第二章 一元二次方程（基础+中等类型）考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练-2025-2026学年九年级数学上册（北师大版）

第二章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义与一般式 【解惑】下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 2．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 3．一元二次方程化成一般形式后为 ． 类型二、已知一元二次方程根求参或求另一根 【解惑】若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【融会贯通】 1．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 2．已知关于x方程的一个根为4，则方程的另一个根为 ． 3．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 类型三、一元二次方程根与系数关系 【解惑】已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 【融会贯通】 1．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 2．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 3．若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 类型四、判定根的情况并求参 【解惑】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【融会贯通】 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 2．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 类型五、整体代入或变形求值 【解惑】若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【融会贯通】 1．已知方程 的解是，则方程，它的解是（   ） A． B． C． D． 2．已知为方程的根，那么的值为 ． 3．若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 类型六、一元二次方程的应用——古代、增长率问题 【解惑】某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【融会贯通】 1．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 2．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩步） 3．随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为2.5万辆，第三季度的销量为3.025万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 类型七、解一元二次方程——直接开平方、配方法 【解惑】解方程： (1)； (2)． 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 2．按要求解下列方程： (1)（直接开方法）； (2)（配方法）． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】解方程： (1)（配方法）； (2)（用公式法）． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 2．解方程：． 3．解下列方程： (1)； (2)． 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程： (1) (2) 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 2．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)定义：，解方程（根用i表示）． 3．解一元二次方程： (1) (2) 类型十、一元二次方程的应用——方向角、行程问题 【解惑】《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲走了多少步？ 【融会贯通】 1．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 2．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 3．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元二次方程思维导图 【类型覆盖】 类型一、一元二次方程的定义与一般式 【解惑】下列方程是一元二次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2）逐一判断选项． 【详解】解：选项A：方程为整式方程，仅含未知数，且的最高次数为2，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； 选项B：方程中含分式，分母含未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项C：方程含两个未知数和，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； 选项D：方程化简后为，是一元一次方程，最高次数为1，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 故选：A． 【融会贯通】 1．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 2．已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义，把代入方程得，即得，再根据即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：1． 3．一元二次方程化成一般形式后为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：，熟记一元二次方程的一般形式是解题的关键．去括号，将移到方程的左边即可． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 故答案为：． 类型二、已知一元二次方程根求参或求另一根 【解惑】若关于的一元二次方程有一个根为0，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，一元二次方程的解，将代入方程求解m的值，并结合一元二次方程的定义排除不符合条件的解即可． 【详解】解：将代入方程， 得：，即， 解得， 方程为一元二次方程， 二次项系数，即， ， 故选A． 【融会贯通】 1．已知方程的一个根是6，则它的另一个根是（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，计算即可． 【详解】解：设方程的另一个根为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：， 则它的另一个根是． 故选：A． 2．已知关于x方程的一个根为4，则方程的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系，是解题的关键，根据根与系数的关系，得到两根之和为2，进行求解即可． 【详解】解：由题意，可知，方程的两根之和为2， ∵关于x方程的一个根为4， ∴方程的另一个根为； 故答案为： 3．若关于x的一元二次方程一根为，则另一根是 ． 【答案】4 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的另一个根为，则：， ∴； 故答案为：4． 类型三、一元二次方程根与系数关系 【解惑】已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系．根据完全平方公式可变形为，再利用完全平方公式可得，最后利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得： ， 再利用完全平方公式可得， 故原式， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式， 故选：B． 【融会贯通】 1．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于（   ） A．2025 B．2023 C．2021 D．2019 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，由一元二次方程的解的定义可得，由根与系数的关系可得，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：D． 2．如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 3．若，是方程的两个实数根，且，则m的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合是解题的关键．首先根据根的判别式求得m的取值范围，然后由根与系数的关系来求m的值． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴， ， 解得， ，是方程的两个实数根， ， 又， ， 即， 解得，或， 又， 的值是. 故答案为： 类型四、判定根的情况并求参 【解惑】若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 【融会贯通】 1．关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握方程根的判别式与根的情况的关系是解题的关键． 先求出方程根的判别式的值，然后根据方程根的判别式与根的情况的关系即可解答． 【详解】解：方程，其中 判别式 由于，方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 2．若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了判别式与一元二次方程根的情况，熟知一元二次方程没有实数根的条件是是解题的关键． 根据一元二次方程没有实数根的条件是，代入求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程没有实数根， ∴，即， 解得． 故答案为：． 3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，掌握其定义，判别式求根的情况是关键． 根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得，且， 故答案为：且 ． 类型五、整体代入或变形求值 【解惑】若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 【融会贯通】 1．已知方程 的解是，则方程，它的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解．熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键． 由题意知，的解为或，计算求解即可． 【详解】解：∵方程 的解是， ∴的解为或， 解得，或， 故选：C． 2．已知为方程的根，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，也考查了代数式的变形，利用整体代入法的思想是解答本题的关键．根据一元二次方程的解的定义得到，然后对原式进行化简，再将整体代入即可． 【详解】解：∵a为方程的根， ∴， ∵ ， 将代入，则 原式 ， 故答案为：． 3．若a是一元二次方程的一个根，则代数式的值为 。 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义，解题的关键是利用整体思想进行代数式的求解．根据a是一元二次方程的一个根，得到与a有关的代数式，利用整体代入的思想进行求值． 【详解】解：∵a是一元二次方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案是：． 类型六、一元二次方程的应用——古代、增长率问题 【解惑】某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查连续两次降价的应用题，需建立二次方程模型．根据两次降价的百分率相同，每次降价后的价格为原价乘以，两次降价后的总价格即为原价乘以，由此建立方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元． 根据题意，最终价格为2025元， ∴方程为：； 故选：B 【融会贯通】 1．《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作．其中有一个数学问题∶“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”译文：“一块矩形田地的面积为平方步，只知道它的长与宽共步，问它的长比宽多多少步？”则长比宽多（  ） A．3步 B．6步 C．9步 D．12步 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为891平方步，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合长不小于宽，即可确定x的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，符合题意，此时； 当时，，不符合题意，舍去． ∴长比宽多6步． 故选B． 2．（古代数学问题）直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今问俊明公，此法如何算. 意思是：有一块面积为7亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少. 只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半. 现在请你帮他算出它的长是 步. （一亩步） 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设此矩形田的宽为步，根据题意列出方程即可求出答案． 【详解】解：设此矩形田的宽为步，依据题意，可列方程为， 解得：（负值舍去）， 故答案为：． 3．随着我国科技水平不断提升，新能源汽车在消费市场中的渗透率持续攀升．某品牌汽车去年第一季度的销量为2.5万辆，第三季度的销量为3.025万辆．求该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率． 【答案】该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设平均季度增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设平均季度增长率为， 由题意得，， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该品牌汽车去年第一季度到第三季度销量的平均季度增长率为． 类型七、解一元二次方程——直接开平方、配方法 【解惑】解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的求解，熟练掌握直接开平方法和配方法解一元二次方程是解题的关键． （1）用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴，或， ∴； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴，． 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元二次方程和分式方程的解法，熟练掌握方程的解法是关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ 则， 解得， ∴． （2） 去分母得到，， 解得 经检验是分式方程的解． 2．按要求解下列方程： (1)（直接开方法）； (2)（配方法）． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键． （1）将方程变形为，运用直接开方法求解即可； （2）将方程配方后，开方求解即可． 【详解】（1）解：原方程可变形为， ， 开平方，得 ， 即，或， ∴； （2）解： 方程两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得， ， ∴， 即，或， ∴，． 3．用配方法解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)； (2)； (3)，； (4)，； (5)，； (6)，． 【分析】此题考查了解一元二次方程-配方法．各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解． （1）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （2）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （3）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （4）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （5）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． （6）运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ，； （4）解：， ， ， ， ， ， ，； （5）解：， ， ， ， ， ， ，； （6）解：， ， ， ， ， ， ，． 类型八、解一元二次方程——公式法 【解惑】解方程： (1)（配方法）； (2)（用公式法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的基本方法，是解题的关键． （1）用配方法解一元二次方程即可； （2）用公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： 两边同除以2，得， 移项，得， 配方，得， 开平方，得， 所以：，； （2）解：， 变为一般形式：， 则， ， ，． 【融会贯通】 1．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【详解】（1）解：原方程可化为： 即， 即， ，； （2）解：方程整理得：， ，，， ， ， ， 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了一元二次方程的求法，判断出判别式的取值范围是解决本题的关键． 先判断方程的跟的判别式，再由求根公式代入求解即可． 【详解】解：方程为， ，，， ， ， ，． 3．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）方程两边同时乘，化为一元一次方程，求出x的值，最后检验是否符合题意，即可解答； （2）利用公式法解答即可． 【详解】（1）解：方程两边同时乘， 得， 移项、合并同类项，得， 解得： 经检验，是原方程的解． （2）解：， ， ． 类型九、解一元二次方程——因式分解法 【解惑】解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法计算即可； （2）根据公式法计算即可． 【详解】（1）解： 或 ； （2）解：整理得 即 【融会贯通】 1．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程． （1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ． 或． ． （2）解： ． 或． ． 2．用适当方法解方程： (1)； (2)； (3)定义：，解方程（根用i表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）利用公式法解方程即可； （2）先移项，再把方程左边利用提公因式法分解因式，进而解方程即可； （3）求出判别式的值，再根据，结合公式法解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 3．解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）由公式法求解即可； （2）由因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，； （2）解： 或 ，． 类型十、一元二次方程的应用——方向角、行程问题 【解惑】《九章算术》中有这样一道题：“今有二人同所立．甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而邪东北与乙会．问：甲、乙行各几何？”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲走了多少步？ 【答案】36步 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 设甲、乙的时间都是，则，，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图，表示正东方向，表示正南方向， 设甲、乙的时间都是步，则步，步， 又步． 步 由勾股定理得：， ， （舍去）， 甲走的路程为（步， 【融会贯通】 1．今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车时间比甲开车时间多a小时，求a的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时 (2)的值为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用． （1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度； （2）利用路程速度时间，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （千米小时）． 答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时； （2）根据题意得：， 即， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：的值为． 2．九龙坡区有七条特色的山城步道，不仅景色宜人，而且各有特色．中梁山云岭森林公园是主城区首个全开放式无围墙森林公园，公园里有一条长的登山步道，学校两个登山小队组织周末登山活动，计划沿步道登山，若两队同时出发，第一队的登山速度是第二队登山速度的倍，他们比第二队早40分钟到达步道终点． (1)两个小队的登山速度各是多少千米/小时？ (2)到达步道终点后，第一队队长小明继续沿着另一条山路登山，直至山顶．在他从山路登山开始的前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多登山2分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在山路登山到山顶的过程中小明共消耗1050卡路里热量，小明从山路登山直至山顶共用多少分钟？ 【答案】(1)第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时 (2)60分钟 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，分式方程的实际应用， （1）设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时，根据第一队比第二队早40分钟到达步道终点列出方程求解即可； （2）小明从山路登山直至山顶共用m分钟，根据“在整个锻炼过程中，小明共消耗1050卡的热量”列出关于m的一元二次方程，求解取其符合题意的值即可． 【详解】（1）解；设第二队的登山速度为x千米/小时，则第一队的登山速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴第一队的登山速度为3千米/小时， 第二队的登山速度为千米/小时； （2）解：小明从山路登山直至山顶共用m分钟， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：小明从山路登山直至山顶共用60分钟． 3．月日，重庆在除夕夜举行了首届重庆都市艺术节跨年焰火表演，以跨年整点焰火的形式辞旧迎新，为感受喜庆、热烈的现场氛围，甲、乙两人从各自家前往朝天门广场观看焰火表演、由于当晚观看焰火表演的人较多，甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时，此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的倍． (1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？ (2)乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米，此期间，已知乙开车的平均速度比甲开车的平均速度快千米/小时，乙开车时间比甲开车时间少小时；乙步行的平均速度比甲步行的平均速度快千米/小时，乙步行了小时后到达目的地，求的值． 【答案】(1)甲开车的平均速度是千米/小时，步行的平均速度是千米/小时； (2)． 【分析】（）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，根据甲先将车开到距离自己家千米的停车场后，再步行千米到达目的地，共花了小时．列出分式方程，解方程即可； （）根据乙先将车开到停车场后，再步行前往目的地，总路程为千米．列出一元二次方程，解之取其正值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程和一元二次方程． 【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：甲开车的平均速度是千米小时，步行的平均速度是千米小时； （2）由（）可知，甲开车的时间为小时，则乙开车的时间为小时， 由题意可知，乙开车的速度为千米小时，乙步行的速度为千米小时， 由题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去， 答：的值为． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$