第一章 直线与圆（复习课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

单元复习课件 第一章直线与圆 北师大版2019·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.掌握直线与圆的基本性质和定义 3.熟练求解直线与圆的方程，能够运用直线与圆的知识解决实际问题 2.理解直线与圆的位置关系及其判定方法 单元学习目标 单元知识图谱 单元知识图谱 一、直线的倾斜角和斜率 ①定义：当直线l与x轴相交时，以x轴作为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角。 ②范围：0°≤α<180° 当直线l与x轴平行或重合时，规定其倾斜角α=0° ③方向相同的直线，倾斜角相同 考点串讲 把一条直线的倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，常用k表示. α的范围 k的范围 k=0 k>0 k不存在 k<0 与x轴垂直 与x轴平行或重合 直线的倾斜角越大，斜率越大( ) α为锐角时，α越大，斜率越大，k由0变化到+∞； α为钝角时，α越大，斜率越大，k由-∞变化到0； 所有的直线都有倾斜角；但不是所有直线都有斜率。 一、直线的倾斜角和斜率 考点串讲 类型 斜率存在 斜率不存在 条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1=k2 l1∥l2⇔两条直线斜率都不存在 图示 对应关系 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇒l1⊥l2 图示 　 　 一、直线的倾斜角和斜率 考点串讲 一、直线的倾斜角和斜率 考点串讲 二、直线的方程 考点串讲 三、直线的位置关系 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0 (m≠C)， 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋m＝0． 考点串讲 解方程组得唯一的x, y的值；则交点坐标为(x,y). (1)求交点坐标：联立两直线方程 方程组的解 唯一解 无数个解 无解 直线l1和l2交点个数 1个 无数个 0个 直线l1和l2的位置关系 相交 重合 平行 (2)交点个数与直线位置关系： 四、两直线的交点 考点串讲 五、点与直线的对称问题 (1)点关于点的对称：中点公式 (2)点关于直线的对称：AA'⊥l，AA'的中点在l上 (3)线关于点的对称：斜率相等，求(1)型对称点 (4)线关于线的对称：求交点P，求(2)型对称点 光线的反射问题是直线部分常考的题型之一，此类问题可借助光学性质：入射角等于反射角，或使用对称思想(一般找对称点)解决． [注]点(a,b)关于直线y=x的对称点为(b,a) 考点串讲 六、距离公式 考点串讲 七、圆的方程 x2与y2系数相同且不为0. 考点串讲 八、圆的弦长 1.弦：连接圆上任意两点的线段。 ①直径是圆的最长弦；②圆心在弦的中垂线上. 2.弦心距：圆心到弦所在直线的距离； 3.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分弦所对的两条弧。 4.求弦长： ①两点距离：联立直线与圆的方程求两交点A,B的坐标 ②勾股/垂径定理： 弦心距 考点串讲 九、圆的弦长 5.求两圆公共弦所在直线方程： 法2：两圆方程作差 [注]①当两圆方程中二次项系数相同时,才能作差求解,否则应先化同系数. ②两圆相切时，(*)表示过切点且垂直于连心线的切线方程； ③两圆外离或内含时，(*)表示垂直于连心线的直线方程； 法1：联立两圆方程求交点，由两点求直线方程 法1：联立两圆方程求交点，求两点距离 法2：求公共弦所在直线方程+垂径定理 6.求两圆公共弦长： 考点串讲 十、圆的切线 圆的切线的性质 ①圆心到切线的距离等于半径(d=r)； ②圆心与切点的连线垂直于切线(斜率积为-1)； ③过圆外一点且与圆相切的直线有2条，切线长相等. 位置关系 图形 公切线条数 外离 外切 相交 内切 内含 和两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线。 外公切线：两圆在公切线的同旁。 内公切线：两圆在公切线的两侧。 4 3 2 1 0 考点串讲 十一、点与圆的位置关系 几何法 代数法 考点串讲 十一、直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 图示 直线与圆的交点个数 2个 1个 0个 几何法：圆心到直线的距离 代数法：联立直线与圆的方程，消元得px2+qx+t=0的解的个数(△的正负) 考点串讲 十一、圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 图示 两圆交点个数 0个 1个 2个 1个 0个 几何法：圆心距d与R±r的关系 代数法：联立两圆方程，消元所得方程解的个数(△的正负) 当Δ=0或Δ<0时，不能确定两圆的位置关系 考点串讲 十二、直线系、圆系方程 当λ(λ∈R)变化时，方程A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0表示过直线 l1：A1x+B1y+C1=0和l2：A2x+B2y+C2=0交点的直线束方程，但不包括直线l2. 考点串讲 题型一、直线的倾斜角与斜率 B 题型剖析 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型剖析 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型剖析 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型剖析 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型剖析 求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在．求其取值范围的一般步骤为： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 题型一、直线的倾斜角与斜率 题型剖析 题型一、直线的倾斜角与斜率 变式训练 题型二、直 线 方 程 题型剖析 变式训练 题型三、直线方程的综合应用 直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度：  角度一：与基本不等式结合求最值问题 题型剖析 题型三、直线方程的综合应用 题型剖析 题型三、直线方程的综合应用 题型剖析 题型三、直线方程的综合应用 题型剖析 变式训练 题型三、直线方程的综合应用 C 变式训练 题型三、直线方程的综合应用 题型四、两条直线的平行与垂直问题 D -2 4x＋3y－6＝0 题型剖析 题型四、两条直线的平行与垂直问题 题型剖析 题型四、两条直线的平行与垂直问题 题型剖析 题型四、两条直线的平行与垂直问题 题型剖析 变式训练 题型五、与距离有关问题 与距离有关问题的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便． C 题型剖析 变式训练 题型六、对称问题 题型剖析 题型六、对称问题 题型剖析 变式训练 题型七、求圆的方程 题型剖析 题型七、求圆的方程 题型剖析 题型七、求圆的方程 题型剖析 题型七、求圆的方程 变式训练 题型八、与圆有关的最值问题 题型剖析 题型八、与圆有关的最值问题 题型剖析 题型八、与圆有关的最值问题 题型剖析 题型九、直线与圆的位置关系 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． 上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题． 题型剖析 题型九、直线与圆的位置关系 题型剖析 题型九、直线与圆的位置关系 题型剖析 题型九、直线与圆的位置关系 变式训练 题型十、圆与圆的位置关系 答案： (1)C　(2)4 题型剖析 题型十、圆与圆的位置关系 答案： (1)C　(2)4 题型剖析 题型十、圆与圆的位置关系 题型剖析 题型十、圆与圆的位置关系 变式训练 题型十一、直线与圆的综合问题 题型剖析 题型十一、直线与圆的综合问题 题型剖析 题型十一、直线与圆的综合问题 变式训练 题型十一、直线与圆的综合问题 变式训练 针对训练 针对训练 针对训练 针对训练 课堂总结 课堂总结 感谢聆听! 名称 几何条件 方程 局限性 点斜式 过点(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 不含垂直于x轴的直线 斜截式 斜率为k，纵截距为b y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线 两点式 过两点(x1，y1)，(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) ＝ 不包括垂直于坐标轴的 直线 截距式 在x轴、y轴上的截距分别为a，b(a，b≠0) ＋＝1 不包括垂直于坐标轴和 过原点的直线 一般式 — Ax＋By＋C＝0 (A，B不全为0) — 名称 斜截式y＝kx＋b 一般式Ax＋By＋C＝0 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1＝－或k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2且b1≠b2 或 (1)两点间的距离：平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离 d＝|AB|＝． (2)点到直线的距离：点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝． (3)两条平行线间的距离：两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝． (1)直线2xcos α－y－3＝0 ,α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))的倾斜角的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))　　　　　 B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))) C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(2π,3))) (2)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，eq \r(3))为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________． [听前试做]　 (1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq \f(1,2)≤cos α≤eq \f(\r(3),2)，因此k＝2·cos α∈[1，eq \r(3) ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3) ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))). (2) 如图，∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)， ∴k∈(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)． 答案：(1)B　(2)(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞) [探究1]　若将题(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． 解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，eq \r(3))， ∴kAP＝eq \f(1－0,2－（－1）)＝eq \f(1,3)， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－（－1）)＝eq \r(3). 如图可知，直线l斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))). [探究2]　若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围． 解：法一：如图所示，kPA＝eq \f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq \f(1－（－1）,2－0)＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). [探究3]　将题(2)改为： 已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则eq \f(y,x)的最大值为________；最小值为________． 解析：本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把eq \f(y,x)看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解． 如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．因为eq \f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). 答案：2　eq \f(2,3) SHAPE \* MERGEFORMAT 求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在．求其取值范围的一般步骤为： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 已知两点A(－eq \r(3)，3)，B(1，－eq \r(3))，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________． 解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α， 则由题可知tan 2α＝eq \f(3－（－\r(3)）, －\r(3)－1)＝－eq \r(3)， 所以2α＝120°，解得tan α＝eq \r(3)，即直线l的斜率为eq \r(3). 答案：eq \r(3) 考点二 直 线 方 程　 [例2]　求适合下列条件的直线方程： (1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5. [听前试做]　(1)由题设知截距不为0，设直线方程为：eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1， 从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (2)依题设知此直线的斜率可能不存在． 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其斜率为k，则y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式得：eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4). 故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 求直线方程的注意点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． (1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在； (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零． 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是(　　) A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0 B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0 C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 解析：选D　由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由eq \f(1,2)·|5k－4|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5))＝5得，k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5).将k代入可得直线方程. 考点三 直线方程的综合应用　 　　直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度： 角度一：与基本不等式结合求最值问题 [例3]　(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． [听前试做]　易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时，等号成立)；当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 角度二：与圆相结合求解直线方程 [例4]　(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　) A．x＋y－2＝0　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [听前试做]　依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D. 答案：D 角度三：由直线方程求参数问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________． [听前试做]　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小． 答案：eq \f(1,2) SHAPE \* MERGEFORMAT 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 1.已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 2．(2015·济宁一模)如果直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：选C　 令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2，0)∪(0，2]. [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． eq \a\vs4\al(2)种方法——求直线方程的方法 　(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． eq \a\vs4\al(4)个注意点——直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况． (2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　B.eq \r(3)　　　　C．－eq \r(3)　　　　D．－eq \f(\r(3),3) 解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cos 150°)＝eq \f(\r(3),3). 2．(2015·西安模拟)过点(eq \r(3)，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　圆心坐标为(0，1)，斜率k＝tan α＝eq \f(－2－1,\r(3)－0)＝－eq \r(3)， ∴倾斜角α＝120°. 3．过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为(　　) A．y＝x－5 B．y＝2x－9 C．y＝3x－7 D．y＝4x－17 解析：选A　 由于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的坐标是(5，0)，因此过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为y＝eq \f(1,5－4)×(x－5)，即y＝x－5. 4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点(　　) A．(－2，8) B．(2，8) C．(－2，－8) D．(2，－8) 解析：选D　a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知x＝2，y＝－8，故选D. 6．(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：选A　根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq \f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2. 7．(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 　 A　　　　　B　　 　　　C　　　　　　D 解析：选B　直线l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y轴上的截距为－b；直线l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y轴上的截距为－a.在选项A中l2的斜率－b<0，而l1在y轴上截距－b>0，所以A不正确．同理可排除C、D. 8．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)知，f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°. 二、填空题 9．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________． 解析：设P(xP，1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5，1)，所以k＝－eq \f(1,3). 答案：－eq \f(1,3) 10．(2015·中山模拟)过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x； (2)当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1， 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8. 即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0 11．(2015·抚州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________． 解析： 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4. 答案：4 12．(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＜－1或 k＞eq \f(1,2). 答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 三、解答题 13．已知两点A(－1，2)，B(m，3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,m＋1)(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)； ②当m≠－1时，m＋1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq \r(3) ]， ∴k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3) ]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))， ∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))). 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))). eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：选D　因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，所以－eq \f(a,b)＝－1，即a－b＝0. 2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4， 由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6， 解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3). 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 3．已知直线l: kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)由方程知，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)(k≠0)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1))或k＝0，解得k≥0. (2)由l的方程得，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)． 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0. ∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k| ＝eq \f(1,2)·eq \f( （1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)， ∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0. 第二节　两直线的位置关系 考纲下载 1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、必备知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两条直线的交点 3．三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 二、必记结论 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)，还可表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可设为x＝x0)． (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0. (4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　) 提示：(1)错误．当直线l1和l2斜率都存在时，虽然有k1＝k2，但有可能重合． (2)错误．两条直线l1与l2垂直，它们的斜率之积等于－1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. (3)正确．若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交． (4)错误．点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式． (5)错误．使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数相同． 答案：(1)×　 (2)×　 (3)√　 (4)×　 (5)× 二、牛刀小试 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析：选D　d＝eq \f(|－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5). 2．(2015·榆林模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C．4 D．8 解析：选B　l1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0，所以l1与l2的距离d＝eq \f(|－14－1|,\r(62＋82))＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2). 3．两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：3x＋y＋2＝0的交点为________． 解析：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,3x＋y＋2＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,9)，,y＝\f(4,3)，)) ∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))) 4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________． 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，∴m＝1. 答案：1 考点一 两条直线的平行与垂直问题 　　　 　　[例1]　(1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　) A．－1　　　B．2　　　C．0或－2　　　D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1, l2：ax＋2y＝0, 若l1⊥l2，则a＝ ________． (3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________． [听前试做]　(1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有eq \f(a－1,1)＝eq \f(2,a)≠eq \f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，选D. (2)法一：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2. 法二：∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2. (3)法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－eq \f(4,3)， ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 答案： (1)D　 (2)－2　 (3)4x＋3y－6＝0 [探究1]　若将题(2)中条件“l1⊥l2”改为“l1∥l2”，其他条件不变，求a的值． 解：∵l1∥l2，∴a＝2. [探究2]　题(2)变为：“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－eq \f(a,2)＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C. 答案：C [探究3]　将题(3)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程． 解：法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l∥l3，∴直线l的斜率k1＝eq \f(3,4)， ∴直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)x，即3x－4y＋8＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3平行，∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)， ∴λ＝eq \f(2,7)，∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 用一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) 1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a(a＋2)＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________． 解析：显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，k1＝－eq \f(a,2)，k2＝eq \f(3,1－a)，因为两条直线平行，所以k1＝k2，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3. 答案：3 考点二 有关距离问题　 [例2]　(1)(2015·安康模拟)点P到点A(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于eq \f(\r(2),2)，这样的点P共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq \r(5)，则直线l1的方程为__________． [听前试做]　(1)设点P(x，y)，由题意知 eq \r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，且eq \f(\r(2),2)＝eq \f(|x－y|,\r(2))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,|x－y|＝1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝1，))① 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝－1.))② 解①得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－2\r(2)，,y＝2－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2\r(2)，,y＝2＋2\r(2)，)) 解②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，)) 因此，这样的点P共有3个． (2)∵l1∥l2，∴eq \f(m,2)＝eq \f(8,m)≠eq \f(n,－1)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.)) ①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0， ∴eq \f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－22或18. 故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0， 把l2的方程写成为4x－8y－2＝0， ∴eq \f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－18或22. 故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 答案：(1)C　(2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0 SHAPE \* MERGEFORMAT 与距离有关问题的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便． 已知点P(2，－1)，过点P且与原点的距离最大的直线l的方程为__________________，原点到直线l的最大距离为__________________． 解析：作图可得过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1， 所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2. 又点P(2，－1)在直线l上，由点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. ∴直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5). 答案：2x－y－5＝0　eq \r(5) 考点三 对 称 问 题　 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度： 角度一：点关于点中心对称 [例3]　(2015·赣州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． [听前试做]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 角度二：点关于直线对称 [例4]　(2015·日照模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． [听前试做]　设A′(x，y)，由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，)) 故A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))) 角度三：直线关于直线的对称问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． [听前试做]　在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，)) ∴M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设直线m与直线l的交点为N，则 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)． 又∵m′经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 角度四：对称问题的应用 [例6]　(2015·抚州模拟)光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的点B后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． [听前试做]　 作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,6＋4)＝eq \f(x－1,1＋2)，即10x－3y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．(2015·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　　　　　　　　B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 　　　　　　 　D．x＋2y－3＝0 解析：选D　由题意得直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－3,1－3)，即x＋2y－3＝0. 2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________． 解析：设A(0，2)，B(4，0)，则线段AB的中点为(2，1)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(0－2,4－0)＝－eq \f(1,2)，则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.又点(7，3)与点(m，n)重合，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，,2×\f(7＋m,2)－\f(3＋n,2)－3＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n－13＝0，,2m－n＋5＝0.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))∴m＋n＝eq \f(34,5). 答案：eq \f(34,5) 3．如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________． 解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10). 答案：2eq \r(10 ) [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. eq \a\vs4\al(1)种思想——转化思想在对称问题中的应用 　一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决． eq \a\vs4\al(2)个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间　的距离公式的注意点 　(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑； (2)运用两平行直线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))的前提是将两方程中的x，y的系数化为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝(　　) A.eq \f(2,3)　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－1或2 解析：选A　∵a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝eq \f(2,3). 2．已知点(m，1)(m＞0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A.eq \r(2) B．2－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1 解析：选C　 d＝eq \f(|m－1＋2|,\r(2))＝eq \f(|m＋1|,\r(2))＝1，∴m＝－1±eq \r(2). 又∵m＞0，∴m＝eq \r(2)－1. 3．当0＜k＜eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1))).因为0＜k＜eq \f(1,2)，所以eq \f(k,k－1)＜0，eq \f(2k－1,k－1)＞0.故交点在第二象限． 4．已知平面内两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是eq \r(2)，eq \r(5)－eq \r(2)，则满足条件的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条．又因为|AB|＝ eq \r(5)，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条． 5．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 解析：选A　因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，即直线l2的斜率为eq \f(1,2). 6．(2015·景德镇模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　) A.eq \f(5\r(2),2) B．5eq \r(2) C.eq \f(15\r(2),2) D．15eq \r(2) 解析：选B　由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝eq \f(10,\r(2))＝5eq \r(2). 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 解析：选B　直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)． 8．(2015·哈尔滨模拟)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0 解析：选D　由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x＝3的对称点(6，1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0. 二、填空题 9．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________． 解析：因为两直线的交点在y轴上，所以当x＝0时，y1＝－eq \f(C,3)，y2＝eq \f(4,3)，则y1＝y2，即－eq \f(C,3)＝eq \f(4,3)，故C＝－4. 答案：－4 10．(2015·玉溪模拟)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析：由题意及点到直线的距离公式得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9). 答案：－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9) 11．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8, l1∥l 2，则实数m的值为________． 解析：由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7， 当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去； 当m＝－7时，eq \f(5－3m,4)＝eq \f(13,2)≠eq \f(8,5＋m)，两直线平行． 答案：－7 12．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________． 解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0，1，2. 答案：0，1，2 三、解答题 13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0② 由①②得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2，∴eq \f(a,b)＝1－a，b＝eq \f(a,1－a)， 故l1和l2的方程可分别表示为： (a－1)x＋y＋eq \f(4（a－1）,a)＝0， (a－1)x＋y＋eq \f(a,1－a)＝0， 又原点到l1与l2的距离相等． ∴4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)))，∴a＝2或a＝eq \f(2,3)， ∴a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2. eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．(2015·南昌模拟)点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为 eq \r(2)，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) 解析：选C　设P(x，5－3x)，则d＝eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，|4x－6|＝2，4x－6＝±2， 即x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)． 2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 解析：选C　点A关于直线y＝2x对称的点为(4，－2)，且点A关于y＝2x对称的点在直线BC上，于是BC方程为3x＋y－10＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))得点C的坐标为(2，4)． 3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． 解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴eq \f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq \f(1,2). ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2，1)， 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝eq \r(10). (－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞) 【解析】(1)直线2xcos α－y－3＝0的斜率k＝2cos α，因为α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,3)))，所以eq \f(1,2)≤cos α≤eq \f(\r(3),2)，因此k＝2·cos α∈[1，eq \r(3) ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，eq \r(3) ]．又θ∈[0，π)，所以θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3)))，即倾斜角的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,3))). 【解析】(2)如图，∵kAP＝eq \f(1－0,2－1)＝1， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－1)＝－eq \r(3)， ∴k∈(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞)． 答案：(1)B　(2)(－∞，－eq \r(3) ]∪[1，＋∞) [探究1]　若将题(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． 解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，eq \r(3))， ∴kAP＝eq \f(1－0,2－（－1）)＝eq \f(1,3)， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－（－1）)＝eq \r(3). 如图可知，直线l斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))). [探究2]　若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围． 解：法一：如图所示，kPA＝eq \f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq \f(1－（－1）,2－0)＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). [探究3]　将题(2)改为： 已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则eq \f(y,x)的最大值为________；最小值为________． 解析：本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把eq \f(y,x)看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解． 如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．因为eq \f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). 答案：2　eq \f(2,3) SHAPE \* MERGEFORMAT 求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在．求其取值范围的一般步骤为： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 已知两点A(－eq \r(3)，3)，B(1，－eq \r(3))，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________． 解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α， 则由题可知tan 2α＝eq \f(3－（－\r(3)）, －\r(3)－1)＝－eq \r(3)， 所以2α＝120°，解得tan α＝eq \r(3)，即直线l的斜率为eq \r(3). 答案：eq \r(3) 考点二 直 线 方 程　 [例2]　求适合下列条件的直线方程： (1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5. [听前试做]　(1)由题设知截距不为0，设直线方程为：eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1， 从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (2)依题设知此直线的斜率可能不存在． 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其斜率为k，则y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式得：eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4). 故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 求直线方程的注意点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． (1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在； (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零． 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是(　　) A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0 B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0 C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 解析：选D　由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由eq \f(1,2)·|5k－4|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5))＝5得，k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5).将k代入可得直线方程. 考点三 直线方程的综合应用　 　　直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度： 角度一：与基本不等式结合求最值问题 [例3]　(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． [听前试做]　易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时，等号成立)；当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 角度二：与圆相结合求解直线方程 [例4]　(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　) A．x＋y－2＝0　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [听前试做]　依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D. 答案：D 角度三：由直线方程求参数问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________． [听前试做]　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小． 答案：eq \f(1,2) SHAPE \* MERGEFORMAT 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 1.已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 2．(2015·济宁一模)如果直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：选C　 令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2，0)∪(0，2]. [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． eq \a\vs4\al(2)种方法——求直线方程的方法 　(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． eq \a\vs4\al(4)个注意点——直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况． (2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　B.eq \r(3)　　　　C．－eq \r(3)　　　　D．－eq \f(\r(3),3) 解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cos 150°)＝eq \f(\r(3),3). 2．(2015·西安模拟)过点(eq \r(3)，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　圆心坐标为(0，1)，斜率k＝tan α＝eq \f(－2－1,\r(3)－0)＝－eq \r(3)， ∴倾斜角α＝120°. 3．过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为(　　) A．y＝x－5 B．y＝2x－9 C．y＝3x－7 D．y＝4x－17 解析：选A　 由于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的坐标是(5，0)，因此过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为y＝eq \f(1,5－4)×(x－5)，即y＝x－5. 4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点(　　) A．(－2，8) B．(2，8) C．(－2，－8) D．(2，－8) 解析：选D　a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知x＝2，y＝－8，故选D. 6．(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：选A　根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq \f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2. 7．(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 　 A　　　　　B　　 　　　C　　　　　　D 解析：选B　直线l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y轴上的截距为－b；直线l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y轴上的截距为－a.在选项A中l2的斜率－b<0，而l1在y轴上截距－b>0，所以A不正确．同理可排除C、D. 8．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)知，f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°. 二、填空题 9．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________． 解析：设P(xP，1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5，1)，所以k＝－eq \f(1,3). 答案：－eq \f(1,3) 10．(2015·中山模拟)过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x； (2)当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1， 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8. 即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0 11．(2015·抚州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________． 解析： 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4. 答案：4 12．(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＜－1或 k＞eq \f(1,2). 答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 三、解答题 13．已知两点A(－1，2)，B(m，3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,m＋1)(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)； ②当m≠－1时，m＋1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq \r(3) ]， ∴k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3) ]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))， ∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))). 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))). eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：选D　因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，所以－eq \f(a,b)＝－1，即a－b＝0. 2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4， 由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6， 解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3). 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 3．已知直线l: kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)由方程知，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)(k≠0)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1))或k＝0，解得k≥0. (2)由l的方程得，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)． 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0. ∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k| ＝eq \f(1,2)·eq \f( （1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)， ∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0. 第二节　两直线的位置关系 考纲下载 1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、必备知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两条直线的交点 3．三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 二、必记结论 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)，还可表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可设为x＝x0)． (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0. (4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　) 提示：(1)错误．当直线l1和l2斜率都存在时，虽然有k1＝k2，但有可能重合． (2)错误．两条直线l1与l2垂直，它们的斜率之积等于－1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. (3)正确．若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交． (4)错误．点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式． (5)错误．使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数相同． 答案：(1)×　 (2)×　 (3)√　 (4)×　 (5)× 二、牛刀小试 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析：选D　d＝eq \f(|－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5). 2．(2015·榆林模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C．4 D．8 解析：选B　l1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0，所以l1与l2的距离d＝eq \f(|－14－1|,\r(62＋82))＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2). 3．两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：3x＋y＋2＝0的交点为________． 解析：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,3x＋y＋2＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,9)，,y＝\f(4,3)，)) ∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))) 4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________． 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，∴m＝1. 答案：1 考点一 两条直线的平行与垂直问题 　　　 　　[例1]　(1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　) A．－1　　　B．2　　　C．0或－2　　　D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1, l2：ax＋2y＝0, 若l1⊥l2，则a＝ ________． (3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________． [听前试做]　(1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有eq \f(a－1,1)＝eq \f(2,a)≠eq \f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，选D. (2)法一：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2. 法二：∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2. (3)法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－eq \f(4,3)， ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 答案： (1)D　 (2)－2　 (3)4x＋3y－6＝0 [探究1]　若将题(2)中条件“l1⊥l2”改为“l1∥l2”，其他条件不变，求a的值． 解：∵l1∥l2，∴a＝2. [探究2]　题(2)变为：“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－eq \f(a,2)＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C. 答案：C [探究3]　将题(3)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程． 解：法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l∥l3，∴直线l的斜率k1＝eq \f(3,4)， ∴直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)x，即3x－4y＋8＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3平行，∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)， ∴λ＝eq \f(2,7)，∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 用一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) 1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a(a＋2)＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________． 解析：显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，k1＝－eq \f(a,2)，k2＝eq \f(3,1－a)，因为两条直线平行，所以k1＝k2，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3. 答案：3 考点二 有关距离问题　 [例2]　(1)(2015·安康模拟)点P到点A(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于eq \f(\r(2),2)，这样的点P共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq \r(5)，则直线l1的方程为__________． [听前试做]　(1)设点P(x，y)，由题意知 eq \r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，且eq \f(\r(2),2)＝eq \f(|x－y|,\r(2))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,|x－y|＝1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝1，))① 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝－1.))② 解①得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－2\r(2)，,y＝2－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2\r(2)，,y＝2＋2\r(2)，)) 解②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，)) 因此，这样的点P共有3个． (2)∵l1∥l2，∴eq \f(m,2)＝eq \f(8,m)≠eq \f(n,－1)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.)) ①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0， ∴eq \f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－22或18. 故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0， 把l2的方程写成为4x－8y－2＝0， ∴eq \f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－18或22. 故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 答案：(1)C　(2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0 SHAPE \* MERGEFORMAT 与距离有关问题的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便． 已知点P(2，－1)，过点P且与原点的距离最大的直线l的方程为__________________，原点到直线l的最大距离为__________________． 解析：作图可得过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1， 所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2. 又点P(2，－1)在直线l上，由点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. ∴直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5). 答案：2x－y－5＝0　eq \r(5) 考点三 对 称 问 题　 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度： 角度一：点关于点中心对称 [例3]　(2015·赣州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． [听前试做]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 角度二：点关于直线对称 [例4]　(2015·日照模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． [听前试做]　设A′(x，y)，由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，)) 故A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))) 角度三：直线关于直线的对称问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． [听前试做]　在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，)) ∴M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设直线m与直线l的交点为N，则 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)． 又∵m′经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 角度四：对称问题的应用 [例6]　(2015·抚州模拟)光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的点B后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． [听前试做]　 作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,6＋4)＝eq \f(x－1,1＋2)，即10x－3y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．(2015·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　　　　　　　　B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 　　　　　　 　D．x＋2y－3＝0 解析：选D　由题意得直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－3,1－3)，即x＋2y－3＝0. 2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________． 解析：设A(0，2)，B(4，0)，则线段AB的中点为(2，1)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(0－2,4－0)＝－eq \f(1,2)，则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.又点(7，3)与点(m，n)重合，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，,2×\f(7＋m,2)－\f(3＋n,2)－3＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n－13＝0，,2m－n＋5＝0.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))∴m＋n＝eq \f(34,5). 答案：eq \f(34,5) 3．如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________． 解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10). 答案：2eq \r(10 ) [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. eq \a\vs4\al(1)种思想——转化思想在对称问题中的应用 　一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决． eq \a\vs4\al(2)个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间　的距离公式的注意点 　(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑； (2)运用两平行直线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))的前提是将两方程中的x，y的系数化为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝(　　) A.eq \f(2,3)　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－1或2 解析：选A　∵a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝eq \f(2,3). 2．已知点(m，1)(m＞0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A.eq \r(2) B．2－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1 解析：选C　 d＝eq \f(|m－1＋2|,\r(2))＝eq \f(|m＋1|,\r(2))＝1，∴m＝－1±eq \r(2). 又∵m＞0，∴m＝eq \r(2)－1. 3．当0＜k＜eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1))).因为0＜k＜eq \f(1,2)，所以eq \f(k,k－1)＜0，eq \f(2k－1,k－1)＞0.故交点在第二象限． 4．已知平面内两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是eq \r(2)，eq \r(5)－eq \r(2)，则满足条件的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条．又因为|AB|＝ eq \r(5)，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条． 5．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 解析：选A　因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，即直线l2的斜率为eq \f(1,2). 6．(2015·景德镇模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　) A.eq \f(5\r(2),2) B．5eq \r(2) C.eq \f(15\r(2),2) D．15eq \r(2) 解析：选B　由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝eq \f(10,\r(2))＝5eq \r(2). 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 解析：选B　直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)． 8．(2015·哈尔滨模拟)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0 解析：选D　由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x＝3的对称点(6，1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0. 二、填空题 9．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________． 解析：因为两直线的交点在y轴上，所以当x＝0时，y1＝－eq \f(C,3)，y2＝eq \f(4,3)，则y1＝y2，即－eq \f(C,3)＝eq \f(4,3)，故C＝－4. 答案：－4 10．(2015·玉溪模拟)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析：由题意及点到直线的距离公式得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9). 答案：－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9) 11．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8, l1∥l 2，则实数m的值为________． 解析：由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7， 当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去； 当m＝－7时，eq \f(5－3m,4)＝eq \f(13,2)≠eq \f(8,5＋m)，两直线平行． 答案：－7 12．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________． 解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0，1，2. 答案：0，1，2 三、解答题 13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0② 由①②得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2，∴eq \f(a,b)＝1－a，b＝eq \f(a,1－a)， 故l1和l2的方程可分别表示为： (a－1)x＋y＋eq \f(4（a－1）,a)＝0， (a－1)x＋y＋eq \f(a,1－a)＝0， 又原点到l1与l2的距离相等． ∴4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)))，∴a＝2或a＝eq \f(2,3)， ∴a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2. eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．(2015·南昌模拟)点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为 eq \r(2)，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) 解析：选C　设P(x，5－3x)，则d＝eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，|4x－6|＝2，4x－6＝±2， 即x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)． 2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 解析：选C　点A关于直线y＝2x对称的点为(4，－2)，且点A关于y＝2x对称的点在直线BC上，于是BC方程为3x＋y－10＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))得点C的坐标为(2，4)． 3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． 解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴eq \f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq \f(1,2). ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2，1)， 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝eq \r(10). 【探究1】若将题(2)中P(1，0)改为P(－1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围． 解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，eq \r(3))， ∴kAP＝eq \f(1－0,2－（－1）)＝eq \f(1,3)， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－（－1）)＝eq \r(3). 如图可知，直线l斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))). [探究2]　若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围． 解：法一：如图所示，kPA＝eq \f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq \f(1－（－1）,2－0)＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). [探究3]　将题(2)改为： 已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则eq \f(y,x)的最大值为________；最小值为________． 解析：本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把eq \f(y,x)看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解． 如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．因为eq \f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). 答案：2　eq \f(2,3) SHAPE \* MERGEFORMAT 求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在．求其取值范围的一般步骤为： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 已知两点A(－eq \r(3)，3)，B(1，－eq \r(3))，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________． 解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α， 则由题可知tan 2α＝eq \f(3－（－\r(3)）, －\r(3)－1)＝－eq \r(3)， 所以2α＝120°，解得tan α＝eq \r(3)，即直线l的斜率为eq \r(3). 答案：eq \r(3) 考点二 直 线 方 程　 [例2]　求适合下列条件的直线方程： (1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5. [听前试做]　(1)由题设知截距不为0，设直线方程为：eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1， 从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (2)依题设知此直线的斜率可能不存在． 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其斜率为k，则y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式得：eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4). 故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 求直线方程的注意点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． (1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在； (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零． 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是(　　) A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0 B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0 C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 解析：选D　由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由eq \f(1,2)·|5k－4|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5))＝5得，k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5).将k代入可得直线方程. 考点三 直线方程的综合应用　 　　直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度： 角度一：与基本不等式结合求最值问题 [例3]　(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． [听前试做]　易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时，等号成立)；当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 角度二：与圆相结合求解直线方程 [例4]　(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　) A．x＋y－2＝0　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [听前试做]　依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D. 答案：D 角度三：由直线方程求参数问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________． [听前试做]　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小． 答案：eq \f(1,2) SHAPE \* MERGEFORMAT 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 1.已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 2．(2015·济宁一模)如果直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：选C　 令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2，0)∪(0，2]. [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． eq \a\vs4\al(2)种方法——求直线方程的方法 　(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． eq \a\vs4\al(4)个注意点——直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况． (2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　B.eq \r(3)　　　　C．－eq \r(3)　　　　D．－eq \f(\r(3),3) 解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cos 150°)＝eq \f(\r(3),3). 2．(2015·西安模拟)过点(eq \r(3)，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　圆心坐标为(0，1)，斜率k＝tan α＝eq \f(－2－1,\r(3)－0)＝－eq \r(3)， ∴倾斜角α＝120°. 3．过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为(　　) A．y＝x－5 B．y＝2x－9 C．y＝3x－7 D．y＝4x－17 解析：选A　 由于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的坐标是(5，0)，因此过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为y＝eq \f(1,5－4)×(x－5)，即y＝x－5. 4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点(　　) A．(－2，8) B．(2，8) C．(－2，－8) D．(2，－8) 解析：选D　a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知x＝2，y＝－8，故选D. 6．(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：选A　根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq \f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2. 7．(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 　 A　　　　　B　　 　　　C　　　　　　D 解析：选B　直线l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y轴上的截距为－b；直线l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y轴上的截距为－a.在选项A中l2的斜率－b<0，而l1在y轴上截距－b>0，所以A不正确．同理可排除C、D. 8．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)知，f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°. 二、填空题 9．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________． 解析：设P(xP，1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5，1)，所以k＝－eq \f(1,3). 答案：－eq \f(1,3) 10．(2015·中山模拟)过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x； (2)当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1， 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8. 即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0 11．(2015·抚州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________． 解析： 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4. 答案：4 12．(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＜－1或 k＞eq \f(1,2). 答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 三、解答题 13．已知两点A(－1，2)，B(m，3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,m＋1)(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)； ②当m≠－1时，m＋1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq \r(3) ]， ∴k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3) ]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))， ∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))). 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))). eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：选D　因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，所以－eq \f(a,b)＝－1，即a－b＝0. 2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4， 由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6， 解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3). 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 3．已知直线l: kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)由方程知，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)(k≠0)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1))或k＝0，解得k≥0. (2)由l的方程得，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)． 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0. ∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k| ＝eq \f(1,2)·eq \f( （1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)， ∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0. 第二节　两直线的位置关系 考纲下载 1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、必备知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两条直线的交点 3．三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 二、必记结论 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)，还可表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可设为x＝x0)． (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0. (4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　) 提示：(1)错误．当直线l1和l2斜率都存在时，虽然有k1＝k2，但有可能重合． (2)错误．两条直线l1与l2垂直，它们的斜率之积等于－1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. (3)正确．若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交． (4)错误．点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式． (5)错误．使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数相同． 答案：(1)×　 (2)×　 (3)√　 (4)×　 (5)× 二、牛刀小试 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析：选D　d＝eq \f(|－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5). 2．(2015·榆林模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C．4 D．8 解析：选B　l1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0，所以l1与l2的距离d＝eq \f(|－14－1|,\r(62＋82))＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2). 3．两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：3x＋y＋2＝0的交点为________． 解析：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,3x＋y＋2＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,9)，,y＝\f(4,3)，)) ∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))) 4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________． 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，∴m＝1. 答案：1 考点一 两条直线的平行与垂直问题 　　　 　　[例1]　(1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　) A．－1　　　B．2　　　C．0或－2　　　D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1, l2：ax＋2y＝0, 若l1⊥l2，则a＝ ________． (3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________． [听前试做]　(1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有eq \f(a－1,1)＝eq \f(2,a)≠eq \f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，选D. (2)法一：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2. 法二：∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2. (3)法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－eq \f(4,3)， ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 答案： (1)D　 (2)－2　 (3)4x＋3y－6＝0 [探究1]　若将题(2)中条件“l1⊥l2”改为“l1∥l2”，其他条件不变，求a的值． 解：∵l1∥l2，∴a＝2. [探究2]　题(2)变为：“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－eq \f(a,2)＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C. 答案：C [探究3]　将题(3)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程． 解：法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l∥l3，∴直线l的斜率k1＝eq \f(3,4)， ∴直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)x，即3x－4y＋8＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3平行，∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)， ∴λ＝eq \f(2,7)，∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 用一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) 1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a(a＋2)＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________． 解析：显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，k1＝－eq \f(a,2)，k2＝eq \f(3,1－a)，因为两条直线平行，所以k1＝k2，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3. 答案：3 考点二 有关距离问题　 [例2]　(1)(2015·安康模拟)点P到点A(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于eq \f(\r(2),2)，这样的点P共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq \r(5)，则直线l1的方程为__________． [听前试做]　(1)设点P(x，y)，由题意知 eq \r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，且eq \f(\r(2),2)＝eq \f(|x－y|,\r(2))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,|x－y|＝1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝1，))① 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝－1.))② 解①得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－2\r(2)，,y＝2－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2\r(2)，,y＝2＋2\r(2)，)) 解②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，)) 因此，这样的点P共有3个． (2)∵l1∥l2，∴eq \f(m,2)＝eq \f(8,m)≠eq \f(n,－1)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.)) ①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0， ∴eq \f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－22或18. 故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0， 把l2的方程写成为4x－8y－2＝0， ∴eq \f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－18或22. 故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 答案：(1)C　(2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0 SHAPE \* MERGEFORMAT 与距离有关问题的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便． 已知点P(2，－1)，过点P且与原点的距离最大的直线l的方程为__________________，原点到直线l的最大距离为__________________． 解析：作图可得过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1， 所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2. 又点P(2，－1)在直线l上，由点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. ∴直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5). 答案：2x－y－5＝0　eq \r(5) 考点三 对 称 问 题　 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度： 角度一：点关于点中心对称 [例3]　(2015·赣州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． [听前试做]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 角度二：点关于直线对称 [例4]　(2015·日照模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． [听前试做]　设A′(x，y)，由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，)) 故A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))) 角度三：直线关于直线的对称问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． [听前试做]　在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，)) ∴M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设直线m与直线l的交点为N，则 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)． 又∵m′经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 角度四：对称问题的应用 [例6]　(2015·抚州模拟)光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的点B后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． [听前试做]　 作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,6＋4)＝eq \f(x－1,1＋2)，即10x－3y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．(2015·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　　　　　　　　B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 　　　　　　 　D．x＋2y－3＝0 解析：选D　由题意得直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－3,1－3)，即x＋2y－3＝0. 2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________． 解析：设A(0，2)，B(4，0)，则线段AB的中点为(2，1)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(0－2,4－0)＝－eq \f(1,2)，则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.又点(7，3)与点(m，n)重合，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，,2×\f(7＋m,2)－\f(3＋n,2)－3＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n－13＝0，,2m－n＋5＝0.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))∴m＋n＝eq \f(34,5). 答案：eq \f(34,5) 3．如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________． 解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10). 答案：2eq \r(10 ) [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. eq \a\vs4\al(1)种思想——转化思想在对称问题中的应用 　一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决． eq \a\vs4\al(2)个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间　的距离公式的注意点 　(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑； (2)运用两平行直线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))的前提是将两方程中的x，y的系数化为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝(　　) A.eq \f(2,3)　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－1或2 解析：选A　∵a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝eq \f(2,3). 2．已知点(m，1)(m＞0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A.eq \r(2) B．2－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1 解析：选C　 d＝eq \f(|m－1＋2|,\r(2))＝eq \f(|m＋1|,\r(2))＝1，∴m＝－1±eq \r(2). 又∵m＞0，∴m＝eq \r(2)－1. 3．当0＜k＜eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1))).因为0＜k＜eq \f(1,2)，所以eq \f(k,k－1)＜0，eq \f(2k－1,k－1)＞0.故交点在第二象限． 4．已知平面内两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是eq \r(2)，eq \r(5)－eq \r(2)，则满足条件的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条．又因为|AB|＝ eq \r(5)，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条． 5．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 解析：选A　因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，即直线l2的斜率为eq \f(1,2). 6．(2015·景德镇模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　) A.eq \f(5\r(2),2) B．5eq \r(2) C.eq \f(15\r(2),2) D．15eq \r(2) 解析：选B　由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝eq \f(10,\r(2))＝5eq \r(2). 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 解析：选B　直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)． 8．(2015·哈尔滨模拟)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0 解析：选D　由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x＝3的对称点(6，1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0. 二、填空题 9．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________． 解析：因为两直线的交点在y轴上，所以当x＝0时，y1＝－eq \f(C,3)，y2＝eq \f(4,3)，则y1＝y2，即－eq \f(C,3)＝eq \f(4,3)，故C＝－4. 答案：－4 10．(2015·玉溪模拟)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析：由题意及点到直线的距离公式得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9). 答案：－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9) 11．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8, l1∥l 2，则实数m的值为________． 解析：由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7， 当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去； 当m＝－7时，eq \f(5－3m,4)＝eq \f(13,2)≠eq \f(8,5＋m)，两直线平行． 答案：－7 12．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________． 解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0，1，2. 答案：0，1，2 三、解答题 13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0② 由①②得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2，∴eq \f(a,b)＝1－a，b＝eq \f(a,1－a)， 故l1和l2的方程可分别表示为： (a－1)x＋y＋eq \f(4（a－1）,a)＝0， (a－1)x＋y＋eq \f(a,1－a)＝0， 又原点到l1与l2的距离相等． ∴4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)))，∴a＝2或a＝eq \f(2,3)， ∴a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2. eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．(2015·南昌模拟)点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为 eq \r(2)，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) 解析：选C　设P(x，5－3x)，则d＝eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，|4x－6|＝2，4x－6＝±2， 即x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)． 2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 解析：选C　点A关于直线y＝2x对称的点为(4，－2)，且点A关于y＝2x对称的点在直线BC上，于是BC方程为3x＋y－10＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))得点C的坐标为(2，4)． 3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． 解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴eq \f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq \f(1,2). ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2，1)， 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝eq \r(10). 解：∵P(－1，0)，A(2，1)，B(0，eq \r(3))， ∴kAP＝eq \f(1－0,2－（－1）)＝eq \f(1,3)， kBP＝eq \f(\r(3)－0,0－（－1）)＝eq \r(3). 如图可知，直线l斜率的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\r(3))). [探究2]　若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围． 解：法一：如图所示，kPA＝eq \f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq \f(1－（－1）,2－0)＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). [探究3]　将题(2)改为： 已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则eq \f(y,x)的最大值为________；最小值为________． 解析：本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把eq \f(y,x)看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解． 如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．因为eq \f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). 答案：2　eq \f(2,3) SHAPE \* MERGEFORMAT 求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在．求其取值范围的一般步骤为： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 已知两点A(－eq \r(3)，3)，B(1，－eq \r(3))，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________． 解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α， 则由题可知tan 2α＝eq \f(3－（－\r(3)）, －\r(3)－1)＝－eq \r(3)， 所以2α＝120°，解得tan α＝eq \r(3)，即直线l的斜率为eq \r(3). 答案：eq \r(3) 考点二 直 线 方 程　 [例2]　求适合下列条件的直线方程： (1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5. [听前试做]　(1)由题设知截距不为0，设直线方程为：eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1， 从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (2)依题设知此直线的斜率可能不存在． 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其斜率为k，则y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式得：eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4). 故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 求直线方程的注意点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． (1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在； (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零． 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是(　　) A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0 B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0 C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 解析：选D　由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由eq \f(1,2)·|5k－4|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5))＝5得，k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5).将k代入可得直线方程. 考点三 直线方程的综合应用　 　　直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度： 角度一：与基本不等式结合求最值问题 [例3]　(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． [听前试做]　易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时，等号成立)；当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 角度二：与圆相结合求解直线方程 [例4]　(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　) A．x＋y－2＝0　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [听前试做]　依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D. 答案：D 角度三：由直线方程求参数问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________． [听前试做]　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小． 答案：eq \f(1,2) SHAPE \* MERGEFORMAT 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 1.已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 2．(2015·济宁一模)如果直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：选C　 令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2，0)∪(0，2]. [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． eq \a\vs4\al(2)种方法——求直线方程的方法 　(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． eq \a\vs4\al(4)个注意点——直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况． (2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　B.eq \r(3)　　　　C．－eq \r(3)　　　　D．－eq \f(\r(3),3) 解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cos 150°)＝eq \f(\r(3),3). 2．(2015·西安模拟)过点(eq \r(3)，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　圆心坐标为(0，1)，斜率k＝tan α＝eq \f(－2－1,\r(3)－0)＝－eq \r(3)， ∴倾斜角α＝120°. 3．过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为(　　) A．y＝x－5 B．y＝2x－9 C．y＝3x－7 D．y＝4x－17 解析：选A　 由于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的坐标是(5，0)，因此过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为y＝eq \f(1,5－4)×(x－5)，即y＝x－5. 4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点(　　) A．(－2，8) B．(2，8) C．(－2，－8) D．(2，－8) 解析：选D　a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知x＝2，y＝－8，故选D. 6．(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：选A　根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq \f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2. 7．(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 　 A　　　　　B　　 　　　C　　　　　　D 解析：选B　直线l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y轴上的截距为－b；直线l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y轴上的截距为－a.在选项A中l2的斜率－b<0，而l1在y轴上截距－b>0，所以A不正确．同理可排除C、D. 8．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)知，f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°. 二、填空题 9．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________． 解析：设P(xP，1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5，1)，所以k＝－eq \f(1,3). 答案：－eq \f(1,3) 10．(2015·中山模拟)过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x； (2)当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1， 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8. 即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0 11．(2015·抚州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________． 解析： 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4. 答案：4 12．(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＜－1或 k＞eq \f(1,2). 答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 三、解答题 13．已知两点A(－1，2)，B(m，3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,m＋1)(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)； ②当m≠－1时，m＋1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq \r(3) ]， ∴k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3) ]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))， ∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))). 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))). eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：选D　因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，所以－eq \f(a,b)＝－1，即a－b＝0. 2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4， 由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6， 解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3). 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 3．已知直线l: kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)由方程知，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)(k≠0)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1))或k＝0，解得k≥0. (2)由l的方程得，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)． 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0. ∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k| ＝eq \f(1,2)·eq \f( （1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)， ∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0. 第二节　两直线的位置关系 考纲下载 1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、必备知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两条直线的交点 3．三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 二、必记结论 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)，还可表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可设为x＝x0)． (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0. (4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　) 提示：(1)错误．当直线l1和l2斜率都存在时，虽然有k1＝k2，但有可能重合． (2)错误．两条直线l1与l2垂直，它们的斜率之积等于－1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. (3)正确．若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交． (4)错误．点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式． (5)错误．使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数相同． 答案：(1)×　 (2)×　 (3)√　 (4)×　 (5)× 二、牛刀小试 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析：选D　d＝eq \f(|－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5). 2．(2015·榆林模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C．4 D．8 解析：选B　l1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0，所以l1与l2的距离d＝eq \f(|－14－1|,\r(62＋82))＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2). 3．两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：3x＋y＋2＝0的交点为________． 解析：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,3x＋y＋2＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,9)，,y＝\f(4,3)，)) ∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))) 4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________． 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，∴m＝1. 答案：1 考点一 两条直线的平行与垂直问题 　　　 　　[例1]　(1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　) A．－1　　　B．2　　　C．0或－2　　　D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1, l2：ax＋2y＝0, 若l1⊥l2，则a＝ ________． (3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________． [听前试做]　(1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有eq \f(a－1,1)＝eq \f(2,a)≠eq \f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，选D. (2)法一：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2. 法二：∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2. (3)法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l⊥l3，∴直线l的斜率k1＝－eq \f(4,3)， ∴直线l的方程为y－2＝－eq \f(4,3)x， 即4x＋3y－6＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3垂直， ∴3(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，∴λ＝11， ∴直线l的方程为12x＋9y－18＝0，即4x＋3y－6＝0. 答案： (1)D　 (2)－2　 (3)4x＋3y－6＝0 [探究1]　若将题(2)中条件“l1⊥l2”改为“l1∥l2”，其他条件不变，求a的值． 解：∵l1∥l2，∴a＝2. [探究2]　题(2)变为：“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：当a＝2时，直线ax＋2y＝0即x＋y＝0与直线x＋y＝1平行；当直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行时，－eq \f(a,2)＝－1，a＝2.综上所述，“a＝2”是“直线ax＋2y＝0与直线x＋y＝1平行”的充要条件，故选C. 答案：C [探究3]　将题(3)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程． 解：法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P(0，2)． ∵l∥l3，∴直线l的斜率k1＝eq \f(3,4)， ∴直线l的方程为y－2＝eq \f(3,4)x，即3x－4y＋8＝0. 法二：∵直线l过直线l1和l2的交点， ∴可设直线l的方程为x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0. ∵l与l3平行，∴3(λ－2)－(－4)(1＋λ)＝0，且(－4)(4－2λ)≠5(λ－2)， ∴λ＝eq \f(2,7)，∴直线l的方程为3x－4y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 用一般式确定两直线位置关系的方法 直线方程 l1：A1x＋B1y＋C1＝0(Aeq \o\al(2,1)＋Beq \o\al(2,1)≠0) l2：A2x＋B2y＋C2＝0(Aeq \o\al(2,2)＋Beq \o\al(2,2)≠0) l1与l2垂直 的充要条件 A1A2＋B1B2＝0 l1与l2平行 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)≠eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) l1与l2相交 的充分条件 eq \f(A1,A2)≠eq \f(B1,B2)(A2B2≠0) l1与l2重合 的充分条件 eq \f(A1,A2)＝eq \f(B1,B2)＝eq \f(C1,C2)(A2B2C2≠0) 1．