为100，第一次降价后的价格是100×（1-x），第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的，第二次降价后的价格为：100×（1-x）×（1-x）=100（1-x）2，则可列出方程． 【详解】设平均每次降价的百分比为x，根据题意可得： 100（1-x）2=81 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，需注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 9. 如图是一次函数的图象，当图象上的点在第一象限内时，的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象与象限的关系，解题的关键是通过观察函数图象确定第一象限内点对应的取值范围． 观察一次函数图象，找出图象在第一象限部分对应的的取值区间． 【详解】解：观察函数图象，可知：当时，图象上的点在第一象限内． 故选：D． 10. 如图，在矩形中，点在上，点在上，把这个矩形沿折叠后，使点恰好落在点处，若，，则折痕的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质以及勾股定理，解题的关键是利用折叠性质找到相等的线段和角，结合矩形性质与勾股定理求解． 过作于．，利用折叠性质得出，再结合矩形性质、勾股定理求出等线段长度，进而求出的长． 【详解】解：过作于． 由翻折变换可知， ∵四边形是矩形， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 一元二次方程的解是______． 【答案】或##或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，本题应对方程进行变形，提取公因式，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 【详解】解：原方程可变形为：，解得，， 故答案为：或． 12. 如图，平面直角坐标系中，是坐标原点，点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数k的几何意义，直接根据反比例函数k的几何意义求解即可． 【详解】解：点是反比例函数图象上的一点，过点分别作轴于点，轴于点． ， 反比例函数图象在第二、四象限， ． 故答案为：． 13. 如图，平行四边形的顶点在轴上，顶点在轴正半轴上，，点的坐标，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理算出时解题关键．根据平行四边形的性质得出，再根据勾股定理求出的长，以此即可求出点坐标． 【详解】解：四边形为平行四边形， ， 点坐标为， ， 在中，由勾股定理得， 点的坐标为． 故答案为：． 14. 在中考前，班级每位同学向其他同学赠送件纪念品，结果共有互赠纪念品件，求该班级的学生数，设该班的学生有人，那么可列出方程______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该班的学生有人，则每人送出件礼物，根据共有互赠纪念品件列方程求解即可． 【详解】解：设该班的学生有人，则每人送出件礼物， 由题意得，． 故答案为：． 15. 如图，正方形为一个密闭容器的轴截面，当与水平桌面的夹角为时，液面恰过点A，若，则此时容器的最高点D到桌面的高度为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质以及直角三角形的相关知识，解直角三角形等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识． 过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点，先根据正方形性质得到相关边和角的信息，求出，最后在中，求得，即可求出容器的最高点D到桌面的高度． 【详解】解∶ 过点作垂直桌面于点，过点作于点，过点作垂直桌面于点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是正方形， ． ， ， ， ， 四边形是正方形， ， ， ， 在中， 点到桌面的高度， 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算：； 【答案】9 【解析】 【分析】题目考查了实数运算，掌握二次根式的运算及零指数幂运算是解题的关键． 根据二次根式的运算及零指数幂运算法则计算即可． 【详解】原式 17. 解下列方程： （1）； （2）用配方法解：． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由因式分解法即可求解； （2）由配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ，即， ， ，． 18. 平行四边形ABCD，E是CD中点，是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形. 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质，等边三角形的性质，中点的性质证明得到再利用平行线的性质证明从而可得结论． 【详解】证明： 平行四边形ABCD， E是CD的中点， 是等边三角形， 平行四边形ABCD， 平行四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查的是平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，矩形的判定，掌握以上知识是解题的关键． 