专题2.6 正多边形与圆（高效培优讲义）数学苏科版九年级上册

专题2.6 正多边形与圆 教学目标 1.能明晰正多边形概念，掌握正多边形与圆的内在关联，准确识别正多边形的中心、半径、中心角、边心距。 2.熟练运用量角器等分圆心角，借此等分圆周，精准画出常见正多边形；对于特殊正多边形，能用尺规作出图形。 3.利用正多边形性质（轴对称、中心对称等），解决与圆相关的角度、边长、周长、面积等计算及证明问题。 教学重难点 1.重点：深刻理解正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形相关概念与性质，学会画正多边形。 2.难点：灵活运用正多边形和圆的知识解决综合性问题，尤其是将实际问题转化为数学模型求解。 知识点01 正多边形与外接圆 1.正多边形与外接圆：一般地，用量角器把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 2.正多边形的中心:正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 3.正多边形的半径:正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 4.正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 5.中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【即学即练】 1．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 【答案】B 【详解】解：设这个正多边形为正边形，由题意得， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 所以这个正多边形是正九边形， 故选：B． 2．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 【答案】27 【详解】解：如图，过A作于C， ∵圆的内接正十二边形的圆心角为，， ∴， ∴， ∴这个圆的内接正十二边形的面积为， 故答案为：27． 知识点02 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正边形共有条对称轴，每条对称轴都通过正边形的中心。 2、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法:先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形 【即学即练】 如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【详解】解：如图，任意作一条直径，以点A为圆心，的长为半径画弧，分别交于点B，F，再分别以点B，F为圆心，的长为半径画弧，分别交于点C，E，顺次连接，，，，，， 则六边形即为所求． 知识点03 圆内正多边形的计算 正多边形 正三角形 正四边形 正六边形 图示 长度比例 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 有关计算在中进行， 【即学即练】 如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 【答案】边心距，边长为，周长是，面积是． 【详解】解：如图：连接，延长交于D， ∵正外接圆是， ∴， ∴边心距， 由勾股定理得：， ∴三角形边长为，， ∴的周长是； 的面积是． 题型01 正多边形的中心角 【例1】已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ． 【答案】10 【详解】解：由题意，得：， 即：， 解得：； 故答案为：10． 【变式1-1】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：过点P作与点K，延长交y轴与点N，连接，，， 则，， ∵是正六边形，且中心角为， 则，， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵正六边形的中心点的坐标为 ∴， ∴， ∴， ∴点K的坐标为：， ∴B点的坐标为， 故选：D． 【点睛】此题考查了正多边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，写出直角坐标系中点的坐标，等腰直角三角形的判定和性质等知识，掌握正多边形的性质是解题的关键． 【变式1-2】如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是 度 【答案】 【详解】解：正边形的中心角为，由于个外角的和为，所以每一个外角为， 因此正边形的中心角与外角相等， 所以它的中心角是度， 故答案为：． 【变式1-3】正六边形绕它的中心至少旋转 度，才可与它原来的位置重合． 【答案】60 【详解】解：， ∴正六边形绕它的中心至少旋转才可与它原来的位置重合， 故答案为：60. 【变式1-4】如图是一个正八边形，连接，则的度数为 ． 【答案】/45度 【详解】解：如图，作正八边形的外接圆，连接， ∵正八边形每条边所对的圆心角度数为， ∴， ∴， 故答案为：． 题型02 正多边形的边数 【例2】如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 【变式2-1】如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】12 【详解】解：由题意得，该正多边形的中心角为， ∴这个正多边形的边数为， 故答案为：12． 【变式2-2】一个正边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合，则的值为 ． 【答案】8 【详解】解：∵一个正边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合， ∴， 故答案为8． 【变式2-3】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ． 【答案】12 【详解】解：连接， 正六边形与正方形有重合的中心O， ， ， 是正n边形的一个中心角， ． 故答案为：12． 【变式2-4】如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 【答案】8 【详解】解：正边形的中心角的度数为，内角和为， 由题意可得：， 解得：，（负值舍去）， 故：，经检验，符合题意， 故答案为：8． 题型03 根据正多边形与圆的关系求角度 【例3】如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵五边形是正五边形， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， 故选：D． 