已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则a＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a(a＋2)＋1＝0，解得a＝－1. 答案：－1 2．若直线ax＋2y＋3a＝0与直线3x＋(a－1)y＝－7＋a平行，则实数a的值为________． 解析：显然当a＝1时两直线不平行；当a≠1时，k1＝－eq \f(a,2)，k2＝eq \f(3,1－a)，因为两条直线平行，所以k1＝k2，解得a＝3或a＝－2.经检验，a＝－2时两直线重合，故a＝3. 答案：3 考点二 有关距离问题　 [例2]　(1)(2015·安康模拟)点P到点A(1，0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x的距离等于eq \f(\r(2),2)，这样的点P共有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知两条平行直线l1：mx＋8y＋n＝0与l2：2x＋my－1＝0间的距离为eq \r(5)，则直线l1的方程为__________． [听前试做]　(1)设点P(x，y)，由题意知 eq \r(（x－1）2＋y2)＝|x＋1|，且eq \f(\r(2),2)＝eq \f(|x－y|,\r(2))， 所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,|x－y|＝1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝1，))① 或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,x－y＝－1.))② 解①得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3－2\r(2)，,y＝2－2\r(2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝3＋2\r(2)，,y＝2＋2\r(2)，)) 解②得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，)) 因此，这样的点P共有3个． (2)∵l1∥l2，∴eq \f(m,2)＝eq \f(8,m)≠eq \f(n,－1)，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝4，,n≠－2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－4，,n≠2.)) ①当m＝4时，直线l1的方程为4x＋8y＋n＝0， 把l2的方程写成4x＋8y－2＝0， ∴eq \f(|n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－22或18. 故所求直线l1的方程为2x＋4y－11＝0或2x＋4y＋9＝0. ②当m＝－4时，直线l1的方程为4x－8y－n＝0， 把l2的方程写成为4x－8y－2＝0， ∴eq \f(|－n＋2|,\r(16＋64))＝eq \r(5)，解得n＝－18或22. 故所求直线l1的方程为2x－4y＋9＝0或2x－4y－11＝0. 答案：(1)C　(2)2x±4y＋9＝0或2x±4y－11＝0 SHAPE \* MERGEFORMAT 与距离有关问题的解题策略 (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求． (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便． 已知点P(2，－1)，过点P且与原点的距离最大的直线l的方程为__________________，原点到直线l的最大距离为__________________． 解析：作图可得过点P与原点O距离最大的直线是过点P且与PO垂直的直线，如图．由l⊥OP，得klkOP＝－1， 所以kl＝－eq \f(1,kOP)＝2. 又点P(2，－1)在直线l上，由点斜式得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. ∴直线2x－y－5＝0是过点P且与原点O距离最大的直线，最大距离为eq \f(|－5|,\r(5))＝eq \r(5). 答案：2x－y－5＝0　eq \r(5) 考点三 对 称 问 题　 对称问题是高考常考内容之一，也是考查学生转化能力的一种常见题型，且主要有以下几个命题角度： 角度一：点关于点中心对称 [例3]　(2015·赣州模拟)过点P(0，1)作直线l，使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，则直线l的方程为________________． [听前试做]　设l1与l的交点为A(a，8－2a)，则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a，2a－6)在l2上，代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，解得a＝4，即点A(4，0)在直线l上，所以直线l的方程为x＋4y－4＝0. 答案：x＋4y－4＝0 角度二：点关于直线对称 [例4]　(2015·日照模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)，则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________． [听前试做]　设A′(x，y)，由已知得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y＋2,x＋1)×\f(2,3)＝－1，,2×\f(x－1,2)－3×\f(y－2,2)＋1＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(33,13)，,y＝\f(4,13)，)) 故A′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,13)，\f(4,13))) 角度三：直线关于直线的对称问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l：2x－3y＋1＝0，求直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程． [听前试做]　在直线m上任取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设对称点M′(a，b)，则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋2,2)))－3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b＋0,2)))＋1＝0，,\f(b－0,a－2)×\f(2,3)＝－1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(6,13)，,b＝\f(30,13)，)) ∴M′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,13)，\f(30,13))). 设直线m与直线l的交点为N，则 由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x－3y＋1＝0，,3x－2y－6＝0，))得N(4，3)． 又∵m′经过点N(4，3)， ∴由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0. 角度四：对称问题的应用 [例6]　(2015·抚州模拟)光线从点A(－4，－2)射出，到直线y＝x上的点B后被直线y＝x反射到y轴上的点C，又被y轴反射，这时反射光线恰好过点D(－1，6)，求BC所在的直线方程． [听前试做]　 作出草图，如图所示，设A关于直线y＝x的对称点为A′，D关于y轴的对称点为D′，则易得A′(－2，－4)，D′(1，6)．由入射角等于反射角可得A′D′所在直线经过点B与C.故BC所在的直线方程为eq \f(y－6,6＋4)＝eq \f(x－1,1＋2)，即10x－3y＋8＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 解决对称问题的方法 (1)中心对称 ①点P(x，y)关于O(a，b)的对称点P′(x′，y′)满足eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.)) ②直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决． (2)轴对称 ①点A(a，b)关于直线Ax＋By＋C＝0(B≠0)的对称点A′(m，n)，则有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.)) ②直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决． 1．(2015·广州模拟)直线x－2y＋1＝0关于x＝1对称的直线方程是(　　) A．x＋2y－1＝0　　　　　　　　B．2x＋y－1＝0 C．2x＋y－3＝0 　　　　　　 　D．x＋2y－3＝0 解析：选D　由题意得直线x－2y＋1＝0与x＝1的交点坐标为(1，1)．又直线x－2y＋1＝0上的点(－1，0)关于x＝1的对称点为(3，0)，所以由直线方程的两点式，得eq \f(y－0,1－0)＝eq \f(x－3,1－3)，即x＋2y－3＝0. 2．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与点(4，0)重合，点(7，3)与点(m，n)重合，则m＋n＝________． 解析：设A(0，2)，B(4，0)，则线段AB的中点为(2，1)，直线AB的斜率kAB＝eq \f(0－2,4－0)＝－eq \f(1,2)，则线段AB的垂直平分线方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.又点(7，3)与点(m，n)重合，则有 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(n－3,m－7)＝－\f(1,2)，,2×\f(7＋m,2)－\f(3＋n,2)－3＝0，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋2n－13＝0，,2m－n＋5＝0.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(3,5)，,n＝\f(31,5)，))∴m＋n＝eq \f(34,5). 答案：eq \f(34,5) 3．如图，已知A(4，0)、B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________． 解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝eq \r(62＋22)＝2eq \r(10). 答案：2eq \r(10 ) [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)条规律——与已知直线垂直及平行的直线系的设法 　与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为： (1)垂直：Bx－Ay＋m＝0； (2)平行：Ax＋By＋n＝0. eq \a\vs4\al(1)种思想——转化思想在对称问题中的应用 　一般地，对称问题包括点关于点的对称，点关于直线的对称，直线关于点的对称，直线关于直线的对称等情况，上述各种对称问题最终化归为点的对称问题来解决． eq \a\vs4\al(2)个注意点——判断直线位置关系及运用两平行直线间　的距离公式的注意点 　(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．若两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑； (2)运用两平行直线间的距离公式d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))的前提是将两方程中的x，y的系数化为 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝(　　) A.eq \f(2,3)　　　　B．－1　　　　C．2　　　　D．－1或2 解析：选A　∵a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝eq \f(2,3). 2．已知点(m，1)(m＞0)到直线l：x－y＋2＝0的距离为1，则实数m的值为(　　) A.eq \r(2) B．2－eq \r(2) C.eq \r(2)－1 D.eq \r(2)＋1 解析：选C　 d＝eq \f(|m－1＋2|,\r(2))＝eq \f(|m＋1|,\r(2))＝1，∴m＝－1±eq \r(2). 又∵m＞0，∴m＝eq \r(2)－1. 3．当0＜k＜eq \f(1,2)时，直线l1：kx－y＝k－1与直线l2：ky－x＝2k的交点在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B　解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得交点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,k－1)，\f(2k－1,k－1))).因为0＜k＜eq \f(1,2)，所以eq \f(k,k－1)＜0，eq \f(2k－1,k－1)＞0.故交点在第二象限． 4．已知平面内两点A(1，2)，B(3，1)到直线l的距离分别是eq \r(2)，eq \r(5)－eq \r(2)，则满足条件的直线l的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选C　由题知满足题意的直线l在线段AB两侧各有1条．又因为|AB|＝ eq \r(5)，所以还有1条为过线段AB上的一点且与AB垂直的直线，故共3条． 5．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 解析：选A　因为l1，l2关于直线y＝－x对称，所以l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝eq \f(1,2)x＋eq \f(3,2)，即直线l2的斜率为eq \f(1,2). 6．(2015·景德镇模拟)若动点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)分别在直线l1：x－y－5＝0，l2：x－y－15＝0上移动，则P1P2的中点P到原点的距离的最小值是(　　) A.eq \f(5\r(2),2) B．5eq \r(2) C.eq \f(15\r(2),2) D．15eq \r(2) 解析：选B　由题意得P1P2的中点P的轨迹方程是x－y－10＝0，则原点到直线x－y－10＝0的距离为d＝eq \f(10,\r(2))＝5eq \r(2). 7．若直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，则直线l2恒过定点(　　) A．(0，4) B．(0，2) C．(－2，4) D．(4，－2) 解析：选B　直线l1：y＝k(x－4)恒过定点(4，0)，其关于点(2，1)对称的点为(0，2)．又由于直线l1：y＝k(x－4)与直线l2关于点(2，1)对称，故直线l2恒过定点(0，2)． 8．(2015·哈尔滨模拟)设A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为3，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　) A．x＋y－5＝0 B．2x－y－1＝0 C．x－2y＋4＝0 D．x＋y－7＝0 解析：选D　由|PA|＝|PB|知点P在AB的垂直平分线上．由点P的横坐标为3，且PA的方程为x－y＋1＝0，得P(3，4)．直线PA，PB关于直线x＝3对称，直线PA上的点(0，1)关于直线x＝3的对称点(6，1)在直线PB上，∴直线PB的方程为x＋y－7＝0. 二、填空题 9．直线Ax＋3y＋C＝0与直线2x－3y＋4＝0的交点在y轴上，则C的值为________． 解析：因为两直线的交点在y轴上，所以当x＝0时，y1＝－eq \f(C,3)，y2＝eq \f(4,3)，则y1＝y2，即－eq \f(C,3)＝eq \f(4,3)，故C＝－4. 答案：－4 10．(2015·玉溪模拟)已知点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1＝0的距离相等，则实数a的值为________． 解析：由题意及点到直线的距离公式得eq \f(|－3a－4＋1|,\r(a2＋1))＝eq \f(|6a＋3＋1|,\r(a2＋1))，解得a＝－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9). 答案：－eq \f(1,3)或－eq \f(7,9) 11．已知直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m，l2：2x＋(5＋m)y＝8, l1∥l 2，则实数m的值为________． 解析：由(3＋m)(5＋m)－4×2＝0，得m＝－1或m＝－7， 当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去； 当m＝－7时，eq \f(5－3m,4)＝eq \f(13,2)≠eq \f(8,5＋m)，两直线平行． 答案：－7 12．已知平面上三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________． 解析：若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k＝0或2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k＝1，故实数k的所有取值为0，1，2. 答案：0，1，2 三、解答题 13．已知两条直线l1：ax－by＋4＝0，l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求分别满足下列条件的a，b的值． (1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． 解：(1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(－b)·1＝0， 即a2－a－b＝0.① 又点(－3，－1)在l1上， ∴－3a＋b＋4＝0② 由①②得a＝2，b＝2. (2)∵l1∥l2，∴eq \f(a,b)＝1－a，b＝eq \f(a,1－a)， 故l1和l2的方程可分别表示为： (a－1)x＋y＋eq \f(4（a－1）,a)＝0， (a－1)x＋y＋eq \f(a,1－a)＝0， 又原点到l1与l2的距离相等． ∴4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a－1,a)))＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a)))，∴a＝2或a＝eq \f(2,3)， ∴a＝2，b＝－2或a＝eq \f(2,3)，b＝2. eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．(2015·南昌模拟)点P在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为 eq \r(2)，则点P坐标为(　　) A．(1，2) B．(2，1) C．(1，2)或(2，－1) D．(2，1)或(－1，2) 解析：选C　设P(x，5－3x)，则d＝eq \f(|x－5＋3x－1|,\r(12＋（－1）2))＝eq \r(2)，|4x－6|＝2，4x－6＝±2， 即x＝1或x＝2，故P(1，2)或(2，－1)． 2．已知直线y＝2x是△ABC中∠C的平分线所在的直线，若点A，B的坐标分别是(－4，2)，(3，1)，则点C的坐标为(　　) A．(－2，4) B．(－2，－4) C．(2，4) D．(2，－4) 解析：选C　点A关于直线y＝2x对称的点为(4，－2)，且点A关于y＝2x对称的点在直线BC上，于是BC方程为3x＋y－10＝0，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,3x＋y－10＝0，))得点C的坐标为(2，4)． 3．已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点P. (1)点A(5，0)到l的距离为3，求l的方程； (2)求点A(5，0)到l的距离的最大值． 解：(1)∵经过两已知直线交点的直线系方程为 (2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0， ∴eq \f(|10＋5λ－5|,\r(（2＋λ）2＋（1－2λ）2))＝3，解得λ＝2或λ＝eq \f(1,2). ∴l的方程为x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交点P(2，1)， 如图，过P作任一直线l，设d为点A到l的距离， 则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立)． ∴dmax＝|PA|＝eq \r(10). 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是∪. 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0.∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是∪. 【探究2】若将题(2)条件改为“经过P(0，－1)作直线l，若直线l与连接A(1，－2)，B(2，1)的线段总有公共点”，求直线l的倾斜角α的范围． 解：法一：如图所示，kPA＝eq \f(－2－（－1）,1－0)＝－1，kPB＝eq \f(1－（－1）,2－0)＝1，由图可观察出：直线l倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). 法二：由题意知，直线l存在斜率．设直线l的斜率为k， 则直线l的方程为y＋1＝kx，即kx－y－1＝0. ∵A，B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上． ∴(k＋2－1)(2k－1－1)≤0，即2(k＋1)(k－1)≤0. ∴－1≤k≤1. ∴直线l的倾斜角α的范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π)). [探究3]　将题(2)改为： 已知实数x，y满足2x＋y＝8，当2≤x≤3时，则eq \f(y,x)的最大值为________；最小值为________． 解析：本题可先作出函数y＝8－2x(2≤x≤3)的图象，把eq \f(y,x)看成过点(x，y)和原点的直线的斜率进行求解． 如图，设点P(x，y)，因为x，y满足2x＋y＝8，且2≤x≤3，所以点P(x，y)在线段AB上移动，并且A，B两点的坐标分别是A(2，4)，B(3，2)．因为eq \f(y,x)的几何意义是直线OP的斜率，且kOA＝2，kOB＝eq \f(2,3)，所以eq \f(y,x)的最大值为2，最小值为eq \f(2,3). 答案：2　eq \f(2,3) SHAPE \* MERGEFORMAT 求倾斜角的注意点及其取值范围的一般步骤 求倾斜角时要注意斜率是否存在．求其取值范围的一般步骤为： (1)求出斜率k＝tan α的取值范围； (2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围． 已知两点A(－eq \r(3)，3)，B(1，－eq \r(3))，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则直线l的斜率为________． 解析：设直线l的倾斜角为α，则直线AB的倾斜角为2α， 则由题可知tan 2α＝eq \f(3－（－\r(3)）, －\r(3)－1)＝－eq \r(3)， 所以2α＝120°，解得tan α＝eq \r(3)，即直线l的斜率为eq \r(3). 答案：eq \r(3) 考点二 直 线 方 程　 [例2]　求适合下列条件的直线方程： (1)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (2)直线过点(5，10)，且原点到直线的距离为5. [听前试做]　(1)由题设知截距不为0，设直线方程为：eq \f(x,a)＋eq \f(y,12－a)＝1， 从而eq \f(－3,a)＋eq \f(4,12－a)＝1，解得a＝－4或9. 故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0. (2)依题设知此直线的斜率可能不存在． 当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0； 当斜率存在时，设其斜率为k，则y－10＝k(x－5)， 即kx－y＋(10－5k)＝0. 由点到直线的距离公式得：eq \f(|10－5k|,\r(k2＋1))＝5，解得k＝eq \f(3,4). 故所求直线的方程为3x－4y＋25＝0. 综上，所求直线的方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. SHAPE \* MERGEFORMAT 求直线方程的注意点 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件． (1)用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在； (2)两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，注意分类讨论，判断截距是否为零． 经过点P(－5，－4)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为5的直线方程是(　　) A．8x＋5y＋20＝0或2x－5y－12＝0 B．8x－5y－20＝0或2x－5y＋10＝0 C．8x＋5y＋10＝0或2x＋5y－10＝0 D．8x－5y＋20＝0或2x－5y－10＝0 解析：选D　由题意设所求方程为y＋4＝k(x＋5)，即kx－y＋5k－4＝0.由eq \f(1,2)·|5k－4|·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)－5))＝5得，k＝eq \f(8,5)或k＝eq \f(2,5).将k代入可得直线方程. 考点三 直线方程的综合应用　 　　直线方程是解析几何的一个基础内容，在高考中经常与其他知识结合考查，多以选择、填空题的形式呈现，难度不大，多为中、低档题目，且主要有以下几个命题角度： 角度一：与基本不等式结合求最值问题 [例3]　(2014·四川高考)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________． [听前试做]　易求定点A(0，0)，B(1，3)．当P与A和B均不重合时，因为P为直线x＋my＝0与mx－y－m＋3＝0的交点，且易知两直线垂直，则PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤eq \f(|PA|2＋|PB|2,2)＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝eq \r(5)时，等号成立)；当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5. 答案：5 角度二：与圆相结合求解直线方程 [例4]　(2014·福建高考)已知直线l 过圆x2＋(y－3)2 ＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0 垂直，则l 的方程是 (　　) A．x＋y－2＝0　　　　　 B．x－y＋2＝0 C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0 [听前试做]　依题意，得直线l过点(0，3)，斜率为1，所以直线l的方程为y－3＝x－0，即x－y＋3＝0.故选D. 答案：D 角度三：由直线方程求参数问题 [例5]　(2015·延安模拟)已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________． [听前试做]　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距为2－a，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝eq \f(1,2)×2×(2－a)＋eq \f(1,2)×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2))) eq \s\up12(2)＋eq \f(15,4)，当a＝eq \f(1,2)时，面积最小． 答案：eq \f(1,2) SHAPE \* MERGEFORMAT 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1)求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值． (2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解． 1.已知直线l过点M(1，1)，且与x轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，则当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程为________________． 解析：设A(a，0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(a,b)＋eq \f(b,a)≥2＋2 eq \r(\f(a,b)·\f(b,a))＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0. 答案：x＋y－2＝0 2．(2015·济宁一模)如果直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是(　　) A．[－2，2] B．(－∞，－2]∪[2，＋∞) C．[－2，0)∪(0，2] D．(－∞，＋∞) 解析：选C　 令x＝0，得y＝eq \f(b,2)，令y＝0，得x＝－b，所以所求三角形面积为eq \f(1,2) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(b,2)))|－b|＝eq \f(1,4)b2，且b≠0，eq \f(1,4)b2≤1，所以b2≤4，所以b∈[－2，0)∪(0，2]. [课堂归纳——通法领悟] eq \a\vs4\al(1)个关系——直线的倾斜角和斜率的关系 　斜率k是一个实数，当倾斜角α≠90°时，k＝tan α.直线都有倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率，倾斜角为90°的直线无斜率． eq \a\vs4\al(2)种方法——求直线方程的方法 　(1)直接法：根据已知条件选择恰当的直线方程形式，直接求出直线方程． (2)待定系数法：先根据已知条件设出直线方程，再根据已知条件中构造关于待定系数的方程(组)，求出待定系数，从而求出直线方程． eq \a\vs4\al(4)个注意点——直线方程的4个注意点 (1)利用两点式计算斜率时易忽视x1＝x2时斜率k不存在的情况． (2)用直线的点斜式求方程时，在斜率k不明确的情况下，注意分k存在与不存在讨论，否则会造成失误． (3)直线的截距式中易忽视截距均不为0这一条件，当截距为0时可用点斜式． (4)由一般式Ax＋By＋C＝0确定斜率k时易忽视判断B是否为0的情况，当B＝0时，k不存在；当B≠0时，k＝－eq \f(A,B). 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 eq \a\vs4\al([全盘巩固]) 一、选择题 1．直线l：xsin 30°＋ycos 150°＋1＝0的斜率是(　　) A.eq \f(\r(3),3)　　　　B.eq \r(3)　　　　C．－eq \r(3)　　　　D．－eq \f(\r(3),3) 解析：选A　设直线l的斜率为k，则k＝－eq \f(sin 30°,cos 150°)＝eq \f(\r(3),3). 2．(2015·西安模拟)过点(eq \r(3)，－2)的直线l经过圆x2＋y2－2y＝0的圆心，则直线l的倾斜角大小为(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：选C　圆心坐标为(0，1)，斜率k＝tan α＝eq \f(－2－1,\r(3)－0)＝－eq \r(3)， ∴倾斜角α＝120°. 3．过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为(　　) A．y＝x－5 B．y＝2x－9 C．y＝3x－7 D．y＝4x－17 解析：选A　 由于双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的坐标是(5，0)，因此过点A(4，－1)和双曲线eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的右焦点的直线方程为y＝eq \f(1,5－4)×(x－5)，即y＝x－5. 4．直线ax＋by＋c＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足(　　) A．ab＞0，bc＜0 B．ab＞0，bc＞0 C．ab＜0，bc＞0 D．ab＜0，bc＜0 解析：选A　由于直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y＝－eq \f(a,b)x－eq \f(c,b).易知－eq \f(a,b)＜0且－eq \f(c,b)＞0，故ab＞0，bc＜0. 5．若实数a，b满足a＋2b＝3，则直线2ax－by－12＝0必过定点(　　) A．(－2，8) B．(2，8) C．(－2，－8) D．(2，－8) 解析：选D　a＋2b＝3⇒4a＋8b－12＝0，又2ax－by－12＝0，比较可知x＝2，y＝－8，故选D. 6．(2013·山东高考)过点(3，1)作圆(x－1)2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(　　) A．2x＋y－3＝0 B．2x－y－3＝0 C．4x－y－3＝0 D．4x＋y－3＝0 解析：选A　根据平面几何知识，直线AB一定与点(3，1)，(1，0)的连线垂直，这两点连线的斜率为eq \f(1,2)，故直线AB的斜率一定是－2，只有选项A中直线的斜率为－2. 7．(2015·深圳调研)在同一平面直角坐标系中，直线l1：ax＋y＋b＝0和直线l2：bx＋y＋a＝0有可能是(　　) 　 A　　　　　B　　 　　　C　　　　　　D 解析：选B　直线l1：ax＋y＋b＝0的斜率k1＝－a，在y轴上的截距为－b；直线l2：bx＋y＋a＝0的斜率k2＝－b，在y轴上的截距为－a.在选项A中l2的斜率－b<0，而l1在y轴上截距－b>0，所以A不正确．同理可排除C、D. 8．(2015·哈尔滨模拟)函数y＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)，则直线l：ax－by＋c＝0的倾斜角为(　　) A．45° B．60° C．120° D．135° 解析：选D　由函数y＝f(x)＝asin x－bcos x的一条对称轴为x＝eq \f(π,4)知，f(0)＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，即－b＝a，∴直线l的斜率为－1，∴倾斜角为135°. 二、填空题 9．若直线l与直线y＝1，x＝7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，－1)，则直线l的斜率为________． 解析：设P(xP，1)，由题意及中点坐标公式得xP＋7＝2，解得xP＝－5，即P(－5，1)，所以k＝－eq \f(1,3). 答案：－eq \f(1,3) 10．(2015·中山模拟)过点M(－3，5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________． 解析：(1)当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x； (2)当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1， 即x－y＝a.代入点(－3，5)，得a＝－8. 即直线方程为x－y＋8＝0. 答案：y＝－eq \f(5,3)x或x－y＋8＝0 11．(2015·抚州模拟)若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________． 解析： 因为点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n－10＝0，利用m2＋n2表示为直线上的点到原点距离的平方的最小值来分析可知，m2＋n2的最小值为4. 答案：4 12．(2015·贵阳模拟)直线l经过点A(1，2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________． 解析：设直线l的斜率为k，则方程为y－2＝k(x－1)，在x轴上的截距为1－eq \f(2,k)，令－3＜1－eq \f(2,k)＜3，解得k＜－1或 k＞eq \f(1,2). 答案：(－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 三、解答题 13．已知两点A(－1，2)，B(m，3)． (1)求直线AB的方程； (2)已知实数m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)－1，\r(3)－1))，求直线AB的倾斜角α的取值范围． 解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1； 当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝eq \f(1,m＋1)(x＋1)． (2)①当m＝－1时，α＝eq \f(π,2)； ②当m≠－1时，m＋1∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，0))∪(0，eq \r(3) ]， ∴k＝eq \f(1,m＋1)∈(－∞，－eq \r(3) ]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，＋∞))， ∴α∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(2π,3))). 综合①②知，直线AB的倾斜角α∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(2π,3))). eq \a\vs4\al([冲击名校]) 1．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a，b满足(　　) A．a＋b＝1 B．a－b＝1 C．a＋b＝0 D．a－b＝0 解析：选D　因为sin α＋cos α＝0，所以tan α＝－1.又因为α为倾斜角，所以斜率k＝－1.而直线ax＋by＋c＝0的斜率k＝－eq \f(a,b)，所以－eq \f(a,b)＝－1，即a－b＝0. 2．已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程： (1)过定点A(－3，4)； (2)斜率为eq \f(1,6). 解：(1)设直线l的方程为y＝k(x＋3)＋4，它在x轴，y轴上的截距分别是－eq \f(4,k)－3，3k＋4， 由已知，得(3k＋4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k)＋3))＝±6， 解得k1＝－eq \f(2,3)或k2＝－eq \f(8,3). 故直线l的方程为2x＋3y－6＝0或8x＋3y＋12＝0. (2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是y＝eq \f(1,6)x＋b，它在x轴上的截距是－6b， 由已知，得|－6b·b|＝6，∴b＝±1. ∴直线l的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 3．已知直线l: kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)若直线不经过第四象限，求k的取值范围； (2)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程． 解：(1)由方程知，直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)(k≠0)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<－2，,1＋2k>1))或k＝0，解得k≥0. (2)由l的方程得，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)． 依题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)<0，,1＋2k>0，))解得k>0. ∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k| ＝eq \f(1,2)·eq \f( （1＋2k）2,k)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq \f(1,2)(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)， ∴Smin＝4，此时l：x－2y＋4＝0. 第二节　两直线的位置关系 考纲下载 1．能根据两条直线的斜率判断这两条直线平行或垂直． 2．能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 3．掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　 一、必备知识 1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 ①对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2； ②当不重合的两条直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2的关系为平行． (2)两条直线垂直 ①如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则l1⊥l2⇔k1k2＝－1； ②如果l1，l2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的关系为垂直． 2．两条直线的交点 3．三种距离 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离 |P1P2|＝ eq \r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2) 点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离 d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)) 两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离 d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)) 二、必记结论 常见的直线系方程 (1)过定点P(x0，y0)的直线系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＋C＝0(A2＋B2≠0)，还可表示为y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在时可设为x＝x0)． (2)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋C1＝0(C1≠C)． (3)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋C1＝0. (4)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)． 一、思考辨析 判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.(　　) (2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.(　　) (3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．(　　) (4)点P(x0，y0)到直线y＝kx＋b的距离为eq \f(|kx0＋b|,\r(1＋k2)).(　　) (5)两平行直线2x－y＋1＝0，4x－2y＋1＝0间的距离是0.(　　) 提示：(1)错误．当直线l1和l2斜率都存在时，虽然有k1＝k2，但有可能重合． (2)错误．两条直线l1与l2垂直，它们的斜率之积等于－1，或一条直线斜率不存在，另一条直线斜率为0. (3)正确．若两条直线组成的方程组有唯一解时，两条直线必相交． (4)错误．点到直线的距离公式的使用条件是直线方程必须是一般式． (5)错误．使用两条平行线间的距离公式的条件是两条直线方程都是一般式且一次项系数相同． 答案：(1)×　 (2)×　 (3)√　 (4)×　 (5)× 二、牛刀小试 1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离是(　　) A．1 B.eq \r(3) C．2 D.eq \r(5) 解析：选D　d＝eq \f(|－5|,\r(12＋22))＝eq \r(5). 2．(2015·榆林模拟)已知直线l1的方程为3x＋4y－7＝0，直线l2的方程为6x＋8y＋1＝0，则直线l1与l2的距离为(　　) A.eq \f(8,5) B.eq \f(3,2) C．4 D．8 解析：选B　l1的方程可化为6x＋8y－14＝0，又因为l2的方程为6x＋8y＋1＝0，所以l1与l2的距离d＝eq \f(|－14－1|,\r(62＋82))＝eq \f(15,10)＝eq \f(3,2). 3．两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：3x＋y＋2＝0的交点为________． 解析：解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－2＝0，,3x＋y＋2＝0))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－\f(10,9)，,y＝\f(4,3)，)) ∴交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(10,9)，\f(4,3))) 4．若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________． 解析：∵直线x－2y＋5＝0与2x＋my－6＝0互相垂直，∴eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,m)))＝－1，∴m＝1. 答案：1 考点一 两条直线的平行与垂直问题 　　　 　　[例1]　(1)(2015·济南模拟)已知两条直线l1：(a－1)·x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a＝ (　　) A．－1　　　B．2　　　C．0或－2　　　D．－1或2 (2)已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1, l2：ax＋2y＝0, 若l1⊥l2，则a＝ ________． (3)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________________． [听前试做]　(1)若a＝0，两直线方程为－x＋2y＋1＝0和x＝－3，此时两直线相交，不平行，所以a≠0.当a≠0时，若两直线平行，则有eq \f(a－1,1)＝eq \f(2,a)≠eq \f(1,3)，解得a＝－1或a＝2，选D. (2)法一：∵l1⊥l2，∴k1k2＝－1，即eq \f(a,2)＝－1，解得a＝－2. 法二：∵l1⊥l2，∴a＋2＝0，a＝－2. (3)法一：由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x＋y－2＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))即P$$