19. 区间测速是指在某一路段前后设置两个监控点，根据车辆通过两个监控点的时间来计算车辆在该路段上的平均行驶速度．小春驾驶一辆小型汽车在高速公路上行驶，其间经过一段长度为20千米的区间测速路段，从该路段起点开始，他先匀速行驶小时，再立即减速以另一速度匀速行驶（减速时间忽略不计），当他到达该路段终点时，测速装置测得该辆汽车在整个路段行驶的平均速度为100千米/时．汽车在区间测速路段行驶的路程（千米）与在此路段行驶的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）的值为________； （2）当时，求与之间的函数关系式； （3）通过计算说明在此区间测速路段内，该辆汽车减速前是否超速．（此路段要求小型汽车行驶速度不得超过120千米/时） 【答案】（1） （2） （3）没有超速 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用、一次函数的图像、求函数解析式等知识点，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键． （1）由题意可得：当以平均时速为行驶时，小时路程为千米，据此即可解答； （2）利用待定系数法求解即可； （3）求出先匀速行驶小时的速度，据此即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设当时，y与x之间的函数关系式为， 则：，解得：， ∴． 【小问3详解】 解：当时，， ∴先匀速行驶小时的速度为：， ∵， ∴辆汽车减速前没有超速． 20. 阅读下面材料，并解决相关问题： 下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第行有个点…… 容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10． （1）探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前行的点数之和为______ （2）体验：三角点阵中前行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500． （3）运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第排盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 【答案】（1）36；120； （2）不能 （3）一共能摆放20排． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据图形，总结规律，列式计算即可求解； （2）根据前n行的点数和是500，即可得出关于n的一元二次方程，解之即可判断； （2）先得到前n行的点数和是，再根据题意得出关于n的一元二次方程，解之即可得出n的值． 【小问1详解】 解：三角点阵中前8行的点数之和为， 前15行的点数之和为， 那么，前行的点数之和为； 故答案为：36；120；； 【小问2详解】 解：不能， 理由如下： 由题意得， 得， ， ∴此方程无正整数解， 所以三角点阵中前n行的点数和不能是500； 故答案为：不能； 【小问3详解】 解：同理，前行的点数之和为， 由题意得， 得，即， 解得或（舍去）， ∴一共能摆放20排． 21. 已知直线与轴交于点，与轴交于点，以为边在第一象限内作正方形，双曲线经过点，连接交于点，连接． （1）求双曲线的函数关系式； （2）双曲线与正方形是否存在除点外的公共点，若存在，请直接写出另一交点坐标，若不存在，直接填“不存在”结论：______； （3）四边形面积为______（直接填答案）． 【答案】（1） （2）存在， （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数和正方形的结合，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，利用待定系数法求函数解析式，图象交点坐标和一元二次方程的解的关系，求图形的面积等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）根据正方形的性质得出，然后得出，最后利用待定系数法即可求解； （2）联立函数解析式，列出一元二次方程求解即可得出点的坐标； （3）根据平行线得出，得到，然后求解即可． 【小问1详解】 解：过作于，如图： 令，则，令，则， ，， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 在上， ， ， ； 【小问2详解】 解：由反比例函数图象性质可知，若还有交点，交点一定在上， ， 设直线的解析式为：， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为：， 联立直线与双曲线解析式得， 解得：或， 另一个交点为：； 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图所示，连接， ， ， ． 故答案为：． 22. 【操作发现】（1）如图，某数学小组在折叠矩形过程中，发现：当点与点重合时，折痕与、边交于、两点，四边形可能是特殊的平行四边形，请判断四边形的形状并给出证明； 【拓展探究】（2）如图，该小组在（1）的操作后，若点的对称点为，连接，若，且，则的长为______； 【类比延伸】（3）该数学小组将两个全等的等腰直角三角形直角边重合，拼成平行四边形后，按上述过程折叠平行四边形，点与点重合时，折痕与、边交于、两点，若原等腰直角三角形斜边长为，则折痕的长为______．