【变式3-1】如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式3-2】如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，连接， ∵正五边形内接于， ∴． ∵， ∴． ∵是的切线， ∴， ∴． ∵是正五边形的外角， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式3-3】司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 【答案】D 【详解】解：如图，设正八边形的中心为点，连接、、、， ∴正八边形的中心角为， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点位于点的北偏东． 故选：D． 【变式3-4】已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】或 【详解】解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 题型04 根据正多边形与圆的关系求周长、面积 【例4】如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等于3，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】解：如图，设点为正十二边形的中心，点分别为正方形的边和的中点，连接，点为正十二边形的一个顶点，连接，作于点，则， 设正方形的边长为，则， 由题意可得， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴正十二边形的面积， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为， 故选：A 【变式4-1】“3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法”，请计算出半径为2的圆与其内接正十二边形的面积差为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，将圆内接正十二边形分割成12个等腰三角形，点A，B，C为顺次三个分点，连接，交于点D， ∵圆的半径， ∴， ∵正十二边形的中心角为， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴正十二边形的面积为12个这样的等腰三角形面积之和，即：， ∴． 【变式4-2】已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为 ． 【答案】4 【详解】解：设该圆半径为， 如图1，∵为等边三角形， ∵， ∴；， ∴内接正三角形的面积； 如图2，∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴圆的内接正六边形的面积， ∵一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为， ∴， ∴（负值舍去）， 故答案为：4． 【变式4-3】如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 【答案】3 【详解】解：连接、，如图： 的周长等于， 的半径， 六边形是正六边形， ， 是等边三角形， ， 即正六边形的边长为3， 故答案为：3． 【变式4-4】正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是 ． 【答案】6 【详解】解：正六边形内接于半径为1的圆， 如图所示，，， ∴正六边形每条边所对的圆心角的度数为， ∴是等边三角形， ∴， ∴该正六边形的周长是， 故答案为：6 ． 题型05 根据正多边形与圆的关系求边心距 【例5】如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】B 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴点O到的距离的长为2， 故选：B． 【变式5-1】若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为 ． 【答案】9 【详解】解：∵正多边形的半径与边心距的夹角为， ∴正多边形的中心角为， ∴该正多边形的边数为， 故答案为：9． 【变式5-2】已知为直角三角形，，若将三角形绕点旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正四边形与大圆内接正六边形的边心距之比是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，四边形是小圆内接正四边形，六边形是大圆内接正六边形，小圆与的边交于点，过点作于点，作于点， ∵， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵六边形是大圆内接正六边形， ∴每个内角的度数为， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式5-3】如图是半径为4的的内接正六边形，则圆心O到边的距离是（    ） A． B．3 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：如图，做于点， 正六边形外接半径为4的， ，， ， ， ， 圆心O到边的距离为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，勾股定理，30度所对直角边等于斜边的一半，以及垂径定理，熟练掌握相关性质定理并灵活运用，即可解题． 【变式5-4】已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，正六边形，中心为点，连接，作于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 题型06 尺规作图——正多边形 【例6】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图1，直线即为所求； ； （2）解：如图2，直线即为所求； 理由：连接交于点， ∵的外接圆的圆心是点，是的中点， ∴垂直平分， ∴是的中点， ∴直线把分成面积相等的两部分． 【变式6-1】如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【答案】图见解析 【详解】解：如图，正方形为所作． 垂直平分，为的直径， 为的直径， ， ，，， 四边形是矩形 , 四边形是正方形， 又都在圆上， 四边形是的内接正方形． 【变式6-2】如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）矩形，见解析 【详解】解：（1）如图，首先作直径，然后分别以A，D为圆心，长为半径画弧，分别交于点B，F，C，E，连接，则正六边形即为所求． （2）四边形是矩形．理由如下： 如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【变式6-3】仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）． (1)如图①，是的直径，点是上异于，的一点，请画出的内接矩形； (2)如图②，是的直径，是弦，且，请画出的内接正方形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，矩形即为所作； （2）解：如图，即为所作； 【变式6-4】请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， 【详解】（1）解：如图1，连接，，相交于点，则点即为所求． （2）解：如图2，延长交于点，作射线交圆于点，则即为所求． 以已知线段为半径画圆（正多边形外接圆），按边数计算圆心角，用尺规等分圆周，依次连接圆周上的等分点，形成正边形 题型07 正多边形与圆中的规律性问题 【例7】如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 【答案】 【详解】不失一般性，设时的情形，可以推广到一般情况．连接，如下图 由正多边形的性质知： ∴ ∴ 由得： ∴ 即： 又∵ ∴ ∴ ∴ 即： ∵ ∴ 故答案为：． 【变式7-1】如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，如图所示， 六边形为正六边形， ， 为等边三角形， 正六边形的外接圆与正六边形的各边相切， ， ， 正六边形的边长， 同理可得正六边形的边长， 正六边形的边长． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的关系，解题的关键在于利用正六形边的一边与圆的两条半径可构成特殊的三角形——等边三角形，再利用60度角的余弦值即可求出下一个正六边形的边长． 【变式7-2】李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【答案】(1) (2)， (3)随着n的增大，越来越接近于1，见解析 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：假设正方形边长1， ∴此时正方形的内切圆半径为， ∴； 设正六边形的边长为1，内切圆圆心为O，则， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； （3）解：，随着n的增大，越来越接近于1．由张衡、祖冲之的研究，精进的取值的方法可知：正多边形，边长数越多，越接近于圆，因此当边长增多时，其周长L也与对应的内切圆周长更接近，其比值更接近于1． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆，正确理解题意是解题的关键． 【变式7-3】我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，，， (2)不存在一个正边形，使其中的，理由见解析 【详解】（1）解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； （2）由（1）得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 【点睛】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 【变式7-4】[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且 ，则， 　　； 如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [理解与运用]在正六边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 在正十边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是　　． 【答案】 ； ； ； ；；以上所求的角恰好等于正n边形的内角 【详解】解：阅读与思考: ∵在正三角形中，点M，N是，上的点，且， ∵在 和 中 故答案为： ； ∵在正方形中，点M，N是 ， 上的点，且 在 和中 答案为：； ∵在正五边形 中，点M，N是 ，上的点，且 ，则 ∵在和中， 故答案为：； 理解与运用： ∵正三角形的内角度数为：；正方形的内角度数为：；正五边形的内角度数为：； ∴同理可得： 在正六边形中，点M，N是 ，上的点，且 ，则， ； 故答案为： ； 同理可得： 在正十边形中，点M，N是 ，上的点，且，则 ，； 故答案为：； 归纳与总结： 根据以上所求的角恰好等于正n边形的内角， 所以所求的角恰好等于正n边形的内角 故答案为：以上所求的角恰好等于正n边形的内角 【点睛】此题主要考查了正多边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练利用三角形的外角性质是解题关键． 题型08 正多边形与圆中的证明 【例8】如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【答案】证明见详解 【详解】证明：四边形是正方形， ， ． 是的中点， ， ， ． 【变式8-1】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 【变式8-2】如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 【变式8-3】如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：连接，正八边形， ∴，   ，， ， ∴． （2）∵，同理可证：，， ∴四边形为等腰梯形， ， 作，，    ∵， ， 在中，，， ， 同理可得， ∵，，， ∴四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查的是圆与正多边形的知识，圆周角定理的应用，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握正多边形的性质是解本题的关键． 【变式8-4】大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接，设交于H， ∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∵小圆O与相切于点K， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴点H在小圆O上， 又∵， ∴是小圆O的切线； （2）解：∵正六边形为大圆O的内接正六边形， ∴， ∴是等边三角形， ∵小圆O与相切于点K， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆综合，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． 一、单选题 1．若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：正八边形是旋转对称图形，其旋转对称角度为． 因此，旋转后的重合角度必须满足（k为整数）． 选项A：是，符合条件； 选项B：无法表示为的整数倍，不符合条件； 选项C：是，符合条件； 选项D：是，符合条件． 综上，不可能的角度为， 故选：B． 2．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：点O是正六边形的中心， 是正三角形， ， 又点O是正方形的中心， 是等腰直角三角形， ， ， 故选：B． 3．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，在中，，作于点， ∴， ∴， ∴的内接正十二边形的面积， ∴产生的正误差为， 故选：D 4．如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，记外接圆的圆心为，连接，，， ∵，分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边， ∴，， ∴， ∴， 故选：C 5．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 6．平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解；如图所示，设正六边形的中心为O，连接，过点O作于H， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴点O在以B为圆心，的长为半径的圆上， ∴， 故选：B．    7．如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 【答案】A 【详解】解：∵六边形是正六边形， ∴，点关于的对称点为点，每个内角的度数为， 如图所示，连接，交于点，连接，设交于点， ∴，，， ∴，， ∴，，， ∴，， 当点三点共线时，的值最小，最小值为， 点从运动时 ，的取值范围为， ∵， ∴整数值为，共3个， 故选：A ． 二、填空题 8．如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【答案】10 【详解】解：如图，设这个正边形的外接圆为，连接，， 则， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 9．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    【答案】/54度 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵是优弧上的一点（不与点重合）， ∴． 故答案为：． 10．若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 【答案】/ 【详解】解：如图，正方形的周长为12， ∴，且， ∴， 如图∶作正方形的外接圆，圆心为点O，连接，作于点E， ∵，， ∴ ∴正方形ABCD的边心距为． 故答案为：． 11．如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是 ． 【答案】54 【详解】解：连接， ∵五边形是的内接正五边形，是的直径， ∴，， ∵， ∴， 则在中，， 故答案为：54． 12．如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，， ∵正五边形内接于， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是 ． 【答案】 【详解】解：如图所示，未旋转时，连接，，正六边形的边长为1， ∵正六边形， ∴每个内角的度数为，即， ∵， ∴， ∴，， 在中，， 根据勾股定理得，， ∴， 当正六边形绕点顺时针旋转， ∴，即旋转12次，正六边形回到起始位置， ∴当时，，即旋转168轮后，点回到了的位置，如图所示， 同理，，， ∴，根据勾股定理得，， ∴， 即当时，顶点的坐标是， 故答案为：． 14．如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：在图中标出字母如下，过点作延长线于点，连接，作于点，过点作于点， 则四边形和是矩形． 人行道上地板砖由正六边形和四边形镶嵌而成， 正六边的内角为， ， , ，是等边三角形． 设， ， ， ，， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正六边形的性质，平面镶嵌，等边三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，标出字母，作出辅助线构建直角三角形是解答关键． 三、解答题 15．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：如图，作直径，再以点圆心，为半径画弧交于，则． 16．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 【答案】 【详解】解：六边形是正六边形， ．， ， 是等边三角形， ， 正六边形的周长． 17．如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    【答案】，，，，， 【详解】解：的半径， ， ，， 多边形是正六边形， ， 连接，过作于，   ，， ∴是等边三角形， ∴， ， ， ，， 同理，，，，，． 故答案为：，，，，，． 【点睛】本题考查了正多边形与圆，正六边形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 18．如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【答案】 【详解】解：如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴， ， 即的半径为2， ∴的面积为． 19．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：； （2）如图1所示，连接相交于点，菱形为所求图形， 证明：在正五边形中，每个内角都相等且等于，每条边都相等， 可得≌，从而 ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 同理可证：. ∴四边形为平行四边形， 又， ∴四边形为菱形. （3）如图，五边形即为所求． 20．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②见解析 【详解】（1）证明：在圆内接正六边形中， ， ∴， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴是等边三角形， ∴． ∴点H，G三等分． （2）①解：如图，即为所求作．    ②证明：如图，过点O作，垂足为P，连接，则． 由（1）知，， ∴． ∵，， ∴． ∴是①所作圆的切线． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆的内接多边形的性质，切线的判定，作线段的垂直平分线，掌握以上基础知识是解本题的关键． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.6 正多边形与圆 教学目标 1.能明晰正多边形概念，掌握正多边形与圆的内在关联，准确识别正多边形的中心、半径、中心角、边心距。 2.熟练运用量角器等分圆心角，借此等分圆周，精准画出常见正多边形；对于特殊正多边形，能用尺规作出图形。 3.利用正多边形性质（轴对称、中心对称等），解决与圆相关的角度、边长、周长、面积等计算及证明问题。 教学重难点 1.重点：深刻理解正多边形与圆的关系，熟练掌握正多边形相关概念与性质，学会画正多边形。 2.难点：灵活运用正多边形和圆的知识解决综合性问题，尤其是将实际问题转化为数学模型求解。 知识点01 正多边形与外接圆 1.正多边形与外接圆：一般地，用______把一个圆等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的______正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆 2.正多边形的中心:正多边形的外接圆的______叫做这个正多边形的中心。 3.正多边形的半径:正多边形的外接圆的______叫做这个正多边形的半径。 4.正多边形的边心距:正多边形的中心到正多边形______的距离叫做这个正多边形的边心距。 5.中心角:正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 【即学即练】 1．一个圆内接正多边形的一条边所对的圆心角是，则该正多边形边数是（   ） A．6 B．9 C．10 D．12 2．刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”，利用圆的内接正多边形来确定圆周率，开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元，某同学在学习“割圆术”的过程中，作了一个如图所示的圆内接正十二边形，若的半径为3，则这个圆内接正十二边形的面积为 ． 知识点02 正多边形的对称性 1、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正边形共有______条对称轴，每条对称轴都通过正边形的______。 2、正多边形的中心对称性 边数为______的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 3、正多边形的画法:先用量角器或尺规______圆，再做正多边形 【即学即练】 如图，已知，请用尺规作图法作圆的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 知识点03 圆内正多边形的计算 正多边形 正三角形 正四边形 正六边形 图示 长度比例 有关计算在中进行， ______ 有关计算在中进行， ______ 有关计算在中进行， ______ 【即学即练】 如图，正外接圆的半径为，求正的边长，边心距，周长和面积． 题型01 正多边形的中心角 【例1】已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ． 【变式1-1】如图，平面直角坐标系中，正六边形的顶点，在轴上，顶点在轴上，若正六边形的中心点的坐标为 则点的坐标为 （   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如果一个正多边形的外角是度，那么它的中心角是 度 【变式1-3】正六边形绕它的中心至少旋转 度，才可与它原来的位置重合． 【变式1-4】如图是一个正八边形，连接，则的度数为 ． 题型02 正多边形的边数 【例2】如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【变式2-1】如果将一个正多边形绕它的中心旋转后，才与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形的边数是 ． 【变式2-2】一个正边形绕其中心至少旋转45°角可与自身重合，则的值为 ． 【变式2-3】如图，正六边形与正方形有重合的中心O，若是正n边形的一个中心角，则n的值为 ． 【变式2-4】如果一个正n边形的中心角大小是它内角和的，那么n的值是 ． 题型03 根据正多边形与圆的关系求角度 【例3】如图，正五边形内接于，连接，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，正五边形内接于，过点D作的切线交的延长线于点F．则的度数为 ． 【变式3-3】司南是中国发明的广泛应用于古代军事、航海的指南仪器，用正八边形的八个顶点代表八个方位，如图，与交于点，则点位于点的（   ） A．南偏西方向 B．北偏东方向 C．南偏西方向 D．北偏东方向 【变式3-4】已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 题型04 根据正多边形与圆的关系求周长、面积 【例4】如图，正十二边形的四个顶点分别落在正方形四条边的中点处，若正十二边形的面积等于3，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D．1 【变式4-1】“3世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法”，请计算出半径为2的圆与其内接正十二边形的面积差为 ． 【变式4-2】已知同一个圆的内接正六边形与内接正三角形的面积之差为，则该圆的半径为 ． 【变式4-3】如图，正六边形内接于，若的周长是，则正六边形的边长是 ． 【变式4-4】正六边形内接于半径为1的圆，则该正六边形的周长是 ． 题型05 根据正多边形与圆的关系求边心距 【例5】如图，点O为正六边形的中心，连接．若正六边形的边长为4，则点O到的距离的长为（    ） A． B．2 C． D．1 【变式5-1】若正多边形的半径与边心距的夹角为，则该正多边形的边数为 ． 【变式5-2】已知为直角三角形，，若将三角形绕点旋转，将会形成两个同心圆，则小圆内接正四边形与大圆内接正六边形的边心距之比是 ． 【变式5-3】如图是半径为4的的内接正六边形，则圆心O到边的距离是（    ） A． B．3 C．2 D． 【变式5-4】已知某正六边形的外接圆半径为，则该正六边形的边心距为 ． 题型06 尺规作图——正多边形 【例6】请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果） (1)如图1，五边形是正五边形，画一条直线把这个五边形分成面积相等的两部分： (2)如图2，的外接圆的圆心是点，是的中点，画一条直线把分成面积相等的两部分； 【变式6-1】如图，已知，请用尺规做的内接正四边形．（保留作图痕迹，不写做法） 【变式6-2】如图，已知和上的一点A． 【实践与操作】 （1）作的内接正六边形（不写作法，保留作图痕迹）． 【应用与证明】 （2）连结，，判断四边形的形状，并加以证明． 【变式6-3】仅用无刻度的直尺，按要求画图（保留画图痕迹，不写作法）． (1)如图①，是的直径，点是上异于，的一点，请画出的内接矩形； (2)如图②，是的直径，是弦，且，请画出的内接正方形． 【变式6-4】请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，圆内多边形是矩形，请作出该圆的圆心；点 即为所求； (2)在图2中，圆内正多边形是正五边形，请作出垂直的直径．线段 即为所求． 以已知线段为半径画圆（正多边形外接圆），按边数计算圆心角，用尺规等分圆周，依次连接圆周上的等分点，形成正边形 题型07 正多边形与圆中的规律性问题 【例7】如图1，图2，图3⋯，M、N分别是的内接正三角形，正方形，正五边形，…的边上的点，且，连接，图1中，图2中，图3中…，根据这样的规律，图n中的度数是 ． 【变式7-1】如图，正六边形的边长为2，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切，正六边形的外接圆与正六边形的各边相切……按这样的规律进行下去，的边长为 ． 【变式7-2】李老师带领班级同学进行拓广探索，通过此次探索让同学们更深刻的了解的意义． (1)[定义]我们将正n边形的周长L与正多边形对应的内切圆的周长C的比值，称作这个正n边形的“正圆度”．如图，正三角形的边长为1，求得其内切圆的半径为，因此___________； (2)[探索]分别求出正方形和正六边形的“正圆度”； (3)[总结]随着n的增大，具有怎样的规律，试通过计算，结合圆周率的诞生，简要概括． 【变式7-3】我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题：    (1)将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ (2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式7-4】[阅读与思考]如图①，在正三角形 中，点 ， 是，上的点，且 ，则， 　　； 如图②，在正方形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 如图③，在正五边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [理解与运用]在正六边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； 在正十边形 中，点，是，上的点，且，则， 　　； [归纳与总结]根据以上规律，在正 边形 中，对相邻的三边实施同样的操作过程，即点，是 ，上的点，且， 与 相交于；也会有类似的结论，你的结论是　　． 题型08 正多边形与圆中的证明 【例8】如图，正方形内接于是的中点，连接．求证：； 【变式8-1】如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【变式8-2】如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【变式8-3】如图，在的内接正八边形中，，连接．    (1)求证； (2)的长为 　 　． 【变式8-4】大圆O和小圆O为同心圆，正六边形为大圆O的内接正六边形，连接．连接与交于点K，同时小圆O与相切于点K． (1)求证：是小圆O的切线． (2)若，求阴影部分的面积．（结果用表示） 一、单选题 1．若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正六边形与正方形的中心都是点O，且顶点A，B重合，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．我国古代数学家刘徽在《九章算术》中提出“割圆术”，即用圆内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．设的半径为1，若用如图所示的的内接正十二边形的面积来近似估计的面积，则产生的正误差为（   ） A． B． C． D． 4．如图，、分别是某圆内接正六边形、正五边形的一边，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 6．平遥推光漆器是山西著名的工艺品，以手掌推出光泽而得名．如图①是平遥推光漆器的一个饰品盒盖，图②是其几何示意图(阴影部分为花朵图案)．已知正六边形的边长为2，分别以正六边形每个顶点为圆心，其边长为半径画弧，构成花朵图案，则图中阴影部分的面积为（    ）    A． B． C． D． 7．如图，正六边形的边长是，连接，是上的动点，连接，．若的值是整数，则点的位置有（    ） A．3处 B．5处 C．7处 D．9处 二、填空题 8．如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 9．如图，正五边形的顶点在上，是优弧上的一点（不与点重合），连接，则的度数为 ．    10．若正方形的周长为12，则这个正方形的边心距为 ． 11．如图，五边形是的内接正五边形，是的直径，与交于点G，则的度数是 ． 12．如图，正五边形内接于，过点作的切线，连接．则的度数为 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形绕点顺时针旋转个，得到正六边形，当时，正六边形的顶点的坐标是 ． 14．如图是一铺设在人行道上地板砖的一部分，它是由正六边形和四边形镶嵌而成，，，为各多边形顶点，则的值为 ． 三、解答题 15．如图，点A是上一点．请利用直尺和圆规完成下列作图．（不写作法，保留作图痕迹） (1)画出的内接正． (2)在上画出、两点，使得．（画一种即可） 16．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似的看作是半径为的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长． 17．如图，正六边形的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B在y轴正半轴上．求正六边形各顶点的坐标．    18．如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 19．已知正五边形，请仅用无刻度的直尺作图，并完成相应的任务（保留作图痕迹，不写作法）． 【初步感知】 （1）如图1，请直接写出的度数； 【实践探究】 （2）请在图2中作出以为对角线的菱形，并证明你的结论； 【拓展延伸】 （3）请在图2正五边形的基础上再设计一个新的正五边形.（不需要证明） 20．在圆内接正六边形中，，分别交于点H，G．    (1)如图①，求证：点H，G三等分． (2)如图②，操作并证明． ①尺规作图：过点O作的垂线，垂足为K，以点O为圆心，的长为半径作圆；（在图②中完成作图，保留作图痕迹，不需要写作法） ②求证：是①所作圆的切线． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$