精品解析：四川省达州市渠县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷

四川省达州市渠县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的答案代号填入下表对应空格内，本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知a＜b，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（　　） A. a﹣3＜b﹣3 B. a+3＜b+3 C. 3a＜3b D. ﹣3a＜﹣3b 3. 若一个多边形每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（ ） A 5米 B. 12米 C. 8米 D. 16米 6. 中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 等腰三角形两底角的平分线相等 C. “对顶角相等”的逆命题是真命题 D. 用反证法证明“”时应假设“” 8. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A 且 B. C. D. 且 9. 一次函数与的图象如图，则的解集是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上） 11. 若分式的值为0，则_____________． 12. 分解因式：________________ ． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 14. 如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，BC恰好平分，．若，则________． 15. 如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为_____． 三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 17. 化简求值：，并从，0，1三个数中选一个合适的数代入求值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标； （2）画出关于原点中心对称图形． 19. 某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 20. 如图，四边形为平行四边形． （1）过点作直线的垂线，垂足为点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 21. 如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的长． 22. 阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； （2）仿照以上方法，解方程：； （3）代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 23. 2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ （2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P以每秒2个单位的速度从点D开始沿x轴运动至点A停止，设点P的运动时间为t秒．当的面积为10时，求t的值； （3）若平面内有一点Q，当以点A、C、D、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的Q点的坐标． 25. 综合与实践 （1）问题初探 如图1，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点D旋转，得到，则的取值范围可解．请直接写出的取值范围． （2）问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．（提示：将绕点B顺时针旋转） （3）问题拓展 如图3，在正方形中，E，F分别为，边上的点，满足，若，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省达州市渠县2024-2025学年下学期八年级期末数学试卷 一、选择题（下列各题给出的四个答案选项中，只有一个符合题目要求，请把符合要求的答案代号填入下表对应空格内，本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【方向】将图形沿某一点旋转后能够与原图形重合的图形为中心对称图形. 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键. 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故答案为：C. 2. 已知a＜b，下列运用不等式基本性质变形不正确的是（　　） A. a﹣3＜b﹣3 B. a+3＜b+3 C. 3a＜3b D. ﹣3a＜﹣3b 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质分别进行判定即可得出答案． 【详解】解：A、∵a＜b，∴a﹣3＜b﹣3，正确； B、∵a＜b，∴a+3＜b+3，正确； C、∵a＜b，∴3a＜3b，正确； D、∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故D选项错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． （2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变． （3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 3. 若一个多边形的每个内角都是，则该多边形为（ ） A. 十边形 B. 八边形 C. 六边形 D. 四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形内角和问题，设这个多边形的边数为n，根据n边形内角和为列出方程求解即可． 【详解】解；设这个多边形的边数为n， 由题意得，， 解得：， ∴该多边形的边数为8，即该多边形为八边形， 故选：B． 4. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】题目主要考查因式分解的判断及应用提公因式法与公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．根据因式分解的方法，提公因式法及公式法依次进行计算判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； C、不能进行因式分解，选项错误，不符合题意； D、，选项正确，符合题意． 故选：D． 5. 某茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如图，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶住屋顶处（连接处的损耗不计），这根木头的长度可能是（ ） A. 5米 B. 12米 C. 8米 D. 16米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 作于点，根据等腰三角形的性质得到米，根据勾股定理求出米，再根据，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点， ∵米，米， ∴米， 米， ， ∴， 故这根木头需要长度可能是8米， 故选：C． 6. 中华优秀传统文化是中华民族的瑰宝，为弘扬古代科技智慧，我市某校为各班采购《天工开物》和《齐民要术》科普类读本若干套．已知每套《天工开物》的价格比每套《齐民要术》的价格贵30元，用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，求每套《齐民要术》的价格．若设每套《齐民要术》的价格为x元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．设每套《齐民要术》的价格为x元，可得出每套《天工开物》的价格为元，利用数量=总价÷单价，结合用1800元购买《天工开物》的套数是用600元购买《齐民要术》套数的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形是轴对称图形 B. 等腰三角形两底角的平分线相等 C. “对顶角相等”的逆命题是真命题 D. 用反证法证明“”时应假设“” 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，等腰三角形，逆命题，反证法．熟练掌握这些性质和方法，是解题的关键． 根据轴对称图形性质，等腰三角形性质，逆命题构造，反证法的开始步骤，逐一分析各选项的正确性，即得． 【详解】A：平行四边形不一定是轴对称图形． 轴对称图形需存在一条直线使其对折后重合，而普通平行四边形无此性质（如矩形、菱形为特殊平行四边形，具有对称轴，但题目未限定）． 故A错误． B：等腰三角形两底角的平分线相等． 等腰三角形两底角相等，作底角平分线后，平分后的角仍相等． 可构造全等三角形证明：设等腰中，作底角和的平分线． 由可证，故． 因此B正确． C：原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”． 存在相等的角不是对顶角（如同位角、等腰三角形底角），故逆命题不成立． C错误． D：反证法假设错误． 反证法需假设原命题结论的反面． “”的否定应为“”，而非“”． 故D错误． 故选：B． 8. 已知关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得， ∵关于x的分式方程的解是正数， ∴，且， 即且， ∴且， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 一次函数与的图象如图，则的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不等式的解集是一次函数在的图象上方的部分对应的x的取值范围，据此即可解答 【详解】解：由图象可知，不等式的解集是． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 10. 如图，在矩形中，，．把沿折叠，使点恰好落在边上的处，再将绕点顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点．设交于点，连接．有如下结论：①；②；③的长度是；④．上述结论中，正确的个数有（ ） A 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】证明四边形是正方形，可求，，求出，结合是的中点可判断①正确；取的中点，连接，可证是等边三角形，从而可求，进而可判断②正确；求出，进而可判断③正确；由，，可求，进而可判断④正确． 【详解】解：四边形是矩形， ， 四边形是矩形， 由折叠得：， 四边形是正方形， ， ， 是的中点， ．故①正确； 在中 ， 如图，取的中点，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ，故②正确； 在中 ， 由旋转得：， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ，， ， ，故④正确． ①②③④均正确． 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定与性质等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，满分20分，把最后答案直接填写在答题卡相应的横线上） 11. 若分式的值为0，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件．熟知分式值为0的条件是分母不为0分子为0是解题的关键． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 分解因式：________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解． 本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键． 【详解】解： ． 故答案为：． 13. 已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形三边关系，分腰长为和两种情况，依据三角形三边关系，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：当腰长为时，，三角形不存在； 当腰长为时，符合三角形两边之和大于第三边，所以这个三角形周长为；   故答案为： ． 14. 如图，AD是的角平分线，，垂足为E，交ED的延长线于点F，BC恰好平分，．若，则________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠CBF，根据角平分线的定义得到∠ABC=∠CBF，推出AB=AC，根据角平分线的性质得到DC=BD，根据全等三角形的性质得到DE=DF，CE=BF=3，于是得到结论． 【详解】解：∵BF∥AC， ∴∠C=∠CBF， ∵BC平分∠ABF， ∴∠ABC=∠CBF， ∴∠C=∠ABC， ∴AB=AC， ∵AD平分∠BAC， ∴DC=BD， 在△CDE与△DBF中， ∴△CDE≌△DBF（ASA） ∴DE=DF，CE=BF=3， ∵AE=2BF， ∴AC=3BF， ∴AB=3BF=9， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 15. 如图，在，，，，点D在线段上，点E在线段的延长线上，且，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了轴对称求最短路径，勾股定理，含30度的直角三角形，等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，利用轴对称的性质坐辅助线，将求的最小值转化为求线段的长是解题关键．作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形，由直角三角形，得出，，根据轴对称的性质，得到是等边三角形，再结合平行四边形的性质推出当、、三点共线时，有最小值，为的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接、、，以和为邻边作平行四边形， 在，，， ， ， ，， 由轴对称的性质可知，，，，， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 当、、三点共线时，有最小值，为的长， ，， ， ， 即的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解不等式组：； （2）解分式方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）解各不等式得到对应的解集后求得它们的公共部分即可； （2）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 本题考查解一元一次不等式组，解分式方程，熟练掌握解不等式组及方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为； （2）解：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， 故原方程的解为． 17. 化简求值：，并从，0，1三个数中选一个合适的数代入求值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算是解题的关键． 先对分式进行化简，然后再结合分式有意义的条件进行代值求解即可． 【详解】解： ． 根据分式有意义的条件有：， 即有， 则在，0，1中，只能取， 把代入，原式． 18. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点坐标分别为，，． （1）平移，使得点的对应点的坐标为，画出平移后的，并写出点的对应点的坐标； （2）画出关于原点的中心对称图形． 【答案】（1）作图见详解， （2）作图见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了平移，中心对称作图，解题的关键是作出对应点的位置． （1）根据点的对应点得出向左平移2个单位，向下平移4个单位得到，根据平移的性质，作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）作出点、、的对应点、、，然后顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求，； 【小问2详解】 解：如图，即为所求． 19. 某科技公司正在研发两款神经形态计算机，一款是基于传统半导体工艺的A型计算机，另一款是基于新兴材料的B型计算机．在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟．已知两款计算机处理图像的速度恒定，B型计算机处理图像的速度是A型计算机的8倍．现有张图像要紧急处理，若使用B型计算机，判断能否在分钟内处理完，并说明理由． 【答案】使用型计算机，能在分钟内处理完张图像；见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 先判断为能在分钟内处理完，再说明理由，设型计算机处理图像的速度是张/分钟，可用表示出型计算机处理图像的速度，根据“在一次图像识别测试任务中，A型计算机处理张图像需要的时间比B型计算机处理同样数量的图像多5分钟”，列出分式方程求解． 【详解】解：使用型计算机，能在分钟内处理完，理由如下： 设型计算机处理图像的速度是张/分钟，则型计算机处理图像的速度是张/分钟． 由题意可知，． 解得． 经检验：是原方程的解且符合实际意义． 所以． 因为，， 所以使用型计算机，能在分钟内处理完张图像． 20. 如图，四边形为平行四边形． （1）过点作直线的垂线，垂足为点．（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母） （2）若，试探究与的数量关系，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】（1）图见解析 （2）．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查作图﹣复杂作图，含度的直角三角形，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据尺规作垂线的方法作图即可； （2）分别证明可得结论． 【小问1详解】 解：图形如图所示： 【小问2详解】 解：结论：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在中，于点D，点E，F分别是的中点，点O是的中点，的延长线交线段于点G，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当时，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角形中位线定理得，则，再证，得，然后由平行四边形的判定即可得出结论； （2）由勾股定理得，然后由直角三角形斜边上的中线性质得，进而由平行四边形的性质即可得出结论． 本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：∵点E，F分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点O是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 由（1）可知，四边形是平行四边形， ∴． 22. 阅读理解： 转化思想是常用数学思想之一．在研究新问题或复杂问题时，常常把问题转化为熟悉的或比较简单的问题来解决．如解一元二次方程是转化成一元一次方程来解决的：解分式方程是转化为整式方程来解决的．由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验． 利用转化思想，我们还可以解一些新的方程，如无理方程（根号下含有未知数的方程）．解无理方程关键是要去掉根号，可以将方程适当变形后两边同时平方，将其转化为整式方程．由于“去根号”可能产生增根，所以解无理方程也必须检验．例如：解方程． 解：两边平方得：． 解得：， 经检验，是原方程的根， 代入原方程中不合理，是原方程的增根． 原方程的根是． 解决问题： （1）已知关于的方程有一个根是，那么的值为____； （2）仿照以上方法，解方程：； （3）代数式的值能否等于8？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】（1）2 （2） （3）不能；理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了学生的学习能力，能理解文本和提供的例题并结合所学知识灵活运用是解题的关键． （1）根据方程解的定义把代入方程，解关于a的无理方程即可； （2）类比提供的例题解方程，并检验即可求解； （3）将原方程变形为，两边平方，整理，再平方，得到此方程无解，得出结论即可． 【小问1详解】 解：把代入方程得， 两边平方得， 解得， 经检验，是方程的解； 【小问2详解】 解：， 两边平方得：， 整理得：， 解得：，， 经检验，代入原方程中不合理，是原方程的增根，是原方程的根， ∴原方程的根是； 【小问3详解】 解：不能． ， 原方程变形得， 两边平方得， 整理得， 两边平方得， 此方程无解， ∴代数式的值不等于8． 23. 2025年，国家卫健委开展持续实施“体重管理年”行动，普及健康生活方式，加强慢性病防治．为响应该政策，某商场计划购进甲、乙两种品牌的足球．已知甲种品牌足球的进价比乙种品牌足球的进价多65元，用28000元购进甲种品牌足球的数量与用15000元购进乙种品牌足球的数量相同． （1）求甲、乙两种品牌足球的进价各多少元？ （2）商场计划每个甲种品牌足球的售价为198元，每个乙种品牌足球的售价为100元，商场决定同时购进甲、乙两种品牌足球共100个，假设能全部售出．若商场用不低于10100元且不高于10425元的资金购入甲、乙两种品牌的足球．请你帮商场设计利润最大的进货方案，并求出此时的最大利润，说明理由． 【答案】（1）甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元 （2）利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程和一元一次不等式组的应用以及一次函数的性质 ，熟练掌握根据数量关系列方程、不等式组以及利用函数性质求最值是解题的关键． （1）通过设乙种品牌足球进价为未知数，利用两种品牌足球购进数量相同这一关系列出分式方程求解进价； （2）先设购进甲种品牌足球数量，根据资金范围列出不等式组确定甲种足球数量取值范围，再根据利润关系列出函数表达式，依据函数性质求出最大利润及对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设乙种品牌足球的进价为元，则甲种品牌足球的进价为元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲种品牌足球的进价为140元，乙种品牌足球的进价为75元； 【小问2详解】 解：利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元， 理由如下： 设购进甲种品牌足球个，则购进乙种品牌足球（）个， 根据题意得：， 解得：， 为非负整数， ，，，，，， 设利润为元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，值最大，最大， 此时，， 利润最大的进货方案是购进甲种品牌足球45个，乙种品牌足球55个，最大利润是3985元． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点，与直线相交于点． （1）求m和b的值； （2）若直线与x轴相交于点D，动点P以每秒2个单位的速度从点D开始沿x轴运动至点A停止，设点P的运动时间为t秒．当的面积为10时，求t的值； （3）若平面内有一点Q，当以点A、C、D、Q四个点为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出符合条件的Q点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点坐标为或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质是解题的关键； （1）将代入中，求出，将点代入中，求的值即可； （2）由题可知，，则，求出的值即可； （3）设，根据平行四边形对角线分三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， ， 当时，， ， 将点代入， ， 解得； 小问2详解】 解：， ， ， ， 解得； 【小问3详解】 解：设， 当为平行四边形的对角线时，，， 则， ； 当为平行四边形的对角线时，，， 则， ； 当为平行四边形的对角线时，，， 则， ； 综上所述：点坐标为或或． 25. 综合与实践 （1）问题初探 如图1，在中，，，为边上的中线，求的取值范围．解答这个问题，我们可以将绕点D旋转，得到，则的取值范围可解．请直接写出的取值范围． （2）问题解决 如图2，P为等边三角形内一点，满足，，，试求的大小．（提示：将绕点B顺时针旋转） （3）问题拓展 如图3，在正方形中，E，F分别为，边上的点，满足，若，，求的面积． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）如图，将绕点D旋转，得到，连接，由旋转得到，易证四边形是平行四边形，根据三角形三边的关系得到，从而得到的取值范围； （2）如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接，由旋转可知，易证是等边三角形得，在中，运用勾股定理求解可证，求出，结合旋转可求解； （3）将绕点A顺时针旋转得到，由旋转可知，，求得易证，求即可． 【小问1详解】 解：如图，将绕点D旋转，得到，连接， 由旋转，， ∴四边形是平行四边形， ，， 又， ， 得， 即， ； 【小问2详解】 如图，将绕点B顺时针旋转得到，连接， 由旋转可知，， ， 是等边三角形， ， 在中， ，， ， ， ， ， 【小问3详解】 将绕点A顺时针旋转得到， 由旋转可知，， ， ， ， ， ， 在与中， , ，， ． 【点睛】本题考查了旋转的综合应用，三角形三边之间的关系，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理逆定理；解题的关键是旋转构造全等进行转换． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$