精品解析：河南省信阳市平桥区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年河南省信阳市平桥区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是最简二次根式选项是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C D. 3. 若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 5. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 7. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 8. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 9. 如图1，正方形的边长为，E为边上一点，连接，点P从点D出发，沿以的速度匀速运动到点图2是的面积单位：随时间单位：的变化而变化的图象，其中，则b的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个符合条件的实数a的值，使得在实数范围内有意义，则a的值为______． 12. “校园之声”社团招聘成员时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，若将三项得分依次按的比例作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是______分． 13. 已知一次函数y=-x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是_______________． 14. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且，若，，则的长为______． 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16 计算： （1）； （2）． 17. 如图，矩形中，对角线与交于点O，延长至点E，延长至点F，使． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 18. 某中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长统计如表． 时长 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据如下：1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7； 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长的平均数、中位数、众数和方差统计如表． 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲 4 m 5 乙 p 4 n 根据以上信息，回答以下问题： （1）表格中的______，______，______； （2）从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ （3）如果该校共有学生3000人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 19. 数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： （1）化简：______； （2）______填>，<，或； （3）计算： 20. 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式的解集，可以先构造两个函数和，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于、两点，当或时，y1＞y2，由此得到不等式的解集为或x＞2． 根据上述说明，解答下列问题： （1）要求不等式x2＋3x＞x＋3的解集，可先构造出函数y1＝x2＋3x和函数y2＝　　； （2）图2中已作出了函数y1＝x2＋3x的图象，请在其中作出函数y2的图象； （3）观察所作函数的图象，求出不等式x2＋3x＞x＋3的解集． 21. 舞狮文化源远流长，独山花灯表演里的“迎龙舞狮”（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形（如图②），和垂直于水平线，且点B，D，F在同一水平线上，，，． （1）求的度数； （2）若，求台柱与的高度差． 22. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油或一勺水，油温比水温升高得快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中y与x函数关系式； （2）在实验过程中，可测得在此地水的沸点为______；若某一时刻两温度计的示数相差，则加热的时间为______ 23. （1）【阅读理解】：问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：“如图①，在正方形中，是的中点，是边上一点，且．判断与的位置关系并证明．”“善思小组”经过研究，认为过点E作于点G，通过证明，可以得到；“智慧小组”也有自己的想法，认为延长交的延长线于点M，也可以得到．请选择一种你认为简单的方法或用你自己的方法借助图①进行证明； （2）【类比探究】：“善思小组”和“智慧小组”通过继续研究，认为将“正方形”改为“矩形”、“菱形”或“平行四边形”，其他条件不变，仍然有“”．你同意他们的观点吗？若同意，请以“四边形是平行四边形”为条件加以证明如图②；若不同意，请说明理由； （3）【拓展延伸】：由上面的探究发现：只要四边形满足______，其他条件不变，始终成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年河南省信阳市平桥区八年级（下）期末数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子是最简二次根式的选项是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，最简二次根式需满足：(1)被开方数是整数；(2)被开方数不含能开得尽方的因数．根据此定义进行判断． 【详解】解：A. ，无意义，不符合题意； B. ，不是二次根式，不符合题意； C. ，符合题意； D. ，不符合题意； 故选：Ｃ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算， 根据二次根式的运算法则逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：选项A： 成立的条件是 且 ．题目未限定 的范围，若 为负数时等式不成立，故 A错误，不符合题意； 选项B：对分母有理化：，故 B计算错误，不符合题意； 选项C：，故 C计算错误，不符合题意； 选项D：，故 D计算正确，符合题意． 故选D． 3. 若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形的形状是（ ） A 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】由非负数的性质可得各部分的值为零，求出边长后判断三角形的形状． 本题考查了实数的非负性，勾股定理的逆定理，等腰三角形的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：由， 得，，， 故，， 故， ∴三角形为等腰三角形， 又，， 故， ∴三角形为直角三角形， 故等腰直角三角形． 故选：D． 4. 在一次“中华传统文化知识”演讲比赛中，有13名同学参加比赛，预赛成绩各不相同，取前6名参加决赛，其中一名同学已经知道自己的成绩，能否进入决赛，只需要再知道这13名同学成绩的（ ） A 众数 B. 中位数 C. 方差 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数意义，要判断某同学是否进入前6名，需确定其成绩是否在前6位．由于共有13个各不相同的成绩，中位数是第7名的成绩．若该同学的成绩高于中位数，则其排名必在前6名．其他统计量（众数、方差、平均数）无法直接反映排名信息． 【详解】解：共有13名同学，成绩各不相同．中位数是将数据从小到大排列后的第7名成绩．若该同学的成绩高于中位数（即第7名成绩），则其排名必在前6名， 而中位数是唯一能直接反映中间位置、帮助判断是否可能进入前6名的指标．众数、方差、平均数均无法提供排名的直接信息， 故选B． 5. 若函数是正比例函数，则的值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】正比例函数特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b=0．根据正比例函数的定义即可列方程求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得：m＝−1． 故选：C． 【点睛】本题考查正比例函数的定义，绝对值方程，解题的关键是知道正比例函数y＝kx的定义条件是：k为常数，k≠0，自变量次数为1． 6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向右平移2个单位 C. 向上平移2个单位 D. 向下平移2个单位 【答案】D 【解析】 【分析】根据下减规律，解答即可．本题考查了一次函数的平移，熟练掌握规律是解题的关键． 【详解】解：的图象，只需将函数的图象向下平移2个单位． 故选：D． 7. 一次函数的x与y的部分对应值如下表所示，根据表中数值分析．下列结论不正确的是（ ） x … 0 1 2 … y … 5 2 … A. y随x的增大而减小 B. 一次函数的图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 一次函数的图象与x轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】根据表格中的数据和一次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由表格可得， A、y随x的增大而减小，故选项A正确，不符合题意； B、当时，，可知，y随x的增大而减小，可知，则该函数图象经过第一、二、四象限，故选项B正确，不符合题意； C、时，，故方程的解是，故选项C正确，不符合题意； D、∵点，在该函数图象上， ∴，解得， ∴， 当时，，得， ∴一次函数的图象与x轴交于点，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程、一次函数的性质，解答本题的关键是利用一次函数的性质解答． 8. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，且．下列四种说法：①四边形是平行四边形；②如果，那么四边形是矩形；③如果平分，那么四边形是菱形；④如果，且，那么四边形是正方形．其中正确的有（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的定义，一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，正方形的判定解答即可． 本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，等腰三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】解：由， 四边形是平行四边形， 故选项①正确； 又， 平行四边形为矩形，选项②正确； 又平分， ， 又， ， ， ， 平行四边形为菱形， 选项③正确； 又，， 平分， 同理可得平行四边形为菱形，但不一定为直角， 故菱形不一定为正方形； 选项④错误， 则其中正确是①②③ ． 故选：A． 9. 如图1，正方形的边长为，E为边上一点，连接，点P从点D出发，沿以的速度匀速运动到点图2是的面积单位：随时间单位：的变化而变化的图象，其中，则b的值是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由图象可得当时，的面积，此时点P与点E重合，由三角形的面积公式可求，可得，由勾股定理可求AE的长，即可求解． 本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，勾股定理，理解图中的点的实际意义是本题的关键． 【详解】解：由图象得：当时，的面积，此时点P与点E重合， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 10. 在以“矩形的折叠”为主题的数学活动课上，小亮同学进行了如下操作：第一步：将矩形纸片的一端，利用图①的方法折叠出一个正方形，然后把纸片展平；第二步：将图①中的矩形纸片折叠，使点C恰好落在点F处，得到折痕，如图②．请根据以上的操作，已知，，则线段的长是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，所以四边形是正方形，则，而，则，所以，由，且，得，求得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、翻折变换的性质、勾股定理等知识，推导出，并且求得是解题的关键． 【详解】解：如图①，四边形是矩形， ， 由折叠得， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， 如图②，，， ， ， 四边形是矩形， ， ， 由折叠得， ， ， ， 解得， ， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 请写出一个符合条件的实数a的值，使得在实数范围内有意义，则a的值为______． 【答案】答案不唯一 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．根据解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ， 的值可以是6（答案不唯一）， 故答案为：6（答案不唯一）． 12. “校园之声”社团招聘成员时，需考查应聘学生的应变能力、知识储备、朗读水平三个项目．每个项目，满分均为100分，若将三项得分依次按的比例作为应聘学生的最终成绩．若小明三个项目得分分别为85分、90分、92分，则他的最终成绩是______分． 【答案】90 【解析】 【分析】本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确加权平均数的计算方法．利用加权平均数的计算公式进行求解即可． 【详解】解：由题意可得： （分）， 小明最终成绩是90分， 故答案为：． 13. 已知一次函数y=-x+3，当0≤x≤2时，y的最大值是_______________． 【答案】3 【解析】 【详解】解：∵一次函数 中， ∴一次函数是减函数， ∴当x最小时，y最大， ∵， ∴当x=0时，． 14. 如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且，若，，则的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理，熟记三角形中位线等于第三边的一半，直角三角形斜边中线等于斜边一半，是解题的关键． 根据三角形中位线定理求出，再根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，进而求出 【详解】解：，E分别为的中点， 是的中位线， ， 在中，D为的中点，， 则， ， 故答案为： 15. 如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发在上往返运动．两点同时出发，当点Q第一次返回C点时点P也停止运动，设运动时间为．当______时，四边形是平行四边形． 【答案】4或 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用、一元一次方程的应用等知识与方法，正确地用代数式表示线段和线段的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，，而点P在上，点Q在上，则，所以当时，四边形是平行四边形，求得当点Q与点B重合时，；当点Q返回点C时，，再分两种情况求t的值，一是当时，则，求得；二是当时，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 点P在上，点Q在上， ， 当时，四边形是平行四边形， 当点Q与点B重合时，则， 解得：； 当点Q返回点C时，则， 解得， 当时，由得， 解得； 当时，由得， 解得， 当或时，四边形是平行四边形， 故答案为：4或 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． （1）将括号中的每个数化成最简二次根式，然后先算括号中的加减，再算除法； （2）先运用完全平方公式及乘法分配律将式子展开，然后求和计算． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，延长至点E，延长至点F，使． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，试判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理是解题的关键． （1）由矩形的性质得到，，进而得到，根据平行四边形的判定即可证得结论； （2）根据矩形的性质和直角三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 证明：四边形是矩形， ，， ∵， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：， 理由：四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 18. 某中学开展“每天锻炼1小时”的春季强身健体计划，为了解活动落实情况，从甲、乙两班各随机抽取15名同学，由被抽取同学填写的问卷获得以下信息． 信息1：从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长统计如表． 时长 1 2 3 4 5 6 7 人数 0 3 3 3 4 1 1 信息2：从乙班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据如下：1，5，2，3，4，3，2，4，3，4，4，6，5，7，7； 信息3：从甲、乙两班抽取学生一周锻炼时长的平均数、中位数、众数和方差统计如表． 班级 平均数 中位数 众数 方差 甲 4 m 5 乙 p 4 n 根据以上信息，回答以下问题： （1）表格中的______，______，______； （2）从哪个班抽取的学生一周锻炼时长的数据更稳定？为什么？ （3）如果该校共有学生3000人，按抽取的学生一周的锻炼时长推算，该校一周锻炼时长不低于4h的学生共有多少人？ 【答案】（1）4，4，4 （2）从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定，理由见解析 （3）1800人 【解析】 【分析】（1）分别根据中位数、算术平均数和众数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）利用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由信息1可知，从甲班抽取的15名同学一周的锻炼时长数据中，居于最中间位置的是“4”， 故甲班这组数据的中位数 ， 由乙班抽取的学生一周锻炼时长的数据，可知数据“4”出现了4次，出现的次数最多， 这组数据的众数 故答案为：4，4，4； 【小问2详解】 解：从甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定．理由如下： 甲班成绩的方差乙班成绩的方差， 甲班抽取的15名同学一周锻炼时长的数据更稳定． 【小问3详解】 解：（人）， 答：该校一周锻炼时长不低于4h的学生大约共有1800人． 【点睛】本题考查频数分布表，中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键． 19. 数学课上，孙老师在黑板上给出了如下等式． ，得； ，得； 利用你发现的规律： （1）化简：______； （2）______填>，<，或； （3）计算： 【答案】（1） （2）> （3） 【解析】 【分析】（1）分母有理化即可； （2）先分母有理化，再比较大小； （3）先分母有理化，再算加减． 本题考查二次根式混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 【小问1详解】 解：； 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ； 故答案为：>； 【小问3详解】 20. 数形结合是一种重要的数学思想方法，我们可以借助函数的图象求某些较为复杂不等式的解集．比如，求不等式的解集，可以先构造两个函数和，再在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图象（如图1所示），通过观察所画函数的图象可知：它们交于、两点，当或时，y1＞y2，由此得到不等式的解集为或x＞2． 根据上述说明，解答下列问题： （1）要求不等式x2＋3x＞x＋3的解集，可先构造出函数y1＝x2＋3x和函数y2＝　　； （2）图2中已作出了函数y1＝x2＋3x的图象，请在其中作出函数y2的图象； （3）观察所作函数的图象，求出不等式x2＋3x＞x＋3的解集． 【答案】（1）x＋3；（2）见解析；（3）或 【解析】 【分析】（1）由题干材料中的方法可得答案； （2）根据y2＝x＋3过点（﹣3，0）和（1，4），利用两点确定一条直线画出函数的图象即可； （3）根据（2）中图象即可得出答案. 【详解】解：（1）根据题意可得y2＝x＋3； 故答案为：x＋3； （2）作出函数y2的图象如下： （3）∵由图可知：函数y1和y2的图象交于（1，4）和（﹣3，0）两点，当x＜﹣3或x＞1时，y1＞y2， ∴不等式x2＋3x＞x＋3的解集为x＜﹣3或x＞1. 【点睛】本题考查一次函数及其应用、二次函数图象及其性质，要运用数形结合的思想，从函数的观点理解方程（组）或不等式. 21. 舞狮文化源远流长，独山花灯表演里的“迎龙舞狮”（如图①）是一项集体育与艺术于一体的竞技活动，是优秀的中国传统文化，舞狮的台桩可以抽象为数学几何图形（如图②），和垂直于水平线，且点B，D，F在同一水平线上，，，． （1）求的度数； （2）若，求台柱与的高度差． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，矩形的判定和性质，关键是由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由勾股定理求出的长． （1）由勾股定理的逆定理判定是直角三角形，即可得到答案； （2）过C作于H，判定四边形是矩形，推出，由勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 解：，，， ， ； 【小问2详解】 解：过C作于H，如图所示： ，， ， 四边形是矩形， ， ， 台柱与的高度差是． 22. 小刚在炒菜时发现，往锅里分别倒入一勺菜籽油或一勺水，油温比水温升高得快．于是他猜测“不同物质吸热能力不同”．为了验证猜想，小刚准备了质量、温度均相同的水和菜籽油，在如图①所示的装置中同时加热，测量并记录水和菜籽油的温度与加热时间，绘制成图象如图②所示． （1）求菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式； （2）在实验过程中，可测得在此地水的沸点为______；若某一时刻两温度计的示数相差，则加热的时间为______ 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象中的数据，可以计算出菜籽油在加热过程中的函数关系式； （2）将代入（1）中的函数解析式，求出相应的的值，然后即可得到水沸腾的温度，再求出水从开始到沸腾对应的函数解析式，即可计算出某一时刻两温度计的示数相差时对应的时间． 【小问1详解】 解：设菜籽油在加热过程中y与x的函数关系式为， 由图象可知，点，在该函数图象上， ， 解得， 即菜籽油在加热过程中与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：将代入，得： ， 即在实验过程中，可测得在此地水的沸点为； 设水从开始到沸腾对应的函数解析式为， 点，在该函数图象上， ， 解得， 即水从开始到沸腾对应的函数解析式为； 令， 解得， ， 不符合题意； 令， 解得：． 故答案为：，． 23. （1）【阅读理解】：问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：“如图①，在正方形中，是的中点，是边上一点，且．判断与的位置关系并证明．”“善思小组”经过研究，认为过点E作于点G，通过证明，可以得到；“智慧小组”也有自己的想法，认为延长交的延长线于点M，也可以得到．请选择一种你认为简单的方法或用你自己的方法借助图①进行证明； （2）【类比探究】：“善思小组”和“智慧小组”通过继续研究，认为将“正方形”改为“矩形”、“菱形”或“平行四边形”，其他条件不变，仍然有“”．你同意他们的观点吗？若同意，请以“四边形是平行四边形”为条件加以证明如图②；若不同意，请说明理由； （3）【拓展延伸】：由上面的探究发现：只要四边形满足______，其他条件不变，始终成立． 【答案】（1）见解析；（2）  仍然成立；（3） 【解析】 【分析】本题考查了正方形和平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是掌握有关基础知识． （1）延长，交延长线于G，可证得，从而，可证得，从而； （2）延长，交的延长线于G，可证得，从而，可证得，从而； （3）延长，交的延长线于G，可证得，从而，可证得，从而． 【详解】（1）证明：如图1， 延长，交的延长线于G， 四边形是正方形， ， ∴，， 点E是的中点， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图2， 仍然成立，理由如下： 延长，交的延长线于G， 四边形是平行四边形， ， ∴，， 点E是的中点， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：只要：，，理由如下： 延长，交的延长线于G， ， ∴，， 点E是的中点， ， ， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$