第二章 一元二次方程（优质类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第二章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的新定义运算 【解惑】定义一种运算：，例如，若，则正数x的值为（   ） A．0 B．0或4 C．3 D．4 【融会贯通】 1．对于实数a，b，c，d，定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则x的值为（   ） A．或4 B．2或 C．2或4 D．或 2．对于字母、，定义新运算，若方程的两个根为、，则的值为 ． 3．对于实数，定义一种运算“”：．关于的方程的解为 ． 类型二、一元二次方程的估算 【解惑】根据表中的对应值，判断方程一个解x的取值范围是（　　） x 11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 0.96 2.25 3.56 A． B． C． D． 【融会贯通】 1．探索方程的正数解的过程如下表： 0 1 2 13 可以看出方程的正数解应介于和之间，则，分别是（   ） A．0， B．，1 C．1， D．，2 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 3．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 类型三、一元二次方程的几何解法 【解惑】【数学文化】我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得．根据此法，图中正方形的面积是（    ） A．49 B．64 C．81 D．100 【融会贯通】 1．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 2．我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为： （1）将方程变形为； （2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； （3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； （4）由此可得方程：，则方程的正数解为． 根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是 （只填序号）． 3．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗㙳的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是__________．（从序号中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x__________； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程____________________，解得原方程的一个根为____________________； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数__________，__________，求得方程的正根为__________． 类型四、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【融会贯通】 1．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 3．在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． (1)若，，直接写出y与x的函数关系式； (2)若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ (3)若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 类型五、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【融会贯通】 1．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 2．杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 3．某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 类型六、换元法的应用 【解惑】阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【融会贯通】 1．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 2．如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 3．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 类型七、配方法的应用 【解惑】阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【融会贯通】 1．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 2．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 3．【项目学习】配万法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式．进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（α，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”．例如，5是“雅美数”．理由：因为再如，（，是整数），所以M也是“雅美数”． (1)【问题解决】4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 ； (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（，是常数），求的值； (3)【问题拓展】已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 类型八、一元二次方程的应用——几何动点问题 【解惑】如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【融会贯通】 1．如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 2．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 3．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．    (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 类型九、根与系数的对称式 【解惑】阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【融会贯通】 1．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 2．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 3．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 类型十、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 【融会贯通】 1．定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 2．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 3．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 6 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由列表数据可得判断出的值在1和之间即可解答． 【详解】解：通过列表可以看出看出方程的正数解应介于1和之间， ∴． 故选：C． 2．观察表格，一元二次方程的一个解的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解．根据图表数据找出一元二次方程等于0时，未知数的值的范围，即可得到答案． 【详解】解：时，，时，， ∴一元二次方程的解的范围是． 故答案为： 3．根据下列表格的对应值，由此可判断方程必有一个解x满足 ． x 1 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．利用表中数据得到时，，时，，则可判断时，有一个解满足． 【详解】解：时，， 时，， 时，存在， 即方程必有一个解x满足， 故答案为：． 类型三、一元二次方程的几何解法 【解惑】【数学文化】我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法：构造如图所示的大正方形，它由四个全等的矩形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得的长，从而解得．根据此法，图中正方形的面积是（    ） A．49 B．64 C．81 D．100 【答案】C 【分析】通过解方程求得的值；然后利用正方形的面积公式得到，代入求值即可．本题考查一元二次方程的应用，通过图形直观得出面积之间的关系，并用代数式表示出来是解决问题的关键． 【详解】解：依题意，正方形的边长为 ∴正方形的面积为 由得到：． 解得：，（负值舍去）， ∴正方形的面积， 故选：C． 【融会贯通】 1．对于一元二次方程，我国古代数学家还研究过其几何解法．以方程为例加以说明．数学家赵爽在其所著的《勾股圆方注》中记载的方法是：如图，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和，即，据此易得．小明用此方法解关于的方程，其中构造出同样的图形，已知小正方形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，仿照题干，正确理解一元二次方程的几何解法是解题关键．参照已知方法，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，求出大正方形的边长为10，得到，再根据小正方形的边长为，小正方形的边长的面积是4，求出，即可得到的值． 【详解】解：由题意可知，将四个长为，宽为的长方形纸片拼成一个大正方形，则大正方形的边长是，面积是四个矩形的面积与中间小正方形的面积之和， ∵，小正方形的面积为， ∴大正方形的面积为， ∴大正方形的边长为， ∴， ∴， ∵小正方形的边长为，即， ∵， 即， 故， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 2．我国三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了求一元二次方程正数解的几何解法．例如求方程的正数解的步骤为： （1）将方程变形为； （2）构造如图1所示的大正方形，其面积是，其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； （3）大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； （4）由此可得方程：，则方程的正数解为． 根据赵爽记载的方法，在图2中的三个构图（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上）①②③中，能够得到方程的正数解的构图是 （只填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、矩形面积的计算、正方形面积的计算等知识，正确理解求一元二次方程正数解的几何解法是解题的关键．按照例题正数解的步骤：方程可变形为，即可得出方程，则方程的正数解为，再结合图形判断即可． 【详解】方程可变形为， 构造的大正方形，其面积是， 其中四个全等的矩形面积分别为，中间的小正方形面积为； 大正方形的面积也可表示为四个矩形和一个小正方形的面积之和，即； 由此可得方程：， 则方程的正数解为， 能够得到方程的正数解的构图是③， 故答案为：③． 3．阅读材料，并解决问题． 【学习研究】我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法，以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图1所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图1中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即．因此，可得新方程．因为x表示边长，所以，即．遗㙳的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【理解应用】参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是__________．（从序号中选择） 【类比迁移】小颖根据以上解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变形为，即x__________； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形； 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程____________________，解得原方程的一个根为____________________； 【拓展应用】一般地，对于形如的一元二次方程可以构造图2来解．已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，那么此方程的系数__________，__________，求得方程的正根为__________． 【答案】理解应用：；类比迁移：，， 拓展应用：，，或 【分析】理解应用：依据题干方法得到，再根据图形很容易判断出答案； 类比迁移：与题干思路一致即可得出答案，需要注意的是，画出图形更容易得解； 拓展应用：先因式分解变形得，再根据题干条件分析得，，进而分类讨论求解即可． 【详解】解：理解应用： ， ， 很容易观察出构图是， 故答案为：； 类比迁移： ， 第一步：将原方程变形为，即， 第二步：如图，利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形， 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程，解得原方程的一个根为， 故答案为：，，； 拓展应用： ， ， 四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， 图是由四个面积为的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ，， 解得：，， 当时，，即：， ， 解得：，即方程的一个正根为； 当时，，即：， ， 解得：，即方程的一个正根为； 综上，方程的一个正根为或， 故答案为：，，或． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用（与图形有关的问题），直接开平方法解一元二次方程，矩形的性质，解一元一次方程等知识点，能知道系数、与各图形面积的关系是解题的关键． 类型四、一元二次方程的应用——图形问题 【解惑】为更好地开展劳动教育，学校决定在操场划出一块面积为的长方形场地作为劳动基地．若长方形场地的一边靠墙（墙足够长），另外三边由总长为的篱笆围成，并且在平行于墙的边上设置两个开口宽为的进出门（如图）．设垂直于墙的长方形边长为，则下列方程正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设垂直于墙的长方形边长为， 由题意得，， 即， 故选：． 【融会贯通】 1．如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．若设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程． 六块矩形空地正好能拼成一个矩形，设道路的宽为，根据草坪的面积是，即可列出方程 【详解】解：设道路的宽为，根据题意，得 ． 故选：A． 2．如图，某牧场准备利用现成的一堵“7”字形的墙面粗线表示墙面（粗线表示墙面）建饲养场，已知，米，米，现计划用总长为38米的篱笆围建一个“日”字形的饲养场（细线表示篱笆，饲养场中间用篱笆隔开），并在每个区域开一个宽2米的门，点在线段的延长线上，设的长为米，若要求所围成的饲养场面积为84平方米，则可列方程 ．（不用化简） 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设的长为米，则米，再根据长方形面积计算公式列出方程即可． 【详解】解：设的长为米，则米， 由题意得，， 故答案为：． 3．在劳动实践活动中，小亮同学想用木栅栏为班级围一块矩形形状的花园，花园背靠着学校院墙，购买了米的木栅栏，如图所示． (1)若，，直接写出y与x的函数关系式； (2)若要围出的矩形的面积为平方米，求的长为多少米？ (3)若要围出的矩形的面积为平方米，他的这个想法能实现吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的长为米 (3)他的想法不能实现，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找到等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由木栅栏长20米为等量关系可求解； （2）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程求解即可； （3）由矩形的面积为平方米为等量关系列出方程后，方程无解． 【详解】（1）解：∵木栅栏长20米， ； （2）∵矩形的面积为平方米，列方程得： 解得： 米； （3）∵矩形的面积为平方米，列方程得： ， 整理得， ， 方程无实根， 因此他的想法不能实现． 类型五、一元二次方程的应用——销售问题 【解惑】某农户的西瓜，除了销售到县城，消费者还可以直接去农田采摘．该农户在西瓜刚上市第一天共计销售了600千克，其中在县城销售了200千克，单价为8元/千克，剩余部分在农田采摘销售，单价为6元/千克． (1)求该农户这一天销售西瓜的总收入． (2)为扩大销售，该农户准备在县城适当降价，据测算，在县城销售的西瓜单价每降价1元，平均每天可多售出60千克．已知在农田采摘的单价和销售量保持不变，若要使该农户一天的销售总收入为4300元，则在县城销售的单价应降价多少元？ 【答案】(1)4000元 (2)3元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算． （1）利用总收入销售单价销售数量，即可求出结论； （2）设在县城销售的单价降价x元，则销售量为千克，根据要使该农户一天的销售总收入为4300元，可列出关于x的一元二次方程，解之可得出x的值，再结合要扩大销售，即可得出结论． 【详解】（1）解：（元）， 答：该农户这一天销售的总收入为4000元； （2）解：设在县城销售的单价降价x元，则由题意得： ， ， ， ， 解得或． 当时，销售量为； 当时，销售量为， 因为要扩大销售，， 故． 答：在县城内销售单价应该降价3元． 【融会贯通】 1．某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元 (3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）取表格两组数据，利用待定系数法求解； （2）根据销量、单价、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可； （3）假设该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元，列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元； （3）解：该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元． 2．杭州特产专卖店销售核桃，经销商统计了该专卖店核桃7月份到9月份的销量，7月份销售4000千克，9月份销售5760千克，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同． (1)求该专卖店核桃销售量的月增长率； (2)该核桃进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，在此基础上单价每降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答： ①每千克核桃应降价多少元？ ②在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，打算打折出售．该店应按原售价的_____折出售． 【答案】(1) (2)①每千克核桃应降价或元；② 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键； （1）设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意列出方程，解方程，即可求解； （2）①设每千克核桃应降价元，根据题意列出方程，解方程，即可求解； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设该专卖店核桃销售量的月增长率为，根据题意得， 解得：或（舍去） 答：该专卖店核桃销售量的月增长率为； （2）解：①设每千克核桃应降价元，则售价为元，利润为元，销量为千克根据题意得， 解得： 答：每千克核桃应降价或元； ②设该店应按原售价的折销售，根据题意得，在平均每天获利不变的情况下，该店为尽可能让利于顾客，赢得市场，则售价为元， ∴ 解得： 故答案为：． 3．某电器商场从厂家购进了，两种型号的洗衣机，已知一台型洗衣机的进价比一台型洗衣机的进价多600元，用14400元购进型洗衣机与用10800元购进型洗衣机的台数相同． (1)求一台型洗衣机和一台型洗衣机的进价各为多少元？ (2)在销售过程中，型洗衣机因为造型精致，噪音小而更受消费者的欢迎．该商场决定停止购进型洗衣机，并对库存货品进行降价销售，力求尽快清空库存货品．经市场调查，当型洗衣机的售价为2800元时，每天可售出台，在此基础上，售价每降低100元，每天将多售出1台，如果每天该商场销售型洗衣机的利润为5400元，请问该商场应将型洗衣机的售价定为多少元？ 【答案】(1)一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元 (2)2400元． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，正确得到等量关系是解题的关键． （1）设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）将型洗衣机的售价定为m元，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设一台型洗衣机的进价为x元，则一台型洗衣机的进价为元，根据题意得： ， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意， 此时， 答：一台型洗衣机的进价为2400元，则一台型洗衣机的进价为1800元； （2）解：设将型洗衣机的售价定为m元，根据题意得： ， 解得：， ∵力求尽快清空库存货品， ∴， 答：将型洗衣机的售价定为2400元． 类型六、换元法的应用 【解惑】阅读下列材料： 为解方程，可将方程变形为，然后设，则，原方程化为①，解①得，．当时，无意义，舍去；当时，，解得，原方程的解为，．上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． 利用以上学习到的方法解方程：． 【答案】，，， 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法解一元二次方程是解题的关键：1、换元法：把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化；2、换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理． 利用换元法解一元二次方程即可． 【详解】解：将原方程变形为， 设，则，原方程化为， 解得：，， 当时，，解得：； 当时，，解得：或； 原方程的解为，，，． 【融会贯通】 1．我们已经学习了一元二次方程的多种解法，其基本思路是将二次方程通过“降次”转化为一次方程求解．按照同样的思路，我们可以将更高次的方程“降次”，转化为二次方程或一次方程进行求解．例如， ①换元法求解四次方程：． 设，则原方程可变为，解得，， 当时，即，； 当时，即，； 原方程有四个根：，，，． ②因式分解法求解三次方程：． 将其变形为， ， ， ， ， 或， 原方程有三个根：，，． (1)仿照以上方法解方程： ①； ②； (2)已知：，且，求的值． 【答案】(1)①，；②原方程有三个根：，， (2) 【分析】本题考查根的判别式，解一元二次方程—配方法，换元法，因式分解法，解题的关键是学会模仿例题解决问题． （1）模仿例题解决问题即可； （2）求出的值，利用降次思想求解即可． 【详解】（1）解：①设，则原方程可变为，解得， 当时，即，∴无解（舍去） 当时，即，，． ②将其变形为： ， ， 或 原方程有三个根：，，． （2）， ，且 ， 原式． 2．如果让你去解方程，相信你一定可以很容易地完成，那么对于方程，我们应该如何去解呢？我们不防将看成一个整体，设，则原方程可化为．① 解得． 当y=1时，，，．                     当y=4时，，，． 即该方程的根为． 问题： (1)在由原方程得到①的过程中，利用 达到降次的目的，表现了 的数学思想； (2)解方程． 【答案】(1)换元，转化 (2) 【分析】本题考查解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，会用换元法解方程． （1）换元法的目的是降次； （2）利用换元法解决问题． 【详解】（1）解：在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，表现了转化的数学思想； 故答案为：换元，转化； （2）解：设，那么原方程可化为， 则， 所以，， ∴， 解得，． 3．阅读材料：为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，将原方程化为，① 解得：． 当时，，∴，∴， 当时，，∴，∴， ∴原方程的解为 解答问题： (1)在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到了的目的，体现了的数学思想； (2)利用上述材料中的方法解方程：． 【答案】(1)换元，降次，转化； (2) 【分析】本题考查用换元法解一元二次方程，解题的关键是掌握换元法解一元二次方程的方法． （1）题目中的方法用的是换元法，体现了整体与划归的数学思想； （2）令，得，用因式分解法解方程求出y的值，再求出的值． 【详解】（1）解：将设为，利用的是换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想， 故答案是：换元，降次，转化； （2）解：令，则， ， 或． 解得：， 当时，，即，解得：， 当时，，即， ， ∴此方程实数根； 综上：方程的解是． 类型七、配方法的应用 【解惑】阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ∴当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当x取何值时，代数式有最小（或最大）值； 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含x的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当x为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值1 （2）① ；②当时，围成的矩形鸡场的面积最大，面积是 【分析】本题考查了配方法的应用、完全平方式、代数式求值等知识点，正确读懂题目中的阅读材料，理解配方的方法是关键 （1）仿照范例即可解答； （2）①直接根据题意列代数式即可；②先运用完全平方公式配方，然后再根据完全平方的非负性求解即可． 【详解】解：（1）， ， ， 当时，代数式有最小值1． （2）①由题意可得：鸡场的长为， 则鸡场的面积：． ②， ∵， ∴， 当时，围成的矩形鸡场的面积最大．最大面积是． ∵，， ∴最大面积是符合题意． 【融会贯通】 1．小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6． 于是小明给出一个定义： 对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称．例如关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于______对称； (2)若关于的多项式．关于对称，求的值； (3)整式关于______对称． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题主要考查了配方法的应用，灵活运用配方法以及新定义判断出对称轴是解题的关键． （1）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可； （2）求出的对称轴，令对称轴即可解答； （3）先对多项式进行配方，再根据新定义判断即可． 【详解】（1）解：，则多项式关于对称． 故答案为：3． （2）解：∵， ∴关于x的多项式关于对称， ∵关于的多项式，关于对称， ∴， ∴． （3）解： ∴关于对称． 故答案为：． 2．我们知道：对于任何实数， ①，；②，． 请模仿上述方法解答： (1)求证：对于任何实数，都有； (2)不论为何实数，请通过运算，比较多项式与的值的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次幂，灵活应用完全平方公式是解本题的关系． （1）根据非负数的性质解答； （2）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ， ，． ． 3．【项目学习】配万法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 例如，把二次三项式．进行配方． 解： 我们定义：一个整数能表示成（α，b是整数）的形式，即两个数的平方和形式，则称这个数为“雅美数”．例如，5是“雅美数”．理由：因为再如，（，是整数），所以M也是“雅美数”． (1)【问题解决】4，6，7，8四个数中的“雅美数”是 ； (2)若二次三项式（x是整数）是“雅美数”，可配方成（，是常数），求的值； (3)【问题拓展】已知实数，是“雅美数”，求证：是“雅美数”． 【答案】(1)， (2)12 (3)见解析 【分析】本题考查的是配方法的应用； （1）根据“雅美数”的定义判断即可； （2）利用配方法进行转化，然后求得对应系数的值； （3）利用完全平方公式把原式变形，根据“雅美数”的定义证明结论． 【详解】（1）4是“雅美数”，理由：因为； 8是“雅美数”，理由：因为. 故答案为：4，8； （2）∵， ∴，， ∴， 故答案为：12； （3）因为，为“雅美数”，则令，（，，，为整数） ∴ 又∵，，，为整数 ∴，均为整数 ∴是“雅美数”． 类型八、一元二次方程的应用——几何动点问题 【解惑】如图，在矩形中，．点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动．点同时出发，当两点中有一个点运动到终点时，两点均停止运动．则几秒后，可使的面积为矩形面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题考查一元二次方程的应用．设t秒后，可使的面积为矩形面积的，可得到关于t的方程，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∴， 由题意知：，，其中， ∴， ∴， 解得：， 答：2秒后，可使的面积为矩形面积的 【融会贯通】 1．如图所示，在中，，，，点P以的速度从点A开始沿边向点B移动，点Q以的速度从点B开始沿边向点C移动，且点P，Q分别从点A，B同时出发．若有一点到达目的地，则另一点同时停止运动．要使P，Q两点之间的距离等于，则需要经过多少秒？ 【答案】需要经过秒 【分析】本题主要考查勾股定理以及一元二次方程的应用．根据勾股定理列出方程是解题的关键． 设经过，、之间的距离等于，先用含的代数式分别表示和的长度，进一步利用勾股定理建立方程求得答案即可； 【详解】解：设经过，、之间的距离等于， 由已知可得： ，， ， ， ， 解得：， (不合题意，舍去)， ， 答：需要经过秒； 2．如图，在中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿向点以的速度运动，M，N同时出发，各自到达终点后停止运动．在整个运动过程中，设它们的运动时间为． (1)小明认为：可以平分的周长，请判断他的说法是否正确，并说明理由； (2)小亮认为：可以平分的面积，请判断他的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)说法错误，见解析 (2)说法正确，见解析 【分析】（1）根据动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ，则，，，，根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动，根据题意，平分的周长，得到，构造方程，若方程有正数解且小于3秒即可判定说法正确，反之错误． （2）根据题意，，，若平分的面积，得，解方程解答即可． 【详解】（1）解：可以平分的周长说法错误．理由如下： ∵，，， ∴； ∵动点以的速度移动,动点以的速度移动,运动时间为 ， ∴，，，， 根据题意，点运动停止运动，点运动停止运动， 根据题意，平分的周长， ∴， ∴， 解得， 大于了3秒． 故平分的周长的说法是错误的． （2）解：平分的面积说法正确．理由如下： 根据题意，得，， 若平分的面积，得， 解得（舍去）． 故当时，平分的面积． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的周长，解一元一次方程，解一元二次方程，熟练解方程是解题的关键． 3．如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、．设点、运动的时间为．    (1)当__________时，四边形是矩形； (2)当__________时，四边形是菱形； (3)是否存在某一时刻使得，如果存在，请求出的值，如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在某一时刻，使得 【分析】（1）当四边形是矩形时，，据此求得的值； （2）当四边形是菱形时，，列方程求得运动的时间； （3）根据勾股定理得到，列方程得，根据根的判别式得出方程无实数根，即可得出答案； 【详解】（1）解：如图， 过点作于点，    由矩形可知， ，， ，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ，由运动可知， ， 则， 当， 四边形是矩形，得到， ， 解得， 即当时，四边形是矩形， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， 由题意可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴当四边形是菱形， ， ， 解得， 即当时，四边形是菱形， 故答案为：； （3）解：不存在，理由如下： ， ， ， 若存在某一时刻，使得，则存在某一时刻使得，， 即方程有解， 方程整理得 ， 故方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质、矩形的判定与性质，勾股定理，解一元二次方程．解决此题注意结合方程的思想解题． 类型九、根与系数的对称式 【解惑】阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，解题的关键是掌握根与系数的关系． 由题意得出是方程的两个不相等的实数根，据此知，将其代入计算即可； 把变形为，据此可得实数和可看作方程的两个不相等的实数根，继而知，进一步代入计算可得． 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 【融会贯通】 1．阅读材料，解答问题： 【材料1】 为了解方程，如果我们把看作一个整体，然后设，则原方程可化为，经过运算，原方程的解为．我们把以上这种解决问题的方法通常叫做换元法． 【材料2】 已知实数m，n满足，且，显然m，n是方程的两个不相等的实数根，由一元二次方程根与系数的关系可知：，． 根据上述材料，解决以下问题： (1)直接应用： 材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了 的数学思想方法，若实数a，b满足，则的值为 ； 用换元法解方程：． (2)间接应用： 已知实数m，n满足：，则的值 (3)拓展应用： 已知实数x，y满足：，求的值 【答案】(1)整体（或转化、化归）；5； (2)2或 (3)6 【分析】本题考查了换元法解方程和一元二次方程根与系数的关系，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用换元法解方程即可； （2）仿照题意利用韦达定理进行求解即可； （3）设，则可得，进一步得到，再证明，推出，由 ，可得，即． 【详解】（1）解：材料1解题过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了整体的数学思想方法， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 故的值为5； ， ， 令，则， ， 解得，（舍）， ， 解得； （2）实数m，n满足：， 当时，， 当实数m，n是方程的两个不相等的实数根， ， ， 的值为2或； （3）设， ， ， ， 整理得， ， ， ， ， ， ， ． 2．我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现：如果关于x的方程的两个根是，，那么由求根公式可推出，，请根据这一结论，解决下列问题： (1)若，是方程的两根，则________，________；若2，3是方程的两根，则________，________； (2)已知两个不相等的实数m，n满足，且，求的值． (3)已知a，b，c，满足，，则正整数c的最小值为________． 【答案】(1)，，，6 (2)； (3)3 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、根的判别式等知识点：若一元二次方程的两个根是，那么，． （1）直接利用根与系数的关系可得和的值，根据根与系数的关系得到，即可得到p、q的值； （2）等式变形为，m、可看作方程的两根，利用根与系数的关系即可解答； （3）利用已知条件变形得到，，根据根与系数的关系，则a、b为一元二次方程的两根，再根据根的判别式的意义得到，然后确定c的最小整数值． 【详解】（1）解：∵，是方程的两根， ∴，； ∵2，3是方程的两根， ∴，解得． 故答案为：，，，6； （2）解：∵， ∴，即， ∵两个不相等的实数m，n满足，， ∴m、可看作方程的两根， ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴，， ∴a、b为一元二次方程的两根， ∵，而， ∴，即． ∴c的最小整数为3． 故答案为：3． 3．材料1：法国数学家弗朗索瓦・韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)①已知一元二次方程的两根分别为，，则_______，_______． ②已知实数，满足：，（），则_______． (2)已知实数、、满足：，，且，求的取值范围． 【答案】(1)①1.5，；② (2) 【分析】本题考查根与系数的关系，根的判别式． （1）①根据根与系数的关系解答； ②根据题意，得到实数，是方程    的两个根，根据根与系数的关系进行求解即可； （2）根据根与系数的关系，，是方程的解，进而得到，再根据根与系数的关系和根的判别式求出的范围，即可． 【详解】（1）解：①一元二次方程的两根分别为，， ，， 故答案为：1.5，； ②实数，满足：，， ，是方程的解， ，， ； 故答案为：； （2）解：实数、、满足：， ，是方程的解， ，， ， ，， 解得， ， ． 类型十、一元二次方程的新定义应用 【解惑】定义：如果关于x的一元方程的两个实数根互为相反数，那么称这样的方程是“对称方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，2和互为相反数，则方程是“对称方程”． (1)通过计算，判断下列方程是否是“对称方程”； ①；②； (2)已知关于x的一元二次方程（k是常数）是“对称方程”，求k的值． 【答案】(1)①不是“对称方程”；②是“对称方程” (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，以及根据“对称方程”的概念来解答一元二次方程中相应参数的值，熟练掌握一元二次方程的解法以及根与系数的关系是解答此题的关键． （1）将这两个方程分别解出来，再看它们的两个根是否互为相反数，即可判断它们是否为“对称方程”； （2）根据“对称方程”的特点即可得出两根之和等于0，再根据一元二次方程根与系数的关系即可得出，代入相应字母的值可得出一个关于的方程，解出该方程即可得到的值． 【详解】（1）解：①， 因式分解得， ，， ∵该方程的两实数根不互为相反数， ∴此方程不是“对称方程”； ②， 整理得， ，， ∵该方程的两实数根互为相反数， ∴此方程是“对称方程”； （2）解：∵关于一元二次方程是“对称方程”， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，原方程为，无解， ∴． 【融会贯通】 1．定义：若是方程的两个整数根，且满足，则称此类方程为“差1方程”．例如：是“差1方程”． (1)下列方程是“差1方程”的是______ ；（填序号） ①；②；③． (2)若方程是“差1方程”，求的值． 【答案】(1)② (2)或 【分析】本题以新定义题型为背景，考查一元二次方程的求解，掌握各类求解方法是解题关键． （1）分别求出方程的解即可判断； （2）利用因式分解法解出方程，再根据“差方程”的定义即可求解． 【详解】（1）解：①， ， ∴， ，不是整数根，故①不是“差方程”； ②， ， ∴， ∴，故②是“差方程”； ③， ， ， ∴， ∴方程无整数根，故③不是“差方程”； 故答案为：②； （2）解： ， 解得：，. ∵方程为“差方程”，m为整数， ∴， 解得：或． 2．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，属于“邻根方程”的是________（填序号）； ①；②；③ (2)若是“邻根方程”，求的值； (3)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)③ (2)或 (3)，见解析 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，根与系数的关系，理解题意“邻根方程”的定义是解题关键． （1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于的一元一次方程，求解即可； （3）设方程的两个根、，根据“邻根方程”的定义得，利用根与系数的关系即可得到，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程得：，， ， 方程不是“邻根方程”； ②解方程得：， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得：，， ， 方程是“邻根方程”． 故答案为：③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：设的两个根为，， 由韦达定理得，． ∵为“邻根方程”， ∴，可得， 即， 代入得． 3．定义：如果关于的一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“有爱方程”． (1)判断一元二次方程是否为“有爱方程”，并说明理由； (2)若关于的一元二次方程为“有爱方程”，证明：为“有爱方程”的根； (3)已知是关于的“有爱方程”，若是该“有爱方程”的一个根，求的值． 【答案】(1)一元二次方程是“有爱方程”，见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的一般形式、用十字相乘分解因式法解一元二次方程是解题的关键． （1）将一元二次方程化为一元二次方程的一般形式，再根据“有爱方程”的定义判断即可； （2）根据“有爱方程”的定义得到、、的数量关系，将用含和的代数式表示出来并代入方程，再利用十字相乘法分解因式证明即可； （3）根据“有爱方程”的定义得到各系数之间的数量关系，将常数项用含的代数式表示出来并代入原方程，并把代入，得到关于的一元二次方程，再利用十字相乘分解因式法求解即可． 【详解】（1）解：一元二次方程是“有爱方程”．理由如下： ， ， ， ，，， ， 一元二次方程是“有爱方程”． （2）证明：关于的一元二次方程为“有爱方程”， ， ， ， 为“有爱方程”的根． （3）是关于的“有爱方程”， ， ， 是该“有爱方程”的一个根， ， ， 或． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$