精品解析：山东省聊城市阳谷县、东阿县三校联考2024—2025学年下学期七年级期末数学试卷

山东省聊城市阳谷县、东阿县三校联考七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 4. 已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（　　） A. （5，3） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，﹣1） D. （0，﹣1） 5. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，矩形纸片沿过点的直线折叠，恰使得点落在边的中点处，且，则矩形的边的长度为( ) A. B. C. D. 7. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2）※结果为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 9. 小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A. a＝15 B. 小明的速度是150米/分钟 C. 爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D. 爸爸出发7分钟追上小明 10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的平方根是_______． 12. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 13. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若，则的周长是________． 14. 已知一个三角形和一个矩形面积相等，矩形的宽为，长是宽的2倍．若三角形的一条底边长为，则三角形这条底边上的高为______． 15. 如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为______． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）解不等式组：，并写出非负整数解． 18. 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值． 小华是这样解答的：，请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空： ______ ； ______ ； （2）化简：． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A顺时针旋转后的； （3）求的面积． 20. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 21. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为______； （2）当和时，分别求出与x的函数解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 23. 如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，与直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求的面积； （3）在x轴上方的直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 24. 知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由； 拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由； 迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省聊城市阳谷县、东阿县三校联考七年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 我国民间建筑装饰图案中，蕴含着丰富的数学之美．下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．该图形是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； B．该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故此选项错误； C．该图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误； D．该图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了对称图形的定义和中心对称图形的定义，在平面内，一个图形绕某点旋转180°后能与原来的图形重合，这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能重合，这样的图形叫做轴对称图形．理解这两个概念是关键． 2. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（ ） A. 测量两条对角线是否相等 B. 度量两个角是否是90° C. 测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等 D. 测量两组对边是否分别相等 【答案】C 【解析】 【分析】由对角线的相等不能判定平行四边形，可判断A，两个角为不能判定矩形，可判断B，对角线的交点到四个顶点的距离相等，可判断矩形，从而可判断C，由两组对边分别相等判断的是平行四边形，可判断D，从而可得答案． 【详解】解：A、测量两条对角线是否相等，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项A不符合题意； B、度量两个角是否是90°，不能判定为平行四边形，更不能判定为矩形，故选项B不符合题意； C、测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等，可以判定为矩形，故选项C符合题意； D、测量两组对边是否相等，可以判定为平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本题的关键． 3. 若代数式有意义，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得到不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得且， 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4. 已知点A的坐标为（1，3），点B的坐标为（2，1）．将线段AB沿某一方向平移后，点A的对应点的坐标为（﹣2，1）．则点B的对应点的坐标为（　　） A. （5，3） B. （﹣1，﹣2） C. （﹣1，﹣1） D. （0，﹣1） 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、点A的对应点的坐标确定出平移规律，然后根据规律求解点B的对应点的坐标即可． 【详解】∵A（1，3）的对应点的坐标为（﹣2，1）， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标减2， ∵点B（2，1）的对应点的坐标为（﹣1，﹣1）， 故选C． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，本题根据对应点的坐标确定出平移规律是解题的关键． 5. 关于x的不等式组的整数解仅有4个，则m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】不等式组整理后，表示出不等式组的解集，根据整数解共有4个，确定出m的范围即可． 【详解】解：， 由②得：， 解集为， 由不等式组的整数解只有4个，得到整数解为2，1，0，， ∴， ∴； 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解等知识点的理解和掌握，能根据不等式组的解集得到是解此题的关键． 6. 如图，矩形纸片沿过点的直线折叠，恰使得点落在边的中点处，且，则矩形的边的长度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得出，，，根据中点的定义得出，，利用证明，根据全等三角形的性质及折叠的性质，可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形， ，，， 点为的中点，， ，， 在和中， ， ， ， 由折叠的性质得，， ， ， 故选：C． 【点睛】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、矩形的性质是解题的关键． 7. 用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n＝m2n－mn－3n，如：1※2＝12×2－1×2－3×2＝－6．则（－2）※结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据新定义列出式子，进而进行实数的混合运算即可． 【详解】解：∵m※n＝m2n－mn－3n， ∴（－2）※ 故选A 【点睛】本题考查了新定义下的实数运算，二次根式的加减运算，理解新定义并列出式子是解题的关键． 8. 如图，已知正比例函数与一次函数的图象交于点P.下面有四个结论:①k>0；②b>0；③当x>0时，>0；④当x<-2时，kx>-x+b.其中正确的是( ) A. ①③ B. ②③ C. ③④ D. ①④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据正比例函数和一次函数的性质判断即可． 【详解】解：∵直线y1=kx经过第一、三象限， ∴k＞0，故①正确； ∵y2=-x+b与y轴交点在负半轴， ∴b＜0，故②错误； ∵正比例函数y1=kx经过原点，且y随x的增大而增大， ∴当x＞0时，y1＞0；故③正确； 当x＜-2时，正比例函数y1=kx在一次函数y2=-x+b图象的下方，即kx＜-x+b，故④错误． 故选A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，关键是根据正比例函数和一次函数的性质判断． 9. 小明和爸爸从家里出发，沿同一路线到学校．小明匀速跑步先出发，2分钟后，爸爸骑自行车出发，匀速骑行一段时间后，在途中商店购买水果花费了5分钟，这时发现小明已经跑到前面，爸爸骑车速度增加60米/分钟，结果与小明同时到达学校．小明和爸爸两人离开家的路程s（米）与爸爸出发时间t（分钟）之间的函数图象如图所示．则下列说法错误的是（　　） A. a＝15 B. 小明的速度是150米/分钟 C. 爸爸从家到商店的速度为200米/分钟 D. 爸爸出发7分钟追上小明 【答案】D 【解析】 【分析】利用到商店时间+停留时间可确定A，利用爸爸所用时间+2分与路程3300米可求小明速度可确定B，利用设爸爸开始时车速为x米/分，列方程10x+5(x+60)=3300，解出可确定C，利用小明和爸爸行走路程一样，设t分爸爸追上小明，列方程150（t+2）=200t，求解可知D． 【详解】解：A．a＝10+5=15，故A正确，不合题意； B．小明的速度为3300÷22=150米/分，故B正确，不合题意； C．设爸爸开始时车速为x米/分，10x+5(x+60)=3300，解得x=200米/分，故爸爸从家到商店的速度为200米/分钟正确，不合题意； D．设t分爸爸追上小明，150（t+2）=200t，t=6，故爸爸出发7分钟追上小明不正确， 故选择：D． 【点睛】本题考查行程问题的函数图像，会看图像，能从中获取信息，掌握速度，时间与路程三者关系，把握基准时间是解题关键． 10. 如图，已知正方形的边长为2，P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：①；②四边形的周长为4；③一定是等腰三角形；④；⑤EF的最小值为．其中正确结论的序号为（　　） A. ①②③④ B. ①②④⑤ C. ②④⑤ D. ①②④ 【答案】B 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中，，求得；②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为4； ③根据P的任意性可以判断不一定是等腰三角形；④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明；⑤当最小时，最小，的最小值等于． 【详解】解：①如图，∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴．故①正确； ②∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②正确； ③∵点P是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形， 除此之外，不是等腰三角形，故③错误； ④连接， ∵四边形为矩形， ∴， ∵正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故④正确； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时，即时，的最小值等于，故⑤正确； 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理的运用，在解答时要认真审题． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 的平方根是_______． 【答案】±2 【解析】 【详解】解：∵ ∴的平方根是±2． 故答案为±2． 12. 如图，函数与的图象相交于点，则关于x的不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，求出A点坐标是解题的关键． 首先利用函数过点，求出A点坐标，再以交点为分界，结合图象写出不等式的解集即可． 【详解】解：函数过点， ， 解得：， ， 不等式的解集为 故答案为：． 13. 如图，在四边形中，，，，P、M、N分别是的中点，若，则的周长是________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理，证明是等边三角形计算即可． 本题考查了三角形中位线定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】∵P、M、N分别是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的周长为， 故答案为：9． 14. 已知一个三角形和一个矩形面积相等，矩形的宽为，长是宽的2倍．若三角形的一条底边长为，则三角形这条底边上的高为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．熟练掌握并能根据题意列出关系式是解题的关键． 依据题意，由矩形的宽为，长是宽的2倍，则长是，可得三角形的面积=矩形的面积，结合三角形的一条底边长为，从而可得三角形这条底边上的高，即可得解． 【详解】解：由题意，矩形的宽为，长是宽的2倍， 长是 三角形的面积=矩形的面积 又三角形的一条底边长为， 三角形这条底边上的高 故答案为： 15. 如图，直线与x轴与y轴分别相交于点A和点B，点C，D分别为线段，的中点，点P为上一动点，当最小时，点P的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小，根据一次函数解析式求出，点坐标，再由中点坐标公式求出，坐标，根据对称的性质求出坐标，从而求出直线的解析式，即可求出点P的坐标． 【详解】解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时最小． 令中，则， 点的坐标为， 令中，则， 故， 点的坐标为， 点C，D分别为线段，的中点， ， 关于轴的对称点， ， 设直线的解析式为， 将坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令中， 则， 解得， 当最小时，点P的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，找出点位置是解题的关键． 16. 如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，给出如下四个结论：①；②正方形绕点O旋转时，四边形面积随的长度变化而变化；③周长的最小值为；④其中所有正确结论的代号是______． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①由四边形和是正方形可知，易证得≌，则可得为等腰直角三角形；②由①易证得，则可得出结论；③，而的最小值为，故可得结论③正确；④由和，即可得结论． 【详解】解：①四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ；故①正确； ②由①得≌ ， 故②错误； ③由①可知， 周长， 为定值，则最小时的周长最小， 当时最小，的周长最小， 此时， 的周长最小值= 故③正确， ④在中，，，， ， 又 ，故④错误． 故答案为①③． 【点睛】此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1）； （2）； （3）解不等式组：，并写出非负整数解． 【答案】（1） （2） （3），非负整数解：0，1， 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和解一元一次不等式组，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算即可； （3）根据解一元一次不等式组的方法求出解集，再写出非负整数解即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解：由，得， 由，得， 不等式组的解集：， 非负整数解：0，1， 18. 在数学学习活动中，小华和他的同学遇到一道题：已知，求的值． 小华是这样解答的：，请你根据小华的解题过程，解决下列问题． （1）填空： ______ ； ______ ； （2）化简：． 【答案】（1）， （2）16 【解析】 【分析】（1）先分子和分母都乘，再求出即可；分子和分母都乘，再求出答案即可； （2）先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：原式 ． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和分母有理化等知识点，能正确分母有理化是解此题的关键． 19. 如图，三个顶点的坐标分别为，， （1）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （2）请画出绕点A顺时针旋转后的； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析，点的坐标为 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图-旋转变换，熟练掌握旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． 【小问1详解】 如图，即为所求． 由图可得，点的坐标为； 【小问2详解】 如图，即为所求． 【小问3详解】 的面积为 20. 如图，在中，交于点，点在上，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若求证：四边形是菱形． 【答案】（1） 证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． （2） ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴四边形ABCD为菱形， ∴， 即， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）先根据四边形ABCD为平行四边形，得出，，再根据，得出，即可证明结论； （2）先证明，得出，证明四边形ABCD为菱形，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键． 21. 近日，小米汽车惊艳上市，智能化和新能源越来越受到人们的追捧．为了解某新能源汽车的充电速度，我校数学兴趣小组经调查研究发现：如图，用快速充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是折线；用普通充电器时，汽车电池电量单位：与充电时间单位：的函数图象是线段．根据以上信息，回答下列问题： （1）普通充电器对该汽车每小时的充电量为______； （2）当和时，分别求出与x的函数解析式； （3）若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3）将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用小时 【解析】 【分析】本题考查一次函数综合应用，解题的关键是能从函数图象中获取有用的信息． 由，知普通充电器对该汽车每小时的充电量为； 根据图象，分别求出当和时，与x的函数解析式即可； 求出汽车电池电量从充至，快速充电器需要小时，普通充电器需要小时，即可列式得到答案． 【小问1详解】 解：， 普通充电器对该汽车每小时的充电量为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，； 当时，； 【小问3详解】 解：在中，令得， 汽车电池电量从充至，快速充电器需要小时， （小时）， 汽车电池电量从充至，普通充电器需要小时， （小时）， 将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用小时． 22. 长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． （1）求风筝的垂直高度； （2）如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】（1）米 （2）8米 【解析】 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【小问1详解】 解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； 【小问2详解】 解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 23. 如图，直线的函数解析式为，且与x轴交于点D，直线经过点A、B，与直线交于点C． （1）求直线的函数解析式； （2）求的面积； （3）在x轴上方的直线上是否存在点P，使得面积是面积的3倍？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在．点 【解析】 【分析】（1）根据点、的坐标利用待定系数法即可求出直线的函数解析式； （2）令求出值，即可得出点的坐标，联立两直线解析式组成方程组，解方程组即可得出点的坐标，再根据三角形的面积公式即可得出结论； （3）假设存在，根据两三角形面积间的关系得到，将点的纵坐标代入直线的函数解析式中即可求出点的坐标． 本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及待定系数法求一次函数解析式，根据给定点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设直线的函数解析式为， 将、代入， ，解得：， 直线的函数解析式为． 【小问2详解】 解：联立两直线解析式组成方程组， ，解得：， 点的坐标为． 当时，， 点的坐标为． ． 【小问3详解】 解：存在． 由于点在轴上方时，， 则， ， 由时，， 点的坐标为． 故在x轴上方的直线上存在点，使得面积是面积的3倍． 24. 知识探究：如图1，点E是正方形对角线AC上任意一点，以点E为直角顶点的直角两边，分别角与，相交于M点，N点．当时，请探究与的数量关系，并说明理由； 拓展探究：当绕点E顺时针旋转到点M与点D重合时，如图2，请探究与的数量关系，并说明理由； 迁移运用：在图2的基础上，过点E作于点H，如图3，证明H是线段的中点． 【答案】知识探究：，理由见解析；拓展探究：EM=EN，理由见解析；迁移运用：见解析 【解析】 【分析】知识探究：根据正方形的性质可得，平分，再根据垂直定义可得，从而可得四边形是矩形，然后利用矩形的性质可得，从而利用角平分线的性质即可解答． 拓展探究：过点E作，垂足为P，过点E作，垂足为Q，根据垂直定义可得，再根据正方形的性质可得，平分，从而可得四边形是矩形，进而可得，然后利用等式的性质可得，再利用角平分线的性质可得，从而证明，最后利用全等三角形的性质即可解答； 迁移运用：连接，根据正方形的性质可得，平分，从而可得，然后证明，从而可得，进而可得，最后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答． 【详解】解：知识探究：， 理由：∵四边形是正方形， ∴，平分， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴； 拓展探究：， 理由：过点E作，垂足为P，过点E作，垂足为Q， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； 迁移运用：连接， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴H是线段的中点． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $