2.3 一元二次方程根的判别式 同步训练 2025--2026学年湘教版九年级数学上册

2.3一元二次方程根的判别式 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．只有一个实数根 2．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C．4 D．16 3．关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A． B． C．且 D．且 5．若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 6．对于实数，定义新运算：，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围（    ） A． B． C．且 D．且 7．已知关于x的方程，则①无论k取何值，方程一定无实数根；②时，方程只有一个实数根；③且时，方程有两个实数根；④无论k取何值，方程一定有两个实数根．上述说法正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．已知一元二次方程（a≠0）的两根分别为-3，1，则方程（a≠0）的两根分别为（   ） A．1,5 B．-1,3 C．-3,1 D．-1,5 二、填空题 9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 10．如果关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么“”内的数可以为 写出一个数即可． 11．已知关于x的方程有实数根，则整数a的最大值是 ． 12．一次函数与反比例函数有且仅有一个交点，则的值为 ． 13．对于实数定义新运算：※．例如：3※，若关于的方程※有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 14．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为 ． 15．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为 ． 16．命题“若，则关于x的一元二次方程必有实数根”是 命题（填“真”或“假”）． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 18．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)设此方程的两个根分别为，，且．若，求m的值． 19．如图，利用一面墙（墙的长度不限），用长的篱笆围成一个矩形场地． (1)若矩形场地的面积为，求的长； (2)该矩形场地的面积能否为？若能，求出的长；若不能，请说明理由． 20．阅读材料：如果，是一元二次方程的两个实数根，且，，若其中一个根是另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”；例如：1，2是方程的两根，2是1的2倍，则这是一个“倍根方程”． (1)解方程：，并判断该方程是否属于“倍根方程”． (2)已知关于的一元二次方程． ①求证：该方程必有两个不相等的实数根； ②若该方程是“倍根方程”，求的值． 《2.3一元二次方程根的判别式同步训练2025--2026学年湘教版九年级上册》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C C A B B 1．B 【分析】算一元二次方程根的判别式进而即可求解． 【详解】解：， ∴一元二次方程的根的情况是没有实数根， 故选：B． 【点睛】题考查了一元二次方程(，a，b，c为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 2．C 【分析】根据方程的根的判别式即可．本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 【详解】∵方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴， 解得． 故选C． 3．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．根据一元二次方程的根的判别式的意义得到且，即，然后解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程有实数根， 且， 即， 解得：， 的取值范围是且． 故选：D． 4．C 【分析】由一元二次方程定义得出二次项系数k≠0；由方程有两个不相等的实数根，得出“△>0”，解这两个不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：由题可得：, 解得：且； 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，涉及到了解不等式等内容，解决本题的关键是能读懂题意并牢记一元二次方程的概念和根的判别式的内容，能正确求出不等式（组）的解集等，本题对学生的计算能力有一定的要求． 5．C 【分析】本题考查根的判别式，分和，两种情况，利用根的判别式进行求解即可． 【详解】解：当时，方程为，解得：，满足题意； 当时，为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且； 综上：； 故选C． 6．A 【分析】根据新定义运算法则列方程，然后根据一元二次方程的概念和一元二次方程的根的判别式列不等式组求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题属于新定义题目，考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0方程没有实数根． 7．B 【分析】利用根的判别式，可得出，进而根据各选项的情况得出结论． 【详解】解：关于x的方程， ， 当时，关于x的方程为，则， 方程只有一个实数根，故②说法正确； 当，解得，则且时，方程有两个实数根，故③说法正确，①④说法错误； 综上，上述说法正确的是②③，共2个， 故选：B． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，牢记“当时，方程有两个实数根”是解题的关键． 8．B 【分析】利用换元法令，可得到的值，即可算出的值，即方程（a≠0）的两根. 【详解】记，则即的两根为3，1 故1，3. 故选B. 【点睛】本题主要考查换元法和解一元二次方程. 9．且 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式，根据根的判别式即可解答． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 且， ∴且． 故答案为：且 10．（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．利用一元二次方程根的判别式即可解决问题． 【详解】解：令“”内的数为， 则原方程为， 因为此方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 所以的值可以是：． 故答案为：．（答案不唯一） 11． 【分析】本题考查根的判别式，分和两种情况，结合根的判别式求出的取值范围，即可． 【详解】解：当，即时，方程转化为，解得：，符合题意； 当，即：时，方程为一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴，解得：， 综上：， ∴整数a的最大值是； 故答案为：． 12．12 【分析】该题主要考查了一次函数与反比例函数的性质，一元二次方程根判别式等知识点，解题的关键是理解题意． 联立一次函数与反比例函数解析式，根据题意得出，即可求解； 【详解】解：将代入得， 整理得， ∵反比例函数与一次函数的图象有且只有一个交点， ， 或0（舍去）， 故答案是：12． 13． 【分析】本题考查了新定义的运算，要根的判别式，理解新定义的运算是解答关键． 根据新定义的运算表示出一元二次方程，再利用判别式来求解． 【详解】解：※， ， 即． 关于的方程※有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 14．10 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式得出，即，然后代入计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 故答案为：10． 15．1或 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据方程的特点得当时，方程有两个相等的实数根，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，或， 故答案为：1或． 16．真 【分析】本题考查了真假命题，一元二次方程根的判别式，利用完全平方公式变形求值，以及平方的非负性，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程必有实数根， ∴该命题是真命题， 故答案为：真． 17．(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 18．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，求出出，即可证明结论成立； （2）首先求出，，然后根据得到，然后求解即可． 本题考查了根的判别式，以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程，求出方程的两个根． 【详解】（1）证明：依题意，得， 此方程有两个不相等的实数根； （2）解：， ， 解得， ∵， ，， ， ， ． 19．(1)的长为或 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意建立方程是解题的关键． （1）设，则，由矩形面积公式建立一元二次方程求解即可； （2）设，则，假设矩形场地的面积为，由矩形面积公式建立一元二次方程，根据根的判别式进行判断即可． 【详解】（1）解：设，则， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：的长为或； （2）解：矩形场地的面积不能为，理由如下： 假设矩形场地的面积为，设，则， 由题意得：， 整理得：， ， ∴该方程无实数根， ∴假设不成立， ∴矩形场地的面积不能为． 20．(1)是，理由见解析 (2)①证明见解析 ②或 【分析】本题主要考查了因式分解法一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式， 对于（1），求出方程的两个根，再根据“倍根方程”的定义解答即可； 对于（2），①求出，再根据结果证明； ②根据“倍根方程”的定义设两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系得出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：是，理由如下： ， 解得， ∵， ∴这个方程是倍根方程； （2）①证明：一元二次方程中， ∴． ∵， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根； ②∵一元二次方程是“倍根方程”，设一个根是a，则另一根是， ∴， 解得或． 学科网（北京）股份有限公司 $$