专题03 乘法公式的运算及应用5大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题03 乘法公式的运算及应用 目录 典例详解 类型一、利用乘法公式进行运算 类型二、利用乘法公式进行化简求值 类型三、平方差公式在几何图形中的应用 类型四、完全平方公式在几何图形中的应用 类型五、利用完全平方公式求多项式的最值 压轴专练 类型一、利用乘法公式进行运算 1.平方差公式： 常见变化：①位置变化：； ②符号变化： ③指数变化：； ④系数变化： 2.完全平方公式：， 常见变形：， 【例1】计算，结果的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【详解】解： ． ∵，，，，，……， ∴2的幂次个位循环规律为：，，，，周期为4． 余0，对应第4位，故的个位为6， 即的个位为， 故选：C． 【例2】某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算． 请你借鉴这名同学的经验，计算下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-1】已知，，则 ． 【答案】0 【详解】解：将代入得： ， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【变式1-2】小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【答案】 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式1-3】一列整式依次为：，，，，…； 另一列整式依次为：，，，． (1)求和．（用含m的代数式表示） (2)求和，并归纳出的规律．（用含m，n的代数式表示） (3)若，求m的值． 【答案】(1)， (2)，， (3) 【详解】（1）解：由题意知，， ； （2）解：， ， 以此类推，； （3）解：， ， ， ， 解得． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 【例3】已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【答案】C 【详解】解：设，则 代入原方程得：， 整理得：， 所求表达式为：， 故选：C． 【例4】已知式子化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解： ， ∵式子化简后，不含有项和常数项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【详解】 ， 当时，． 【变式2-2】已知，． (1)化简和． (2)当时，求的值． (3)当为满足什么条件的整数时，能被3整除，说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)当，其中为整数时，能被3整除，理由见解析 【详解】（1）解： ； ； （2）解：由（1）知，， ， ， 将代入得； （3）解：，其中为整数， 理由如下： 由（1）知， 当能被3整除，则能被3整除， 设，其中为整数，则， 当，其中为整数时，能被3整除． 【点睛】本题考查整式运算，涉及多项式乘以多项式、平方差公式、完全平方差公式、整式加减运算、代数式求值、整除性等知识．熟练掌握整式的混合运算法则求解是解决问题的关键． 【变式2-3】已知多项式，，为任意有理数． (1)问的值能否等于4，说明理由； (2)当是整数时，判断的值能否被8整除． 【答案】(1)不可能等于4，理由见解析 (2)能被8整除 【详解】（1）解：， 因为为任意有理数， 所以，所以， 即， 所以的值不可能等于4； （2）解：， 当是整数时，能被8整除， 即一定能被8整除． 类型三、平方差公式在几何图形中的应用 【例5】如图，在一个边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，再将余下的部分拼成如图所示的长方形． 【观察】比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：______（用字母，表示）； 【应用】计算：； 【拓展】已知，，求的值． 【答案】[观察]；[应用]；[拓展] 【详解】解：观察：由图可得，， 故答案为：； 应用：∵， ∴， ∴； 拓展：， ∵，， ∴． 【例6】数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【答案】(1)①②③ (2)1 (3)见解析， (4) 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解： ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． （4）解： ． 【变式3-1】将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为 . 【答案】 【详解】解：∵边长分别为，的小正方形和大正方形如图放置， ∴大三角形的高为： ，小三角形的高为： ∴图中阴影部分的总面积为： ∵ ∴ 图中阴影部分的总面积 故答案为：10 . 【变式3-2】如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）①；② 【详解】解：（1）图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即； （2）由拼图可得，图2是长为，宽为的长方形，因此面积为； （3）由（1）（2）可得：； （4）①∵， ∴， ∵， ∴； ② ． 