（画出图形并直接写出答案） 【答案】（1）四边形菱形，证明见解析；（2）6；（3）画图见解析，或 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握折叠的性质并熟练应用是解题的关键； （1）通过证明，得到，可证四边形平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）利用折叠的性质，矩形与菱形的性质得到，则，利用相似三角形的判定与性质得到，则，即，再利用勾股定理求得，则结论可求； （3）由题意分两种情况画出图形即可；第一种：利用等腰直角三角形的性质得到，，利用平行四边形的性质和折叠的性质得到，，经过点，即，；连接，，由（1）知：四边形为菱形，则，设，则，过点作，交的延长线于点，则为等腰直角三角形，利用勾股定理列出方程求得值，再利用勾股定理解答即可得出结论，第二种同样利用以上方法即可求解． 【详解】解：（1）四边形菱形． 证明：连接，与交于点，如图， 四边形是矩形， ， ， 折叠矩形，点与点重合， 垂直平分， ， 在和中， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）点的对称点为， ， 由（1）知：四边形菱形， ，， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：6； （3）将两个全等的等腰直角三角形直角边重合，拼成平行四边形后，按上述过程折叠平行四边形，点与点重合时，折痕与、边交于、两点，如图， 连接，与交于点， 由题意得：，为全等的等腰直角三角形，斜边长为4， ，， 点与点重合时，折痕与、边交于、两点， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ，， 经过点，即，． 连接，， 由（1）知：四边形为菱形， ， 设，则， 过点作，交的延长线于点，则为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ， ； 将两个全等等腰直角三角形直角边重合，拼成平行四边形后，按上述过程折叠平行四边形，点与点重合时，折痕与、边交于、两点，如图， 连接，，与交于点， 由题意得：，为全等的等腰直角三角形，斜边长为4， ，， 点与点重合时，折痕与、边交于、两点， 垂直平分， 四边形是平行四边形， ，， 经过点，即，． 连接，， 由（1）知：四边形为菱形， ， 设，则， 过点作，则为等腰直角三角形， ， ， ， ， 解得： ， ， ； 故答案为：或． 23. 定义：在平面直角坐标系中，对两点和，若，则称为、两点的“绝对距离”． （1）已知点，则______； （2）函数的图象上存在点，若，则点的坐标为______； （3）菱形顶点的坐标是，，，． ①若点在菱形的边上且，求点的坐标； ②已知点，且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于，则的取值范围是______． 【答案】（1）4 （2）或 （3）①；②或 【解析】 【分析】（1）根据定义直接求即可； （2）设，则，分类讨论求解绝对值方程即可得答案； （3）①根据E点可能在菱形的四条边上分四类具体讨论 ②由本题题意可知到点P的“绝对距离”等于m的点的轨迹为以为对角线的交点的正方形W上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为m的值．且菱形上只有两个点到点P的“绝对距离”等于m，即上述正方形W与菱形有且只有两个交点，再寻找临界值，最终综合起来确定m的取值范围． 【小问1详解】 解：，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：设， 则， 当时，， 解得：舍去； 当时，， 解得：， ； 当时，， 解得：， ； 综上，点的坐标为或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：由题意得：菱形的顶点为：，，，， 设直线的解析式为，则有， 解得：， ， 当点在边上时，设， ，即， 解得：，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ，即， 解得：，此时点与点重合，不符合题意，舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ， ， 解得：舍去； 当点在边上时，同理可得直线的解析式为， 设， ， ， 解得：， 综上可得； 由本题题意可知到点的“绝对距离”等于的点的轨迹为以为对角线的交点的正方形上，且该正方形的对角线与坐标轴平行或垂直，且对角线长的一半即为的值． 且菱形上只有两个点到点的“绝对距离”等于， 即上述正方形与菱形有且只有两个交点， 接下来开始寻找临界值，如图所示： 当正方形与线段有一个交点时，令直线的解析式中， 可得，此时； 当正方形的一个顶点在线段上时，令直线的解析式中， 可得，此时； 当点在正方形的边上时，令点所在的边的解析式为，代入点， 可得，故点所在正方形边的解析式为， 令，则，此时； 当点在正方形的边上时，令点所在的边的解析式为，代入点， 可得，故点所在的正方形边的解析式为， 令，则，此时， 综上所述，的取值范围为或． 故答案为：或． 【点睛】本题一道以新定义为背景的代几综合题，主要考查了一次函数的性质，菱形的性质，正方形的性质，计算题较大．最后一问难度也较大，要利用数形结合来把点转化为“公共点”的问题来解决，熟练掌握以上内容并灵活运用是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$