第03讲 等比数列及其前n项和（复习讲义）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等比数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 等比数列的定义 4 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 4 知识点3 等比中项 4 知识点4 “下标和”性质 5 知识点5 等比数列的性质拓展 5 知识点6 等比数列的单调性 6 知识点7 等比数列的前n项和公式 6 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 7 知识点9 等比数列前n项和的性质 7 知识点10 证明数列为等比数列的方法 7 题型破译 8 题型1 等比数列项、公比及通项公式的求解 8 【方法技巧】等比数列项、公比及通项公式的求解 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考） 8 【方法技巧】等比中项的应用（含等差等比混考） 题型3 等比数列的性质 9 【方法技巧】等比数列的性质 题型4 等比数列前n项和的求解 10 【方法技巧】等比数列前n项和的求解 题型5 等比数列前n项和的性质 11 题型6 等比数列通项公式与前n项和的关系 11 题型7 等比数列的函数特性与最值 12 题型8 等比数列中的数学文化 12 【方法技巧】等比数列中的数学文化 题型9 等比数列的证明 14 04真题溯源·考向感知 15 05课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）等比中项的应用 （2）等比数列的定义及应用 （3）等比数列通项公式的基本量计算 （4）等比数列的单调性 （5）求等比数列前n项和 单选题 填空题 解答题 北京卷T5（4分） 北京卷T1（4分） 北京卷T15（5分） 北京卷T14（5分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空（4~5 分，中档题）考查。 核心考查：等比数列通项公式、前 n 项和公式（含公比讨论），性质应用（等比中项、等距项成等比）、实际 应用。易错点：公比 q=1 时前 n 项和公式误用，项数计算错误，忽略等比数列各项非零条件。 复习目标： 1.理解等比数列的定义，熟练运用通项公式求解首项、公比等基本量；​ 2.掌握等比数列前 n 项和公式，注意对公比是否为 1 进行分类计算；​ 3.灵活应用等比数列的中项性质、等距项成等比等性质解决问题；​ 4.能根据等比数列的通项和前 n 项和，分析数列项的变化规律；​ 5.结合等比数列特点，解决与增长率、复利相关的实际问题。 知识点1 等比数列的定义 一般地，如果数列从第 项起，每一项与它的前一项之 都等于 ，即 恒成立， 则称数列为等比数列，其中d称为等比数列的 . 自主检测对于等比数列中（    ） A．可以有无数项为零 B．必有一项为零 C．至多有有限项为零 D．任意一项都不为零 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2、通项公式的推广： 或 自主检测1已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（   ） A． B． C． D． 自主检测2在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 自主检测3在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的 ，即是与的等比中项成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时， 是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是 的，而若两数有等比中项，则等比中项 . 自主检测1两数的等比中项是（    ）. A． B．1 C． D． 自主检测2已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 知识点4 “下标和”性质 在等比数列中，若，则 ； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 自主检测在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 知识点5 等比数列的性质拓展 （1）若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 ， ， ． （2）两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，也是 ． （3）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； （4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 自主检测已知是等比数列，为其前项和，给出以下命题： ①是等比数列；②是等比数列；③，，，…是等比数列； ④是等比数列，⑤若，则.其中正确命题的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 知识点6 等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当 时，数列为递增数列； （2）当 时，数列为递减数列； （3）当 时，数列为常数列： （4）当 时，数列为摆动数列. 自主检测1等比数列的公比为q，前n项和为，则以下结论正确的是（    ） A．“q0”是“为递增数列”的充分不必要条件 B．“q1”是“为递增数列”的充分不必要条件 C．“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件 D．“q1”是“为递增数列”的必要不充分条件 自主检测2已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 知识点7 等比数列的前n项和公式 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 自主检测记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 (2)当公比时，因为，所以是的 . 温馨提醒：当，所以的结构形式. 自主检测等比数列的前项和为，则 . 知识点9 等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为诸奇数项和，为诸偶数项和，则 ； （4）若是公比为q的等比数列，则 （）． 自主检测已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 知识点10 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 自主检测已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 题型1 等比数列项、公比及通项公式的求解 例1-1等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 例1-2已知等比数列中，，则等比数列的公比 ． 例1-3已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 方法技巧 （1）梳理已知项的位置和数值，明确要求解的目标（公比、某项或通项公式）。​ （2）依据相邻项比值为公比的特点，结合已知项建立等式求公比。​ （3）将公比和已知项代入通项公式基本结构，确定参数得到完整通项。​ （4）代入已知项验证结果，确保公比和通项公式准确对应已知项。​ （5）涉及多项关系时联立等式求解，保证等式数量与未知数数量匹配。 【变式训练1-1】在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【变式训练1-2】已知等比数列中，，则公比 . 【变式训练1-2】设是等比数列，且，，则 . 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考） 例2-1（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 例2-2（2025·北京·二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（   ） A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm 方法技巧 （1）明确等比中项核心性质：三个数成等比，中间数平方等于另两数乘积。​ （2）单纯等比中项问题，用上述性质由已知两数列等式求等比中项。​ （3）等差等比混考时，区分两类关系，分别用对应中项性质列等式。​ （4）联立等差和等比相关等式求解，计算时注意符号正确处理。​ （5）验证结果是否同时满足等差和等比条件，确保符合题目要求。 【变式训练2-1】在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（   ） A．7 B．11 C．18 D．1 【变式训练2-2】记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ） A．0 B．6 C．12 D．18 【变式训练2-3·变载体】已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 题型3 等比数列的性质 例3-1（2025·北京西城·模拟预测）设是等比数列，，，则 ． 例3-2已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为 . 方法技巧 （1）牢记下标和相等的两项乘积相等这一核心性质，简化计算。​ （2）已知部分项乘积时，用上述性质快速得其他项乘积，无需逐项计算。​ （3）了解连续等长项和的性质：非零的连续等长项和构成等比数列。​ （4）运用性质时留意项的下标范围，避免因下标错误导致结果偏差。​ （5）灵活运用性质将复杂计算转化为性质应用，提高解题效率。 【变式训练3-1】已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【变式训练3-2】已知为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C． D．9 【变式训练3-3·变载体】已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则 = A． B．7 C．6 D． 题型4 等比数列前n项和的求解 例4-1（2025·北京·三模）已知等比数列的前项和为，满足，.则为 ；满足的最小的整数为 . 例4-2（2025·北京延庆·一模）已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 例4-3（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 方法技巧 （1）根据已知条件选求和公式，公比未知时先求公比。​ （2）注意公比是否为 1：公比为 1 时和为 “首项 × 项数”，与非公比 1 时公式不同。​ （3）准确确定项数 n，间隔项求和时明确包含的项，避免数错项数。​ （4）复杂运算通过因式分解等方式简化，保证计算结果准确。​ （5）代入前几项验证，检查求和结果是否符合等比数列求和规律。 【变式训练4-1】记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式训练4-2】设是等比数列的前项和，，，则 ． 【变式训练4-3】已知正项等比数列的前项和为，，，则 ． 题型5 等比数列前n项和的性质 例5-1正项等比数列前项和为，，则（    ） A．144 B． C．162 D．240 例5-2已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式训练5-1】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式训练5-2】等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 题型6 等比数列通项公式与前n项和的关系 例6-1已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 例6-2设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式训练6-1】已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 . 【变式训练6-2】设数列的前项和为，若，（），则的通项公式为 题型7 等比数列的函数特性与最值 例7-1（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 例7-2（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-1·变载体】对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【变式训练7-2】已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式训练7-3·变题型】已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 题型8 等比数列中的数学文化 例8-1（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ）． A．80 B．96 C．100 D．112 方法技巧 （1）阅读题目理解文化背景，提取首项、公比、项数等关键信息。​ （2）将实际问题转化为等比数列问题，明确与项、和的对应关系。​ （3）用等比数列公式和性质建立模型求解。​ （4）准确转化文化背景中的特殊表述为数学语言，避免建模错误。​ （5）结合实际情境验证结果合理性，确保符合文化背景意义。 【变式训练8-1·变载体】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（   ） A． B． C． D． 【变式训练8-2·变载体】杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（    ） A．62 B．61 C．31 D．30 【变式训练8-3·变载体】汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集龠、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，各器均为圆筒形（可视为圆柱）．如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳为升量，右耳上为合量，下为龠量．某兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛圆柱的底面半径分别为，高分别为，体积分别为．若成等比数列，且，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式训练8-4·变载体】经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（    ） A． B． C． D． 题型9 等比数列的证明 例9-1已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 例9-2已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【变式训练9-1】已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【变式训练9-2】已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 【变式训练9-3】已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 2．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 3．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 1．在等比数列中，，．求和公比q． 2．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 3．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比． 4．设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求该数列的前项和为. 5．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中；     （2）数列，其中． 6．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？ 7．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？ 8．已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？ 9．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 10．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 11．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 12．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为 ． 13．已知数列的首项，且满足． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 14．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 15．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？ 16．已知，且．对于，证明：． 17．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值． 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等比数列及其前n项和 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 2 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 等比数列的定义 4 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 4 知识点3 等比中项 5 知识点4 “下标和”性质 6 知识点5 等比数列的性质拓展 6 知识点6 等比数列的单调性 7 知识点7 等比数列的前n项和公式 8 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 8 知识点9 等比数列前n项和的性质 9 知识点10 证明数列为等比数列的方法 9 题型破译 10 题型1 等比数列项、公比及通项公式的求解 10 【方法技巧】等比数列项、公比及通项公式的求解 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考） 12 【方法技巧】等比中项的应用（含等差等比混考） 题型3 等比数列的性质 14 【方法技巧】等比数列的性质 题型4 等比数列前n项和的求解 15 【方法技巧】等比数列前n项和的求解 题型5 等比数列前n项和的性质 18 题型6 等比数列通项公式与前n项和的关系 19 题型7 等比数列的函数特性与最值 21 题型8 等比数列中的数学文化 23 【方法技巧】等比数列中的数学文化 题型9 等比数列的证明 26 04真题溯源·考向感知 28 05课本典例·高考素材 30 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）等比中项的应用 （2）等比数列的定义及应用 （3）等比数列通项公式的基本量计算 （4）等比数列的单调性 （5）求等比数列前n项和 单选题 填空题 解答题 北京卷T5（4分） 北京卷T1（4分） 北京卷T15（5分） 北京卷T14（5分） 考情分析： 北京卷中，本讲多以选择、填空（4~5 分，中档题）考查。 核心考查：等比数列通项公式、前 n 项和公式（含公比讨论），性质应用（等比中项、等距项成等比）、实际 应用。易错点：公比 q=1 时前 n 项和公式误用，项数计算错误，忽略等比数列各项非零条件。 复习目标： 1.理解等比数列的定义，熟练运用通项公式求解首项、公比等基本量；​ 2.掌握等比数列前 n 项和公式，注意对公比是否为 1 进行分类计算；​ 3.灵活应用等比数列的中项性质、等距项成等比等性质解决问题；​ 4.能根据等比数列的通项和前 n 项和，分析数列项的变化规律；​ 5.结合等比数列特点，解决与增长率、复利相关的实际问题。 知识点1 等比数列的定义 一般地，如果数列从第 2 项起，每一项与它的前一项之 比 都等于 同一个常数q ，即 恒成立， 则称数列为等比数列，其中d称为等比数列的 公比 . 自主检测对于等比数列中（    ） A．可以有无数项为零 B．必有一项为零 C．至多有有限项为零 D．任意一项都不为零 【答案】D 【解析】根据等比数列的定义判断. 【详解】因为数列等比数列， 所以， 所以等比数列中任意一项都不为零. 故选：D 知识点2 等比数列的通项公式及其推广 1、等比数列的通项公式：等比数列的首项为，公比为，则通项公式为： 2、通项公式的推广： 或 自主检测1已知等比数列12，6，3，…，则该等比数列的第6项是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题可知，公比，所以， 故选：A 自主检测2在等比数列中，，，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】因为，所以，又，所以，解得. 故选：C 自主检测3在数列中，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，即： ， ∴为等比数列，公比， ∴ 故选：D. 知识点3 等比中项 1、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的 等比中项 ，即是与的等比中项成等比数列 2、对等比中项概念的理解 （1）是与的等比中项，则与的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项.此时，，即等比中项有两个，且互为相反数. （2）时， 不一定 是与的等比中项.例如，但不是等比数列； （3）在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等比中项； （4）与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， 3、等差中项与等比中项区别 （1）任意两数都存在等差中项，但并不是任意两数都存在等比中项，当且仅当两数同号且均不为0时才存在等比中项； （2）任意两数的等差中项是 唯一 的，而若两数有等比中项，则等比中项 有两个，且互为相反数 . 自主检测1两数的等比中项是（    ）. A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】设与两数的等比中项是，则，解得：. 故选：A. 自主检测2已知等差数列的公差为，是与的等比中项，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是与的等比中项， 所以. 又因为数列为等差数列，公差为， 所以，化简得，即， 所以. 故选：A. 知识点4 “下标和”性质 在等比数列中，若，则 ； （1）特别地，时， ； 当时， （2）若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积，即 自主检测在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】在等比数列中，， 则 则. 故选：B. 知识点5 等比数列的性质拓展 （1）若是等比数列，公比为q，则数列都是等比数列，且公比分别是 q ， ， ． （2）两等比数列合成数列的性质：若数列是项数相同的等比数列，也是 等比数列 ． （3）对于无穷等比数列，若将其前项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为，公比为； 若取出所有的的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为，公比为； （4）相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即仍是等比数列，公比为 自主检测已知是等比数列，为其前项和，给出以下命题： ①是等比数列；②是等比数列；③，，，…是等比数列； ④是等比数列，⑤若，则.其中正确命题的个数为（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为， 若，数列不是等比数列， 例如数列1，，1，，…，相邻项相加所构成的数列不是等比数列， 故①不正确； 因为是定值，故②正确； 与第1个相仿，若相加和为零，不能构成等比数列， 例如数列1，，1，，…，，，，…不能构成等比数列， 故③不正确； 例如，，则不是等比数列，故④错误； 由知， ， 所以，则，⑤正确. 故选:D. 知识点6 等比数列的单调性 等比数列的首项为，公比为 （1）当 或 时，数列为递增数列； （2）当 或 时，数列为递减数列； （3）当 时，数列为常数列： （4）当 时，数列为摆动数列. 自主检测1等比数列的公比为q，前n项和为，则以下结论正确的是（    ） A．“q0”是“为递增数列”的充分不必要条件 B．“q1”是“为递增数列”的充分不必要条件 C．“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件 D．“q1”是“为递增数列”的必要不充分条件 【答案】C 【详解】等比数列为递增数列，则，或， 所以等比数列为递增数列， 但时，等比数列不一定为递增数列 所以“q0”是“为递增数列”的必要不充分条件. 故选：C 自主检测2已知为等比数列，则“”是“为递增数列”的（    ） A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】A 【详解】当公比且时，，，此时，，不递增，充分性不成立， 当等比数列为递增数列时，，显然必要性成立. 综上所述：“”是“为递增数列”的必要而不充分条件. 故选：A 知识点7 等比数列的前n项和公式 已知量 首项，公比与项数 首项，公比与末项 求和公式 自主检测记为等比数列的前项和，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，又， 所以， 所以. 故选：D. 知识点8 等比数列前n项和公式的函数特征 (1)当公比时，设，等比数列的前项和公式是，即是的 指数型函数 (2)当公比时，因为，所以是的 正比例函数 . 温馨提醒：当，所以的结构形式. 自主检测等比数列的前项和为，则 . 【答案】 【详解】因为等比数列得前项和为，又因为，所以，即， 故答案为：. 知识点9 等比数列前n项和的性质 已知为等比数列，公比为，为其前项和. （1）若，则 0 ； （2）当时，， ，为等比数列； （3）若等比数列共项，记为诸奇数项和，为诸偶数项和，则 / ； （4）若是公比为q的等比数列，则 （）． 自主检测已知等比数列的前项和为，则（    ） A．14 B．18 C．20 D．30 【答案】D 【详解】是等比数列，， 成首项为2，公比为2的等比数列， ，故. 故选：D. 知识点10 证明数列为等比数列的方法 （1）（为常数）为等比数列 （2）若,则，，三个数成等比数列 自主检测已知数列的前n项和为，且. (1)求出，并求出与的递推关系； (2)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (3)在与之间插入n个数，使得包括与在内的这个数成等差数列，其公差为，若对任意，有恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)证明见解析， (3) 【详解】（1）当时，，而， 所以，解得9， 当时， ，， 得：，整理得：， 经检验，，满足上式， 所以； （2）由得 ， 又， 所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以 . （3）由题意， 由（2）可知： ， 所以，所以，令， 则，而， 所以，即数列单调递减， 故，所以，所以的最小值为. 题型1 等比数列项、公比及通项公式的求解 例1-1等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【详解】若等比数列的公比为，则，故. 故选：C 例1-2已知等比数列中，，则等比数列的公比 ． 【答案】2或 【详解】因为， 所以，故， 即，化简得， 解得或， 故答案为：2或 例1-3已知等比数列满足，则数列的通项公式 ． 【答案】 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 方法技巧 （1）梳理已知项的位置和数值，明确要求解的目标（公比、某项或通项公式）。​ （2）依据相邻项比值为公比的特点，结合已知项建立等式求公比。​ （3）将公比和已知项代入通项公式基本结构，确定参数得到完整通项。​ （4）代入已知项验证结果，确保公比和通项公式准确对应已知项。​ （5）涉及多项关系时联立等式求解，保证等式数量与未知数数量匹配。 【变式训练1-1】在等比数列中，若且，则（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【详解】由等比数列的性质可得，易知，故， 又，所以，故，可得. 故选：C. 【变式训练1-2】已知等比数列中，，则公比 . 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，由，得，解得. 故答案为： 【变式训练1-2】设是等比数列，且，，则 . 【答案】或 【详解】因为是等比数列，且，， 解得，或，则或. 故答案为：或 题型2 等比中项的应用（含等差等比混考） 例2-1（2025·北京海淀·三模）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项和为（    ） A．51 B．66 C． D．6 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为，由成等比数列，得， 又，解得，所以的前6项和. 故选：A 例2-2（2025·北京·二模）小明在某印刷服务公司看到如下广告：“本公司承接图纸复印业务，规格可达A1，B1大小……”.他不禁好奇：A1，B1复印纸有多大呢？据查：所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变，且两张A4纸可以拼接成一张A3纸，两张A3纸可以拼接成一张A2纸…….已知A4纸的宽为210mm，那么A1纸的长和宽约为（   ） A．840mm，594mm B．840mm，588mm C．594mm，420mm D．588mm，420mm 【答案】A 【详解】A4纸的宽为，设其长为， 若两张A4纸的宽拼在一起， 则A3纸的宽为，长为， 且，故舍去； 若两张A4纸的长拼在一起， 即A3纸的宽为，长为， A2纸的宽为，长为， A1纸的宽为，长为， 由所有的复印纸均为矩形，其长与宽的比值不变， 可得，解得，则， 所以A1纸的长和宽约为840mm，594mm. 故选：A 方法技巧 （1）明确等比中项核心性质：三个数成等比，中间数平方等于另两数乘积。​ （2）单纯等比中项问题，用上述性质由已知两数列等式求等比中项。​ （3）等差等比混考时，区分两类关系，分别用对应中项性质列等式。​ （4）联立等差和等比相关等式求解，计算时注意符号正确处理。​ （5）验证结果是否同时满足等差和等比条件，确保符合题目要求。 【变式训练2-1】在正项等差数列中，且，，成等比数列，则（   ） A．7 B．11 C．18 D．1 【答案】A 【详解】设正项等差数列公差为， 又，所以，， 因为，，成等比数列， 所以，则，解得或（舍去）， 则，故． 故选：A 【变式训练2-2】记为公差不为0的等差数列的前项和，若，，，成等比数列，则（ ） A．0 B．6 C．12 D．18 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，即， 又，，成等比数列，所以，即， 化简可得，解得或（舍）， 则，所以， 则. 故选：C 【变式训练2-3·变载体】已知公差不为零的等差数列满足，且成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设首项为，公差为，由已知得， 因为，所以， 化简得，因为成等比数列，所以， 故，解得或(舍去)， 故，且设前项和为， 则，得到，故A正确. 故选：A 题型3 等比数列的性质 例3-1（2025·北京西城·模拟预测）设是等比数列，，，则 ． 【答案】16 【详解】因为是等比数列， 所以， 又，所以. 故答案为：16. 例3-2已知数列中，，且满足，是等比数列，则的值为 . 【答案】162 【详解】由已知得， 又是等比数列，且， 则，即， 所以，即. 故答案为：162. 【点睛】本题考查等比数列的概念及通项公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 方法技巧 （1）牢记下标和相等的两项乘积相等这一核心性质，简化计算。​ （2）已知部分项乘积时，用上述性质快速得其他项乘积，无需逐项计算。​ （3）了解连续等长项和的性质：非零的连续等长项和构成等比数列。​ （4）运用性质时留意项的下标范围，避免因下标错误导致结果偏差。​ （5）灵活运用性质将复杂计算转化为性质应用，提高解题效率。 【变式训练3-1】已知是各项均为正数的等比数列，且是关于的方程的两个实数根，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．18 【答案】B 【详解】是关于的方程的两个实数根，则， 由等比数列的性质可得：，所以， 又 故选：B. 【变式训练3-2】已知为等比数列，，，则（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【详解】由题设，又，则，而，故 . 故选：A 【变式训练3-3·变载体】已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则 = A． B．7 C．6 D． 【答案】A 【详解】试题分析：由等比数列的性质知，a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以a4a5a6＝ 故答案为 考点：等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，转化与化归的数学思想． 题型4 等比数列前n项和的求解 例4-1（2025·北京·三模）已知等比数列的前项和为，满足，.则为 ；满足的最小的整数为 . 【答案】 【详解】，， 当时，，则，， ； 是等比数列，设公比为，， ，令，则， 化简得，两边取自然对数并整理得，，故最小整数， 当时，，满足条件. 故答案为：；. 例4-2（2025·北京延庆·一模）已知等比数列的公比为q，前n项和为.若，且，则下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项B：因为，且对恒成立， 则，整理可得恒成立， 则，故B正确； 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：因为， 由B项已得，，则，，而， 则，故C错误； 对于选项D：因为，即，故D正确. 