专题 2.6 正多边形与圆（知识梳理 + 题型精析 +同步练习）- 基础知识专项突破讲练2025-2026学年九年级数学上册（苏科版）

专题 2.6 正多边形与圆 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾1： 1 知识点（一）正多边形 1 【题型1】利用正多边形的定义求值 2 知识点（二）正多边形和圆的关系 4 【题型2】求正多边形的中心角 4 【题型3】利用正多边形的中心角求正多边形的边数 6 【题型4】求正多边形的周和和面积 8 【题型5】正多边形和圆的综合求值 11 【题型6】正多边形和圆的综合求值证明 14 二. 同步练习 18 【基础巩固（16题）】 18 【能力提升（16题）】 31 【中考真题12题】 49 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾1： 知识点（一）正多边形 定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 数学语言： ,, 五边形为正五边形. 图1 【题型1】利用正多边形的定义求值 【例题 1】（24-25八年级上·山西吕梁·期中）如图，在正五边形中，连接，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了正多边形的内角和公式以及等边对等角，平行线的判定，先根据正五边形得出，，则，再结合，即可作答． 解：如图： ∵五边形是正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）图中是两个全等的正五边形，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，能求出各个角的度数是解此题的关键．先求出正五边形各个内角的度数，再求出和的度数，进而求出，即可求出答案． 解：如图： ∵图中是两个全等的正五边形， ∴正五边形每个内角的度数是，， ∴，即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（23-24九年级上·广东梅州·期末）如图，正五边形的两条对角线相交于点，试猜想四边形的形状，并证明你的猜想． 【答案】菱形，证明见分析 【分析】本题考查了正五边形的性质、平行四边形及菱形的判定，解题的关键是利用正五边形内角和与边的关系，结合角度计算推导平行关系，再依据判定定理证明． 先根据正五边形性质得出边与角的关系，计算相关角度，推导对边平行证明是平行四边形，再结合邻边相等证明是菱形． 解：证明：∵五边形是正五边形， ∴， ， ， ， ， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， 四边形是菱形． 知识点（二）正多边形和圆的关系 一般地，用量角器把一个圆（）等分，依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径。 如图2，五边形ABCDE是☉o的内接正五边形，☉o是正五边形ABCDE外接圆，圆心是正五边形中心，☉o的半径是正五边形的半径。 图2 【题型2】求正多边形的中心角 【例题 2】（2025·安徽滁州·三模）如图，在的圆内接正五边形中，过点D作交于点F，则的度数为 ． 【答案】/18度 【分析】本题考查圆内接正多边形，三角形内角和，连接，，根据圆内接正五边形，得到，，则，得到，根据等腰三角形得到，再由得到，最后根据三角形内角和求解即可． 解：连接，， ∵在的圆内接正五边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】 （24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）若一个圆内接正多边形的中心角是，则这个多边形是（   ） A．正十边形 B．正九边形 C．正八边形 D．正七边形 【答案】B 【分析】本题考查圆内接正多边形，根据圆内接正边形的中心角的度数为，进行求解即可． 解：， 故这个多边形为正九边形； 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·福建福州·阶段练习）如图，正五边形内接于，连接，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，中心角，先根据多边形内角和定理求出，再根据中心角的定义求出，即可得出答案. 解：∵正五边形内接， ∴，， ∴. 故选：D. 【题型3】利用正多边形的中心角求正多边形的边数 【例题 3】（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是正多边形的一部分，若，则该正多边形的边数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形中心角问题、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．连接，，易知点在以点为圆心，为半径的同一个圆上，根据圆周角定理得到，再根据正多边形中心角计算方法即可得到答案． 解：连接，，如下图， ∵为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， ∴点在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ∵ ∴， ∴这个正多边形的边数． 故答案为：． 【变式1】 （2025·陕西西安·模拟预测）已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查正多边形的中心角和内角，根据中心角和内角的计算公式，结合两个角的度数的比值，列出方程求解即可． 解：由题意，得：， 即：， 解得：； 故答案为：10． 【变式2】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，正边形的两条对角线、的延长线交于点，若． （1）连接，则与的位置关系是 ； （2）的值是 ． 【答案】 平行 12 【分析】本题主要考查了正边形的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． （1）连接，假设正边形的外接圆为，根据正多边形的性质可得，根据圆周角定理得出，即可解答；（2）连接，根据，得，则正边形中心角为，即可解决问题． 解：（1）如图，连接， 假设正边形的外接圆为， 根据正多边形的性质可得， ∴， ， 故答案为：平行； （2）如图，连接， ∵， ， ∴， ∴正边形中心角为， ， 故答案为：12． 【题型4】求正多边形的周和和面积 【例题 4】（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）正六边形的边长为8，求这个正六边形的周长和面积． 【答案】周长，面积 【分析】本题主要考查了正六边形的性质，根据正多边形的性质，得出为等边三角形，即可解答．解题的关键是掌握正多边形每条边相等，以及中心角的求法． 解：正六边形的周长； 连接，过点O作于点G， ∵该六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， 正六边形的面积． 【变式1】 （24-25九年级上·河南新乡·期中）正六边形的周长为6，则它的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的计算，把正多边形的面积转化为包含中心角的三角形的面积计算是解题的关键． 利用正多边形与圆的关系，把图形的面积转化中心角三角形的面积和计算即可． 解：如图，设正六边形的一边为，外接圆的圆心为O，作，垂足为C， ∵正六边形的周长为6， ∴，，是等边三角形， ∴，， ∴的面积为， ∴正六边形的面积为， 故选B． 