第04讲 基本不等式及其应用（专项训练）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04 讲 基本不等式及其应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 题型02 利用基本不等式比较大小 题型03 利用基本不等式证明不等式 题型04 利用基本不等式求最值 题型05 利用基本不等式求解恒成立问题 02 核心突破提升练 01 对基本不等式的理解及简单应用 1．下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 【答案】D 【分析】根据基本不等式知识对选项逐一判断 【详解】对于A，时为负值，故A错误 对于B，，而无解，无法取等，故B错误 对于 ，当且仅当即时等号成立， 故，D正确，C错误 故选：D 2．设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用基本不等式的知识对各选项逐一分析即可 【详解】对于①，因为，，所以，当且仅当时等号成立，故①错误； 对于②，因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 又，所以，则成立，故②正确； 对于③，， 当且仅当即时等号成立， 因为，所以成立，故③正确； 对于④， ， 当且仅当，即时等号成立，故④正确. 故选：C 3．设a＞0，b＞0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】a+b≥2可知，而，可得a2+b2≥2.反之不成立，可以通过举反例说明. 【详解】∵a+b≥2 所以， 又因为， ∴a2+b2≥2.，故充分. 反之不成立，例如a，b＝0.，故不必要. ∴“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的充分不必要条件. 故选：A. 4．“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意，得到，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由，可得，即或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 5．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据基本不等式等号成立条件判断充分性，取特值验证判断必要性即可. 【详解】若，则，所以， 由得，因为，所以取不到等号，即， 所以“”是“”的充分条件； 又时，，所以“”不是“”的必要条件. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 02 利用基本不等式比较大小 6．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据对数定义把指数化为对数，再根据对数运算结合基本不等式逐个运算判断. 【详解】设，则, ∴ 对A：，A正确； 对B：由题意可得：，同理可得： ∵ ∴，则，B错误； 对C：∵ ∴，C正确； 对D： ∴，D正确； 故选：B. 7．已知，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分析得到，再利用作差法结合基本不等式判断大小即得解. 【详解】解： ， 因为， 故选：B. 8．若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件有，且，，，结合指对幂函数的性质比较的大小. 【详解】由，且知：， ∴，，， ∴，而，即， 综上，有. 故选：C 9．已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件可得的图象在上连续不断，再结合赋值法、复合函数求导、不等式性质逐项判断. 【详解】由函数及其导函数的定义域均为，得的图象在上连续不断， 对于A，取，由，得， 当时，取，，而在上单调递增， 则在上不恒为0，因此，即，A错误； 对于B，，取，，由选项A知，， 不恒为0，B错误； 对于C，由在上单调递增，得当时，； 当时，由，得，C错误； 对于D，，则， 因此，D正确. 故选：D 10．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式结合已知条件分析判断即可. 【详解】因为，所以， 当且仅当且，即且时，取等号． 故选：A． 03 利用基本不等式证明不等式 11．已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】利用基本不等式和消元思想对本题目进行求解. 【详解】解：已知，且xy+2x+y=6， y= 2x+y=2x+=2(x+1)，当且仅当时取等号， 故2x+y的最小值为4. 故选:A 12．已知，为正实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由，利用均值不等式，可证明；若，举反例可知不一定成立，即得解 【详解】由，为正实数，，当且仅当时等号成立 若，可得，故必要性成立； 当，此时，但，故充分性不成立； 因此“”是“”的必要不充分条件 故选：B 13．若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用特殊值法代入可知A、B、D均错误，再利用基本不等式计算可得C正确. 【详解】对于A，易知当时满足，但此时不成立，可知A错误； 对于B，当，可知成立，但不成立，可知B错误； 对于C，由可得，即可得，即充分性成立； 当时，满足，但此时不成立，即必要性不成立，可得C正确； 对于D，当时，易知成立，此时不成立，可得D错误. 故选：C 14．已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用充分条件的定义，结合基本不等式、二次函数性质判断． 【详解】对于A，取，，显然有成立，但不成立，不符合题意. 对于B，由，得，所以，可推出，符合题意. 对于C，，可得，不符合题意. 对于D，由，得，因为，，所以，所以，不能推出，不符合题意. 故选：B． 15．已知，，，则以下不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式即可判断ACD，由，整理后利用不等式的性质即可判断B. 【详解】对于A，， 当且仅当且，即时取等号，故A正确； 对于B，由D选项证得，则有： ， 当且仅当时取等号，所以，即，故B正确 （也可利用三元基本不等式，，相加得证）； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，故C正确； 对于D，因为，，，所以， 所以，当且仅当时取等号，故D错误． 故选：D． 04 利用基本不等式求最值 16．设正实数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 【答案】B 【分析】将化为，展开后利用基本不等式即可求得的最小值，判断A；将平方后利用基本不等式即可判断B；利用基本不等式即可判断C；由基本不等式可推出，即可判断D. 【详解】对于A，， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值为4，A错误； 对于B，，则， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，B正确； 对于C，，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，C错误； 对于D，因为， 即，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值，D错误， 故选：B 17．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（    ）． A．2 B． C． D．3 【答案】A 【分析】利用抛物线的定义及焦半径公式先求，再由双曲线的性质，基本不等式计算即可. 【详解】设双曲线右焦点，易知，， 即，而双曲线的一条渐近线为， 易知，所以， 由双曲线的性质可知， 由基本不等式可知，当且仅当时取得等号. 故选：A 18．在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 【答案】B 【分析】由三点共线及平面向量基本定理得的关系，然后结合基本不等式得最小值． 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以， 当且仅当，即，时，取等号， 所以的最小值为16. 故选：B. 19．已知函数，正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先对等式进行化简得到，然后利用基本不等式的性质将原式进行变形，即可求出最小值. 【详解】由题意可得： . 化简得. 所以，所以，即. 所以， 当且仅当，即时，取最小值为5. 故选：C. 20．已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的巧用求最小值，即可得的值. 【详解】已知，，且， 所以， 当且仅当时，即时，取得最小值， 则. 故选：A. 05 利用基本不等式求解恒成立问题 21．已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式恒成立，故只需，由基本不等式的乘“1”法，结合已知求出的最小值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以由基本不等式可得， 等号成立当且仅当即， 综上所述，的最小值为； 因为不等式恒成立， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 22．若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】由题可得， 又注意到， 当且仅当，即时取等号.则. 故选：C 23．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】首先利用基本不等式求出的最小值，依题意，即可得到关于的一元二次不等式，解得即可. 【详解】因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以或（舍去）， 即，当且仅当时取得， 因为不等式恒成立，所以， 即，解得，即实数的取值范围是. 故选：B 24．已知在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合导数与函数单调性的关系可得在上恒成立，进而可得在上恒成立，再由基本不等式求得的最大值即可得解. 【详解】因为在上是增函数， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为当时，， 当且仅当时，等号成立， 所以，即实数的取值范围为. 故选：C. 25．已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将不等式转化为对应函数最值问题：,再根据函数单调性求最值，最后解不等式得结果. 【详解】因为对任意，总存在，使得，所以, 因为当且仅当时取等号,所以， 因为,所以. 故选：C. 1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据三角形外心性质及数量积的几何意义，可得在方向上的投影向量为，从而求得，再根据余弦定理及基本不等式可求得最值． 【详解】 由O为△ABC外心，可得在方向上的投影向量为， 则，故， 又，设， 则 ， 当且仅当时等号成立， 由可知，， 故的最大值为． 故选：A． 2．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】设椭圆和双曲线的方程分别为：，，易得，设，利用椭圆和双曲线的定义得到，然后在中，利用余弦定理得到，然后利用基本不等式求解. 【详解】解：如图所示： 设椭圆和双曲线的方程分别为：，， 由题意得， 设，则， 解得， 在中，由余弦定理得：， 即，化简得， 则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立； 故选：C 3．（2023·天津武清·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 【答案】C 【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，，因为，，故，， ， 当且仅当时，即时等号成立． 所以的最小值为． 故选：C. 4．（2023·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用余弦定理及向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求解. 【详解】在中，，， 由余弦定理，得，即，于是有. 由，得，即,于是有. 联立，得， 由，得, 将代入中，得. 由，，，知, 所以, 因为， 所以, 当且仅当即时，等号成立， 所以. 故当时，取得最大值为. 故选：B. 5．（2023·天津河西·模拟预测）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的概念和运算性质可得，再由基本不等式可求解. 【详解】由，可得，， 代入，得，即， 由对数运算性质，，解得， 则， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：C. 6．（2023·天津和平·一模）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值. 【详解】设，则 ， 所以，，解得. ，， ， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，的最小值为. 故选：A. 7．（2023·天津·二模）在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知平面四边形是平行四边形，由可知四边形是菱形且边长为，由可知，即可求出相关的角度和长度，把分解为向量之和，用数量积公式化简为即可得到最大值，再由基本不等式即可得到最小值. 【详解】如图，设交于.不妨设点到点的距离大于点到点的距离. 由可知且，所以平面四边形是平行四边形. 设，因为， 所以， 所以，所以平面四边形是菱形. 又因为，即, 所以，因为，所以， 所以.， 因为，所以. 所以 当，即点在处或点在处时，有最大值， 因为， 当且仅当时等号成立，所以有最小值. 所以的取值范围为. 故选：A 8．（2022·天津红桥·二模）设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】依题意可得，利用基本不等式计算可得； 【详解】解：因为，，且，所以， 所以 当且仅当，即，或时取等号； 故选：D 9．（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 【答案】B 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号， 故的最小值为9； 故选：B 10．（2021·天津河东·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．7 D．6 【答案】D 【分析】根据条件利用均值不等式构造不等式，解二次不等式即可求解. 【详解】, ,当且仅当，即时等号成立， 解得或（舍去）， 的最小值为6 故选：D 11．（2020·天津·模拟预测）已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，令，则，结合可得，再利用基本不等式即可得到答案. 【详解】由已知，， 令，则，因为， 所以对称轴为，所以 ，当且仅当 时，等号成立. 故选：D 12．（2020·天津河东·模拟预测）已知实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】将式子同除，利用基本不等式即可求解. 【详解】， 又，则，， 所以， 所以， 当且仅当取等号. 故选：A 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04 讲 基本不等式及其应用 目录 01 常考题型过关练 题型01 对基本不等式的理解及简单应用 题型02 利用基本不等式比较大小 题型03 利用基本不等式证明不等式 题型04 利用基本不等式求最值 题型05 利用基本不等式求解恒成立问题 02 核心突破提升练 01 对基本不等式的理解及简单应用 1．下列命题中正确的是（    ） A．函数的最小值为2. B．函数的最小值为2. C．函数的最小值为 D．函数的最大值为 2．设，，则下列不等式中一定成立的是（   ） ①        ② ③    ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．设a＞0，b＞0，则“a+b≥2”是“a2+b2≥2”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．“”是“，”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．“”是“”的（  ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 02 利用基本不等式比较大小 6．已知正数，满足，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 7．已知，，，则a，b，c的大小为（    ） A． B． C． D． 8．若，且，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 9．已知函数及其导函数的定义域均为，且满足．若在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 10．设a、b为正数，且，比较ab的值与的大小（    ） A． B． C． D． 03 利用基本不等式证明不等式 11．已知，，且，则的最小值为（    ）． A．4 B．6 C．8 D．12 12．已知，为正实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 13．若，则使成立的一个充分不必要条件为（   ） A． B． C． D． 14．已知，，则使成立的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 15．已知，，，则以下不等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 04 利用基本不等式求最值 16．设正实数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 17．已知抛物线的焦点为，抛物线上的点到的距离为6，双曲线的左焦点在抛物线的准线上，过点向双曲线的渐近线作垂线，垂足为，则与双曲线两个焦点构成的三角形面积的最大值为（    ）． A．2 B． C． D．3 18．在中，点M是上一点，且，P为上一点，向量，则的最小值为（    ） A．18 B．16 C．12 D．8 19．已知函数，正数m，n满足，则的最小值为（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 20．已知，，且，则当取得最小值时，（   ） A． B． C． D．1 05 利用基本不等式求解恒成立问题 21．已知正数、满足，不等式恒成立．则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 22．若，恒成立，则最小值为（    ） A． B． C． D． 23．已知，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 24．已知在上是增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数，若对任意，总存在，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2024·天津北辰·三模）在中，，为外心，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·天津河西·三模）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（    ） A． B． C． D．4 3．（2023·天津武清·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B．21 C．25 D． 4．（2023·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 5．（2023·天津河西·模拟预测）已知，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（2023·天津和平·一模）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D． 7．（2023·天津·二模）在平面四边形中，，，.若E、F为边BD上的动点，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（2022·天津红桥·二模）设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 9．（2022·天津红桥·一模）设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 10．（2021·天津河东·一模）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．8 C．7 D．6 11．（2020·天津·模拟预测）已知函数，其中，若函数的最大值记为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（2020·天津河东·模拟预测）已知实数，则的最大值为（    ） A． B． C． D．6 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$