第十八章 相似形（复习讲义）数学北京版九年级上册

第十八章 相似形（复习讲义） ①掌握相似图形的概念，学会观察周围的相似图形； ②理解并掌握比例线段的概念，并学会用比例进行计算； ③掌握黄金分割的概念，会用黄金分割解决实际问题； ④重点掌握相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质解决问题； ⑤掌握相似三角形的实际应用问题，会将实际问题转化为几何问题进行解决； 知识点 重点归纳 常见易错点 两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. 分不清比例的关系或者比例式出错 比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例线段概念理解错误；比例外项、比例内项分不清 黄金分割 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 记不住黄金分割数；对黄金分割的边比弄错 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例的边弄错；或者将平行边的比当作了平行线段的比 相似多边形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 不理解相似多边形的概念；相似多边形的边比弄错 相似多边形的性质 1）相似多边形的对应角相等,对应边成比例； 2）相似多边形对应对角线的比等于相似比； 3）相似多边形周长的比等于相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方； 相似多边形的性质概念模糊 相似三角形的判定 1、 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、 三边成比例的两个三角形相似 3、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4、 两角分别相等的两个三角形相似 不知道选择哪个判定方法进行相似三角形的判定； 相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 对相似三角形的性质比较模糊，做题时无法准确运用相似三角形的性质做题 题型一 比例线段 【例1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【变式1-2】已知均不为0，且，若，则的值为 ； 【变式1-3】线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 题型二 黄金分割 【例2】神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【变式2-1】如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为米，则的长是 米． 【变式2-3】黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 题型三 平行线分线段成比例 【例3】如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 【变式3-1】如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【变式3-2】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【变式3-3】如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 题型四 相似图形 【例4】下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【变式4-1】如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 【变式4-3】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 题型五 相似多边形及其性质 【例5】如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 【变式5-3】观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 题型六 相似三角形的判定 【例6】如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【变式6-1】如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【变式6-2】如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【变式6-3】如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 题型七 选择或补充条件使三角形相似 【例7】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【变式7-3】如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 题型八 利用相似三角形的性质求解 【例8】如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 【变式8-1】如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 【变式8-3】如图，在中，在上，．    (1)求证：∽； (2)若，则的值为 ． 题型九 证明三角形的对应线段成比例 【例9】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【变式9-1】如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【变式9-2】已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【变式9-3】如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例10】如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【变式10-1】在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【变式10-2】如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【变式10-3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 题型十一 相似三角形的动点问题 【例11】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【变式11-1】如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【变式11-2】如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 【变式11-3】如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 题型十二 重心的有关性质 【例12】如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【变式12-1】如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【变式12-2】三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成的两条线段． （1）如图，在中，为中线，点是的重心，若，则 ； （2）如图，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为 ． 【变式12-3】如图，是的重心，且，，，求中边上的高．    题型十三 相似三角形的综合问题 【例13】（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【变式13-1】如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式13-2】小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，试说明与之间的关系； (2)【迁移应用】 如图2，在正方形中，G是的中点，连接，作，与相交于点H，与相交于点E，垂足为F，求的值． 【变式13-3】如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平行四边形的面积是32，求线段的长 题型十四 相似三角形的模型 【例14】如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【变式14-1】如图，在中，分别是边上的点，满足； (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式14-2】在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【变式14-3】已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 题型十五 相似三角形与折叠、旋转等相关问题 【例14】综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．则_____． 【拓展探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． 【解决问题】（3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长． 【变式15-1】【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【变式15-2】如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【变式15-3】如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． (1)求的长； (2)求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 相似形（复习讲义） ①掌握相似图形的概念，学会观察周围的相似图形； ②理解并掌握比例线段的概念，并学会用比例进行计算； ③掌握黄金分割的概念，会用黄金分割解决实际问题； ④重点掌握相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质解决问题； ⑤掌握相似三角形的实际应用问题，会将实际问题转化为几何问题进行解决； 知识点 重点归纳 常见易错点 两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. 分不清比例的关系或者比例式出错 比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例线段概念理解错误；比例外项、比例内项分不清 黄金分割 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 记不住黄金分割数；对黄金分割的边比弄错 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例的边弄错；或者将平行边的比当作了平行线段的比 相似多边形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 不理解相似多边形的概念；相似多边形的边比弄错 相似多边形的性质 1）相似多边形的对应角相等,对应边成比例； 2）相似多边形对应对角线的比等于相似比； 3）相似多边形周长的比等于相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方； 相似多边形的性质概念模糊 相似三角形的判定 1、 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、 三边成比例的两个三角形相似 3、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4、 两角分别相等的两个三角形相似 不知道选择哪个判定方法进行相似三角形的判定； 相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 对相似三角形的性质比较模糊，做题时无法准确运用相似三角形的性质做题 题型一 比例线段 【例1】若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，设，代入化简即可． 【详解】∵， 设， ∴． 故选：A． 【变式1-1】下列结论中，错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，比例的基本性质及其应用，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解： 由，设，， 代入，， ∴等式成立，故A正确，不符合题意； 由，两边乘得， 整理得， 即，故B正确，不符合题意； 仅说明与的比为， 但，并非唯一解（如，也满足）， 原结论错误，故C错误，符合题意； ∵，，，， ∴（因，即），故D正确，不符合题意； 故选：C 【变式1-2】已知均不为0，且，若，则的值为 ； 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．设，得到，，，得到，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：设 ∴，， 三式相加得， ∵ ∴. ∴， 故答案为：2 【变式1-3】线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 题型二 黄金分割 【例2】神奇的自然界处处蕴含着数学知识，动物学家在鹦鹉螺外壳上发现，其上一圈螺纹的直径与相邻下一圈螺纹直径的比约为黄金比．若上一圈螺纹的直径为a，则相邻下一圈螺纹的直径约为（     ） A． B．2a C． D．4a-1 【答案】C 【分析】本题考查黄金比例，掌握知识点是解题的关键． 设相邻下一圈螺纹的直径为x，根据黄金比例，列方程求解即可． 【详解】解：设相邻下一圈螺纹的直径为x， 根据题意得： ． 故选：C． 【变式2-1】如图，乐器上的一根弦，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，B两点之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了黄金分割点的概念：把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比． 根据黄金分割的概念和黄金比值求出，进而得出答案． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点， ∴， ∴． 故选：B． 【变式2-2】我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”．如图．在设计人体雕像时，为了增加视觉美感利用黄金分割法，将雕像分为上下两部分，其中为的黄金分割点，已知长为米，则的长是 米． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义并结合图象计算即可得解，熟练掌握黄金分割的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：米， 故答案为：． 【变式2-3】黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例．人体上半身长和下半身长的黄金比为，这时人的身长比例看上去更美观．乐乐的妈妈上半身长68厘米，下半身长104厘米，她想通过穿高跟鞋，使身长的比例更美观，于是她购买了一双6厘米高的高跟鞋．依据黄金比，这双高跟鞋的高度合适吗？请说明理由． 【答案】这双高跟鞋合适，理由见解析． 【分析】本题考查了黄金分割，以及比例的性质，根据黄金分割的定义，进行计算即可解答． 【详解】解：这双高跟鞋合适，理由如下： （）， ， 答：这双高跟鞋合适，穿起来后上半身长与下半身长正好成黄金比． 题型三 平行线分线段成比例 【例3】如图，，若，则为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例，先根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A． 【变式3-1】如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（    ） A．1.5 B．4.5 C．7.5 D．10.5 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握比例的运算，平行线分线段成比例的知识是解题的关键．根据平行线分线段成比例即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴，即， ∴， 故选：B． 【变式3-2】如图，在中，是的中点，点在上，连接并延长交于点，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握这两个定理，通过作辅助线构建比例关系是解题的关键．通过作辅助线，利用平行线分线段成比例定理，逐步推导得出与的关系，进而求出的长． 【详解】解：过点 作 交于点 ． ∵是的中点， ∴， ， （平行线分线段成比例定理）．， ， 设，则 ，， ，且， ， 解得， ∴ 故答案为： ． 【变式3-3】如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 又因为， 所以． （2）解：因为，， 所以． 因为， 所以． 又因为， 所以． 题型四 相似图形 【例4】下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 【变式4-1】如图，两个正方形，两个等边三角形，两个矩形，两个等腰直角三角形各成一组．每组中的一个图形在另一个图形的内部，对应边平行，且对应边之间的距离相等，则两个图形对应边不成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及判定：对应角相等，对应边成比例，即可判断． 【详解】解：由题意得， A中正方形四条边均相等，所以对应边成比例，又角也相等，所以正方形相似； B、C中三角形对应角相等，对应边成比例，两三角形相似； 而D中矩形四个角相等，但对应边不一定成比例，所以D中矩形不是相似多边形． 故选：D． 【变式4-2】在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm，则这次复印出来的图案的面积是 【答案】32 【分析】复印前后的图案按照比例放大或缩小，因此它们是相似图形，按照相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵在一张由复印机通过放大复印出来的纸上，一个面积为图案的一条边由原来的1cm变成4cm， ∴相似比， ∴面积比， ∴这次复印出来的图案的面积． 故答案是：32． 【点睛】考查了相似图形，掌握相似图形面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 【变式4-3】某小区有一块矩形草坪长20米，宽10米，沿着草坪四周要修一宽度相等的环形小路，使得小路内外边缘所成的矩形相似，你能做到吗？若能，求出这一宽度；若不能，说明理由． 【答案】不能，见解析 【分析】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得，解方程即可求解． 【详解】设小路宽为x米，则小路的外边缘围成的矩形的长为米，宽为米，将两个矩形的长与宽分别相比，得， 解得：， 经检验，是原方程的根， 即宽度为0米的小路不存在， ∴做不到． 【点睛】通过本题的探索可以发现：把一个矩形的长和宽同时增加或减小相同的长度，所得矩形与原来矩形一定不相似，因为（a、b、c都是正数）． 题型五 相似多边形及其性质 【例5】如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长均相等，四边形的面积是．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，由相似多边形的性质可知，然后代入计算求解即可，熟练掌握相似多边形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：由相似多边形的性质可知，， ∵四边形的面积是， ∴， ∴， 故选：． 【变式5-1】如图，现将一张纸沿它的长边对折（为折痕）可以得到两张纸，已知A系列纸的长宽比是相等的，那么纸的长边与短边的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要利用相似多边形对应边成比例的性质，设原来矩形的长为，宽为，先表示出对折后的矩形的长和宽，再根据相似矩形对应边成比例列出比例式，即可得答案． 【详解】解：设原来纸的长为，宽为，则对折后的纸的长为，宽为， 纸和纸的长宽比例是相等的， ， 解得． 故选：B． 【变式5-2】如图，已知矩形矩形，矩形的长为90，宽为60，矩形 的宽为40，则x的值为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了相似多边形的性质，熟知相似多边形对应边的比相等是解题的关键．利用相似多边形对应边的比相等求解即可． 【详解】∵矩形矩形， ∴， ∴， 解得． 故答案为：15． 【变式5-3】观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 题型六 相似三角形的判定 【例6】如图，点分别在正方形的边，上，连接和，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相关性质和判定是解题的关键．根据已知条件求出，再证明，又由正方形的性质，得，根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”即可证明出结论． 【详解】证明：四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， ， ， △△． 【变式6-1】如图，已知是边上的中线，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定． 根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行解答即可． 【详解】证明：∵是边上的中线，， ∴， ∵，， ∴，且，     ∴． 【变式6-2】如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．求证：．    【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，折叠的性质，熟练掌握三角形相似的判定方法是解题的关键．根据矩形性质得出，根据余角的性质得出，根据两个对应相等的两个三角形相似，证明结论即可． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ． 矩形纸片沿折叠得到，且点在上， ， ， ， ． 【变式6-3】如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 题型七 选择或补充条件使三角形相似 【例7】如图，点P在的边上，要判断，添加一个条件，不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，分别利用相似三角形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； B、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、当时， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； D、当时，无法得到，故此选项符合题意． 故选：D． 【变式7-1】如图，点P是的边上一点，连接，以下条件中，不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ∵， ∴当时，；故选项A不符合题意； 当时，；故选项B不符合题意； 当时，；故选项C不符合题意； 当时，无法得到；故选项D符合题意； 故选D． 【变式7-2】如图，在中，点D，E分别是边上的点，若，则需要增加的一个条件是 （只需增加一个条件即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查相似三角形的判定，和中，已满足一组对角相等，因此再添加一组对角相等，或相等的角的两条边长对应成比例，即可证明． 【详解】解：和中，， 若，则需要增加的一个条件是：或或， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7-3】如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 题型八 利用相似三角形的性质求解 【例8】如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的定理得到，进而得到，根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 【变式8-1】如图，在中，点在上，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了相似三角形的性质、三角形内角和定理．根据三角形内角和定理求出∠ABD=30°，根据相似三角形的性质求出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【变式8-2】如图，在等边中，点P、D分别是边上的点，连接，且． (1)求证：； (2)若；求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由题意可得，，可证； （2）由，可得，代入数值即可求出的长． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， 又， ． （2）由（1）， ，即， 即， ． 【变式8-3】如图，在中，在上，．    (1)求证：∽； (2)若，则的值为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，适当选择相似三角形的判定定理证明∽及∽是解题的关键． （1）由，，得，，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）设，可推出和，进而求得与的关系，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ∽； （2）设， ∵， ∴，， ∴， ∴∽，∽， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为： 题型九 证明三角形的对应线段成比例 【例9】如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 【变式9-1】如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 【变式9-2】已知与相似且对应中线的比为，的周长为，则的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据对应中线的比是，可得这两个三角形的相似比是，由于相似三角形的周长比等于相似比，由此可求出结果． 【详解】解：∵与相似且对应中线的比为， ∴的周长为的周长， ∴的周长， ∴的周长， 故答案为：． 【变式9-3】如图，在四边形中，，连接，且恰好平分，点E在边上，与交于点O． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，判定两三角形相似是解题关键， （1）证出，结合对顶角相等即可证明结论； （2）根据相似三角形性质证出即可证出结论． 【详解】（1）证明：在四边形中，， ， 恰好平分， ， ， ， ； （2）解：，理由如下： ，， ， ， ． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 【例10】如图，在6×6的正方形网格中，点A，B，C均在格点上，请按要求作图．    (1)在图1中画一个格点，使． (2)在图2中画一条格点线段BP，交AC于点Q，使． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】本题主要考查了作相似三角形，相似三角形的性质和判定， 对于（1），延长至D，使，延长至E，使，连接，则是所求作的三角形.由，可得； 对于（2），在图中取点P，使，连接，交于点Q，由，得，进而得出，所以． 【详解】（1）如图所示．    （2）如图所示．    【变式10-1】在的网格中，画一个格点三角形（三角形的顶点都在虚线的交点上），使得它与相似但不全等，请画出两种不同相似比的情况．（所画图形不能超出虚线范围） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了在网格中画相似三角形，勾股定理，熟知相似三角形的性质与判定是解题的关键． （1）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为2即可； （2）利用勾股定理画出一个使得，且相似比为即可． 【详解】解：如图(1)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求； 如图(2)所示，即为所求； ∵，，， ，，， ∴， ∴， ∴即为所求． 【变式10-2】如图，在正方形网格图中，每个小正方形边长均为1，点和的顶点均为小正方形的顶点． (1)以为位似中心，在网格图中作，使和位似，且位似比为． (2)证明和相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图−位似变换、相似三角形的判定，勾股定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解答本题的关键． （1）根据和位似，且位似比为作出图形即可； （2）利用相似三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ； （2）证明：小正方形边长为1， ，，， ，，， ，，， ∴， ∴． 【变式10-3】图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (2)在图②中，分别在边、上画点、，连结，使，且． (3)在图③中画出，点、分别在边、上，且与的位似比为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查格点图中画相似三角形： （1）取格点R，T，连接交于点D，取与网格线的交点E，连接，即可求解； （2）取格点P，Q，连接交于点G，取与网格线的交点F，连接，即可求解； （3）取格点L，K，连接交于点M，取与网格线的交点N，连接，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； 题型十一 相似三角形的动点问题 【例11】如图、在中，，，点P从A开始沿边向点B以2个单位秒的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以4个单位秒的速度移动，如果P、Q分别同时出发，经过（   ）秒后，与相似． A．2 B． C．或2 D．或2 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设x秒后，与相似，可表示出，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设x秒后，与相似，则， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故经过2秒或秒后，与相似， 故选：． 【变式11-1】如图，中，，，，，点是边上的一个动点，连接，当是直角三角形时，的值是（    ）    A．2或 B． C．3或 D．3 【答案】A 【分析】根据含30度的直角三角形的性质求出，分两种情况：①，根据相似三角形的性质和判定求出，求出；②，根据相似三角形的性质和判定求出，求出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    当时， ，， ∴， ∴，即， ∴， ∴；    综上：的值是2或， 故选A． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质等知识点，能求出符合题意的所有情况是解此题的关键． 【变式11-2】如图，在锐角三角形中，，，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为 【答案】4.8s或3s 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质．根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解． 【详解】解：设经过后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过或后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故答案为：或． 【变式11-3】如图1，在中，，，，点P从点C出发沿线段以每秒的速度运动，同时点Q从点B出发沿线段以每秒的速度运动．设运动时间为t秒． (1)填空： ______； (2)t为何值时，与相似； 【答案】(1) (2)秒或秒 【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． （1）根据勾股定理求出的值即可； （2）分两种情况进行讨论：当或时，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴． 故答案为：． （2）解：由题意可知：，，则， ∵， 当或时，与相似， 当时，， 解得，， 当时，， 解得，， 当或2.5秒时，与相似． 题型十二 重心的有关性质 【例12】如图，的两条中线，相交于点．若的面积为1，则的面积为（　　） A．3 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了三角形重心的性质．根据的两条中线，相交于点，得到点O是的重心，即，然后表示出，即可得解． 【详解】解：∵的两条中线，相交于点， ∴点O是的重心， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【变式12-1】如图，AE经过△ABC的重心P，如果，那么PE的长为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的考点是三角形重心的性质．解题的关键是理解并运用三角形重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍这一性质． 【详解】三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍． 设，则， 因为， 即， 解得， 所以． 故答案选：B． 【变式12-2】三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．重心将中线分成的两条线段． （1）如图，在中，为中线，点是的重心，若，则 ； （2）如图，在中，点是的重心，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 6 8 【分析】（1）利用重心将中线分成的性质，已知的长度，先求出，再通过得到的长度． （2）先依据中线性质得出与的关系，算出的面积，再结合重心分中线的比例，求出的面积． 本题主要考查了三角形重心的性质（重心将中线分成的两条线段 ）以及三角形面积与中线的关系，熟练掌握三角形重心性质和中线对三角形面积的分割规律是解题的关键． 【详解】解：（1）在中，点是的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． （2）在中，中线，相交于点，为的重心． ∴， ∴． ∴， ∴． 故答案为：． 【变式12-3】如图，是的重心，且，，，求中边上的高．    【答案】 【分析】延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，根据勾股定理的逆定理证明，继而求得的面积，最后根据的面积求得边上的高即可． 【详解】解：延长到，使得，与交于点，连接，，延长与交于点，如图，   是的重心， ，，，， ， 四边形为平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 设中边上的高为， 则， ． 故中边上的高为． 【点睛】本题考查了三角形的面积公式，平行四边形的性质与判定，勾股定理，直角三角形的性质，三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍． 题型十三 相似三角形的综合问题 【例13】（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式13-1】如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，进而推出，再利用矩形的判定即可证明； （2）设，表示出、的长，通过证明得到，代入数据求出的值，再根据矩形的性质得到，再分别在和中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为矩形． （2）解：如图， 由（1）得，， 设， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式13-2】小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，试说明与之间的关系； (2)【迁移应用】 如图2，在正方形中，G是的中点，连接，作，与相交于点H，与相交于点E，垂足为F，求的值． 【答案】(1)，．理由见解析 (2)2 【分析】（1）延长与相交于点G，利用证明，推出，，据此可得到； （2）证明，得到，由G是的中点，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求出答案， 【详解】（1）解：，．理由如下： 延长与相交于点G， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴∠， 即； （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式13-3】如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平行四边形的面积是32，求线段的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证； （2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵矩形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型十四 相似三角形的模型 【例14】如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）利用矩形和直垂直的定义可得、，从而证明结论； （2）首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即梦． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 【变式14-1】如图，在中，分别是边上的点，满足； (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记两个三角形相似的判定定理及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． （1）由两个三角形相似的判定定理“两个角对应相等的两个三角形相似”判定即可得证； （2）由（1）中三角形相似得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ， ，解得． 【变式14-2】在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质． （1）由已知可得，可证； （2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解的长． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点在边上， ∴，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 则， ∵， ． 【变式14-3】已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证得，于是可得，利用比例的性质可得，然后即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论； （2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，即，由（1）可得，则根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可求得的值． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ， ， 即：， 由（1）可得：， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，等式的性质，相似三角形的性质等知识点，正确找出图中的相似三角形是解题的关键． 题型十五 相似三角形与折叠、旋转等相关问题 【例14】综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．则_____． 【拓展探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． 【解决问题】（3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质计算即可得解； （2）图1中，，，则，推出，图2中，由旋转可得：，推出，进而可得，由相似三角形的性质计算即可得解； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、；②如图4，当点在线段延长线上时，连接、；分别利用正方形的性质、相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， ； （2）仍然成立．理由如下： 图1中，，， ， ， 图2中，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述，的长为或． 【变式15-1】【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，进而证明，可得； （2）设，则，，利用勾股定理解即可； （3）证明，根据对应边成比例求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，边长为， ，， 由折叠得：，， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：设，则， 由折叠得， ， 在中，， ， 解得， 的长度为； （3）解：由（2）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，是解题的关键． 【变式15-2】如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； （3）解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式15-3】如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长交于点，根据折叠以及菱形得到，，然后设，则，再由相似三角形对应边成比例得到方程求解即可； （2）先得到，然后由三线合一得到，在中，由勾股定理求出，即可求解的面积． 【详解】（1）解：延长交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵折叠 ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$