第十三章三角形（单元测试）数学人教版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若一个三角形的三边长分别为4，7，，则的值可能是（    ） A．2 B．3 C．8 D．14 3．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 4．一个三角形三个内角的度数之比为5：4：9，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 6．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　） A． B． C． D． 9．如图，在中，是边上高，是的角平分线，是边上的中线，以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 12．如图：等于 度． 13．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 14．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 15．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    17．（6分）若、、分别为三边，化简：． 18．（7分）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 19．（7分）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 20．（8分）如图，在中，是的平分线，且． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 21．（8分）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 22．（10分）【知识回顾】 1．小学知识：三角形三个角的度数和是． 2．课本再现：如图Ⅰ，光线射向水平镜面， 在O处反射得到光线，此时． 【问题探究】 将可折叠的水平镜面沿O处弯折，锐角的度数记为m，光线在E，F处经过两次反射得到光线． （1）如图Ⅱ，光线与能否平行？为什么？ （2）如图Ⅲ，光线与交于点C，若，求m的值． 23．（11分）如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 24．（12分）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1所示，在中，是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 【简单应用】 （2）如图2所示，在中，，延长至，延长至，已知的平分线与的平分线及其反向延长线交于，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3所示，四边形的内角与外角的平分线交于点．已知，，请直接写出的度数． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章三角形（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C D B B B C A B B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．131 12．360 13．或 14．8 15． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分） 【详解】解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      17．（6分） 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 18．（7分） 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 19．（7分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比周长小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（8分） 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， 即． 21．（8分） 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 22．（10分） 【详解】解：（1）不平行．如图所示， 由题意可得，． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是锐角， ∴m小于， ∴小于， ∴与的和不等于， ∴与不平行； （2）如图所示， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴ 解得． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（11分） 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 24．（12分） 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴由（1）可知，， ∴； ∴； （3）延长，交于点G， ∵，， ∴，， ∴． ∵四边形的内角与外角的平分线交于点 ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．若一个三角形的三边长分别为4，7，，则的值可能是（    ） A．2 B．3 C．8 D．14 3．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 4．一个三角形三个内角的度数之比为5：4：9，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 5．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 6．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 7．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　） A． B． C． D． 9．如图，在中，是边上高，是的角平分线，是边上的中线，以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 10．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 12．如图：等于 度． 13．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 14．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 15．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    17．（6分）若、、分别为三边，化简：． 18．（7分）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 19．（7分）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 20．（8分）如图，在中，是的平分线，且． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 21．