第04讲 空间直线、平面的平行（复习讲义）（天津专用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第04讲 空间直线、平面的平行 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 直线和平面平行的判定 4 知识点2 两平面平行的判定 5 知识点3 直线和平面平行的性质 5 知识点4 平面和平面平行的性质 6 题型破译 7 题型1 直线与平面平行的判定 7 【方法技巧】线线平行，则线面平行 题型2 直线与平面平行的性质 11 【方法技巧】“若线面平行，则线线平行” 题型3 平面与平面平行的判定 14 【方法技巧】1、利用定义，2、利用判定定理，平面平行的传递性 题型4 平面与平面平行的性质 18 题型5 由面面平行证线面平行 20 题型6 线面、面面平行的判定与性质的综合应用 26 题型7 补全平面与平面平行的条件 32 题型8 补全直线与平面平行的条件 35 题型9 由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 41 04真题溯源·考向感知 46 05课本典例·高考素材 52 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）直线和平面平行的判定 （2）直线与平面平行的性质 （3）两平面平行的判定 （4）平面和平面平行的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2024年天津卷，第17题,15分 2023年天津卷，第17题,15分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题，设题稳定，难度中档，分值为15分 复习目标： 1.理解、掌握空间集体中的线面关系。 2.能掌握线面平行的问题。 3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的平行关系去参数问题。 知识点1 直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则线面平行． 图形语言： 符号语言：、，． 注意： （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即； ②直线b在平面内，即； ③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 自主检测若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 【答案】D 【详解】因为直线与平面相交，所以平面内的直线与直线的关系相交或异面，设直线与平面交于点， 对于A，当平面内的直线过交点时，此时过点的直线和直线相交，故A不正确； 对于B，若平面内存在直线和直线平行，根据线面平行的判定定理得出平面，与已知矛盾，故B不正确； 因为平面内过交点的直线有无数条，且这些直线都与相交，故C不正确；D正确． 故选：D． 知识点2 两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． 注意： （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的． （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行面面平行． 自主检测已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，若，则由线面平行的性质可知，故“”是“”的必要条件， 设，，显然，从而有成立，但此时不平行， 所以故“”是“”的不充分条件， 即“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 知识点3 直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 注意： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： （1）直线a和平面平行，即a∥； （2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 自主检测如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，连接. 四边形是平行四边形， 是的中点． 又是的中点，. 又平面，平面， 平面. 又平面，平面平面， . 知识点4 平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 注意： （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 自主检测如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    【答案】证明见解析 【详解】证明：如图，    在上取一点，使得，连接， 因为是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点， 所以，所以∥，∥， 因为∥，故∥． 因为平面平面， 所以∥平面∥平面， 因为平面，所以平面∥平面． 因为平面，所以∥平面． 题型1 直线与平面平行的判定 例1-1如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 例1-2如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面． 【答案】证明见解析 【详解】取的中点，连接． 因为为的中点，所以且， 因为底面为正方形，为中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以． 因为平面，平面， 所以直线平面． 方法技巧 （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【变式训练1-1】如图，在长方体中，证明：直线平面.    【答案】证明见解析 【详解】在长方体中，且，且， 得且， 得四边形为平行四边形，得， 而平面，平面， 得直线平面. 【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，的中点，求证：直线平面. 【答案】证明见解析 【详解】取的中点G，连接. 因为F为的中点，所以且， 因为底面为正方形，E为中点，所以且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以直线平面. 【变式训练1-3】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 【答案】证明见解析 【详解】连接，交于，如下图所示： 因为底面是正方形，故为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 题型2 直线与平面平行的性质 例2-1已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 【答案】A 【详解】由，，是三条不重合的直线，，是两个不重合的平面，直线，知： A：，，由平行公理得A正确； B:，与相交、平行或异面，故B错误； C:，或，故C错误； D:或，故D错误． 故选：A. 例2-2已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若与是异面直线，，，则 D．若，，，，则 【答案】D 【详解】对于A：若，，则或，故A错误； 对于B：若，，，，则或与相交，或，故B错误； 对于C：若与是异面直线，，，则或与相交，故C错误； 对于D：若，，，，所以，，所以，故D正确. 故选：D. 方法技巧 （1）明确判定定理的关键条件． （2）充分考虑各种可能的情况． （3）特殊的情况注意举反例来说明． 【变式训练2-1】已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【详解】，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线， 对于，若，，则由线面垂直的性质得，故A错误； 对于B，若，，则与相交、平行或异面，故B错误； 对于C，若，，，则由线面平行的性质得，故C正确； 简单证明：如图，，过的一个平面与交于，则同理，，则， ，则，，，则，所以.    对于D，若，，，则与相交，故D错误． 故选：C． 【变式训练2-2·变考法】如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】延长DC，AB交于G，连接，连接交于点， 则由，，得C是DG中点， 是PD中点，是的重心， ，即. 故选：A. 【变式训练2-3】下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】对于①中，如图（1）所示，在正方体中，可得， 此时在过的平面内，所以命题①不正确； 对于②中，在正方体中，可得平面， 但与为异面直线，所以命题②不正确； 对于③中，在正方体中，可得平面，平面， 但和为相交直线，所以③不正确； 对于④中，如图（2）所示，在平面任取一点，过直线和点的平面为， 设平面平面，因为，可得， 又因为，所以，因为，所以，所以④正确； 对于⑤中，如图（3）所示，过点分别作，可得， 因为，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为，所以，所以⑤正确. 故选：C. 题型3 平面与平面平行的判定 例3-1（2025·天津·模拟预测）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析； 【详解】因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． 例3-2如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3) 【详解】（1）∵，平面，平面，∴平面. ∵平面，平面，，平面，平面， ∴平面平面. （2）由（1）知：平面平面. 又平面平面，平面平面， ∴. （3）∵，∴点是的中点. ∵，∴，∴点是的中点，. ∵，且三棱锥各棱长均为1，∴， ∴，，，. ∵点在上，∴，解得. ∵，∴. ∴， . 由（2）知：，∴，∴，使得， 即. 由平面向量基本定理可得，解得. 综上所述，的值为. 例3-3（2025·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 方法技巧 1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行． 3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 【变式训练3-1】如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，证明：平面. 【答案】证明见解析 【详解】由四边形为平行四边形，得，平面，平面， 则平面，又，同理平面， 而，都在平面内，则平面平面， 又平面，所以平面. 【变式训练3-2】如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3). 【详解】（1）因为、、分别为、、的中点，底面为平行四边形， 所以，， 又平面，平面， 则平面， 同理平面，平面， 可得平面， 又，平面， 所以平面平面． （2）因为底面为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. （3） 因为四棱锥是正四棱锥， 所以底面是正方形，在底面上的投影是底面的中心， 又，所以， 又， 所以四棱锥的高为， 所以正四棱锥的体积． 题型4 平面与平面平行的性质 例4-1已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 【答案】C 【详解】对于A，若，则与可能相交，故A错误． 对于B，若，则或，故B错误． 对于C，假设，因则，又因，则，故，这与是异面直线矛盾，故假设不成立，即，故C正确． 对于D，平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则与可能相交， （这三点中有两点位于平面一侧，另一点位于平面另一侧）故D错误． 故选：C． 例4-2已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 【答案】C 【详解】对于A，由，，，得或与相交或与是异面直线，A错误； 对于B，由，，，，得或与相交，B错误； 对于C，由，，，得，C正确； 对于D，由，，，且，，得或与相交，D错误. 故选：C 方法技巧 （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 【变式训练4-1】下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【答案】D 【详解】一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，A错误； 一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，B错误； 一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面可能相交或平行，C错误； 一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，根据面面平行的判断定理可知，这两个平面平行，D正确. 故选：D. 【变式训练4-2·变载体】已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A：根据面面平行判定定理，直线应为相交直线，故A错误； 对于B：直线可能在平面α内，故B错误； 对于C：若，，， 则与β垂直、平行，相交不垂直或，故C错误； 对于D：若，，，则，故D正确． 故选：D． 【变式训练4-3】如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A 题型5 由面面平行证线面平行 例5-1如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【详解】存在，为中点，证明如下： 取中点，连接，连接，连接， 因为为中点， 则是的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为 所以是直角梯形的高，， 因为平面，平面，所以平平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 例5-2如图，在多面体中，底面四边形为等腰梯形，∥，，为正三角形，四边形为直角梯形，，，为平面上的点． (1)当点在直线上时，求线段的长度，使得∥平面； (2)若∥平面，求线段的最小值． 【答案】(1)4(2)． 【详解】（1）因为∥平面，平面，平面平面， 所以∥． 又因为四边形为等腰梯形，∥， 所以四边形为平行四边形，因此． 在上找一点，使得． 因为，所以为等边三角形， 因此， 又因为在等腰梯形中，，所以. 所以∥． 又因为∥，所以四边形为平行四边形， 因此，所以． （2）过点C作∥交的延长线于点，过点作∥，交的延长线于点， ∵∥，平面，平面，∴∥平面， 同理∥平面， 又因为平面， 所以平面∥平面. 直线上任意一点记为，则平面，所以∥平面． 所以线段的最小值为点到的距离，即中以为顶点的高． 因为∥∥，所以四边形，四边形为平行四边形， 所以,为平行四边形， 所以， 所以是以2为边长的等边三角形，则高为， 因此线段的最小值为． 方法技巧 （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 【变式训练5-1】如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【答案】证明见解析 【详解】法一：如图，过点作交于点，过点作交于点，连结，显然． 因为是正方体，所以，， 又因为，，且，所以， 所以四边形是平行四边形，从而. 因为平面，平面，所以平面． 法二：如图，连结并延长，与直线相交于点，连结． 因为是正方体，所以，． 又因为，所以，从而． 因为平面，平面，所以平面． 法三：如图，过点作交于点，连结，显然， 因为平面，平面，所以平面． 因为是正方体，所以，， 又因为，所以，故， 所以，从而， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，且， 所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【变式训练5-2】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点， 所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. 因为平面， 所以∥平面. 【变式训练5-3】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 题型6 线面、面面平行的判定与性质的综合应用 例6-1如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)存在， 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 例6-2（2025·天津·模拟预测）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：    (1)； (2)N为AC的中点． 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以． （2）三棱柱中，，且， 因为，， 所以四边形为平行四边形， 又M是的中点， 所以， 所以N为AC的中点． 方法技巧 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【变式训练6-1】在长方体中，分别为棱的中点，． (1)过作平面平面交直线于点，求； (2)求四面体的体积． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）   如图，取的中点为，连接，取的中点为，连接并延长交直线于， 过在平面作的平行线，交的延长线于，连接， 由长方体的性质可得，而， 故，故四边形为平行四边形，所以， 因为，故，故 而平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 故平面平面，又平面， 故平面即为平面，故重合. 因为，故四边形为平行四边形，故. （2）∵为中点，， 而，故. 由（1）知：. 【变式训练6-2】已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 【答案】A 【详解】    取的中点，的中点，连接，，，，如图所示. 在正方体中， ∵，且， ∴四边形是平行四边形，∴. 又平面，平面，∴平面. ∵，分别是和的中点，∴. 同理可知，∴. 又平面，平面，∴平面. 又，平面，平面， ∴平面平面. ∵平面，动点P在正方形（包括边界）内运动， ∴点在线段上运动. 在中，易求，，为等腰三角形， ∴点为线段的中点时，取得最小值.    此时， 即的最小值为. 故选：A. 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图所示，取的中点，连接，，， 在正方体中，可得且， 因为，分别是棱的中点，则且， 所以四边形为平行四边形，则， 又因为平面，平面，所以平面， 同理可证：平面， 因为，且平面，所以平面平面， 又因为平面，当时，则平面，所以平面，所以点在侧面内的轨迹为线段， 因为正方体的边长为，可得，， 在中，可得，且， 则，所以的最小值为. 故选：B. 题型7 补全平面与平面平行的条件 例7-1（2025·天津·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 【答案】A 【详解】设点M是对角线AC上一点，满足，则有平面，平面，进而平面，要使平面，则平面平面，需使. 对于A，在四边形ABCD中，由，，可得，故A 正确； 对于B，因为，又因为，但与不一定相等，所以不一定是平行四边形，从而得不到，故B错误； 对于C，因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以，结合B项分析，可得C错误； 对于D，结合B项分析，同样得不到，故D项错误． 故选：A． 例7-2在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ）    A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 【答案】C 【详解】过D作DN∥A1C1，交B1C1于N，连结BN， 由于平面,平面，所以平面. ∵在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD， 且平面,平面， ∴平面. ∵AA1∩A1C1＝A1，BD∩DN＝D， ∴平面BDN∥平面A1C， ∵点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C， ∴M的轨迹是线段DN，且M与D不重合， ∴动点M的轨迹是线段，但只含1个端点. 故选：C    【变式训练7-1】平面α与平面β平行的条件可以是（    ） A．α内有无数多条直线都与β平行 B．直线a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α C．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 D．一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β 【答案】D 【详解】中，若平面内与平面平行的直线均为平行直线，则两面未必平行，错误； 中，若平面与平面相交，且均与交线平行，可满足中条件，错误； 中，若平面与平面相交，且与交线平行，可满足中条件，错误； 中，平面内两条不平行的直线必然相交，则两条相交直线均平行于平面，满足面面平行的判定定理，正确. 故选： 【变式训练7-2】设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（     ） A．是直线且， B．是异面直线， C．是相交直线且， D．是平行直线且， 【答案】C 【详解】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行， 是相交直线且，，，， 由平面和平面平行的判定定理可得. 故选C. 【变式训练7-3】如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 【答案】(1)证明见解析(2)的值为，证明见解析 【详解】（1）如图，连接并延长，与的延长线交于点， 则平面和平面的交线为. 因为四边形为正方形，所以， 故，所以. 又因为，所以，所以. 因为平面，平面，所以平面. 又平面平面，故平面. （2）当的值为时，能使平面平面. 证明：如图，因为，即， 又，所以. 因为平面，平面，所以平面， 又，平面，平面， 所以平面平面. 题型8 补全直线与平面平行的条件 例8-1（2025·天津·模拟预测）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 【答案】B 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，所以，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点M的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点M的轨迹长度为. 故选：B 例8-2如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图设立空间坐标系，由题意可知： ， ，设， 则 ， 设平面的一个法向量为， 由，即，令，得， 又，PE平面， 所以，解得，所以， 故 ， 所以. 故选：C. 方法技巧 （1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）． 【变式训练8-1】已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，设点为的中点，取的中点，连接，，    则，又平面，平面，∴平面， 易知，故平面与平面是同一个平面， ∴平面，此时， 故选：B 【变式训练8-2·变考法】如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 【答案】 【详解】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点，所以， 同理可得， 因为，，所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证明，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 故答案为：. 【变式训练8-3】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，. 【详解】（1）因为四边形为菱形，， 所以，，又为的中点， 所以为等边三角形，，，， 所以， 又平面，， 所以三棱锥的体积， （2）连结， 因为，分别为的中点，所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，，又是的中点，且， 所以，，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面, 所以平面． （3）线段上存在点P，使得平面，且， 证明如下： 连接，其中AC交DE于点，连接 在菱形ABCD中，，且 所以，又， 所以， 所以四边形是平行四边形 平面，平面， 平面. 题型9 由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 例9-1（1）在三棱锥中，，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长是多少？ （2）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和.体积分别为和.若，则是多少？ 【答案】（1）6（2） 【详解】（1）如图所示，在三棱锥中，过分别作， 再分别过点作，可得四点共面， 因为平面，平面，所以平面， 同理可证，平面，所以截面即为平行四边形， 又由为线段上更靠近的三等分点，且，所以， 所以平行四边形的周长为. （2）设母线长为，甲圆锥底面半径为，乙圆锥底面圆半径为， 则，所以， 又圆心角，则，所以， 所以甲圆锥的高，乙圆锥的高， 所以. 例9-2如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【答案】(1)证明见详解(2)是的中点，证明见详解 【详解】（1） 如图，取中点，连接， 因为是的中点，所以，且， 因为四边形为平行四边形，且是的中点， 所以，， 所以，， 所以四边形为平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面. （2）为的中点，证明如下： 连接，因为，， 所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为平面平面，平面，所以， 因为是的中点，所以是的中点. 【变式训练9-1】如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)（ⅰ）2；（ⅱ） 性质定理得出即可得出比例；（ⅱ）应用三棱锥体积公式结合比列关系计算. 【详解】（1）由为正三角形且可知． 又因为，且，在中，由余弦定理得 ． 所以，所以，所以，即． 所以，又因为平面平面， 所以面． （2）（ⅰ）如图，连接交于点，连接． 因为平面平面，平面平面，所以． 在梯形中，，所以． 因为，所以有， 又面面，平面平面． 所以． 又，所以． （ⅱ）因为． 设梯形高为，则 所以． 又，所以． 所以． 【变式训练9-2·变考法】如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【答案】(1)(2)证明见解析(3)存在，，理由见解析 【详解】（1）因为，所以底面积为2，由正四棱锥的性质可得侧面为全等的等腰三角形， 因为，所以侧面积为， 所以正四棱锥的表面积为. （2）连接,交于，则为中点，连接； 因为直线平面，且平面平面， 所以， 因为为中点，所以P为棱SD的中点. （3）在侧棱SC上存在一点E，使得平面，满足. 理由如下:取SD的中点Q，连接BQ， 因为，所以，又为的中点， 在△中, ,又平面，平面，所以平面， 过Q作，交于，连接， 又平面，平面， 所以平面，又，平面， 所以平面平面，又平面, 所以平面，由，得, 由，Q为SD的中点，得， 所以，即侧棱SC上存在一点E，当满足时, 平面PAC. 【变式训练9-3】如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析 【详解】（1）连接CE，因为，即， 又因为，所以四边形ABCE为平行四边形，所以， 又因为平面，平面SCE，所以平面SCE. （2）连接BF，过点F作交SD于点G，连接CG， 因为，所以，所以B，C，G，F四点共面， 因为平面，平面BCGF，平面平面， 所以，所以四边形BCGF是平行四边形， 所以，所以，所以F为线段SE的中点.    1．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2)(3) 【详解】（1）    连接.由分别是的中点，根据中位线性质，//，且， 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//， 又平面，平面，于是//平面. （2）过作，垂足为，过作，垂足为,连接. 由面，面，故，又，，平面，则平面. 由平面，故，又，，平面，于是平面， 由平面，故.于是平面与平面所成角即. 又，，则，故，在中，，则， 于是 （3）[方法一：几何法]    过作，垂足为，作，垂足为，连接，过作，垂足为. 由题干数据可得，，，根据勾股定理，， 由平面，平面，则，又，，平面，于是平面. 又平面，则，又，，平面，故平面. 在中，， 又，故点到平面的距离是到平面的距离的两倍， 即点到平面的距离是. [方法二：等体积法]    辅助线同方法一. 设点到平面的距离为. ， . 由，即. 2．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则平行或相交，不一定垂直，故A错误. 对于B，若，则或，故B错误. 对于C，，过作平面，使得， 因为，故，而，故，故，故C正确. 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 3．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.    因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以. 故选：B 4．（2008·天津·高考真题）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】对于A：若，，则或 若，又，则与可能平行、相交（不垂直）、异面（不垂直）、相交垂直、异面垂直， 若，又，则与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故A错误； 对于B：若，，，则，故B错误； 对于C：若，，则，又，所以，故C错误； 对于D：若，，则与可能平行或相交（不垂直）或垂直或， 又，此时不能保证成立，如，此时与可能平行、异面（不垂直）、异面垂直，故D错误； 故选：C 5．（2013·天津·高考真题）如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【详解】（1）如下图所示，连接， 在三棱柱中，且， 、分别为、的中点，且， 又是棱的中点，且，且， 四边形是平行四边形，， 平面，平面，平面； （2），是的中点，， 又平面，平面，， ，平面， 平面，平面平面； （3）如下图所示，过点在平面内作交的延长线于点，连接， 平面，平面，， 又，，平面， 所以，直线与平面所成角为， 设三棱柱棱长为， 由于平面，平面，， 是的中点，， 由于，则，， 所以，，则，， 平面，平面，， 在中，，，， 因此，直线与平面所成的角的正弦值为. 1．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 【答案】C 【详解】 如图所示，在空间四边形中，分别为的中点， 连接， 是的中位线，所以，且. 同理，且. ，且. 四边形是一个平行四边形. 故选：C 2．已知直线a，b，平面，．判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若∥，∥，则∥． (2)若∥，，则∥． 【答案】(1)不正确，理由见详解(2)不正确，理由见详解 【详解】（1）若∥，∥，则∥或，相交或，异面， 例如在正方体中，分别为的中点， 则∥平面，∥平面，∥平面， 可知∥，与相交，与异面.      （2）若∥，，则∥或，异面， 例如在正方体中，则∥平面，平面， 可知∥，与异面. 3．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    【答案】证明过程见解析 【详解】在上取，使得，则， 因为平面，平面， 所以平面， 因为，所以，则， 又中，，故， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面，， 所以平面平面， 因为平面，所以平面.    4．如图，，，，AC与BD为异面直线，，，，与成60°的角，求异面直线与所成的角． 【答案】 【详解】 过点作的平行线交平面于点，连接，. ，平面，平面， 四边形为平行四边形， 又与成60°的角，故或， 当时，又为等边三角形，故 当时，， 又，不合题意； 综上， 在中，， 所以（或其补角）为异面直线与所成的角， 故异面直线与所成的角为. 5．木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？    【答案】就是所要画的线 【详解】   由于//平面平面，平面平面， 所以， 如图，过平面上一点作，所以， 所以四点共面，连接和， 则就是所要画的线. 4 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 空间直线、平面的平行 目录 01 考情解码・命题预警 2 02体系构建·思维可视 3 03核心突破·靶向攻坚 4 知能解码 4 知识点1 直线和平面平行的判定 4 知识点2 两平面平行的判定 4 知识点3 直线和平面平行的性质 5 知识点4 平面和平面平行的性质 5 题型破译 6 题型1 直线与平面平行的判定 6 【方法技巧】线线平行，则线面平行 题型2 直线与平面平行的性质 7 【方法技巧】“若线面平行，则线线平行” 题型3 平面与平面平行的判定 9 【方法技巧】1、利用定义，2、利用判定定理，平面平行的传递性 题型4 平面与平面平行的性质 10 题型5 由面面平行证线面平行 11 题型6 线面、面面平行的判定与性质的综合应用 13 题型7 补全平面与平面平行的条件 15 题型8 补全直线与平面平行的条件 16 题型9 由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 18 04真题溯源·考向感知 19 05课本典例·高考素材 20 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）直线和平面平行的判定 （2）直线与平面平行的性质 （3）两平面平行的判定 （4）平面和平面平行的性质 单选题 多选题 填空题 解答题 2024年天津卷，第17题,15分 2023年天津卷，第17题,15分 考情分析： 本节内容是天津高考卷的必考内容，一般给出几何体求解线与面的关系，以及动点问题，设题稳定，难度中档，分值为15分 复习目标： 1.理解、掌握空间集体中的线面关系。 2.能掌握线面平行的问题。 3.会解空间中的动点问题，利用线与面中的平行关系去参数问题。 知识点1 直线和平面平行的判定 直线和平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．简记为：线线平行，则______________． 图形语言： 符号语言：、，． 注意： （1）用该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件： ①直线a在平面外，即； ②直线b在平面内，即； ③直线a，b平行，即a∥b． 这三个条件缺一不可，缺少其中任何一个，结论就不一定成立． 自主检测若直线与平面相交，则下列结论正确的是（    ） A．平面内任意直线和直线异面 B．平面内存在直线和直线平行 C．平面内有且仅有一条直线和直线相交 D．平面内有无数条直线都与直线相交 知识点2 两平面平行的判定 文字语言：如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面______________． 图形语言： 符号语言：若、，，且、，则． 注意： （1）定理中平行于同一个平面的两条直线必须是相交的． （2）定理充分体现了等价转化的思想，即把面面平行转化为线面平行，可概述为：线面平行___________． 自主检测已知平面，为两个不同的平面，直线为内一条直线，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 知识点3 直线和平面平行的性质 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．简记为：线面平行则线线平行． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 注意： 直线和平面平行的性质定理可简述为“若线面平行，则线线平行”．可以用符号表示：若a∥，，，则a∥b．这个性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理，用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件： （1）直线a和平面平行，即a∥； （2）平面和相交，即； （3）直线a在平面内，即．三个条件缺一不可，在应用这个定理时，要防止出现“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内一切直线”的错误． 自主检测如图所示，在四棱锥中，底面是平行四边形，与交于点，是的中点，在上取一点，过和作平面交平面于，求证：. 知识点4 平面和平面平行的性质 文字语言：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线______________． 符号语言：若，，，则． 图形语言： 注意： （1）面面平行的性质定理也是______________的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 自主检测如图，四棱锥中，是上靠近点的四等分点，是上靠近点的四等分点，证明：平面．    题型1 直线与平面平行的判定 例1-1如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 例1-2如图，在四棱锥中，底面为正方形，，分别为，的中点，求证：直线平面． 方法技巧 （1）欲证线面平行可转化为线线平行解决． （2）判断定理中有三个条件，缺一不可，注意平行关系的寻求．常常利用平行四边形、三角形中位线、等比例线段、相似三角形． 【变式训练1-1】如图，在长方体中，证明：直线平面.    【变式训练1-2】如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，侧面底面，底面为正方形，E，F分别为，的中点，求证：直线平面. 【变式训练1-3】如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点，求证：平面. 题型2 直线与平面平行的性质 例2-1已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，直线，则（    ） A．， B．， C．， D． 例2-2已知，，是互不重合的三条直线，，，是互不重合的三个平面，则下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若与是异面直线，，，则 D．若，，，，则 方法技巧 （1）明确判定定理的关键条件． （2）充分考虑各种可能的情况． （3）特殊的情况注意举反例来说明． 【变式训练2-1】已知，是两个不同的平面，，，是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式训练2-2·变考法】如图，在四棱锥中，，，点E是棱PD的中点，PC与平面ABE交于F点，设，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【变式训练2-3】下列命题中，正确命题的个数是（   ） ①如果是两条平行直线，那么平行于经过的任何一个平面； ②如果直线和平面满足，那么与平面内的任何一条直线平行； ③如果直线满足，，则； ④如果直线和平面满足，，，那么； ⑤如果平面的同侧有两点到平面的距离相等，则. A．0 B．1 C．2 D．3 题型3 平面与平面平行的判定 例3-1（2025·天津·模拟预测）如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点．求证：平面平面． 例3-2如图，三棱锥各棱长均为1，侧棱上的，，满足，，线段上的点G满足平面，点在上，.    (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求的值. 例3-3（2025·天津·模拟预测）如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 方法技巧 1、利用定义：证明两个平面没有公共点，有时直接证明非常困难，往往采用反证法． 2、利用判定定理：要证明两个平面平行，只需在其中一个平面内找两条相交直线，分别证明它们平行于另一个平面，于是这两个平面平行，或在一个平面内找到两条相交的直线分别与另一个平面内两条相交的直线平行． 3、平面平行的传递性：即若两个平面都平行于第三个平面，则这两个平面互相平行． 【变式训练3-1】如图，在几何体中，四边形为平行四边形，平面平面，，证明：平面. 【变式训练3-2】如图，正四棱锥的底面为平行四边形．、、分别为、、的中点，设平面与平面的交线为． (1)求证：平面平面； (2)求证：； (3)若，求四棱锥的体积． 题型4 平面与平面平行的性质 例4-1已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若是异面直线，，则 D．平面内有不共线的三点到平面的距离相等，则 例4-2已知l，，是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题一定正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若，，，且，，则 方法技巧 （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 【变式训练4-1】下列说法正确的是（    ） A．一个平面内有一条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 B．一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 C．一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行 D．一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行 【变式训练4-2·变载体】已知是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【变式训练4-3】如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（   ） A． B． C． D． 题型5 由面面平行证线面平行 例5-1如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 例5-2如图，在多面体中，底面四边形为等腰梯形，∥，，为正三角形，四边形为直角梯形，，，为平面上的点． (1)当点在直线上时，求线段的长度，使得∥平面； (2)若∥平面，求线段的最小值． 方法技巧 （1）面面平行的性质定理也是线线平行的判定定理． （2）已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线（否则将导致这两个平面有公共点）． 【变式训练5-1】如图，在正方体中，分别为与上的点，且．求证：平面． 【变式训练5-2】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【变式训练5-3】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 题型6 线面、面面平行的判定与性质的综合应用 例6-1如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 例6-2（2025·天津·模拟预测）如图，在三棱柱中，M是的中点，平面平面，平面．求证：    (1)； (2)N为AC的中点． 方法技巧 直线与平面平行，平面与平面平行的判定定理、性质定理，揭示了线线平行、线面平行、面面平行之间的转化关系，具体转化过程如图所示． 【变式训练6-1】在长方体中，分别为棱的中点，． (1)过作平面平面交直线于点，求； (2)求四面体的体积． 【变式训练6-2】已知正方体的棱长为2，E，F分别是棱，的中点，动点P在正方形（包括边界）内运动，若平面，则线段的长度的最小值是（    ）    A． B．2 C． D．3 【变式训练6-3】（2025·天津·二模）如图，已知正方体的棱长为2，，分别是棱，的中点，若为侧面内（含边界）的动点，且平面，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 题型7 补全平面与平面平行的条件 例7-1（2025·天津·模拟预测）在四棱锥中，E，F分别是线段AP，BC上的点，，则下列条件可以确定平面PCD的是（   ） A． B． C．平面PAD D．， 例7-2在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ）    A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 【变式训练7-1】平面α与平面β平行的条件可以是（    ） A．α内有无数多条直线都与β平行 B．直线a⊂α，b⊂β，且a∥β，b∥α C．直线a∥α，a∥β，且直线a不在α内，也不在β内 D．一个平面α内两条不平行的直线都平行于另一个平面β 【变式训练7-2】设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（     ） A．是直线且， B．是异面直线， C．是相交直线且， D．是平行直线且， 【变式训练7-3】如图，已知在正方体中，P，Q分别为对角线，上的点，. (1)求证：平面. (2)若R是上的点，当的值为多少时（用表示），能使平面平面?请给出证明. 题型8 补全直线与平面平行的条件 例8-1（2025·天津·模拟预测）如图，三棱柱中，，，，，为中点，为上一点，，，为侧面上一点，且平面，则点的轨迹的长度为（    ） A．2 B． C． D．1 例8-2如图，在长方体中，分别是棱的中点，若点是平面内的动点，且满足平面，则线段长度的最小值为（    ） A． B． C． D． （1）利用线面平行的定义，一般用反证法；（2）利用线面平行的判定定理（a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α），其关键是在平面内找（或作）一条直线与已知直线平行，证明时注意用符号语言的叙述；（3）利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；（4）利用面面平行的性质（α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β）． 【变式训练8-1】已知在棱长均为的正三棱柱中，点为的中点，若在棱上存在一点，使得平面，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式训练8-2·变考法】如图，棱长为1的正方体中，E，F分别为AD，AB的中点，点G在上底面（含边界）上运动，若满足平面EFG，则点G的轨迹长度为 ． 【变式训练8-3】如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，分别是的中点． (1)求三棱锥的体积； (2)证明：平面； (3)线段上是否存在点P，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 题型9 由线面平行的性质判断比例关系或点的位置关系 例9-1（1）在三棱锥中，，为线段上更靠近的三等分点，过作平行于的平面，则该平面截三棱锥所得截面的周长是多少？ （2）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和.体积分别为和.若，则是多少？ 例9-2如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，分别是，的中点. (1)求证：平面； (2)设为的中点，过、、三点的截面与棱交于点，指出点的位置并证明. 【变式训练9-1】如图，在四棱锥中，和均为正三角形，，，为上一点． (1)求证：面； (2)当平面时，面与交于， （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【变式训练9-2·变考法】如图所示正四棱锥，，P为侧棱SD上一动点. (1)正四棱锥的表面积； (2)若直线平面ACP，求证：P为棱SD的中点； (3)若，侧棱SC上是否存在一点E，使得平面PAC.若存在，求的值；若不存在，试说明理由. 【变式训练9-3】如图，在四棱锥中，，.点E在AD上，且，.    (1)求证：平面SCE； (2)若点F在线段SE上，且平面SCD，求证：F为线段SE的中点. 1．（2023·天津·高考真题）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点，    (1)求证：//平面； (2)求平面与平面所成夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 2．（2024·天津·高考真题）已知是两条直线，是一个平面，下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 4．（2008·天津·高考真题）已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则使得成立的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（2013·天津·高考真题）如图, 三棱中, 侧棱底面，且各棱长均相等.、、分别为棱、、的中点. （1）证明：平面； （2）证明：平面平面； （3）求直线与平面所成角的正弦值. 1．连接空间四边形四条边的中点，得到四边形，则是一个（　　） A．菱形 B．矩形 C．平行四边形 D．空间四边形 2．已知直线a，b，平面，．判断下列命题是否正确，并说明理由： (1)若∥，∥，则∥． (2)若∥，，则∥． 3．如图，点S是所在平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且．求证：平面．    4．如图，，，，AC与BD为异面直线，，，，与成60°的角，求异面直线与所成的角． 5．木工小罗在处理如图所示的一块木料时，发现该木料表面内有一裂纹，已知平行于平面AC．他打算经过点M和棱将木料锯开，却不知如何画线，你能帮助他解决这个问题吗？    4 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $