第十八章 相似形（单元测试·提升卷）数学北京版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C B A D B D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9． 10．6 11． 12．8 13．8 14． 15．或或5 16． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴；·······························2分 （2）设，则，，， 由得：，解得，······························3分 所以，，，······························4分 所以．······························5分 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 18．（5分） 【答案】(1)见解析 (2)三边对应成比例的两个三角形相似 【分析】本题主要考查作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． （1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出两个三角形各边的长度，再依据相似三角形的判定求解可得． 【详解】（1）解：如图，即为所作； ······························3分 （2）解：，，， ，，， ∴， ∴， 相似的依据是：三边对应成比例的两个三角形相似， 故答案为：三边对应成比例的两个三角形相似．······························5分 19．（6分） 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是发现相似三角形以及牢记它的性质，本题根据相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比即可求解． 【详解】解：∵小明的眼睛到铅笔的距离为， ∴的边上的高等于， ∵铅笔始终与地面垂直， ∴与平行， ∴，······························2分 ∴，即，······························4分 ∴，经检验，符合题意； 答：旗杆的高度为．······························6分 20．（6分） 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；······························3分 （2）解：∵， ∴，即， ∴．·····························6分 21．（6分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴；······························2分 （2）∵， ∴，即，······························4分 ∴．······························6分 22．（8分） 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】（1）求出的度数，即可求出； （2）依题意补全图形，连接BD，证即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：在正方形ABCD中，AB=AD=BC，， ， ，， ······························3分 （2）解：， 理由：根据题意补全图形，连接BD， ， ， 由（1）知， ， ， 在中，， ，······························4分 又， ， ， ， ， ，······························6分 ······························8分 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，连接BD，证是解本题的关键． 23．（8分） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴；······························3分 （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴．······························8分 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（8分） 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)12米 【分析】本题考查相似三角形的应用， （1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）证明，利用对应边成比例可得长； （3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度； 解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子；······························2分 （2）根据题意知：，，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：，······························5分 答：王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为米．······························8分 25．（10分） 【答案】(1)，，； (2)①2.2；②见解析； (3)1.9． 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数；······························3分 （2）①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；······························6分 ②描点画图如下：   ······························8分 （3）由函数图象可得：当时，；······························10分 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 26．（10分） 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）连接，利用证明，得出，，证出，即可得出结论； （3）过点作于点，根据点为，，三点关于点的勾股点，结合勾股定理，推出，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明四边形是平行四边形，推出，根据勾股定理计算，证明，据此求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点为，，三点关于点的勾股点， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：；······························3分 （2）证明：如图，连接，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为，，三点关于点的勾股点；······························6分 （3）解：如图，过点作于点，    ∵点为，，三点关于点的勾股点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：．······························10分 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）如果，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京通州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．翻译：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置． 在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，则蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 8．（2025·北京石景山·一模）如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 10．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则 ． 11．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 12．（24-25九年级上·北京石景山·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 13．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）中，D是斜边上一点，过点D分别作于点E，于点F，若，，则四边形的面积为 ． 14．（2025·北京·一模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为 ． 15．（2025·北京·一模）在中，，，，点D在边上，点E在边上，且，若为等腰三角形，则的长为 ． 16．（2025·北京·模拟预测）如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点，．计算的长为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（23-24九年级上·北京·期中）线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 18．（5分）（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出 （的顶点均在格点上），使（要求：相似比不是1）． (2)说明和相似的依据．相似的依据是：_______ 19．（6分）（24-25九年级上·北京延庆·期中）小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 20．（6分）（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 21．（6分）（23-24九年级上·北京平谷·期中）已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（8分）（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，四边形是正方形，以点A为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)过点B作于点F，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 23．（8分）（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 24．（8分）（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） (1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子； (2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； (3)计算路灯A的高度． 25．（10分）（2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 26．（10分）（23-24八年级下·北京·期中）定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．    (1)若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ； (2)如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点； (3)如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，则的长为 ． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）如果，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·北京通州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．翻译：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置． 在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，则蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 8．（2025·北京石景山·一模）如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 10．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则 ． 11．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 12．（24-25九年级上·北京石景山·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 13．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）中，D是斜边上一点，过点D分别作于点E，于点F，若，，则四边形的面积为 ． 14．（2025·北京·一模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为 ． 15．（2025·北京·一模）在中，，，，点D在边上，点E在边上，且，若为等腰三角形，则的长为 ． 16．（2025·北京·模拟预测）如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点，．计算的长为 ． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（23-24九年级上·北京·期中）线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 18．（5分）（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出 （的顶点均在格点上），使（要求：相似比不是1）． (2)说明和相似的依据．相似的依据是：_______ 19．（6分）（24-25九年级上·北京延庆·期中）小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 20．（6分）（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 21．（6分）（23-24九年级上·北京平谷·期中）已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 22．（8分）（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，四边形是正方形，以点A为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)过点B作于点F，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 23．（8分）（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 24．（8分）（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） (1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子； (2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； (3)计算路灯A的高度． 25．（10分）（2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 26．（10分）（23-24八年级下·北京·期中）定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．    (1)若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ； (2)如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点； (3)如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，则的长为 ． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第十八章 相似形·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（24-25九年级上·北京房山·期中）如果，那么下列比例式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了比例的性质，掌握比例的性质是解题关键． 根据比例的性质，可得答案． 【详解】解：A、由比例的性质，得与一致，故A符合题意； B、由比例的性质，得与不一致，故B不符合题意； C、由比例的性质，得与不一致，故C不符合题意； D、由比例的性质，得与不一致，故D不符合题意． 故选：A． 2．（24-25九年级上·北京昌平·期中）如图，线段交于点O，由下列条件，不能得出的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：由，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故A不符合题意； 由即，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似得到，故B不符合题意； 由，结合条件不可以得到，故C符合题意； 由可得，结合条件，可以根据两组角对应相等的两个三角形相似得到，故D不符合题意； 故选：C． 3．（24-25九年级上·北京平谷·期末）如图，平行四边形中，点为中点，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的性质，解题的关键是根据平行四边形的性质，得，则，，根据相似三角形的判定和性质，则，得到相似比，根据面积比是相似比的平方，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∵点为中点， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴的面积为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，已知直线，直线m、n分别与直线、、分别交于点A、B、C、D、E、F，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例进行解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 5．（24-25九年级上·北京通州·期中）鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工，如图，P是的黄金分割点（），那么（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查黄金分割，根据黄金分割点是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值的分割点，进行判断即可． 【详解】解：∵P是的黄金分割点（）， ∴； 故选A． 6．（23-24九年级下·北京·开学考试）大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验，如图1，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．翻译：影像倒立，在光线交会处有一小孔；关于影像的大小，在于小孔相对物、像的位置． 在如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，则蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质求解即可．本题考查了相似三角形性质的应用，解题的关键在于理解小孔成像的原理得到相似三角形． 【详解】根据小孔成像的性质及相似三角形的性质可得：蜡烛火焰的高度与火焰的像的高度的比值等于物距与像距的比值，蜡烛火焰倒立的像的高度与蜡烛火焰的高度的比为， 故选：D． 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，在平行四边形中，，，小明按以下步骤作图： 第一步：以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交，于点，； 第二步：分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点； 第三步：作射线，交于点，交延长线于点． 作图后，小明还得到四个结论：①；②；③；④．关于这些结论哪些是正确的，下面选项中正确的是（   ） A．①② B．①②③ C．②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及相似性质与判定的综合．先由作图得到为的角平分，利用平行线证明，从而得到，再利用平行四边形的性质得到，再证明，分别求出，，即可以判定． 【详解】解：由作图可知，为的角平分， ∴，故①正确； ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误； ∴， ∵， ∴，故②正确， 故选：B． 8．（2025·北京石景山·一模）如图，矩形中，．点E在边上，以为边作正方形，点F恰好落在边上，与交于点H．设，，，给出下面三个结论：①；②；③．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了正方形和矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明可判断①，连接，可得，根据垂线段最短即可判断②，证明可判断③，熟练运用上述性质是解题的关键． 【详解】解：四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ，, ， ， ， ，故①正确； 如图，连接， 为等腰三角形， ， 根据垂线段最短，可得，即，当点与点重合时，取等号， ， 点不可能与点重合，（否则可知） ，故②正确； ， ， 由题意可知：， ， ， ， ， ，即， ，故③正确， 综上所述，正确的为①②③， 故选：D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（24-25九年级上·北京·阶段练习）在比例尺为的地图上，、两地的图上距离是0.15米，那么、两地的实际距离是 米（用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】此题考查了比例尺的性质，科学记数法，设、两地的实际距离是米，根据比例尺的性质列出方程，求出的值，再用科学记数法表示出答案．解题的关键是根据题意列出方程． 【详解】解：设、两地的实际距离是米， 比例尺为，、两地的图上距离是0.15米， ， 解得：， 经检验是原分式方程的解， 故答案为：． 10．（2025·北京东城·一模）如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出和求出是解此题的关键．设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， 设，，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：6． 11．（24-25九年级上·北京通州·期中）如图，点A、B、C、D在网格中小正方形的顶点处，线段与相交于点O，小正方形的边长为1，那么的值等于 ． 【答案】 【分析】本题考查网格中的相似三角形，根据网格特点，证明，得到即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴； 故答案为： 12．（24-25九年级上·北京石景山·期末）中国古书《数理精蕴》中有一道题：今有一座古方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立，又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？大意如下：如图所示，有一座正方形城池，四面城墙的正中都有城门，出南门E直行8里到宝塔A处（即里，），出西门F直行2里到B处（即里，），此时，视线刚好经过城墙角C看见宝塔A（即B，C，A三点共线），问正方形城池每一面城墙长（即正方形的边长）是多少里？根据以上信息，算出这座方城每一面的城墙长是 里． 【答案】8 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定及性质，由正方形的性质得， ，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，能熟练利用相似三角形的判定及性质进行求解是解题的关键． 【详解】解：由正方形得， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：， ， 这座方城每一面的城墙长是里， 故答案为：． 13．（24-25九年级下·北京西城·阶段练习）中，D是斜边上一点，过点D分别作于点E，于点F，若，，则四边形的面积为 ． 【答案】8 【分析】易知四边形是矩形，通过证，可求得的值，也就得到了四边形的面积．此题主要考查了矩形的判定与性质，相似三角形的判定和性质．解本题的关键是判断三角形相似． 【详解】解：∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，则， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 即四边形的面积为． 故答案为：8． 14．（2025·北京·一模）如图，在中，，，，点D在边上，过点D作交于点E，作交于点F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，正方形的判定与性质，三角形的相似的判定与性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．先证明四边形是平行四边形，进而得出四边形是正方形；设正方形的边长为，利用，得到，得出比例式，列出方程即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 设这个正方形的边长为， 则， ， ， ， ， ． ，， ． 解得：． 正方形的边长为． ， 故答案为：． 15．（2025·北京·一模）在中，，，，点D在边上，点E在边上，且，若为等腰三角形，则的长为 ． 【答案】或或5 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，根据等腰三角形的性质和三角形相似的判定和性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 当时，过点E作于点H，如图所示： 则， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，过点D作于点H，如图所示： 则，， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或或5． 故答案为：或或5． 16．（2025·北京·模拟预测）如图，在正方形中，，，分别为边，的中点，与，分别交于点，．计算的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形中位线，过点F作于点H，分别交、于点P、Q，则，结合为边的中点， 可知，，因此可求出，，的值，设，，由可得，， ，据此可求出x，y的值，根据即可得出答案． 【详解】解：过点F作于点H，分别交、于点P、Q，则， 四边形是正方形， ， ，分别为边，的中点， ， ， ∵，为边的中点， ∴，， ，， ，，， 设，， ， ∴，， ， ， ，， 解得，， ， 故答案为：． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（23-24九年级上·北京·期中）线段a、b、c，且 （1）求的值； （2）如线段a、b、c满足，求的值； 【答案】（1）；（2）3． 【分析】（1）根据可得，由此即可得出答案； （2）设，从而可得，再根据可得的值，从而可得的值，然后代入计算即可得． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）设，则，，， 由得：，解得， 所以，，， 所以． 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 18．（5分）（24-25九年级上·北京通州·阶段练习）如图是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出 （的顶点均在格点上），使（要求：相似比不是1）． (2)说明和相似的依据．相似的依据是：_______ 【答案】(1)见解析 (2)三边对应成比例的两个三角形相似 【分析】本题主要考查作图−相似变换，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，并根据相似三角形的判定和性质得出变换后的对应点位置及勾股定理． （1）根据相似三角形的判定，结合网格特点作图即可； （2）利用勾股定理得出线段的长，并根据网格特点得出两个三角形各边的长度，再依据相似三角形的判定求解可得． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：，，， ，，， ∴， ∴， 相似的依据是：三边对应成比例的两个三角形相似， 故答案为：三边对应成比例的两个三角形相似． 19．（6分）（24-25九年级上·北京延庆·期中）小明到操场测量旗杆的高度，他手拿一只铅笔，边移动边观察（铅笔始终与地面垂直）．当小明移动到点处时，眼睛与铅笔顶端、旗杆的顶端三点共线，此时测得，小明的眼睛到铅笔的距离为，铅笔的长为，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是发现相似三角形以及牢记它的性质，本题根据相似三角形对应边上的高的比等于对应边的比即可求解． 【详解】解：∵小明的眼睛到铅笔的距离为， ∴的边上的高等于， ∵铅笔始终与地面垂直， ∴与平行， ∴， ∴，即， ∴，经检验，符合题意； 答：旗杆的高度为． 20．（6分）（24-25九年级上·北京延庆·期中）如图，四边形是平行四边形，于点于点． (1)求证： (2)当时，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定： （1）先由平行四边形的性质得到，，再由垂直的定义得到，据此可证明得到，即； （2）根据相似三角形的性质可得，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴，即， ∴． 21．（6分）（23-24九年级上·北京平谷·期中）已知：如图，在中，是上一点，是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质； （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵， ∴，即， ∴． 22．（8分）（24-25九年级上·北京石景山·期末）如图，四边形是正方形，以点A为中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接，． (1)求的度数； (2)过点B作于点F，连接，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见详解 【分析】（1）求出的度数，即可求出； （2）依题意补全图形，连接BD，证即可求出与的数量关系． 【详解】（1）解：在正方形ABCD中，AB=AD=BC，， ， ，， （2）解：， 理由：根据题意补全图形，连接BD， ， ， 由（1）知， ， ， 在中，， ， 又， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，连接BD，证是解本题的关键． 23．（8分）（24-25九年级上·北京昌平·期中）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角”模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，可得，再由，可得，从而得到利用证得，即可； （2）在的延长线上取点M，使，连接，可得，再根据平行四边形的性质以及，可得，，可证得，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在和中， ∵， ∴； （2）解：如图，在的延长线上取点M，使，连接， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 24．（8分）（24-25九年级上·河北保定·期中）如图，王琳同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方（已知王琳身高1.8米，路灯B高9米） (1)标出王琳站在P处在路灯B下的影子； (2)计算王琳站在Q处在路灯A下的影长； (3)计算路灯A的高度． 【答案】(1)见解析 (2)米 (3)12米 【分析】本题考查相似三角形的应用， （1）影子为光线与物高相交得到的阴影部分； （2）证明，利用对应边成比例可得长； （3）证明，利用对应边成比例可得长，也就是路灯的高度； 解题的关键是掌握：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例． 【详解】（1）解：线段为王琳在站在处路灯下的影子； （2）根据题意知：，，，，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：王琳站在处在路灯下的影长为米； （3）由（2）知：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 答：路灯的高度为米． 25．（10分）（2024·北京朝阳·二模）如图，在矩形中，，，点P是边上一动点，连接，过点P作的垂线与，分别相交于点E，F．    小明根据学习函数的经验对线段，，的长度之间的关系进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)对于点P在边上的不同位置，画图、测量，得到了线段，，的长度的几组值，如下表： 位置1 位置2 位置3 位置4 位置5 位置6 位置7 位置8 位置9 位置10 位置11 0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 0 1.5 2.2 2.5 2.4 m 2.0 1.6 1.3 0.4 0 0 0.9 1.7 2.3 2.9 3.0 2.9 2.7 2.3 0.9 0 在，，的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都是这个自变量的函数； (2)①确定表格中m的值约为____________（结果精确到0.1）； ②在同一平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；    (3)结合函数图象，解决问题：当点P与点B，C不重合，且时，_____（结果精确到0.1）． 【答案】(1)，，； (2)①2.2；②见解析； (3)1.9． 【分析】（1）由函数的定义可得答案； （2）①如图，当时，则是的中点，此时重合，过作交于，交于，证明，，，再进一步解答可得答案；②先描点，再用光滑的曲线连接即可； （3）结合函数图象可得答案． 【详解】（1）解：在，，的长度这三个量中，确定的长度是自变量，的长度和的长度都是这个自变量的函数； （2）①如图，当时，而，， ∴是的中点， ∴， 此时重合， 过作交于，交于，    ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②描点画图如下：    （3）由函数图象可得：当时，； 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，平行线分线段成比例的应用，三角形的中位线的性质，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． 26．（10分）（23-24八年级下·北京·期中）定义：平面内一点到点，点，点三个点的距离分别为、、，若有，则称点为，，三点关于点的勾股点．    (1)若点为，，三点关于点的勾股点，且，，则 ； (2)如图1，与都是等腰直角三角形，，，点为边上一动点．求证：点为，，三点关于点的勾股点； (3)如图2，为直角三角形，，点为，，三点关于点的勾股点，连接，，作，垂足为点，交于点，连接，且，，，则的长为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）连接，利用证明，得出，，证出，即可得出结论； （3）过点作于点，根据点为，，三点关于点的勾股点，结合勾股定理，推出，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，证明四边形是平行四边形，推出，根据勾股定理计算，证明，据此求解即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点为，，三点关于点的勾股点， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图，连接，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴点为，，三点关于点的勾股点； （3）解：如图，过点作于点，    ∵点为，，三点关于点的勾股点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴故答案为：． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定和性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质及勾股定理是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$