【变式3-3】某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 【答案】(1)①③ (2)16 (3) 【详解】（1）解：图①中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图①可以验证平方差公式； 图②中，左图阴影部分的面积，右图阴影部分的面积可以表示为，故图②不能验证平方差公式； 图③中，左图阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是底为，高为的平行四边形，面积为， ∴，故图③可以验证平方差公式； 图④中，左图阴影部分的可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的右图是长为，宽为的长方形，面积为， ∴，故图④不能验证平方差公式； 故答案为：①③ （2）解： ； （3）解：∵ ∴原式 ． 类型四、完全平方公式在几何图形中的应用 【例7】[核心素养]我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如：图①可以得到，请解答下列问题． (1)观察图②，写出图②中所表示的等式 ； (2)观察图③，写出图③中阴影部分所表示的等式 ； (3)请利用（2）中得到的结论，解决下列问题： 若图③中的a，b 满足，，求的值． 【答案】(1) (2) (3)9 【详解】（1）解：图②整体上是长为，宽为的长方形， 因此面积为， 拼成图②八个部分的面积和为， 所以有， 故答案为：； （2）解：图③中阴影部分可以看作两个正方形的面积和，即， 图③中阴影部分也可以看作大正方形面积与空白部分的面积差，即， 所以有， 故答案为：； （3）解：∵，， ∴，而， ∴． 【例8】将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 【答案】(1)40 (2)10 (3)8 【详解】（1）解：作辅助线如图所示 ∵ ∴， ∴； （2）解：作辅助线如下图 设， ∴，， ∴， 由题意得：，， ∴ （3）解：设，且（） 则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得． 【变式4-1】如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， ∵正方形和正方形的面积和为， ∴， ∵、A、三点共线且， ∴，即， ∵，，， ∴，解得：． ∵， ∴． 故答案为：． 【变式4-2】小明有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按照如图①所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40．将其中5个小长方形按照如图②所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠且不留空），求每个小长方形的面积． 【答案】5 【详解】解：根据图①，得，即， 根据图②，得，即， 所以， 所以，即小长方形的面积为5． 【变式4-3】通过数形结合思想，很多代数问题都能用几何图形来解决． (1)如图1，直角三角形纸板的边长分别为、，选用若干可拼成如图2所示的内部留有小正方形空隙的大正方形，用两种方法计算小正方形面积，可得到等式________； (2)请画一个几何图形解释并填空：________； (3)如图3，两正方形、边长分别为、，为中点，，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)6． 【详解】（1）解：由图可知：， 故答案为：； （2）如图， ； 故答案为：； （3）延长交于点M， 阴影面积 ， ∵，， ∴， 答：阴影面积为6． 类型五、利用完全平方公式求多项式的最值 通过拆项补项，将多项式化为的完全平方形式；利用的性质，确定平方项的最小为0；当平方项取最值时，计算常数项c即为多项式的最值（取最小值，取最大值）。 【例9】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【答案】（1）①；②，理由见解析；（2）当时，有最小值，最小值为1． 【详解】（1）①∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； ②当时，为“完美数”， 理由如下： ， ，是整数， ，也是整数， 是一个“完美数”； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为1． 【例10】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【答案】(1) (2)7 (3)6 【详解】（1）解：， 因为是非负数， 所以当时，取最小值； （2）解：， 因为是非负数， 所以当，即时，取最小值7； （3）解： ， 观察出当或时，，此时取最小值6． 【变式5-1】当 ，b= 时，多项式有最小值为 ． 【答案】 5 【详解】解： ， ∴， ∵， ∴当时，多项式有最小值，最小值为：， 故答案为：，5，． 【变式5-2】阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①， ，． 当时，多项式的最小值为； ②， ，． 当时，多项式的最大值为17． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)求多项式的最大值，并求出相应的x的值： (3)如果多项式的最小值是，那么p的值为_______； (4)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，那么当____时，该花坛的面积最大，最大面积是_____平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为4 (2)当时，代数式的最大值为55 (3) (4)5，25． 