专题2.3一元二次不等式及其解法（高效培优讲义）数学湘教版2019必修第一册

专题2.3 一元二次不等式及其解法 1. 学生能够理解一元二次不等式的概念，经历从实际中抽象出一元二次不等式的过程，明晰其现实意义. 2. 掌握不含参数与含参数的一元二次不等式的解法，能借助一元二次函数求解解一元二次不等式，并用集合表示解集. 3. 理解三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 ）的关系，借助一元二次函数图象，知晓一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能判断一元二次方程实根的存在性及个数，了解函数零点与方程根的关系. 4. 学会简单分式不等式和高次不等式的解法，能够运用一元二次不等式解决实际应用题，认识其在现实生活中的广泛应用. 知识点1 一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，. 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是 2 的不等式,有时我们把含多个字母的不等式中 指明未知数,其余字母看成相关的参数 知识点2 一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式（）或（）的实数组成的集合叫一元二次不等式（）或（）的解集，即或. 解集一定是集合的形式，不能写成不等式. 知识点3 一元二次不等式的解法 以求解可化成（）形式的不等式为例： 第一步：将原不等式化成（）的形式 第二步：计算的值 若：方程有两个不相等的实数根，（），原不等式的解集为 若：方程有两个相等的实数根，原不等式的解集为 若：方程没有实数根，原不等式的解集为 知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．二次函数的零点个数可以为2,1或0． 2. 三个“二次”之间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实根 一 元 二 次 不 等 式 或 三个“二次”关系的理解 （1）三个＂二次＂关系的实质可结合数形结合的思想进行解读： 的解的图象与轴交点的横坐标； 的解集的图象上的点在轴上方时，对应的取值集合； 的解集图象上的点在轴下方时，对应的取值集合． (2)三个“二次”的关系如图 题型一、一元二次不等式的解法 例1（24-25高一上·天津·期中）若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1-1（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 1-2（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 1-3（24-25高一上·安徽·期中）设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 1-4（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 题型二、一元二次不等式的概!念及辨析 例2（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 2-1（22-23高一上·山西·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 2-2（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式 的解集是 ． 题型三、解不含参数的一元二次不等式 例3（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3-1（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 3-2（24-25高一上·广东肇庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D．或 3-3（23-24高一上·云南昭通·期中）不等式的解集是 . 3-4（23-24高一上·内蒙古乌海·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为 0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式, (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 (5)写解集.结合图象写出不等式的解集 题型四、解含有参数的一元二次不等式 例4（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 4-1（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 4-2（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4-3（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 4-4（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 题型五、由一元二次不等式的解确定参数 例5（24-25高一上·北京·期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 5-1（24-25高一上·湖南·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5-2（24-25高一上·四川成都·期中）若关于的不等式的解集是实数集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5-3（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 5-4（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 题型六、一元二次方程根的分布问题 例6（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6-1（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 6-2（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 6-3（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 6-4（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 1．已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 3．当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次不等式的解集为，则 （   ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值3 D．无最小值 5．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 多选题 6．下列说法正确的有（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“，” C．若，则 D．若不等式的解集为，则 7．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 8．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 9．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 10．关于的不等式的解集为 . 11．若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是 ． 12．已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 13．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 14．已知实数，，，则c的取值范围为 15．解关于的不等式：． 16．已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 17．设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.3 一元二次不等式及其解法 1. 学生能够理解一元二次不等式的概念，经历从实际中抽象出一元二次不等式的过程，明晰其现实意义. 2. 掌握不含参数与含参数的一元二次不等式的解法，能借助一元二次函数求解解一元二次不等式，并用集合表示解集. 3. 理解三个“二次”（二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 ）的关系，借助一元二次函数图象，知晓一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能判断一元二次方程实根的存在性及个数，了解函数零点与方程根的关系. 4. 学会简单分式不等式和高次不等式的解法，能够运用一元二次不等式解决实际应用题，认识其在现实生活中的广泛应用. 知识点1 一元二次不等式的定义 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是或，其中，，均为常数，. 一元二次不等式是只含一个未知数且未知数的最高次数是 2 的不等式,有时我们把含多个字母的不等式中 指明未知数,其余字母看成相关的参数 知识点2 一元二次不等式的解集 满足一元二次不等式（）或（）的实数组成的集合叫一元二次不等式（）或（）的解集，即或. 解集一定是集合的形式，不能写成不等式. 知识点3 一元二次不等式的解法 以求解可化成（）形式的不等式为例： 第一步：将原不等式化成（）的形式 第二步：计算的值 若：方程有两个不相等的实数根，（），原不等式的解集为 若：方程有两个相等的实数根，原不等式的解集为 若：方程没有实数根，原不等式的解集为 知识点4 二次函数与一元二次方程、不等式的关系 1.二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点．二次函数的零点个数可以为2,1或0． 2. 三个“二次”之间的关系 判别式 二次函数 的图象 一元二次方程 的根 有两个相异实根 有两个相等实根 没有实根 一 元 二 次 不 等 式 或 三个“二次”关系的理解 （1）三个＂二次＂关系的实质可结合数形结合的思想进行解读： 的解的图象与轴交点的横坐标； 的解集的图象上的点在轴上方时，对应的取值集合； 的解集图象上的点在轴下方时，对应的取值集合． (2)三个“二次”的关系如图 题型一、一元二次不等式的解法 例1（24-25高一上·天津·期中）若，则是的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解一元二次不等式求解，结合充分、必要性定义即可得. 【详解】由，可得或， 所以是的必要不充分条件. 故选：B 1-1（23-24高一上·甘肃白银·期中）下列不等式中，与的解集相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据绝对值不等式、分式不等式及一元二次不等式解法求解判断即可. 【详解】由，则，解得. 对于A，由，则，解得； 对于B，由，则，解得； 对于C，由，则，解得或； 对于D，由，则，解得. 故选：A. 1-2（24-25高一上·天津·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求得，然后解一元二次不等式即可求解. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以的两个根为1，2， 所以由韦达定理有，解得， 所以不等式，即不等式或. 故选：A. 1-3（24-25高一上·安徽·期中）设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 【答案】19 【分析】由不等式的解集即可确定，进而可求解； 【详解】由不等式的解集是可知： 的两根为，2， 所以，所以， 所以就是， 于是． 故答案为：19. 1-4（24-25高一上·上海宝山·期中）已知一元二次不等式的解集为，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据一元二次不等式的解集求出的值，代入到不等式中可求得解集. 【详解】由一元二次不等式的解集为， 所以方程的两根为和，则，， ，， 所以不等式为， 解得，即不等式的解集为. 故答案为：. 题型二、一元二次不等式的概!念及辨析 例2（24-25高一上·四川成都·期中）已知二次方程的两根分别为，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．[2,3] 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的根与对应一元二次不等式解集的关系求结果. 【详解】由题设且， 所以，所以不等式的解集为. 故选：B 2-1（22-23高一上·山西·阶段练习）已知关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】由不等式的解集是可得，，从而不等式可化为. 【详解】关于的不等式的解集为， ，， 可化为， 即 ， 关于的不等式的解集是. 故选：D. 2-2（23-24高一上·河南商丘·期中）不等式 的解集是 ． 【答案】 【分析】分式不等式可转化为整式不等式求解，但要注意分母不为零. 【详解】不等式等价于 ，解得. 故解集为：. 故答案为： 题型三、解不含参数的一元二次不等式 例3（24-25高一上·云南昭通·期中）若正实数满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用基本不等式将方程化成，取求解关于的一元二次不等式即得. 【详解】正实数满足，又，则，当且仅当时取等号， 设则，代入整理可得，解得或， 因，故，故当时，取得最小值为2. 故选：B. 3-1（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 3-2（24-25高一上·广东肇庆·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C．{或} D．或 【答案】A 【分析】由一元二次不等式的解法求解. 【详解】由可得， 所以不等式的解集为， 故选：A 3-3（23-24高一上·云南昭通·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【分析】由一元二次不等式求解即可； 【详解】原不等式可化为， 即， 解得：. 所以解集为：， 故答案为： 3-4（23-24高一上·内蒙古乌海·期中）若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是 . 【答案】 【分析】首先根据韦达定理求的关系，再代入，转化为不含参的一元二次不等式求解. 【详解】由题意可知，，得，， 即，即， 解得：， 所以不等式的解集为. 故答案为： 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 (1)化标准.通过对不等式变形,使不等式的右侧为 0,使二次项系数为正. (2)判别式.对不等式的左侧进行因式分解,若不能分解,则计算对应方程的判别式, (3)求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程无实数根. (4)画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图 (5)写解集.结合图象写出不等式的解集 题型四、解含有参数的一元二次不等式 例4（24-25高一上·内蒙古包头·期中）不等式的解集为，则不等式的解集为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次不等式解法以及根与系数的关系即可求得结果. 【详解】依题意可知和3是方程的两个实数根，且； 因此，解得； 所以不等式可化为，即， 解得或，即不等式的解集为 故选：A 4-1（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】D 【分析】根据不等式与方程的关系，结合韦达定理，求得的关系，再分析选项即可求解. 【详解】对于A，由已知可得开口向下，即，故A错误； 对于BCD，是方程的两个根， 所以， 所以， ，故BC错误，D正确； 故选：D. 4-2（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】∵， ∴，又， 所以不等式的解为或． 故选：C． 4-3（24-25高一上·广东广州·期中）关于的不等式：，当时，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将不等式分解因式可得答案. 【详解】由得， 由，得， 解得，或， 所以不等式的解集为. 故答案为： 4-4（24-25高一上·福建泉州·期中）已知关于的不等式的解集中恰有两个整数，则正整数的值为 ． 【答案】5 【分析】根据给定条件，按分类求出解集，进而求出的值. 【详解】不等式， 显然，否则原不等式解集为空集， 当时，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，必小于0，与为正整数矛盾， 因此，解得，要原不等式的解集中恰有两个整数，则， 所以正整数的值为5. 故答案为：5 题型五、由一元二次不等式的解确定参数 例5（24-25高一上·北京·期中）若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，故原不等式等价于，求解即可. 【详解】因为不等式的解集为，所以， 所以不等式等价于， 即，解得或. 所以关于x的不等式的解集为或. 故选：C. 5-1（24-25高一上·湖南·期中）甲、乙两人解关于的不等式，甲写错了常数，得到的解集为；乙写错了常数，得到的解集为.那么原不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出常数b和c，再解一元二次不等式即可. 【详解】由题意知，甲的常数正确，由韦达定理可知，故； 乙的常数正确，故，故. 所以原不等式为，即，解得， 所以解集为. 故选：D. 5-2（24-25高一上·四川成都·期中）若关于的不等式的解集是实数集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由即可求解. 【详解】由题意可知：， 解得：， 所以实数的取值范围是. 故选：B 5-3（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 5-4（24-25高一上·上海·期中）已知不等式的解集为，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】由题意可得，和3为方程的根，且，进而结合韦达定理可求得的值，再根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】由题意，和3为方程的根，且， 则，解得，， 所以不等式，即为， 即，解得， 即不等式的解集为. 故答案为：. 题型六、一元二次方程根的分布问题 例6（23-24高一上·北京·期中）如果关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根，那么的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程有两个不同的正实根，则两根之和大于零，两根之积大于零及，列出不等式组，解出即可. 【详解】因为关于的一元二次方程有两个不同的正数实数根， 则有， 故选：A 6-1（24-25高一上·山西·期中）已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由判别式和根与系数的关系得到不等式，解出实数的取值范围. 【详解】设方程的两根为， 则, ∴ ∴， 故答案为： 6-2（24-25高一上·上海·期中）已知关于的方程的两根一个比2大，另一个比2小，则实数的范围是 . 【答案】 【分析】由题意，利用一元二次方程实根的分布规律列式求解即可. 【详解】设，显然函数的图象开口向上， 又的两根一个比2大，另一个比2小，则， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 6-3（23-24高一上·北京·期中）已知方程有两个不相等的正根，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用判别式与韦达定理得到关于的不等式组，从而得解. 【详解】因为有两个不相等的正根，即有两个不相等的正根， 所以，解得. 故答案为：. 6-4（23-24高一上·贵州·阶段练习）若关于的方程至少有一个负实根，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】对和分类讨论求解，结合一元二次方程的根与系数的关系即可求解. 【详解】当时，方程为，有一个负根， 当时，为一元二次方程， 关于的方程至少有一个负根，设根为，， 当时，即时，方程为，解得，满足题意， 当，即时，且时， 若有一个负根，则，解得， 若有两个负根，则，解得， 综上所述，则实数的取值范围是,， 故答案为：,． 1．已知集合，若是的充分不必要条件，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由一元二次不等式解得集合，根据充分不必要条件可得集合的包含关系，建立不等式，可得答案. 【详解】由或，则， 由是的充分不必要条件，则，且 可得，解得. 故选：C. 2．若关于的一元二次不等式的解集为或，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】 依题意可得为关于的一元二次方程的两根且，利用韦达定理得到，再代入，解得即可. 【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为或， 所以为关于的一元二次方程的两根且， 所以，所以， 则不等式即，因为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 3．当时，关于的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定二次项的系数符号和两根的大小关系，直接写出解集即可. 【详解】因为，又因为， 所以，所以， 又因为，于是等价于， 可得， 所以的解集为. 故选：B 4．若关于x的一元二次不等式的解集为，则 （   ） A．有最小值 B．有最小值 C．有最小值3 D．无最小值 【答案】B 【分析】由一元二次不等式的解集为，得到三者之间的关系即，再由基本不等式求的最值即可 【详解】因为关于x的一元二次不等式的解集为， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时等号成立. 故选：B 5．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 多选题 6．下列说法正确的有（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．命题“”的否定是“，” C．若，则 D．若不等式的解集为，则 【答案】ACD 【分析】根据不等式的性质，充分，必要条件的定义，以及命题的否定，韦达定理，即可判断选项. 【详解】A.能推出，反过来，时，解得或，所以不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； B. 命题“”的否定是“，”，故B错误；’ C.根据不等式的性质可知，若，则，故C正确； D.由不等式的解集可知，，得，，则，故D正确. 故选：ACD 7．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程的根之间的关系可得，即可结合选项，逐一求解. 【详解】对于A，不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得或， 即不等式的解集为，故D错误. 故选：AB. 8．已知关于的不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为 D．若，则的最大值为1 【答案】ACD 【分析】由不等式的解集为，确定之间的关系，进而逐项判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以整理得 则． ， 解得． ，即，解得， 则． 故选：ACD． 9．已知关于x的不等式的解集为，则下列说法正确的是（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．的最小值为 【答案】AB 【分析】已知关于x的不等式的解集为，则，用a表示出b、c，然后结合一元二次不等式的解法判断B选项，判断C，将化简为即可利用基本不等式进行求解判断D. 【详解】因为关于x的不等式的解集为， 所以，4是方程的两根，且，故A正确； 所以，解得， 所以，即，则，解得， 所以不等式的解集为，故B正确； 而，故C错误； 因为，，，所以， 则， 当且仅当，即或时，等号成立， 与矛盾，所以取不到最小值，故D错误. 故选：AB 10．关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式计算即可. 【详解】. 故不等式的解集为. 故答案为：. 11．若正实数、满足，不等式有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用基本不等式可求出的最小值，可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】由已知可得， 所以， 当且仅当时，即当时取等号， 因为不等式有解，则有，即， 即，解得或， 所以的取值范围， 故答案为：． 12．已知关于的不等式（其中）的解集为，若满足（其中是整数集），则使得集合中元素个数最少时的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据开口方向的不同分为三种情况讨论，运用基本不等式对集合进行分析. 【详解】当时，原不等式为，解得，此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为或， 此时集合有无穷多个元素，显然不满足题意； 当时，，则不等式的解为，而， 则集合至少含有共个元素. 综上所述：集合中元素最少为个，此时且，解得. 故答案为： 13．设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. 故答案为： 14．已知实数，，，则c的取值范围为 【答案】 【分析】由题意可得，是方程的两个不等实根，由判别式大于0可得范围．再由，取范围交集得解. 【详解】因为，， 所以，是方程的两个不等实根， 则△，解得． 而，即，解得，或（不和题意，舍去），所以. 故答案为： 15．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 16．已知关于x的不等式. (1)当时，解这个关于x的不等式； (2)当时，解这个关于x的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求解即可； （2）根据含参一元二次不等式的解法分类求解即可. 【详解】（1）当时，不等式为， 即，解得或， 即不等式的解集为或. （2）由，则， 当，即时，不等式为，解得； 当，即时，解得或； 当，即时，解得或. 综上所述，当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为或. 17．设函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)当时，求关于的不等式的解集； (3)对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据不等式解的情况判断对应方程解的情况，利用判别式列不等式，解不等式可得参数范围； （2）分情况讨论不等式所对应方程的解，进而确定不等式的解集情况； （3）分离参数可得，结合基本不等式求最值可得参数范围. 【详解】（1）当时，，此时的解集为，成立； 当时，不等式的解集为， 则，解得， 综上所述，即； （2），即为， 当时，，解得，即； 当时，即为， 对应方程的解为，， 当时，不等式为，且，不等式的解集为或，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即； 当时，，不等式为，解得，即； 当时，不等式为，且，不等式的解集为，即， 综上所述： 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； （3）由已知对任意的，不等式恒成立， 即恒成立，即， 又是，恒成立， 则， 又，则，当且仅当时等号成立， 综上所述. 2 / 25 1 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $$