第02讲 等差数列及其前n项和（专项训练）（北京专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第02讲 等差数列及其前n项和 目录 01 常考题型过关练 题型01 等差数列的项、公差及通项公式的求解 题型02 等差中项的应用 题型03 等差数列的性质 题型04 等差数列前n项和的求解 题型05 等差数列前n项和的性质 题型06 等差数列通项公式与前n项和的关系 题型07 等差数列通项公式与前n项和的最值 题型08 等差数列中的数学文化 题型09 等差数列奇偶项的和 题型10 等差数列的证明 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 等差数列的项、公差及通项公式的求解 1．数列满足，且，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】因为，所以， 而，从而数列是首项为8、公差为的等差数列， 所以， 所以. 故选：C. 2．已知为公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【详解】因为为公差不为0的等差数列，设公差为， 所以， 因为，所以， 故选：B. 3．在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为，则，得， 所以，即， 又，解得. 故选：D. 4．在等差数列中，，则（ ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4045 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为， 由可得，故， 则， 故选：D 5．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的公差为，则，， 故. 故选：B. 02 等差中项的应用 6．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 【答案】D 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴和的等差中项是． 故选：D. 7．设、是实数，则“”是“为和的等差中项”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 【答案】C 【详解】为和的等差中项， 因此，“”是“为和的等差中项”的充要条件. 故选：C. 8．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 9．等差数列中，，则的等差中项是（    ） A．9 B．3 C．12 D．6 【答案】D 【详解】 ，， ，即， ， . 故选：D 10．已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是与的等差中项，所以，所以， 因为，，则，当且仅当时取等号. 故选：A 03 等差数列的性质 11．将数列{3n+1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 . 【答案】3n2+n 【解析】首先判断项的特征，利用等差数列中有规律取出的项构成的新数列仍然为等差数列，得到通项公式，再求和得结果. 【详解】令，则， 由于，所以是以6为公差，以为首项的等差数列，所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了等差数列的性质即等差数列中有规律取出的项构成的新数列仍然为等差数列，考查了等差数列求和公式，属于简单题目. 12．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】A 【详解】在等差数列中，因为， 所以， 所以. 故选：A 13．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B．12 C．13 D．26 【答案】B 【详解】因为，，由等差数列的性质可知， 相加得， 即，所以. 故选：B. 14．对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（    ） A．55 B．76 C．110 D．113 【答案】C 【详解】因为， 所以，所以．相当于集合中除去形式的数，其前45项包含了15个这样的数，所以． 则， 故选：C. 15．已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为等差数列，且， 由等差数列的性质得，所以， 所以， 故. 故选：C 04 等差数列前n项和的求解 16．已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．44 B．33 C．66 D．77 【答案】D 【详解】设等差数列的公差为d，因为， 所以， 则. 故选：D. 17．已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，解得， 所以. 故选：C 18．已知等差数列的前n项和为，公差．若，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【详解】解法一：由，得， 所以，所以， 又， 则，因为，所以，解得． 解法二：由得，所以， 则， 又， 则，因为，所以，解得． 故选：A. 19．已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（    ） A．55 B．60 C．100 D．110 【答案】D 【详解】当时，得到，所以是以为首项，以为公差的等差数列， 所以，因为，所以，所以. 故选：D. 20．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 【答案】A 【详解】在等差数列中，，解得， ，解得，则等差数列的公差， ，所以. 故选：A 05 等差数列前n项和的性质 21．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 【答案】C 【详解】因为数列是等差数列，为数列的前项和， 根据等差数列的性质得到：仍成等差数列， 记， 设， ， ，解得， 所以， 故选：C. 22．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列片段和性质知：是等差数列. 由，可设，则，于是依次为， 所以，所以. 故选：B 23．设等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．18 B．36 C．54 D．72 【答案】D 【详解】因为差数列中，成等差数列， 令，即成等差数列， 则， 即，解得， 故选：D． 24．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由等差数列的性质可知， 所以 故选：C 25．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 06 等差数列通项公式与前n项和的关系 26．数列的前项和，则该数列的通项公式为 . 【答案】 【详解】当时，； 当时，. 不满足. 所以，. 故答案为：. 27．已知数列的前项和，则 ． 【答案】 【详解】当时，即， 当时，， 又也符合上式， . 故答案为：. 28．已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，即； 又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，又是正项数列，所以． 当时，， 又当时，不符合时的形式． 所以 （2）证明： ， ． 29．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 【答案】n 【详解】解：∵，∴ 当时，， 当时，成立， ∴， 当时，， 当时，满足上式， ∴. 故答案为：n 30．已知数列中，，且为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意知①，又因②， ①式除②式可得， 所以可得是以为首项，为公差的等差数列， 则，所以， ，当时也满足该式， 所以. （2）由(1)结论可知，所以， 设的前项和为，则当为偶数时， 则当为奇数时， 所以. 07 等差数列通项公式与前n项和的最值 31．若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列性质可得，即； 又，所以, 因此数列的公差，且前6项均为负值， 所以的最小值为前6项和，即为. 故选：B. 32．为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 故等差数列的公差，且，即， 又，，， 得到，， 又函数为二次函数，图象开口向下， 对称轴为，所以取得最小正值时，的值为， 故选：C. 33．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的公差为，因为，， 可得 ，解得，所以， 可得， 所以当时，取得最小值. 故选：D. 34．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】设的公差为，由题意得， 即，解得， 即， ∴， 所以 由，解得，即的最大值为. 故选：C. 35．在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 【答案】B 【详解】等差数列中，，故， 且，故， 所以, , 结合，可知， 都小于0，都大于0. 故选：B 08 等差数列中的数学文化 36．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】B 【详解】由题意知， 所以，，， 故选：B 37．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】记的长度构成的数列为， 由题意知，，且都是直角三角形， 所以，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 由，所以. 所以第个三角形的面积为. 故选：B． 38．在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（    ） A．1275 B．1596 C．1597 D．1598 【答案】A 【详解】设该数列为，则由题意可知：， 即从第二项开始后一项与前一项之差构成等差数列，所以， 利用累加法可得， 所以. 故选：A 39．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（    ） A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块 【答案】B 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，是等差数列，且公差为，， 设每层有环，则，， 是等差数列，则也成等差数列， 所以， 所以，， 故选：B． 40．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，分别是公差为4和18的等差数列， 所以，， 所以，，即最长拉索所在直线的斜率为. 故选：B. 09 等差数列奇偶项的和 41．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 42．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ . 【答案】2 【详解】解:由,得, 所以＝5d＝10，所以d＝2. 故答案为：2. 43．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 . 【答案】16 【详解】数列满足， ，且， ， 数列的奇数项是首项为1，公差为的等差数列， 偶数项是首项为，公差为的等差数列， (负值舍去)， ，此时n无正整数解， 若，则， 故答案为：16. 44．已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 所以，， ， 所以，，. 故选：A. 【点睛】本题考查等差数列公差的求解，同时也考查了等差数列奇数项和偶数项的和的问题，考查计算能力，属于中等题. 45．若数列满足，则的前40项的和是（    ） A．760 B．180 C．800 D．820 【答案】D 【解析】根据计算得到2个相邻奇数项的和都等于，2个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列，计算得到答案. 【详解】，故. 故，，，… 从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于； ，，… 从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以为首项，以为公差的等差数列． 故. 故选：. 【点睛】本题考查了数列求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 10 等差数列的证明 46．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）数列中，，，则， 又，所以是首项，公差为3的等差数列， 故，所以. （2）由（1）知， ， 则， 两式相减得 ， 所以. 47．已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前n项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）据题可得：，当时，， 两式子作差可得： ， 又，所以， 当时，， 所以，数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）令，据（1）可知：. 所以；  则， 得： ， ， 两式相减可得： 所以 ， 综上所述，数列的前n项和. 48．已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. (3)若数列满足，其前项和为，证明：. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)，； (3)证明过程见解析 【详解】（1）①， 当时，②， 式子①-②得， 故，故， 为正项数列，故，所以， 即，为公差为2的等差数列； （2）由（1）知，为公差为2的等差数列， ，故， 中，令得， 即， 将代入上式得，解得， 的通项公式为； （3）， ③， 故④， 式子③-④得 ， 故. 49．已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【详解】（1）当时，， 所以，， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 故，所以，． （2）， 所以，， 令，① 则，② ①②得：， ，故， 所以，． 50．已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求的通项； (3)求的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)3. 【详解】（1）因为，所以，故， 又，所以是以3为首项，3为公差的等差数列． （2）由（1）知， 当时，， 而时，不满足上式， 所以. （3）由（2）知，当时，， 又，所以的最大值为. 1．若成等差数列，则直线过定点 . 【答案】 【详解】由题，有，所以由，得， 整理得，由，解得， 所以直线过定点. 故答案为： 2．等差数列前项和为，，记，其中表示不超过的最大整数，则数列前1000项的和为 【答案】1893 【详解】解：为等差数列的前项和，且，． 可得，则公差．， ， 则, , 数列的前1000项和为：9×0＋90×1＋900×2＋3＝1893． 故答案为1893． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、对数运算性质、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．在某物理实验中，一个粒子沿直线运动，初始速度8 m/s，加速度m/s².每秒结束时记录瞬时速度，则前10秒结束时速度绝对值的和为（ ） A．10 B．50 C．52 D．62 【答案】B 【详解】记第秒末的瞬时速度为，速度绝对值的和为. 由题意，数列为的等差数列，所以. 当时，；当时，. 所以前10秒结束时速度绝对值的和为. 故选：B. 4．曲线上有不同的三点，，，且成等差数列，，则过，的直线的斜率的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等差中项可得， 由于不相等，故，， 由于，所以，因此， 故选：A 5．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 【答案】/ 【详解】由等差数列可知， 又为，，，，其中一数， 不妨设，， 又，，三数依序也成等差数列， 即，即， 所以， 化简可得，则，， 又，所以，即或， 当时，，， 当时，，，与题干矛盾， 综上所述，则. 故答案为：. 6．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 【答案】A 【详解】将能被3除余1且被4除余1的正整数按从小到大排列所得的数列记为， 则既是3的倍数，也是4的倍数， 故为12的倍数，所以是首项为0，公差为12的等差数列， 所以， 令，即，且，解得， 且，又，所以恰好获得1对春联的人数为167． 故选:A 7．如图，第1个图案中的小正方形和小长方形共有5个，第2个图案中的小正方形和小长方形共有13个．根据图案的规律，第10个图案中的小正方形和小长方形共有（   ） A．162个 B．221个 C．163个 D．222个 【答案】B 【详解】由题意，各图中所含小正方形和小长方形的总个数分别为： ， ， ， … 归纳可得，第个图案中的小正方形和小长方形的总个数为： ， 故第10个图案中的小正方形和小长方形共有221个． 故选：B. 8．已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，．命题，为等差数列；命题，为递增数列，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 【答案】A 【详解】有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，， 则，，，， 所以为等差数列，则为真命题； 当时，为递减数列，设的项数为，要使为递增数列，只需， 即，所以，则为真命题． 故选：A. 9．在数列的项和之间插入个构成新数列，则（    ） A．13 B． C．14 D． 【答案】A 【详解】在和之间插入个构成数列, ， 则数列中不超过的数的个数为， 当时，，当时，， 所以. 故选：A 10．已知，均为正项等差数列，，对有，若数列中第3项为最小项，则k的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设的公差为，的公差为， 当时，，又，且，所以， 当时，，即①， 当时，，即②， 由①②得， 所以， 令， 因为数列中第3项为最小项，是关于的二次函数， 其对称轴为，根据二次函数性质，对称轴应满足， 解得. 故选：B. 1．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 【答案】 【详解】根据等差数列的求和公式，. 故答案为： 2．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 【答案】95 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 6．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 7．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 【答案】C 【详解】方法一：设等差数列的公差为，首项为，依题意可得， ，即, 又，解得：， 所以． 故选：C. 方法二：，，所以，， 从而，于是， 所以． 故选：C. 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 【答案】C 【详解】方法1，甲：为等差数列，设其首项为，公差为， 则， 因此为等差数列，则甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即为常数，设为， 即，则，有， 两式相减得：，即，对也成立， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件，C正确. 方法2，甲：为等差数列，设数列的首项，公差为，即， 则，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件； 反之，乙：为等差数列，即， 即，， 当时，上两式相减得：，当时，上式成立， 于是，又为常数， 因此为等差数列，则甲是乙的必要条件， 所以甲是乙的充要条件. 故选：C 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 等差数列及其前n项和 目录 01 常考题型过关练 题型01 等差数列的项、公差及通项公式的求解 题型02 等差中项的应用 题型03 等差数列的性质 题型04 等差数列前n项和的求解 题型05 等差数列前n项和的性质 题型06 等差数列通项公式与前n项和的关系 题型07 等差数列通项公式与前n项和的最值 题型08 等差数列中的数学文化 题型09 等差数列奇偶项的和 题型10 等差数列的证明 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 等差数列的项、公差及通项公式的求解 1．数列满足，且，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．已知为公差不为0的等差数列，若，则（   ） A．9 B．8 C．7 D．6 3．在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（    ） A． B． C． D． 4．在等差数列中，，则（ ） A．2022 B．2023 C．4044 D．4045 5．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，组成一个新的等差数列，则（   ） A． B． C． D． 02 等差中项的应用 6．已知和的等差中项是4，和的等差中项是5，则和的等差中项是（    ） A．8 B．6 C． D．3 7．设、是实数，则“”是“为和的等差中项”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分也非必要条件 8．已知数列为等差数列，是方程的两个实数根，则（    ） A．3 B． C．4 D． 9．等差数列中，，则的等差中项是（    ） A．9 B．3 C．12 D．6 10．已知，，且是与的等差中项，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 03 等差数列的性质 11．将数列{3n+1}中的项数为奇数的项按照从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为 . 12．在等差数列中，，则的值为（    ） A．20 B．40 C．60 D．80 13．已知等差数列的前项和为，若，，则等于（    ） A． B．12 C．13 D．26 14．对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（    ） A．55 B．76 C．110 D．113 15．已知为等差数列，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 04 等差数列前n项和的求解 16．已知等差数列的前n项和为，若，则（   ） A．44 B．33 C．66 D．77 17．已知为等差数列的前项和，，则（   ） A．2 B．8 C．16 D．32 18．已知等差数列的前n项和为，公差．若，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 19．已知数列，满足，对，都有成立，为数列的前n项和，则（    ） A．55 B．60 C．100 D．110 20．已知等差数列的前n项和为，，，则（    ） A．25 B．26 C．27 D．28 05 等差数列前n项和的性质 21．已知数列是等差数列，为数列的前项和，，则（    ） A．10 B．15 C．20 D．40 22．设是等差数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 23．设等差数列的前项和为，若，则 （    ） A．18 B．36 C．54 D．72 24．已知与分别是等差数列与等差数列的前n项和，且，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 25．已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 06 等差数列通项公式与前n项和的关系 26．数列的前项和，则该数列的通项公式为 . 27．已知数列的前项和，则 ． 28．已知数列的各项均为正数，为的前项和，且． (1)求的通项公式； (2)设，记的前项和为，求证：． 29．已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式 . 30．已知数列中，，且为数列的前项和，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 07 等差数列通项公式与前n项和的最值 31．若数列为等差数列，为数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 32．为等差数列，若，，那么取得最小正值时，的值（    ） A． B． C． D． 33．已知为等差数列的前项和，，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 34．已知等差数列的前项和为为整数，且，则使得的的最大值为（   ） A．5 B．9 C．10 D．11 35．在等差数列中，，且，是其前项和，则（   ）. A．都小于0，都大于0 B．都小于0，都大于0 C．都小于0，都大于0 D．都小于0，都大于0 08 等差数列中的数学文化 36．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年，英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1901年由高斯得到的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”，“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1到520这520个数中，能被3除余1且被4除余1的数从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（    ） A．43 B．44 C．45 D．46 37．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 38．在《九章算法》和《算法通变》中提出了一些新的垛积公式，讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中，从第二项开始，后一项与前一项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前8项分别为，则该数列的第50项为（    ） A．1275 B．1596 C．1597 D．1598 39．北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层地面的中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中、下三层共有扇面形石板(不含天心石)3402块，则中层共有扇面形石板（    ） A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．1152块 40．斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距均为18m.最短拉索的锚，满足，，以所在直线为轴，所在直线为轴，则最长拉索所在直线的斜率为（    ）    A． B． C． D． 09 等差数列奇偶项的和 41．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 42．在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中，＝，则公差d＝ . 43．已知数列满足，，记数列的前项和为，若，则 . 44．已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，，则公差的值为（    ） A． B． C． D． 45．若数列满足，则的前40项的和是（    ） A．760 B．180 C．800 D．820 10 等差数列的证明 46．在数列中，，． (1)证明：数列是等差数列并求数列的通项公式． (2)若，求数列的前n项和． 47．已知正项数列的前项和为，且． (1)证明：数列是等差数列； (2)令，求数列的前n项和． 48．已知正项数列的前项和为，且满足. (1)证明：为等差数列. (2)求的值和的通项公式. (3)若数列满足，其前项和为，证明：. 49．已知数列中，，. (1)证明数列是等差数列，并求的通项公式； (2)设，求的前项和． 50．已知数列的前项和为，，． (1)证明：数列为等差数列； (2)求的通项； (3)求的最大值． 1．若成等差数列，则直线过定点 . 2．等差数列前项和为，，记，其中表示不超过的最大整数，则数列前1000项的和为 3．在某物理实验中，一个粒子沿直线运动，初始速度8 m/s，加速度m/s².每秒结束时记录瞬时速度，则前10秒结束时速度绝对值的和为（ ） A．10 B．50 C．52 D．62 4．曲线上有不同的三点，，，且成等差数列，，则过，的直线的斜率的取值范围为（   ）． A． B． C． D． 5．设实数，，，是公差为的等差数列，其中且.若，，三数依序也成等差数列，其中为，，，，其中一数，则 .（化为最简分数） 6．2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余1，也能被4除余1的顾客可以获得春联1对，否则不能获得春联．若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数为（    ） A．167 B．168 C．169 D．170 7．如图，第1个图案中的小正方形和小长方形共有5个，第2个图案中的小正方形和小长方形共有13个．根据图案的规律，第10个图案中的小正方形和小长方形共有（   ） A．162个 B．221个 C．163个 D．222个 8．已知有穷数列是等差数列，公差为，前项和为，．命题，为等差数列；命题，为递增数列，则（   ） A．和均为真命题 B．和均为真命题 C．和均为真命题 D．和均为真命题 9．在数列的项和之间插入个构成新数列，则（    ） A．13 B． C．14 D． 10．已知，均为正项等差数列，，对有，若数列中第3项为最小项，则k的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 1．（2025·上海·高考真题）已知等差数列的首项，公差，则该数列的前6项和为 ． 2．（2025·全国二卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·天津·高考真题），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 4．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则 . 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2023·全国甲卷·高考真题）记为等差数列的前项和．若，则（    ） A．25 B．22 C．20 D．15 8．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（    ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 学科 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$