故选：C. 例4-3（2025·北京西城·一模）设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 【答案】D 【详解】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D 方法技巧 （1）根据已知条件选求和公式，公比未知时先求公比。​ （2）注意公比是否为 1：公比为 1 时和为 “首项 × 项数”，与非公比 1 时公式不同。​ （3）准确确定项数 n，间隔项求和时明确包含的项，避免数错项数。​ （4）复杂运算通过因式分解等方式简化，保证计算结果准确。​ （5）代入前几项验证，检查求和结果是否符合等比数列求和规律。 【变式训练4-1】记等比数列的前项和为，若，，则（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】设等比数列的公比为，若，则，故， 由可得， 化简得，解得， 则. 故选：D. 【变式训练4-2】设是等比数列的前项和，，，则 ． 【答案】 【详解】设等比数列公比为，当时，，此时，与题意不符， 所以，由题意可得，解得， 由等比数列求和公式得． 故答案为：. 【变式训练4-3】已知正项等比数列的前项和为，，，则 ． 【答案】 【详解】（1）当公比为1，则，不符合题意，舍去； （2）当公比不为1，，解得：， 所以： ． 故答案为：. 题型5 等比数列前n项和的性质 例5-1正项等比数列前项和为，，则（    ） A．144 B． C．162 D．240 【答案】D 【详解】由题意可知成等比数列，设其公比为， 则，即，整理可得， 分解因式可得，解得或（舍去）， 由，则，解得. 故选：D. 例5-2已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式训练5-1】设等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为等比数列，所以也为等比数列， 则有， 设，则，所以，故. 故选：D. 【变式训练5-2】等比数列共有2n项，其和为240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比 . 【答案】/ 【详解】设等比数列的奇数项的和、偶数项的和分别为，. 由题意可得 解得 所以． 故答案为：. 题型6 等比数列通项公式与前n项和的关系 例6-1已知等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 在等比数列中，， 设公比为q， ，解得， ∴， 当时，，解得：， ∴是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴. 故选：A. 例6-2设为数列的前项和，若，，则下列各选项在正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得,即，解得. 因为，所以， 两式相减得，即. 又，，所以， 所以是首项为2，公比为3的等比数列， ∴，． 故选:D. 【变式训练6-1】已知数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和为 . 【答案】 【详解】当时，所以； 当时，由， 得，所以. 令， 则， 两式作差得， 所以. 故答案为： 【变式训练6-2】设数列的前项和为，若，（），则的通项公式为 【答案】 【详解】当时，，即 当时， ，即 即当时，数列为等比数列，所以 当时，，不满足 故答案为： 【点睛】本题主要考查了由求的通项公式，属于中档题. 题型7 等比数列的函数特性与最值 例7-1（2025·北京昌平·二模）设数列是公比不为1的无穷等比数列，则“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若“数列为递减数列”，易得， 若“对任意的正整数，”， ， 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 当时，由，得， 解得：或， 若，则，此时，与已知矛盾； 若，则，由指数函数单调性可知单调递减； 综上可知：若，可判断数列为递减数列， 所以“数列为递减数列”是“对任意的正整数，”的充要条件， 故选：C 例7-2（2025·北京顺义·一模）设为等比数列，则“存在，使得”是“为递减数列”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】假设等比数列的公比，首项，则数列的项依次为， 当时，满足，但是不是递减数列， 故充分性不满足； 若为递减数列，则对于任意的，必然有， 故必要性满足； 所以“存在，使得”是“为递减数列”的必要而不充分条件. 故选：B 【变式训练7-1·变载体】对于正项等比数列，“”是 “数列是单调递增数列”的（   ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【详解】因为为正项等比数列，设其公比为， 若，则，所以，则或（舍去）， 所以为单调递增数列，即由可以推出为单调递增数列； 若为单调递增数列，则， 所以是为单调递增数列的充分必要条件. 故选：C. 【变式训练7-2】已知数列是公比为的等比数列.设甲：；乙：数列单调递增，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】当首项时，若，此时数列单调递减， 如，因此充分性不成立； 若数列单调递增，当首项，时，满足题意， 如，可知必要性不成立； 综上可知，甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选：D 【变式训练7-3·变题型】已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项判断正确的是（      ） A．若，则数列是递增数列 B．若，则数列是递增数列 C．若数列是递增数列，则 D．若数列是递增数列，则 【答案】D 【详解】对于A中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以A不正确； 对于B中，如果数列，公比为，满足，但是等比数列不是递增数列，所以B不正确； 对于C中，如果数列，公比为，可得，数列是递增数列，但是，所以C不正确； 对于D中，数列是递增数列，可知，可得，所以，可得正确，所以D正确； 故选：D． 题型8 等比数列中的数学文化 例8-1（2025·北京东城·模拟预测）月相是指天文学中对于地球上看到的月球被太阳照亮部分的称呼．1854年，爱尔兰学者在大英博物馆所藏的一块巴比伦泥板上发现了一个记录连续15天月相变化的数列，记为，其将满月等分成240份，（且）表示第天月球被太阳照亮部分所占满月的份数．例如，第1天月球被太阳照亮部分占满月的，即；第15天为满月，即．已知的第1项到第5项是公比为的等比数列，第5项到第15项是公差为的等差数列，且，均为正整数，则（   ）． A．80 B．96 C．100 D．112 【答案】B 【详解】依题意，有，， 时，不是正整数； 时，； 时，，不是正整数. 所以，，. 故选：B 方法技巧 （1）阅读题目理解文化背景，提取首项、公比、项数等关键信息。​ （2）将实际问题转化为等比数列问题，明确与项、和的对应关系。​ （3）用等比数列公式和性质建立模型求解。​ （4）准确转化文化背景中的特殊表述为数学语言，避免建模错误。​ （5）结合实际情境验证结果合理性，确保符合文化背景意义。 【变式训练8-1·变载体】“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第六个单音的频率为，则第十二个单音的频率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设第n个单音的频率为， 则由题意知数列是等比数列，且公比为，， 所以第十二个单音的频率为. 故选：D 【变式训练8-2·变载体】杭州的三潭印月是西湖十景之一､被誉为“西湖第一胜境”.所谓三潭，实际上是3个石塔和其周围水域，石塔建于宋代元四年（公元1089年），每个高2米，分别矗立在水光潋滟的湖面上，形成一个等边三角形，记为，设的边长为，取每边的中点构成，设其边长为，依此类推，由这些三角形的边长构成一个数列，若的前项和为，则的边长（    ） A．62 B．61 C．31 D．30 【答案】A 【详解】根据题意，取每边的中点构成， 则的各边均为对应的中位线，长度减半，由此， 依次类推可得， 所以是首项为，公比的等比数列， 故其前项和，解得，即的边长. 故选：A. 【变式训练8-3·变载体】汉代刘歆等人设计的“新莽嘉量”，是集龠、合、升、斗、斛五量为一器的标准量器，各器均为圆筒形（可视为圆柱）．如图，正中的圆柱体的上部为斛量，下部为斗量，左耳为升量，右耳上为合量，下为龠量．某兴趣小组制作一“新莽嘉量”模型，设升、斗、斛圆柱的底面半径分别为，高分别为，体积分别为．若成等比数列，且，，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】依题意，，即所成等比数列的公比为10，则， 所以. 故选：B 【变式训练8-4·变载体】经济学家凯恩斯在解释政府财政政策时指出，如果政府的支出增加，那么会产生“乘数”效应．如果政府增加某项支出a亿元，那么这笔费用会使部分居民收入增加，假设受惠居民将收入增加量的p%用于国内消费，那么国内消费的金额将会产生第2轮影响，其也会使部分居民收入增加，收入增加的居民又会将收入增加量的p%用于国内消费，因此又会产生新的一轮影响……假设每位受影响的居民消费理念都一样，那么经过30轮影响之后，最后的国内消费总额是（最初政府支出也算是国内消费）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1轮影响后，国内消费总额为， 2轮影响后，国内消费总额为， ……， 30轮影响后，国内消费总额为. 故选：D 题型9 等比数列的证明 例9-1已知数列中，；数列为等差数列，且满足：. (1)求证：数列为等比数列，并写出数列的通项公式； (2)令，若数列为严格减数列，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【详解】（1）数列中当时，由得： ，又，故， 故，故为等比数列，公比为2，首项， 得到，所以数列的通项公式为. （2）数列中，， 则解得， 所以的通项公式为， . 已知数列为严格减数列，则对任意正整数都成立， 即 化简得对任意正整数都成立， 所以. 例9-2已知数列满足，，是数列的前项和，记． (1)求证：数列是等比数列； (2)求数列的通项公式； (3)求． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)10170. 【详解】（1）由，，得， 则，而， 所以数列是等比数列. （2）由（1）得，，所以数列的通项公式. （3）由（2）得，， . 【变式训练9-1】已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为. 又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）有，可得， 所以有. 【变式训练9-2】已知数列，是其前项的和，且满足. (1)求证：数列为等比数列； (2)记，求的表达式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）时，，所以， 当时，由,得， 则， 即， 所以又， 故就是首项为，公比为3的等比数列. （2）由（1）可得即. 将代入得, 所以 =. 【变式训练9-3】已知数列满足，. (1)证明：是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，，则，，… 以此类推可知，对任意的，， 由已知得，即， 所以，且， 所以是首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知，，， ， . 1．（2025·北京·高考真题）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 2．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为 ，且斛量器的高为，则斗量器的高为 ，升量器的高为 ． 【答案】 23 57.5/ 【详解】设升量器的高为，斗量器的高为（单位都是），则， 故，. 故答案为：. 3．（2024·北京·高考真题）设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列.记集合，给出下列4个结论： ①若与均为等差数列，则M中最多有1个元素； ②若与均为等比数列，则M中最多有2个元素； ③若为等差数列，为等比数列，则M中最多有3个元素； ④若为递增数列，为递减数列，则M中最多有1个元素. 其中正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【详解】对于①，因为均为等差数列，故它们的散点图分布在直线上， 而两条直线至多有一个公共点，故中至多一个元素，故①正确. 对于②，取则均为等比数列， 但当为偶数时，有，此时中有无穷多个元素，故②错误. 对于③，设，， 若中至少四个元素，则关于的方程至少有4个不同的正数解， 若，则由和的散点图可得关于的方程至多有两个不同的解，矛盾； 若，考虑关于的方程奇数解的个数和偶数解的个数， 当有偶数解，此方程即为， 方程至多有两个偶数解，且有两个偶数解时， 否则，因单调性相反， 方程至多一个偶数解， 当有奇数解，此方程即为， 方程至多有两个奇数解，且有两个奇数解时即 否则，因单调性相反， 方程至多一个奇数解， 因为，不可能同时成立， 故不可能有4个不同的整数解，即M中最多有3个元素， 取 ，则,故③正确. 对于④，因为为递增数列，为递减数列，前者散点图呈上升趋势， 后者的散点图呈下降趋势，两者至多一个交点，故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】思路点睛：对于等差数列和等比数列的性质的讨论，可以利用两者散点图的特征来分析，注意讨论两者性质关系时，等比数列的公比可能为负，此时要注意合理转化. 4．（2023·北京·高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且，则 ；数列所有项的和为 ． 【答案】 48 384 【详解】方法一：设前3项的公差为，后7项公比为， 则，且，可得， 则，即，可得， 空1：可得， 空2： 方法二：空1：因为为等比数列，则， 且，所以； 又因为，则； 空2：设后7项公比为，则，解得， 可得，所以. 故答案为：48；384. 1．在等比数列中，，．求和公比q． 【答案】或 【详解】解：设等比数列的首项为，公比为，因为，，由等比数列的性质可得，，又， ，， ，解得：， 当时，由，所以； 当时，由，所以 所以或 2．如果一个等比数列前5项的和等于10，前10项的和等于50，那么这个数列的公比等于多少？ 【答案】 【详解】解：依题意设数列的首项为，公比为，则，，所以，即，所以，解得，即，所求 3．已知三个数成等比数列，它们的和等于14，积等于64．求这个等比数列的首项和公比． 【答案】答案见解析 【详解】设这三个数分别为，则满足 由题意可得， 联立方程组，可得或， 当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为； 当这三个数为，可得这个等比数列的首项为，公比为； 4．设等比数列的前项和为，已知. （1）求数列的通项公式； （2）求该数列的前项和为. 【答案】（1）当时，；当时，. （2）当时，；当时，. 【详解】试题分析：（1）由已知，建立的方程组，利用等比数列的通项公式即得. （2）由，根据的两组不同取值求和. 试题解析：（1）由题意知：，解得或， 当时，；当时，. （2）由知， 当时，；当时，. 考点：1.等比数列的通项公式；2.等比数列的求和公式. 【名师点睛】等比数列的基本问题，是等元素的互求.本题从已知出发，通过布列的方程组，逐步求得通项公式及前项和.易错点是解方程组漏解. 5．设数列，都是等比数列，分别研究下列数列是否是等比数列．若是，证明结论；若不是，请说明理由． （1）数列，其中；     （2）数列，其中． 【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解. 【详解】数列，都是等比数列，设公比分别为、（、均不为） （1）由，则， 所以数列为等比数列. （2）由，则. 所以数列为等比数列. 6．某城市今年空气质量为“优”“良”的天数为105，力争2年后使空气质量为“优”“良”的天数达到240．这个城市空气质量为“优”“良”的天数的年平均增长率应达到多少（精确到0.01）（参考数据）？ 【答案】 【详解】解：设平均增长率，依题意可得，， 则， 所以， 故平均增长率约为． 7．某汽车集团计划大力发展新能源汽车，2017年全年生产新能源汽车5000辆.如果在后续的几年中，后一年新能源汽车的产量都是前一年的150%，那么2025年全年约生产新能源汽车多少辆（精确到1）？ 【答案】128145辆 【详解】根据题意，从2017年开始，每一年新能源汽车的产量构成等比数列，设为，则，公比，所以，则2025年全年约生产新能源汽车为（辆）， 故2025年全年约生产新能源汽车128145辆. 8．已知数列是等比数列． （1），，是否成等比数列？为什么？，，呢？ （2）当时，，，是否成等比数列？为什么？当时，，，是等比数列吗？ 【答案】（1），，成等比数列，，，成等比数列；（2），，成等比数列，，，是等比数列. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 则，，， ，则，，成等比数列， 又，则，所以，，成等比数列； （2），， ，所以，，成等比数列； 又，则， 所以，，是等比数列. 9．对数列，若点都在函数的图象上，其中c，q为常数，且，，，试判断数列是否是等比数列，并证明你的结论． 【答案】是（证明见解析） 【详解】由题意知: , 因为，，，为定值常数. 且 所以数列为以为首项，为公比的等比数列. 10．已知数列为等差数列，，，前n项和为，数列满足， 求证： （1）数列为等差数列； （2）数列中的任意三项均不能构成等比数列． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【详解】解：（1）因为等差数列满足，，所以，所以，所以 所以，即，即为公差为的等差数列； （2）设数列中任意三项，， 则，假设成等比数列，则 即 因为 所以，所以，即，与矛盾，所以数列中的任意三项均不能构成等比数列． 11．已知数列的首项，且满足． （1）求证：数列为等比数列． （2）若，求满足条件的最大整数n． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【详解】（1）由题意，数列满足，可得， 可得，即， 又由，所以， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）可得，所以 设数列的前项和为， 则 ， 若，即， 因为函数为单调递增函数， 所以满足的最大整数的值为. 12．已知数列为等比数列，，公比．若是数列的前项积，则的最大值为 ． 【答案】 【详解】解：因为数列为等比数列，，公比， 所以 ， 所以，当时，最大， 即 ，解得：， 所以，当或时，最大，为. 故答案为： 13．已知数列的首项，且满足． (1)证明：是等比数列； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：由，得， 又，故，故， 所以，所以数列是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）可知，所以， 所以． 14．已知是一个无穷等比数列，公比为q． （1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的首项与公比分别是多少？ （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列吗？如果是，它的公比是多少？你能根据得到的结论作出关于等比数列的一个猜想吗？ 【答案】答案见解析. 【详解】（1）将数列中的前k项去掉，剩余项组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的首项与公比分别是； （3）在数列中，每隔10项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列.它的公比是，我们由此可以得到一个结论： 在数列中，每隔项取出一项，组成一个新数列，这个新数列是等比数列，它的公比为. 15．某牛奶厂2015年初有资金1000万元，由于引进了先进生产设备，资金年平均增长率可达到50%．每年年底扣除下一年的消费基金后，剩余资金投入再生产，这家牛奶厂每年应扣除多少消费基金，才能实现经过5年资金达到2000万元的目标（精确到1万元）？ 【答案】424万元 【详解】解：设这家牛奶厂每年应扣除万元消费基金，则： 第一年剩余资金为：， 第二年剩余资金为：， 以此类推，第五年剩余资金为：， 由题意知，， 即，解得：， 故这家牛奶厂每年应扣除424万元消费基金． 16．已知，且．对于，证明：． 【答案】证明过程看解析. 【详解】证明：记， 因为，且，所以两边同乘以，得： ， 所以， 所以. 所以，即证. 17．已知数列的通项公式为，求使取得最大值时的n的值． 【答案】3 【详解】设时，最大， 因为，， 所以 所以 即，故 ， ， 即 所以 故当取最大值时， 4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$