（8分）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 22．（10分）【知识回顾】 1．小学知识：三角形三个角的度数和是． 2．课本再现：如图Ⅰ，光线射向水平镜面， 在O处反射得到光线，此时． 【问题探究】 将可折叠的水平镜面沿O处弯折，锐角的度数记为m，光线在E，F处经过两次反射得到光线． （1）如图Ⅱ，光线与能否平行？为什么？ （2）如图Ⅲ，光线与交于点C，若，求m的值． 23．（11分）如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 24．（12分）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1所示，在中，是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 【简单应用】 （2）如图2所示，在中，，延长至，延长至，已知的平分线与的平分线及其反向延长线交于，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3所示，四边形的内角与外角的平分线交于点．已知，，请直接写出的度数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第十三章三角形 建议用时：120分钟，满分：120分 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．图中以为边的三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义．根据三角形的定义（由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形）找出图中的三角形． 【详解】解：以为边的三角形有，共3个， 故选：C． 2．若一个三角形的三边长分别为4，7，，则的值可能是（    ） A．2 B．3 C．8 D．14 【答案】C 【分析】根据三角形的三边关系列出不等式，即可求出a的取值范围． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为4，7，a， ∴7-4＜a＜7+4，即3＜a＜11， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 3．用直角三角板，作 的高，下列作法正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是作图基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．根据高线的定义即可得出结论． 【详解】解：A、B、C选项均不是高线，D选项是高线． 故选：D． 4．一个三角形三个内角的度数之比为5：4：9，这个三角形一定是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形的判定，能通过角度对三角形进行分类是解题关键． 【详解】解：设三角形内角分别为， 三角形内角和为， ， 解得：， 故三角形三个内角的度数分别为，，． 故三角形为直角三角形． 5．在，，，是边上的中线，若的周长为45，的周长是（   ） A．47 B．43 C．38 D．25 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的中线以及三角形的周长，掌握三角形的中线的定义是解题的关键．根据的周长为45，可得，再结合三角形中线的定义，即可求解． 【详解】解：的周长为45， ， 是边上的中线， ， ， ， ， 的周长是． 故选：B． 6．小枣一笔画成了如图所示的图形，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，由三角形外角的性质可得，则可求出，由平角的定义和三角形外角的性质可得． 【详解】解：如图所示，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 7．如图，在中，，点在的延长线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求解． 【详解】解：由题意知，， ， 故选C． 8．如图，在中，已知点、分别为边、的中点，且 ，则的值为（　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分面积，推出，即可． 【详解】解：∵点D，E分别为边，上的中点， ∴分别为的中线， ∴，，， ∴． 故选：A． 9．如图，在中，是边上高，是的角平分线，是边上的中线，以下等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线、中线的定义，熟练掌握这些线段的定义是解题的关键．依据三角形的高、角平分线、中线的定义，对每个选项进行分析判断． 【详解】解：选项A： ∵ 是边上的高，只有当时，，题中未提及， ∴ 与不一定相等，A选项错误． 选项B： ∵ 是的角平分线，根据角平分线定义，角平分线将一个角分成两个相等的角， ∴ ，B选项正确． 选项C： ∵ 是边上的中线，中线是连接三角形顶点和对边中点的线段，与角的平分无关， ∴ 与不一定相等，C选项错误． 选项D： ∵ 是角平分线分出的角，是高与边形成的角，无必然相等关系（除非满足特殊条件，题中未给出 ）， ∴ 与不一定相等，D选项错误． 故选： ． 10．一副三角板按如图所示放置，将含角的三角板固定，含角的三角板绕点旋转，保持为锐角，旋转过程中有下列结论：①；②若，则．③若，则；④若，则．其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，平行线的判定与性质，熟练的利用数形结合的方法解决问题是解本题的关键．由同角的余角相等可判断①，求解从而可判断②，证明可判断③，画好的示意图，证明可判断④，从而可得答案． 【详解】解：由题意可得：， ，故①符合题意； 如图，，， ， ， 与不平行，故②不符合题意； ，， ， ∴，故③符合题意； 如图，当时， ， ， ， ， ，故④符合题意； 故选：B． 2、 填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．如图，在中，平分，平分，如果，那么 °． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 12．如图：等于 度． 【答案】 【分析】此题考查了三角形内角和定理．根据三角形内角和为得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为： 13．有4根长度分别为，，，的木棒，从中任意取3根，则这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角形三边的关系，解题的关键是熟练掌握三角形三边的关系． 根据三角形三边的关系，选出能围成三角形的三条木棒，计算周长即可． 【详解】解：∵，，，， ∴恰好能首尾相接构成三角形的三根木棒长为：，，，或，，， ∴这根木棒恰好能首尾相接构成三角形的周长是或， 故答案为： 或． 14．如图，是的中线，E是的中点，连接．如果的面积是16，那么图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中线的性质，三角形的面积，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分的知识进行解答即可． 【详解】解：∵ 是的中线，的面积是16， ∴ ∵E是的中点， ∴，     ∴阴影部分的面积为， 故答案为：8． 15．已知：如图，，若为平面内一点．当点在直线之间时，于平分，连接，使，设，请写出与之间的数量关系 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的定义． 延长交延长线于M，延长交于E，根据平行线的性质和三角形的内角和定理得到，结合平角定义和角平分线的定义得到，根据三角形外交的性质求出，列等式计算即可． 【详解】解：如图，延长交延长线于M，延长交于E， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即 ∴， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共75分） 16．（6分）请你只用无刻度的直尺按要求作图：如图所示，在中，小张同学已画出两条边，上的高，，请你画出边上的高．    【答案】作图见解析 【分析】本题考查作图—复杂作图，连接并延长交于，根据三角形的三条高相交于一点即可作出判断．解题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图，连接并延长交于， ∵在中，边，上的高，交于点， ∴线段为边上的高， 即线段即为所作．      17．（6分）若、、分别为三边，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值，先结合两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，得，再化简，即可作答． 【详解】解：∵、、分别为三边， ∴， ∴， 则 ． 18．（7分）如图，分别交的边于D、E，交延长线于F，若，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，先根据三角形内角和定理得到，再根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角度数之和进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴． 19．（7分）如图，在中，于点，平分交于点． (1)若，，求的度数； (2)若是的中线，，，的周长比周长小，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题，三角形外角的性质，三角形中线的性质，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则由三角形内角和定理可得，由三角形外角的性质可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此由三角形内角和定理可得答案； （2）由三角形中线的定义可得，则由三角形周长计算公式可得，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵是的中线， ∴， ∵的周长比周长小， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．（8分）如图，在中，是的平分线，且． (1)试说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和性质，角平分线有关的计算，三角形的外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合角平分线的性质得，运用三角形外角性质以及，进行角的等量代换得，即可证明； （2）先根据三角形内角和性质，得出，再结合以及由（1）中，进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵是的平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， 即． 21．（8分）如图，，平分，点A，B，C分别是射线，，上的动点（点A，B，C不与点O重合），且，连接交射线于点D． (1)求的度数； (2)当中有两个相等的角时，求的度数． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，关键是要分两种情况讨论． （1）由角平分线定义得到，由平行线的性质推出； （2）分和两种情况，由三角形内角和定理，即可计算． 【详解】（1）解：，平分， ， ， ； （2）解：，， ∴， 当时， ； 当时， ， ， ； 或． 22．（10分）【知识回顾】 1．小学知识：三角形三个角的度数和是． 2．课本再现：如图Ⅰ，光线射向水平镜面， 在O处反射得到光线，此时． 【问题探究】 将可折叠的水平镜面沿O处弯折，锐角的度数记为m，光线在E，F处经过两次反射得到光线． （1）如图Ⅱ，光线与能否平行？为什么？ （2）如图Ⅲ，光线与交于点C，若，求m的值． 【答案】（1）不平行，理由见解析；（2） 【分析】（1）首先表示出，然后得到，进而得到，进而求解即可； （2）首先得到，然后求出，然后根据，列方程求解即可． 【详解】解：（1）不平行．如图所示， 由题意可得，． ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵是锐角， ∴m小于， ∴小于， ∴与的和不等于， ∴与不平行； （2）如图所示， ∵， ∴ ∵， ∴ ∵，， ∴ ∵， ∴ 解得． 【点睛】此题考查了几何图形中角度的计算，一元一次方程的应用，垂直的定义，三角形内角和定理，平行线的判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 23．（11分）如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，进而可得的度数； （2）连接，根据，可得，设，，则，由三角形中线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）设，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再分点P在点E下方和点P在点E上方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 24．（12分）综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． 【结论发现】 三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三内角度数的一半． 【结论探究】 （1）如图1所示，在中，是内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程． 【简单应用】 （2）如图2所示，在中，，延长至，延长至，已知的平分线与的平分线及其反向延长线交于，求的度数． 【变式拓展】 （3）如图3所示，四边形的内角与外角的平分线交于点．已知，，请直接写出的度数． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质，是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及角平分线的定义，即可得到答案； （2）先推导出，再推导出，进而可以求解； （3）延长，交于点G，可得，即可求解． 【详解】解：（1）如图， ∵点E是内角平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴； （2）如图， ∵，、的角平分线与的角平分线及其反向延长线交于E、F， ∴由（1）可知，， ∴； ∴； （3）延长，交于点G， ∵，， ∴，， ∴． ∵四边形的内角与外角的平分线交于点 ∴． 学科网（北京）股份有限公司1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$