【变式2】（24-25九年级上·北京丰台·期末）如图，有一个亭子，它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆的关系，根据正六边形的性质，把面积转化为6个等边三角形的面积和计算即可． 解：如图， ∵，, ∴，即正六边形的边长为， ∴地基的周长为， 故答案为：. 【题型5】正多边形和圆的综合求值 【例题 5】（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，已知正六边形的半径为2，点O为其中心，求正六边形的边心距、边长、周长和面积． 【答案】边心距为，边长为2，周长为，面积为 【分析】此题考查了正六边形和圆、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是等边三角形是解题的关键．连接，过点O作于点H，证明是等边三角形．依次进行求解即可． 解：如图，连接，过点O作于点H， ∵六边形是正六边形， ∴，． ∴是等边三角形． ∴，即边长为2，周长为． 在中，， ∴， ∴边心距． ∴． 【变式1】 （23-24九年级上·天津和平·期末）如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求． 解： 连接，如图所示： 设此圆的半径为R， ∵在正方形中， , 则内接正方形的边长， ∵在正六边形中， ， 为等边三角形， 则内接正六边形的边长， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为， ∴正方形与正六边形的周长之比． 故选：A． 【变式2】（2025·江苏南京·一模）如图，是半径为2的正八边形的一条对角线，则 【答案】 【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 设正八边形的中心为O，连接，由正八边形，得到，求得，过D作于H，根据勾股定理即可得到结论． 解：设正八边形的中心为O， 连接AE，OD， ∵正八边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 过D作于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【题型6】正多边形和圆的综合求值证明 【例题 6】（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图正方形内接于，为任意一点，连接、． （1）求的度数． （2）如图2，过点作交于点，连接，，，，求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）如图1中，连接、．根据即可解决问题； （2）如图2中，连接，，，，作于．首先证明，求出，设，在中，利用勾股定理即可解决问题． 解：（1）解：如图1中，连接、． 四边形是正方形， ， ； （2）解：如图2中，连接，，，，作于． ∵，， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 在中，， ， 解得或（舍弃）， ． 【点拨】本题考查正多边形与圆、全等三角形的判定和性质、勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式1】 （2025·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正六边形的中心与原点重合， 轴，交 轴于点． 将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，坐标的变化规律问题，根据正多边形的性质可得，进而求出每旋转一次点的坐标，再根据每旋转次一个循环解答即可求解，找到坐标旋转变化的规律是解题的关键． 解：∵是正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵ 轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， 第次旋转结束时，点的坐标为， ∵， ∴第次旋转结束时，点的坐标为， 故选：． 【变式2】（2024九年级·河北·学业考试）如图， O是正六边形的中心，，点M， N分别为，的内心， 则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的有关计算，勾股定理，三角形的内心，连接，，，过作于，由正六边形得到，，，，即可得到是等边三角形， ，再由点M为的内心，得到，，根据勾股定理和直角三角形的性质得到，，，，由，求得，最后证明，根据求解即可． 解：连接，，，过作于， ∵O是正六边形的中心，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点M为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 二. 同步练习​ 【基础巩固（16题）】 一、单选题 1．（2025·上海宝山·二模）如果一个正多边形的内角和为，那么这个正多边形的中心角度数是（    ） A．10 B．12 C．18 D．30 【答案】D 【分析】本题主要考查了多边形的内角和外角，解题关键是熟练掌握正多边形的定义和多边形的内角和公式．设这个正多边形的边数为列方程求出再根据正多边形每条边所对的中心角都相等，列出算式进行计算即可． 解：设这个正多边形的边数为列方程得： ， 解得， ∴这个正多边形的中心角的度数为：， ∴A，B，C选项不符合题意，D选项符合题意， 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段练习）若一个正多边形的中心角为，则这个正多边形的边数为（   ） A．七 B．八 C．九 D．十 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，掌握正多边形的中心角相等以及计算公式成为解题的关键． 根据正多边形的中心角计算公式为：中心角边数，求解即可． 解：设正多边形的边数为． 由题意可得：，解得：． 故选B． 3．（24-25九年级下·陕西安康·阶段练习）如图，正六边形F内接于，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形与圆，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，连接，，根据中心角的定义求出，进而求出，然后根据等边对等角和三角形的内角和定理求解即可． 解：连接，， ∵正六边形F内接于， ∴， ∴， 又， ∴， 故选∶C． 4．（24-25九年级上·天津·期末）如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，连接、，则，由圆周角定理得，于是得到问题的答案． 解：连接、， ∵正五边形内接于， ∴， ∵P为上一点， ∴， 故选：B． 5．（23-24九年级上·天津和平·期末）如图，若⊙O是正方形与正六边形的外接圆，则正方形与正六边形的周长之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形和圆，找出圆内接正方形与内接正六边形的边长关系，是解决问题的关键．由圆与正方形和正六边形性质知，正方形边长等于外接圆半径的倍，正六边形边长与外接圆半径相等，则结果可求． 解： 连接，如图所示： 设此圆的半径为R， ∵在正方形中， , 则内接正方形的边长， ∵在正六边形中， ， 为等边三角形， 则内接正六边形的边长， ∴内接正方形和内接正六边形的边长之比为， ∴正方形与正六边形的周长之比． 故选：A． 6．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，已知正六边形边长为2，在正六边形的边上距离最远的点到的距离为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正多边形的性质，正多边形的外接圆，等边三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键． 连接，交于点O．由，都是等边三角形，推出，可得结论． 解：连接，交于点O，如图 则点O为外接圆的圆心， ∴在正六边形的边上距离最远的点是， ∵正六边形边长为2， ∴， ∴，都是等边三角形， ∴， ∴． 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）正八边形的内角是 度，外角是 度，中心角是 度． 【答案】 135 45 45 【分析】此题主要考查了正多边形的中心角与内角度数的求法，关键是掌握多边形内角与外角的关系． 利用多边形的外角和为360度，求出正八边形的每一个外角的度数，进而可得到内角的度数；根据正多边形的圆心角定义可知：正边形的中心角为：，代入求解即可． 解：∵正八边形的每个外角为：， ∴每个内角为； 正八边形的中心角为：． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】10 【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数． 解：由题意可得： 边数为， 则它的边数是10． 故答案为：10． 9．（2025·宁夏银川·模拟预测）如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：如图，连接， 由题意得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵五边形是正五边形， ∴， ∴， 故答案为：． 10．（24-25九年级下·全国·假期作业）如图，在正多边形中，若，则该多边形的边数为 ． 【答案】10 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形中心角的计算方法以及圆周角定理是正确解答的关键．根据正多边形的性质，中心角的计算方法以及圆周角定理列方程求解即可 解：如图，设这个正边形的外接圆为，连接，， 则， ， 解得， 经检验，是原方程的解， 这个正多边形是正十边形， 故答案为：10． 11．（2024·上海·模拟预测）如图，正方形内切圆半径为2，点G为边上一点，作正方形，则 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，内切圆的性质，根据正方形内切圆半径为2，得出，结合，再代入数值进行计算，即可作答． 解：依题意， ∵正方形内切圆半径为2 ∴ ∵四边形是正方形 ∴ 则 故答案为：8 12．（24-25九年级上·江苏南京·期末）如图，点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心，将正方形绕点旋转一周．若在旋转过程中，正方形始终在正六边形的内部（即正方形边上的所有点都在正六边形内），则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，熟练掌握正多边形的性质，是解题的关键．连接，，过点O作，证明为等边三角形，根据勾股定理得出，根据垂线段最短，正方形的边长不能超过为，从而得出的取值范围是． 解：连接，，过点O作，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴， ∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂线段最短， ∴正方形对角线不能超过， ∴正方形的边长不能超过， ∴的取值范围是， 故答案为：． 三、解答题 13．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，点是正方形，的中心． （1）用直尺和圆规在正方形内部作一点（异于点），使得（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】（1）作BC的垂直平分线即可求解； （2）根据题意证明即可求解． 解：如图所示，点即为所求．   连接 由得： 是正方形中心， 在和中， ． 【点拨】此题主要考查正方形的性质与证明，解题的关键是熟知正方形的性质、垂直平分线的作图及全等三角形的判定与性质． 14．（23-24九年级上·广东东莞·期末）如图，正六边形内接于，边长为2． （1）求的直径的长； （2）求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查正多边形和圆，圆周角定理： （1）连接，求出的度数，得到是等边三角形，得到，即可得出结果； （2）根据圆周角定理，即可得出结果． 解：（1）解：连接． ∵正六边形内接于， ∴， 又， ∴是等边三角形． ∴． ∴． （2）解：∵， ∴． 15．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，正六边形内接于，半径为．   （1）求的长度； （2）若G为的中点，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解． （2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解． 解：（1）解：连接，，如图：    六边形是正六边形， ， 又，是的半径，且半径为， ， 是等边三角形， ． （2）连接，，如图：    则为的直径， ，， 由（1）得：， 在中，， ， G为的中点， ， 在中，， ． 【点拨】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键． 16．（17-18九年级下·全国·课后作业）如图，正方形的外接圆为，点P在劣弧上（不与点C重合）． （1）求的度数； （2）若的半径为8，求正方形的边长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查圆与正多边形，圆周角定理： （1）连接，根据中心角的计算公式求出的度数，圆周角定理，求出的度数即可； （2）勾股定理求出的长即可． 解：（1）解：连接，    由题意得：， ∴； （2）由（1）知：， 又∵， ∴， 即正方形的边长为：． 【能力提升（16题）】 一、单选题 1．（2025·安徽合肥·一模）正六边形内接于，以为边，正方形在内，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的中心角、正方形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确求出正多边形的中心角是解题关键．连接，先求出，再证出是等边三角形，根据等边三角形的性质可得，，根据正方形的性质可得，从而可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据求解即可得． 解：如图，连接， ∵正六边形内接于， ∴， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（2025·河南濮阳·二模）如图，是内接正边形的一条边，点在上，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，由圆周角定理得，再根据正边形的边数“中心角”，即可求出的值，求出中心角的度数是解题的关键． 解：∵， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期末）正三角形的边心距、半径和高之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆与正多边形．根据题意可以表示正三角形的边心距、半径和高，从而求得它们的比值． 解：连接并延长交于点D，连接，则， ∵是等边三角形， ∴， 则，平分和， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）大自然中有许多小动物都是“小数学家”，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．一个巢房的横截面为正六边形，如图所示，若正六边形半径为，则这个正六边形的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题可先将正六边形分割成六个全等的正三角形，然后求出一个正三角形的面积，最后乘以得到正六边形的面积．本题主要考查了正六边形的性质以及正三角形面积的计算，熟练掌握正六边形可以分割成六个全等的正三角形是解题的关键． 解：∵正六边形的半径为 ∴正六边形可分成六个边长为的正三角形 令其中一个正三角形为，过作于点， ∵是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴一个正三角形的面积为 ∴正六边形的面积为 故选：C． 5．（2025·河南洛阳·三模）如图，在正六边形中，直线从点出发向右平移，且，设直线在正六边形内部截得的线段的长为，平移的距离为与之间的函数关系的图形如图2所示，则正六边形的面积为（  ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查识别函数图象，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识，取正六边形的中心O，连接，，，连接、、，可得正六边形面积是等边的两倍，再根据等边三角形的面积公示求解即可．明确正六边形可由六个正三角形拼成是解题的关键． 解：如图，取正六边形的中心O，连接，，， 则，，将正六边形分成三个菱形，每个菱形都由两个与正六边形边长相等的等边三角形拼成， 连接、、， 则正六边形被分成六个全等且底角是3的等腰三角形，也是等边三角形， ∴正六边形面积是的两倍． 由函数图象可知当l与线段有交点时，有最大值，即 又∵等边三角形的面积公式是，（其中a是等边三角形的边长）， ∴正六边形面积是：， 故选：C． 6．（24-25九年级上·浙江·期中）如图，点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点，已知圆O的半径是2，则图中阴影部分的面积是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正多边形和圆、等边三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q，根据题意可得是等边三角形，进而说明，再根据含30度直角三角形的性质和勾股定理求得、可得，进而求得，最后求得即可解答． 解：如图，连接交于点Q，设与交于点H，与交于点Q，    ∵点A，B，C，D，E，F是圆O上的六等分点， ∴，，， ∴， 同理： ∴， ∴，， 同理：， ∴是等边三角形， ∵， ∴ ∵，垂直平分，， ∴，，， ∴ ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选C． 二、填空题 7．（2025·江苏扬州·二模）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线（为常数，）上，将正六边形向上平移1个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为 ．    【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定与性质、反比例函数与几何综合，作轴与，连接，证明是等边三角形，得出，设，则，，得出，，根据平移的性质可得点在双曲线上，代入计算即可得解． 解：如图，作轴与，连接，    ∵原点O为正六边形的中心， ∴，, ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， ∵将正六边形向上平移1个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， ∵点也在双曲线上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 8．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，在的内接四边形中，，点E在弧上，连接、、、． （1）的度数为 ． （2）当时，恰好为的内接正n边形的一边，则n的值为 ． 【答案】 120° 12 【分析】（1）连接BD，由已知条件证△ABD是等边三角形，得到∠ABD=60°，从而由圆内接四边形的性质可得∠AED=120°； （2）连接OA，由∠ABD=60°，可得∠AOD=120°，结合∠DOE=90°，可得∠AOE=30°，从而可得． 解：（1）连接， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴； （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点拨】本题考查正多边形与圆相关知识点，理解并熟练运用基本性质和结论是解题关键． 9．（2025·安徽·模拟预测）如图，在内接正六边形中，连接，交于点．设正六边形的面积为，的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，连接，，连接交于点，得，，求出，故可得． 解：如图，连接，，连接交于点， 正六边形内接于， 经过点，且，，， ， ， ， 在正六边形中，，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 10．（2025·河北邢台·三模）如图，在正六边形中除点为原点，点外，其他各点均在轴上方，将正三角形在正六边形外连续作如下运动：起始位置，与重合；第一次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；第二次运动：绕点逆时针旋转，使与重合；……如此运动，共完成六次运动，在这个运动的过程中，点P，O之间距离的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形和圆，点的轨迹以及线段的最值，作出图形得出的长度为点P，O之间距离的最大值，求出，可得的最大值为． 解：点的运动轨迹如图所示的虚线部分， 延长交轨迹于点（位置不只是一种）， 此时的长度为点P，O之间距离的最大值， ∵点为原点，点外，其他各点均在轴上方， ∴， 又， ∴， 过点E作于点，则， ∴， ∴， 的最大值为． 故答案为：． 11．（2024九年级·河北·学业考试）如图， O是正六边形的中心，，点M， N分别为，的内心， 则长为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的有关计算，勾股定理，三角形的内心，连接，，，过作于，由正六边形得到，，，，即可得到是等边三角形， ，再由点M为的内心，得到，，根据勾股定理和直角三角形的性质得到，，，，由，求得，最后证明，根据求解即可． 解：连接，，，过作于， ∵O是正六边形的中心，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵点M为的内心， ∴平分，平分， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（2025·河北石家庄·二模）如图，边长为6的正六边形，连接，点为线段上的点（不与C，E重合），过点作于点，以为圆心，长为半径画圆，当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为 ． 【答案】或/或 【分析】先由正六边形得到，则判断出与相切于点，当与边相切时，记切点为点，连接，根据圆的切线的性质可得平分，则，解，即可求解；记与的左交点为点，连接，当点与点重合时，可得到点重合，再解即可． 解：∵正六边形， ∴， ∴， ∵，长为半径画圆， ∴与相切于点， 当与边相切时，记切点为点，连接，如图： 则，，而， ∴平分， ∵， ∴， ∴在中，； 记与的左交点为点，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， 当点与点重合时，如图： ∴， ∴点重合， ∴， ∴与相切于点，而与相切于点，故符合题意， ∴， 综上：当和正六边形的两条边所在直线相切时，的长为或， 故答案为：或． 【点拨】本题考查了圆的切线的判定与性质，解直角三角形的相关计算，等腰三角形的性质，正多边形的内角问题等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 三、解答题 13．（24-25九年级下·全国·随堂练习）如图，正方形内接于，其边长为4，求的内接正三角形的边长．    【答案】 【分析】本题考查圆与等边三角形的综合题，正方形性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 连接作于点M，先求出，继而推导出，，可求出，则有， 即可解答． 解：如图，连接作于点M，    根据正方形的性质可得．， ∴是的直径． 在中，． ∴． ∵， ∴． ∵是正三角形， ∴， ∴． ∴． ∴． 在中，，， ∴，． ∴，即正三角形的边长为． 14．（24-25九年级上·四川广安·期末）如图，正六边形内接于．若的面积为，求的面积．（结果保留π） 【答案】 【分析】本题考查了正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，直角三角形的特征，勾股定理等；连接，由正六边形的性质得及圆周角定理得，由勾股定理得，由等边三角形的判定及性质得是等边三角形，可求出圆的半径，即可求解；掌握正多边形的性质，圆的基本性质，圆周角定理，能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 解：如图，连接， ∵六边形是正六边形， ∴， ∴， 是的直径， ， ∴， 在中， ， ∴ ， ∴， ， 即的半径为2， ∴的面积为． 15．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，以为圆心，为半径的圆交于点，延长交于点． （1）求证：． （2）若的度数为，求的度数． 【答案】（1）证明过程见详解；（2） 【分析】（1）连接，可得，，根据平行四边形的性质，平行线的性质可得，根据同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等即可求证； （2）在同一个圆中，弧的度数等于它所对的圆心角的度数，由此可得，根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理可得的度数，再根据平行四边形的性质即可求解． 解：（1）证明：如图所示，连接， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：根据题意可得，，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 【点拨】本题主要考查平行四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理等知识的综合，掌握圆与几何图形的综合运用是解题的关键． 16．（24-25九年级上·全国·期末）如图，的半径为r，六边形是圆的内接正六边形，四边形是正方形． （1）求正六边形与正方形的面积比； （2）连接，求度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的判定与性质． （1）根据正多边形的性质证明是边长为r的等边三角形，可表示出正六边形的面积以及正方形的面积，求比值即可； （2）根据，可得出三角形是等腰三角形，结合，求出，即可得出答案． 解：（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是边长为r的等边三角形， ∴． 正方形的面积为，正六边形的面积为， ∴正六边形与正方形的面积比为； （2）解：∵， ∴是等腰三角形． ∵， ∴， ∴． 【中考真题12题】 一、单选题 1．（2023·山东临沂·中考真题）将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合，旋转角的大小不可能是（    ） A．60° B．90° C．180° D．360° 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，以及正多边形的中心角的度数，进行判断即可． 解：正六边形的中心角的度数为：， ∴正六边形绕其中心旋转或的整数倍时，仍与原图形重合， ∴旋转角的大小不可能是； 故选B． 【点拨】本题考查旋转图形，正多边形的中心角．熟练掌握旋转的性质，正多边形的中心角的度数的求法，是解题的关键． 2．（2024·四川·中考真题）如图，正六边形内接于，，则的长为（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题考查了正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，由正六边形的性质得到，得到为等边三角形，进而得到，判断出为等边三角形是解题的关键． 解： ∵是正六边形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， 故选：C． 3．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点为正六边形的中心，轴，点在双曲线为常数，上，将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上，则的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作轴于H，连接，可证明是等边三角形，则，，进而得到，设，则，则，，即可得到点在双曲线上，再由点E也在双曲线上，得到，据此求解即可． 解：如图所示，过点E作轴于H，连接， ∵原点为正六边形的中心， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵将正六边形向上平移个单位长度，点恰好落在双曲线上， ∴点在双曲线上， 又∵点E也在双曲线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选：A． 4．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形内接于，则它的内切圆半径为（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理； 连接，，作于G，证明是等边三角形，可得，然后利用勾股定理求出即可． 解：如图，连接，，作于G，    ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 即它的内切圆半径为， 故选：D． 5．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（2023·浙江杭州·中考真题）如图，六边形是的内接正六边形，设正六边形的面积为，的面积为，则 ．    【答案】2 【分析】连接，首先证明出是的内接正三角形，然后证明出，得到，，进而求解即可． 解：如图所示，连接，    ∵六边形是的内接正六边形， ∴， ∴是的内接正三角形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， 又∵， ∴， ∴， 由圆和正六边形的性质可得，， 由圆和正三角形的性质可得，， ∵， ∴． 故答案为：2． 【点拨】此题考查了圆内接正多边形的性质，正六边形和正三角形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 7．（2023·陕西·中考真题）如图，正八边形的边长为2，对角线、相交于点．则线段的长为 ．    【答案】 【分析】根据正八边形的性质得出四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，再根据矩形的性质以及直角三角形的边角关系求出，，即可． 解：如图，过点作于，由题意可知，四边形是矩形，、是等腰直角三角形，，    在中，，， ， 同理， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及直角三角形的边角关系是正确解答的前提． 8．（2023·湖南湘西·中考真题）如图，是等边三角形的外接圆，其半径为4．过点B作于点E，点P为线段上一动点（点P不与B，E重合），则的最小值为 ．    【答案】6 【分析】过点P作，连接并延长交于点F，连接，根据等边三角形的性质和圆内接三角形的性质得到，，然后利用含角直角三角形的性质得到，进而求出，然后利用代入求解即可． 解：如图所示，过点P作，连接并延长交于点F，连接    ∵是等边三角形， ∴ ∵是等边三角形的外接圆，其半径为4 ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴的最小值为的长度 ∵是等边三角形，， ∴ ∴的最小值为6． 故答案为：6． 【点拨】此题考查了圆内接三角形的性质，等边三角形的性质，含角直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 9．（2024·山东东营·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416，如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计的面积，可得的估计值为．若用圆内接正八边形近似估计的面积，可得的估计值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，三角形的面积公式，勾股定理等，正确求出正八边形的面积是解题的关键．过点A作，求得，根据勾股定理可得，即可求解． 解： 如图，是正八边形的一条边，点O是正八边形的中心，过点A作， 在正八边形中， ∴ ∵，，解得： ∴ ∴正八边形为 ∴ ∴ ∴的估计值为 故答案为：． 10．（2025·上海·中考真题）已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点，且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边，那么这个角的大小是 ． 【答案】或 【分析】本题考查正多边形与圆，如图，分两种情况，当角的顶点在圆上时，如，弦为时，此时恰好是正五边形的一个内角，进行求解即可，当角的顶点在圆外部时，即交的两边，截取的两条弦为时，进行求解即可． 解：如图，当角的顶点在圆上时，如交的两边，截取的两条弦为，此时恰好是正五边形的一个内角， ∴； 当角的顶点在圆外部，即交的两边，截取的两条弦为时， 则：， ∴， ∴； 综上：这个角的大小是或； 故答案为：或． 三、解答题 11．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正六边形的对称中心在反比例函数的图象上，边在轴上，点在轴上，已知． （1）判断点是否在该反比例函数的图象上，请说明理由； （2）求出直线：的解析式，并根据图象直接写出当时，不等式的解集． 【答案】（1）点E在该反比例函数的图象上，理由见分析；（2）， 【分析】（1）根据正六边形的性质得出，，则，，得出，， 连接，推出为等边三角形，得出，则反比例函数表达式为把，代入，求出，即可解答； （2）把，代入，求出a和b的值，即可得出直线的解析式，根据图象，找出直线位于双曲线上方时自变量的取值范围即可． 解：（1）解：∵六边形为正六边形，， ∴，， ∴，， ∴，， 连接， ∵六边形为正六边形， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 把代入得：， 解得：， ∴反比例函数表达式为． ∵为等边三角形， ∴点E和点A关于对称， ∴， 把代入得：， ∴点E在该反比例函数的图象上；    （2）解：把，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴由图可知，当时，． 【点拨】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象和性质，正六边形的性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正六边形的性质． 12．（2025·青海·中考真题）活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的？ 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的，这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙，一点儿也不浪费空间．这是数学中的密铺（或镶嵌）问题．平面图形的密铺（或镶嵌）是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片． 探究一：若只用一种正多边形，哪些正多边形可以密铺？ 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①________ ②________ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③________ ④________ ．．． ．．． ．．． ．．． （1）请补全上述表格①________；②________；③________；④________． 探究二：在能密铺的正多边形中，哪种形状最省材料？ 数学视角：蜜蜂的身体可近似看成圆柱，若圆柱底面半径为1，当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时，比较正三角形，正方形和正六边形周长的大小．          观察图1，发现是正三角形的内切圆，与切于点，，，，在中，，则的周长为． （2）如图2，正方形的周长为__________； （3）如图3，求出正六边形的周长（写出求解过程）． 探究三：在能密铺的正多边形中，哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大？ 数学视角：假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定，比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小． （4）若正多边形的周长都为12，则正三角形的面积为__________；正方形的面积为__________；正六边形的面积为__________． 【得出结论】 综上所述：在相同条件下，正六边形结构最省材料，能使蜜蜂的活动空间最大，是建造蜂房的最优方案． 【答案】（1）①，②，③，④不能；（2）8；（3）；（4），， 【分析】（1）根据正方形，正八边形内角性质解答； （2）根据正方形内切圆半径为1，得正方形边长为2，即得正方形周长； （3）根据正六边形内切圆半径为1，得正六边形边长为，即得正六边形周长； （4）在周长都是12的情况下，得正三角形的边长为4，边心距为，积为；正方形的边长为3，面积为9；正六边形的边长为2，边心距为，面积为． 解：（1）∵正方形每个内角为 ， ∴， ∴能密铺； ∵正八边形的每个内角为， ∴， ∴不能密铺； 故答案为：①；② ；③；④不能； （2）设切于点E，连接， 则交于点O，， ∵， ∴， ∴， ∴正方形的周长为8； 故答案为：8； （3）设切于点G，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴正六边形周长为； （4）三角形： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 正方形： ∵， ∴， 正六边： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点拨】此题主要考查了平面镶嵌．熟练掌握平面镶嵌的原理，正三角形，正方形，正六边形性质，含30度的直角三角形性质，勾股定理，等腰直角三角形性质，是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题 2.6 正多边形与圆 目录 一.知识梳理与题型分类精析 1 知识回顾1: 1 知识点(一)正多边形 1 【题型1】利用正多边形的定义求值 1 知识点(二)正多边形和圆的关系 2 【题型2】求正多边形的中心角 2 【题型3】利用正多边形的中心角求正多边形的边数 3 【题型4】求正多边形的周和和面积 4 【题型5】正多边形和圆的综合求值 4 【题型6】正多边形和圆的综合求值证明 5 二. 同步练习 6 【基础巩固(16题)】 6 【能力提升(16题)】 9 【中考真题12题】 13 一.知识梳理与题型分类精析 知识回顾1: 知识点(一)正多边形 定义:各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形. 数学语言: ,, 五边形为正五边形. 图1 【题型1】利用正多边形的定义求值 【例题 1】(24-25八年级上 山西吕梁 期中)如图,在正五边形中,连接,求证:. 【变式1】(24-25八年级上 辽宁大连 阶段练习)图中是两个全等的正五边形,则( ). A. B. C. D. 【变式2】(23-24九年级上 广东梅州 期末)如图,正五边形的两条对角线相交于点,试猜想四边形的形状,并证明你的猜想. 知识点(二)正多边形和圆的关系 一般地,用量角器把一个圆()等分,依次连接各等分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆。正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心,外接圆的半径叫做正多边形的半径。 如图2,五边形ABCDE是 o的内接正五边形, o是正五边形ABCDE外接圆,圆心是正五边形中心, o的半径是正五边形的半径。 图2 【题型2】求正多边形的中心角 【例题 2】(2025 安徽滁州 三模)如图,在的圆内接正五边形中,过点D作交于点F,则的度数为 . 【变式1】 (24-25九年级下 贵州黔东南 阶段练习)若一个圆内接正多边形的中心角是,则这个多边形是( ) A.正十边形 B.正九边形 C.正八边形 D.正七边形 【变式2】(24-25九年级上 福建福州 阶段练习)如图,正五边形内接于,连接,,则( ) A. B. C. D. 【题型3】利用正多边形的中心角求正多边形的边数 【例题 3】(2025 江苏徐州 模拟预测)如图,是正多边形的一部分,若,则该正多边形的边数为 . 【变式1】 (2025 陕西西安 模拟预测)已知一个正边形的中心角与其一个内角的度数之比为,则 . 【变式2】(24-25九年级上 河北唐山 期末)如图,正边形的两条对角线、的延长线交于点,若. (1)连接,则与的位置关系是 ; (2)的值是 . 【题型4】求正多边形的周和和面积 【例题 4】(23-24九年级上 江苏宿迁 阶段练习)正六边形的边长为8,求这个正六边形的周长和面积. 【变式1】 (24-25九年级上 河南新乡 期中)正六边形的周长为6,则它的面积为( ) A. B. C. D. 【变式2】(24-25九年级上 北京丰台 期末)如图,有一个亭子,它的地基是半径为的正六边形、则地基的周长为 m. 【题型5】正多边形和圆的综合求值 【例题 5】(24-25九年级下 全国 随堂练习)如图,已知正六边形的半径为2,点O为其中心,求正六边形的边心距、边长、周长和面积. 【变式1】 (23-24九年级上 天津和平 期末)如图,若⊙O是正方形与正六边形的外接圆,则正方形与正六边形的周长之比为( ) A. B. C. D. 【变式2】(2025 江苏南京 一模)如图,是半径为2的正八边形的一条对角线,则 【题型6】正多边形和圆的综合求值证明 【例题 6】(24-25九年级上 浙江宁波 开学考试)如图正方形内接于,为任意一点,连接、. (1)求的度数. (2)如图2,过点作交于点,连接,,,,求的长度. 【变式1】 (2025 河南南阳 一模)如图,在平面直角坐标系中,边长为的正六边形的中心与原点重合, 轴,交 轴于点. 将绕点顺时针旋转,每次旋转,则第次旋转结束时,点的坐标为( ) A. B. C. D. 【变式2】(2024九年级 河北 学业考试)如图, O是正六边形的中心,,点M, N分别为,的内心, 则长为 . 二. 同步练习 【基础巩固(16题)】 一、单选题 1.(2025 上海宝山 二模)如果一个正多边形的内角和为,那么这个正多边形的中心角度数是( ) A.10 B.12 C.18 D.30 2.(24-25九年级上 湖北襄阳 阶段练习)若一个正多边形的中心角为,则这个正多边形的边数为( ) A.七 B.八 C.九 D.十 3.(24-25九年级下 陕西安康 阶段练习)如图,正六边形F内接于,连接,,则的度数为( ) A. B. C. D. 4.(24-25九年级上 天津 期末)如图,正五边形内接于,P为上一点,连接,,则的度数为( ) A. B. C. D. 5.(23-24九年级上 天津和平 期末)如图,若⊙O是正方形与正六边形的外接圆,则正方形与正六边形的周长之比为( ) A. B. C. D. 6.(24-25九年级下 全国 随堂练习)如图,已知正六边形边长为2,在正六边形的边上距离最远的点到的距离为( ) A.3 B.4 C. D. 二、填空题 7.(24-25九年级上 湖北武汉 阶段练习)正八边形的内角是 度,外角是 度,中心角是 度. 8.(24-25九年级上 广东广州 阶段练习)如果正多边形的中心角是,那么这个正多边形的边数是 . 9.(2025 宁夏银川 模拟预测)如图,正五边形的边长为,分别以点为圆心,长为半径画弧,两弧交于点,连接,则的度数为 . 10.(24-25九年级下 全国 假期作业)如图,在正多边形中,若,则该多边形的边数为 . 11.(2024 上海 模拟预测)如图,正方形内切圆半径为2,点G为边上一点,作正方形,则 12.(24-25九年级上 江苏南京 期末)如图,点是边长为6的正六边形和边长为的正方形的中心,将正方形绕点旋转一周.若在旋转过程中,正方形始终在正六边形的内部(即正方形边上的所有点都在正六边形内),则的取值范围是 . 三、解答题 13.(2020 江苏盐城 中考真题)如图,点是正方形,的中心. (1)用直尺和圆规在正方形内部作一点(异于点),使得(保留作图痕迹,不写作法) (2)连接求证:. 14.(23-24九年级上 广东东莞 期末)如图,正六边形内接于,边长为2. (1)求的直径的长; (2)求的度数. 15.(23-24九年级上 浙江绍兴 阶段练习)如图,正六边形内接于,半径为. (1)求的长度; (2)若G为的中点,连接,求的长度. 16.(17-18九年级下 全国 课后作业)如图,正方形的外接圆为,点P在劣弧上(不与点C重合). (1)求的度数; (2)若的半径为8,求正方形的边长. 【能力提升(16题)】 一、单选题 1.(2025 安徽合肥 一模)正六边形内接于,以为边,正方形在内,则的度数为( ) A. B. C. D. 2.(2025 河南濮阳 二模)如图,是内接正边形的一条边,点在上,,则( ) A. B. C. D. 3.(24-25八年级下 黑龙江绥化 期末)正三角形的边心距、半径和高之比为( ) A. B. C. D. 4.(24-25九年级上 广西南宁 阶段练习)大自然中有许多小动物都是“小数学家”,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料,多名学者通过观测研究发现:蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.一个巢房的横截面为正六边形,如图所示,若正六边形半径为,则这个正六边形的面积是( ) A. B. C. D. 5.(2025 河南洛阳 三模)如图,在正六边形中,直线从点出发向右平移,且,设直线在正六边形内部截得的线段的长为,平移的距离为与之间的函数关系的图形如图2所示,则正六边形的面积为( ) A.2 B. C. D. 6.(24-25九年级上 浙江 期中)如图,点A,B,C,D,E,F是圆O上的六等分点,已知圆O的半径是2,则图中阴影部分的面积是( ) A. B. C. D. 二、填空题 7.(2025 江苏扬州 二模)如图,平面直角坐标系中,原点为正六边形的中心,轴,点在双曲线(为常数,)上,将正六边形向上平移1个单位长度,点恰好落在双曲线上,则的值为 . 8.(20-21九年级上 安徽安庆 期末)如图,在的内接四边形中,,点E在弧上,连接、、、. (1)的度数为 . (2)当时,恰好为的内接正n边形的一边,则n的值为 . 9.(2025 安徽 模拟预测)如图,在内接正六边形中,连接,交于点.设正六边形的面积为,的面积为,则 . 10.(2025 河北邢台 三模)如图,在正六边形中除点为原点,点外,其他各点均在轴上方,将正三角形在正六边形外连续作如下运动:起始位置,与重合;第一次运动:绕点逆时针旋转,使与重合;第二次运动:绕点逆时针旋转,使与重合;……如此运动,共完成六次运动,在这个运动的过程中,点P,O之间距离的最大值为 . 11.(2024九年级 河北 学业考试)如图, O是正六边形的中心,,点M, N分别为,的内心, 则长为 . 12.(2025 河北石家庄 二模)如图,边长为6的正六边形,连接,点为线段上的点(不与C,E重合),过点作于点,以为圆心,长为半径画圆,当和正六边形的两条边所在直线相切时,的长为 . 三、解答题 13.(24-25九年级下 全国 随堂练习)如图,正方形内接于,其边长为4,求的内接正三角形的边长. 14.(24-25九年级上 四川广安 期末)如图,正六边形内接于.若的面积为,求的面积.(结果保留 ) 15.(24-25九年级上 全国 单元测试)如图,以为圆心,为半径的圆交于点,延长交于点. (1)求证:.(2)若的度数为,求的度数. 16.(24-25九年级上 全国 期末)如图,的半径为r,六边形是圆的内接正六边形,四边形是正方形. (1)求正六边形与正方形的面积比; (2)连接,求度数. 【中考真题12题】 一、单选题 1.(2023 山东临沂 中考真题)将一个正六边形绕其中心旋转后仍与原图形重合,旋转角的大小不可能是( ) A.60 B.90 C.180 D.360 2.(2024 四川 中考真题)如图,正六边形内接于,,则的长为( ) A.2 B. C.1 D. 3.(2024 内蒙古通辽 中考真题)如图,平面直角坐标系中,原点为正六边形的中心,轴,点在双曲线为常数,上,将正六边形向上平移个单位长度,点恰好落在双曲线上,则的值为( ) A. B. C. D.3 4.(2024 山东济宁 中考真题)如图,边长为2的正六边形内接于,则它的内切圆半径为( ) A.1 B.2 C. D. 5.(2024 内蒙古 中考真题)如图,正四边形和正五边形内接于,和相交于点,则的度数为( ) A. B. C. D. 二、填空题 6.(2023 浙江杭州 中考真题)如图,六边形是的内接正六边形,设正六边形的面积为,的面积为,则 . 7.(2023 陕西 中考真题)如图,正八边形的边长为2,对角线、相交于点.则线段的长为 . 8.(2023 湖南湘西 中考真题)如图,是等边三角形的外接圆,其半径为4.过点B作于点E,点P为线段上一动点(点P不与B,E重合),则的最小值为 . 9.(2024 山东东营 中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到著名的“割圆术”,即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算,指出“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣”.“割圆术”孕育了微积分思想,他用这种思想得到了圆周率的近似值为3.1416,如图,的半径为1,运用“割圆术”,以圆内接正六边形面积近似估计的面积,可得的估计值为.若用圆内接正八边形近似估计的面积,可得的估计值为 . 10.(2025 上海 中考真题)已知一个圆与一个角的两边各有两个公共点,且在两边上截得的两条弦正好是该圆内接正五边形的两条边,那么这个角的大小是 . 三、解答题 11.(2023 内蒙古呼和浩特 中考真题)如图,在平面直角坐标系中,正六边形的对称中心在反比例函数的图象上,边在轴上,点在轴上,已知. (1)判断点是否在该反比例函数的图象上,请说明理由; (2)求出直线:的解析式,并根据图象直接写出当时,不等式的解集. 12.(2025 青海 中考真题)活动与探究 解码蜜蜂的“家”——为什么蜂房是正六边形的? 蜜蜂的“集体宿舍”是由多个正六边形密铺在一起的,这些密铺的正六边形使得蜂房之间没有空隙,一点儿也不浪费空间.这是数学中的密铺(或镶嵌)问题.平面图形的密铺(或镶嵌)是指用形状、大小完全相同的一种或多种平面图形进行拼接,使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片. 探究一:若只用一种正多边形,哪些正多边形可以密铺? 平面图形 每个内角度数 能否整除 能否密铺 正三角形 能 正方形 ①_ ②_ 能 正五边形 不能 正六边形 能 正七边形 不能 正八边形 ③_ ④_ ... ... ... ... (1)请补全上述表格①_;②_;③_;④_. 探究二:在能密铺的正多边形中,哪种形状最省材料? 数学视角:蜜蜂的身体可近似看成圆柱,若圆柱底面半径为1,当蜂房恰好容纳一只蜜蜂即正多边形的内切圆半径均为1时,比较正三角形,正方形和正六边形周长的大小. 观察图1,发现是正三角形的内切圆,与切于点,,,,在中,,则的周长为. (2)如图2,正方形的周长为_; (3)如图3,求出正六边形的周长(写出求解过程). 探究三:在能密铺的正多边形中,哪种形状可以使蜜蜂的活动空间最大? 数学视角:假设蜜蜂建造蜂房的材料总量即周长一定,比较正三角形、正方形和正六边形面积的大小. (4)若正多边形的周长都为12,则正三角形的面积为_;正方形的面积为_;正六边形的面积为_. 【得出结论】 综上所述:在相同条件下,正六边形结构最省材料,能使蜜蜂的活动空间最大,是建造蜂房的最优方案. 2 / 30 学科网(北京)股份有限公司 学科网(北京)股份有限公司 $$