【详解】（1）解：， ， ． 当时，代数式的最小值为4； （2）解： ， ， ． 当时，代数式的最大值为55； （3）， ， ， 当时，代数式的最小值为， 多项式的最小值是， ， ， ． 故答案为：； （4）米， （米， 长方形的面积， ， 长方形的面积， 当时，长方形的面积的最大值为25， 即时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5，25． 【变式5-3】阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 【答案】(1)当时，代数式的最小值为 (2) (3)5米，25 【详解】（1）解：， ∵， ∴． ∴当时，代数式的最小值为4； （2）解：， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为， ∵多项式的最小值是， ∴， ∴， ∴． 故答案为：； （3）解：∵米， ∴（米）， ∴长方形的面积， ∵， ∴长方形的面积， ∴当时，长方形的面积的最大值为25， 即米时，该花坛的面积最大，最大面积是25平方米． 故答案为：5米，25． 一、单选题 1．小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（   ） A．a B．b C． D． 【答案】C 【详解】解：∵， ∴由完全平方公式的逆运算可得：， ∵， ∴由平方差公式的逆运算可得： ； ∴， ∴小明少抄的这一部分应是：， 故选：C 2．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设长方形纸片的长为a，宽为b，由图可得，阴影部分的面积为 ∴要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度， 故选：D 3．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图得 ， ， ， ， ， ； 故选：A． 4．如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，，，，， 即 ， ∴， 故只需要知道的值， 故选：A 二、填空题 5．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ∴ = ， ， ∴原式． 故原式的最大值是15； 故答案为：15． 6．观察以下等式： ；    ； ；    ． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，，则的最大值为 ． 【答案】100 【详解】解：∵； ； ；     ． ∴ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴， ∴的最大值为100， 故答案为：100． 7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为 ． 【答案】12 【详解】设正方形和的边长分别为和， 所以图甲阴影部分面积为：，即①， 图乙中新构造的大正方形面积为：，即②， ②-①，得，即， ∴图乙阴影部分面积为：． 故答案为：12． 8．已知，，则的值为 ． 【答案】15 【详解】解：∵， ∴， 代入，得． ， ． ． 且， 解得，． 把代入，得 ． ∴． 故答案为：15． 9．有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是 ． 【答案】7 【详解】解；设， ∵正方形的周长为8， ∴， ∴； ∵三角形的面积是3， ∴，即， ∵点P是线段的中点， ∴， ∴ ， 故答案为：7． 10．关于，的方程组的解为，则： ① ； ②若，求的值为 ． 【答案】 【详解】解：代入， 得：， ①将两式相加，得， 得， 解得：， 故答案为：； ② ， ∵， 两式相减，得， 得， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 三、解答题 11．对于正整数，满足，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵为正整数， ∴也是正整数， ∴是6的因数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．由完全平方公式我们可以得出下列结论： ________①； ________②． (1)在题干中的横线上填写相关数式，使得等式成立； (2)利用公式①和②求解： （i）已知，求的值； （ii）若满足，求的值． 【答案】(1)①；② (2)（i）112；（ii） 【详解】（1）解：∵，， ∴①， ②， 故答案为：①；②； （2）解：（i）∵， ∴， ∴； （ii）∵，， ∴ ， ∴． 13．【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】如图1，正方形是由长为a、宽为b的4个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系．       （1）请你写出这个等量关系． （2）根据上述关系，已知，求的值． 【方法迁移】如图2，长方形是由8个长为a、宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 【答案】[方法应用]（1）；（2）16；[方法迁移]①，② 【详解】解：（1）由图可知：， （2）， ， ， 方法迁移： ①长方形的面积为，小长方形的面积为， ，即， 即， ， ， ． ②， ， ， 解得， ， 小长方形的面积为． 14．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值 解：原式． ， ． 当时，的最小值是2． (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知的三边满足．求的周长． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解； ， ∵， ∴， ∴当时，代数式的最小值为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 乘法公式的运算及应用 目录 典例详解 类型一、利用乘法公式进行运算 类型二、利用乘法公式进行化简求值 类型三、平方差公式在几何图形中的应用 类型四、完全平方公式在几何图形中的应用 类型五、利用完全平方公式求多项式的最值 压轴专练 类型一、利用乘法公式进行运算 1.平方差公式： 常见变化：①位置变化：； ②符号变化： ③指数变化：； ④系数变化： 2.完全平方公式：， 常见变形：， 【例1】计算，结果的个位数字是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例2】某同学在计算时，把4写成后，发现可以连续运用平方差公式计算． 请你借鉴这名同学的经验，计算下列各式的值： (1) (2) 【变式1-1】已知，，则 ． 【变式1-2】小明在计算时，找不到计算器，去向小华借，小华看了看题说根本不用计算器，而且很快说出了答案．你知道答案是多少吗，请将答案填在横线上 ． 【变式1-3】一列整式依次为：，，，，…； 另一列整式依次为：，，，． (1)求和．（用含m的代数式表示） (2)求和，并归纳出的规律．（用含m，n的代数式表示） (3)若，求m的值． 类型二、利用乘法公式进行化简求值 【例3】已知，则的值为（   ） A．4 B．6 C．2 D．8 【例4】已知式子化简后，不含有项和常数项． (1)求，的值； (2)求的值． 【变式2-1】先化简，再求值：，其中． 【变式2-2】已知，． (1)化简和． (2)当时，求的值． (3)当为满足什么条件的整数时，能被3整除，说明理由． 【变式2-3】已知多项式，，为任意有理数． (1)问的值能否等于4，说明理由； (2)当是整数时，判断的值能否被8整除． 类型三、平方差公式在几何图形中的应用 【例5】如图，在一个边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形，再将余下的部分拼成如图所示的长方形． 【观察】比较两图中阴影部分的面积，可以得到等式：______（用字母，表示）； 【应用】计算：； 【拓展】已知，，求的值． 【例6】数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【变式3-1】将边长分别为，的小正方形和大正方形按如图所示摆放.若，则图中阴影部分的总面积为 . 【变式3-2】如图1，边长为的大正方形内有一个边长为的小正方形． （1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为_____； （2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为_____； （3）比较（2）、（1）的结果，请你写出一个非常熟悉的乘法公式_____； 【问题解决】 （4）利用（3）的公式解决问题： ①已知，，则的值为_____； ②计算：． 【变式3-3】某数学兴趣小组在学习了“平方差公式”后，构造了如图9的四种图形，想用“等面积法”来验证“平方差公式”： (1)【探究】以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有______；（填序号） (2)【应用】利用“平方差公式”计算： (3)【拓展】计算： 类型四、完全平方公式在几何图形中的应用 【例7】[核心素养]我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个等式．例如：图①可以得到，请解答下列问题． (1)观察图②，写出图②中所表示的等式 ； (2)观察图③，写出图③中阴影部分所表示的等式 ； (3)请利用（2）中得到的结论，解决下列问题： 若图③中的a，b 满足，，求的值． 【例8】将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放在长方形内（），每个正方形都有一组邻边与长方形的边重合．两种放置均有部分重叠，阴影部分是未被这两张正方形纸片覆盖的部分，记图1阴影部分的周长和面积分别为和，图2阴影部分的面积为． (1)若，，，直接写出的值． (2)若，，求的值． (3)已知长方形的周长为36，面积为80，，求的值． 【变式4-1】如图，正方形和正方形的面积和为15，D、A、E三点共线且，则图中阴影部分图形的面积为 ． 【变式4-2】小明有若干个长为，宽为的小长方形，现将其中4个小长方形按照如图①所示的方式摆放，构造出一个正方形，其中阴影部分面积为40．将其中5个小长方形按照如图②所示的方式摆放，构造出一个大长方形，其中阴影部分面积为100（各个小长方形之间不重叠且不留空），求每个小长方形的面积． 【变式4-3】通过数形结合思想，很多代数问题都能用几何图形来解决． (1)如图1，直角三角形纸板的边长分别为、，选用若干可拼成如图2所示的内部留有小正方形空隙的大正方形，用两种方法计算小正方形面积，可得到等式________； (2)请画一个几何图形解释并填空：________； (3)如图3，两正方形、边长分别为、，为中点，，，求阴影部分的面积． 类型五、利用完全平方公式求多项式的最值 通过拆项补项，将多项式化为的完全平方形式；利用的性质，确定平方项的最小为0；当平方项取最值时，计算常数项c即为多项式的最值（取最小值，取最大值）。 【例9】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．比如， 因为， 所以当时， 的值最小，最小值是0， 所以， 所以当时，即时的值最小，最小值是1， 即的最小值是1． 定义：一个正整数能表示成（，是正整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如，5是“完美数”，理由：因为，所以5是“完美数”． 【探究问题】 （1）①已知，则______． ②已知（，是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值，并说明理由． 【拓展结论】 （2）已知实数，满足，当等于多少时，能取得最小值并求出最小值． 【例10】如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，能解决一些与非负数有关的问题．如：求代数式的最大值或最小值等．求代数式的最小值，同学们经过探究、合作、交流，最后得到如下解法： 解：． 因为是非负数，所以当时，的值最小，最小值为1，所以的最小值是1． (1)求代数式的最小值． (2)求代数式的最小值． (3)求代数式的最小值． 【变式5-1】当 ，b= 时，多项式有最小值为 ． 【变式5-2】阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①， ，． 当时，多项式的最小值为； ②， ，． 当时，多项式的最大值为17． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)求多项式的最大值，并求出相应的x的值： (3)如果多项式的最小值是，那么p的值为_______； (4)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边米，那么当____时，该花坛的面积最大，最大面积是_____平方米． 【变式5-3】阅读下列材料： 利用完全平方公式，可以把多项式（）变形为的形式，进而解决多项式的最大值或最小值问题． 例如：①, ∵,      ∴. ∴当时，多项式的最小值为； ②, ∵,     ∴. ∴当时，多项式的最大值为． 根据上述材料解决下列问题： (1)求多项式的最小值，并求出相应的x的值； (2)如果多项式的最小值是，那么p的值为________； (3)如图，某学校打算用20米长的篱笆围成一个长方形的花坛，如果设花坛的一边AB = x米，那么当x =________时，该花坛的面积最大，最大面积是________平方米． 一、单选题 1．小明在做作业时，发现有一道题抄题时没有注意少抄了一部分：，而这道题计算的结果是，你觉得小明少抄的这一部分应是（   ） A．a B．b C． D． 2．有4张完全一样的长方形纸片，按如图的方式拼成一个正方形．若要求阴影部分的面积，只要知道下列哪条线段的长度（　　） A． B． C． D． 3．如图，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形．现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 4．如图1，I是边长为的正方形纸片，II是边长为的正方形纸片，III是长为，宽为的长方形纸片（），将I，III按图2所示的方式放入纸片II内，若图2中两块阴影部分的面积分别为和，若要求的值，只需要知道（   ）的值 A． B． C． D． 二、填空题 5．请同学运用计算，解决问题：已知x、y、z满足，求的最大值是 ． 6．观察以下等式： ；    ； ；    ． 运用你所发现的规律解决以下问题：已知x，y为实数，，则的最大值为 ． 7．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲中阴影部分的面积为3，图乙中新构造的大正方形面积为27，则图乙中阴影部分面积为 ． 8．已知，，则的值为 ． 9．有两张正方形纸片，其中．若将这两个正方形纸片按图（1）所示的方式放置（点B和点F重合），产生了一个新的、周长为8的正方形．若将这两个正方形纸片按图（2）所示并排放置，其中，点B和点E重合，点A，B，F在同一条直线上，点P是线段的中点．连接，若三角形的面积是3．则图（2）中阴影部分的面积是 ． 10．关于，的方程组的解为，则： ① ； ②若，求的值为 ． 三、解答题 11．对于正整数，满足，求的值． 12．由完全平方公式我们可以得出下列结论： ________①； ________②． (1)在题干中的横线上填写相关数式，使得等式成立； (2)利用公式①和②求解： （i）已知，求的值； （ii）若满足，求的值． 13．【方法回顾】在学习整式的乘法时，我们曾用两种不同的方法，表示同一个长方形的面积，进而得到单项式与多项式相乘的法则，也曾经用两种不同的方法，表示同一个正方形的面积来验证和解释乘法公式，我们将这种方法称为“等积法”．它的基本思想是：将同一个量从两个不同角度计算两次，我们常用“等积法”列出等量关系、求线段长度或线段之间的数量关系． 【方法应用】如图1，正方形是由长为a、宽为b的4个全等的小长方形拼摆而成的，我们可以利用该正方形面积的不同表示方法验证一个与完全平方公式相关的等量关系．       （1）请你写出这个等量关系． （2）根据上述关系，已知，求的值． 【方法迁移】如图2，长方形是由8个长为a、宽为b的全等的小长方形拼摆而成的，请你根据“等积法”计算两次的基本思想，解答下列问题： ①求a，b之间的数量关系； ②若长方形的宽，求小长方形的面积． 14．将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法．这种方法常常被用到式子的恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 例如，求代数式的最小值 解：原式． ， ． 当时，的最小值是2． (1)请仿照上面的方法求代数式的最小值． (2)已知的三边满足．求的周长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$