第1章 三角形初步认识（复习讲义）数学浙教版2024八年级上册

第1章 三角形初步认识（复习讲义） 课标要求：从生活实物抽象三角形模型，通过推理掌握基本性质； 中考命题：基础题占比高，压轴题聚焦动态全等与实际建模； 备考关键： ✅ 概念零混淆（三边关系/全等判定/高线位置）； ✅ 证明严步骤（条件标注+定理引用）； ✅ 作图保规范（尺规作图半径一致、延长线用虚线） ✅ 掌握高、中线、角平分线的定义及画法，理解其交点特性（如三条高交于一点） 层级 训练重点 典型例题 基础层 三边关系判断、内角和直接计算 已知△ABC中∠A=60°, ∠B=40°，则∠C=80° 进阶层 全等证明（SSS/SAS）、尺规作图规范 用SAS证明△ABC≌△DEF6 拓展层 动态全等问题、外角性质综合应用 求五角星五个尖角度数和（180°） 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的定义 三条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 忽略"三边不共线"条件（如认为三点共线可组成三角形） 三角形的分类 按边：等边、等腰、不等边； 按角：锐角（0°<∠<90°）、直角（∠=90°）、钝角（90°<∠<180°） 误判等腰三角形类型（如默认顶角是锐角） 三边关系定理 任意两边之和 > 第三边 （设a≤b≤c，则需满足 a+b>c） 仅验证一组两边和（如a=3,b=4,c=8时只验3+4>8❌，忽略3+8>4且4+8>3） 高/中线/角平分线 高：顶点到对边的垂线段（钝角△高在形外）； 中线：顶点到对边中点的线段； 角平分线：平分内角的射线 钝角三角形画高时未延长边（如∠A>90°时高AD在△ABC外） 内角和定理 内角和恒为180° → 证明：作平行线转化角（如图） 多边形公式误用（如套用(n-2)×180°算得360°❌） 全等判定定理 SSS（三边）、SAS（两边夹角）、 ASA（两角夹边）、AAS（两角一对边）、 HL（直角△专用） SSA不能判定全等（如两边及其中一边对角相等时，可能有两种情况） 尺规作图 作角等于已知角：截取等弧法； 作角平分线：同半径画弧→交点连线法 作角平分线时两次画弧半径不同（导致交点不对称） 题型一 三角形边之间关系 【例1】下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（　　） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可． 【解答】解：根据三角形三边关系逐项分析判断如下： A、∵2+2＞3， ∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、∵2+3＝5， ∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、∵3+4＝7， ∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、∵4+5＜11， ∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边是解题的关键． 【变式1-1】若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【考点】三角形三边关系；绝对值 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【解答】解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简．熟练掌握以上知识点是关键． 【变式1-2】已知三角形的两边长分别是2cm和5cm，选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长是 　12cm　 ． 【考点】三角形三边关系 【分析】利用三角形的三边关系求出第三边的范围，再由第三边为奇数即可求得第三边的长，进而即可得解． 【解答】解：∵三角形的两边长分别是2cm和5cm，设第三边的长为x cm， ∴5﹣2＜x＜5+2，即3＜x＜7， ∵x为奇数， ∴x＝5， ∴该三角形的周长＝2+5+5＝12（cm）， 故答案为：12cm． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系的应用是解决此题的关键． 【变式1-3】已知O是△ABC中任意一点（如图）．求证：． 【考点】三角形三边关系 【分析】在△OAB，△OAC，△OBC中，根据三角形的三边关系可得OA+OB＞AB，OA+OC＞AC，OB+OC＞BC，即可求解． 【解答】证明：在△OAB中，OA+OB＞AB． 在△OAC中，OA+OC＞AC． 在△OBC中，OB+OC＞BC． 三式相加，得：2（OA+OB+OC）＞AB+AC+BC， 即 ． 【点评】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 题型二 三角形内角和 【例2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【考点】三角形内角和定理 【分析】根据角平分线，高线，三角形内角和定理进行计算即可． 【解答】解：∵BE平分∠ABC交AC边于点E，∠ABE＝25°， ∴∠ABD＝2∠ABE＝50°， ∵AD是BC边上的高， ∴∠ADB＝90°， ∴∠ABD+∠BAD＝90°， ∴∠BAD＝40°， ∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝55°﹣40°＝15°， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和为180°是解题的关键． 【变式2-1】如图，AD与BC交于点O，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为 　540°　 ． 【考点】三角形内角和定理 【分析】连接AB，根据三角形的内角和定理即可证得∠C+∠D＝∠OBA+∠OAB，然后根据多边形的内角和求解即可． 【解答】解：连接AB， 由条件可知∠C+∠D＝∠OBA+∠OAB， ∴∠DAM+∠CBE+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M ＝∠DAM+∠CBE+∠OBA+∠OAB+∠E+∠F+∠M ＝（∠DAM+∠OAB）+（∠CBE+∠OBA）+∠E+∠F+∠M ＝∠MAB+∠ABE+∠E+∠F+∠M ＝（5﹣2）×180° ＝540°， 故答案为：540°． 【点评】本题考查了三角形的内角和以及多边形的内角和，熟练掌握该知识点是关键． 【变式2-2】如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　50°　 ． 【考点】三角形内角和定理；对顶角、邻补角 【分析】连接BC．设DC与BE交于点F，由三角形内角定理求出∠1+∠2＝50°．再由三角形内角和定理和对顶角相等即可求出∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°． 【解答】解：如图，连接BC．设DC与BE交于点F， ∵∠A＝60°，∠ABE＝40°，∠ACD＝30°， ∴∠1+∠2＝180°﹣∠A﹣∠ABE﹣∠ACD＝180°﹣60°﹣40°﹣30°＝50°， ∵∠D+∠E+∠DFE＝180°，∠1+∠2+∠BFC＝180°，∠BFC＝∠DFE， ∴180°﹣∠DFE＝180°﹣∠BFC， ∴∠D+∠E＝∠1+∠2＝50°， 即∠D+∠E等于50°， 故答案为：50°． 【点评】此题考查了三角形内角和定理，对顶角、邻补角，关键是三角形内角和定理的熟练掌握． 【变式2-3】在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，请通过计算判断△ABC的形状． 【考点】三角形内角和定理 【分析】根据三角形的内角和等于180°列出方程，然后把∠A、∠B都换为∠C，计算即可得解，再根据三角形的内角的度数判断三角形的形状，即可求解． 【解答】解：∵∠A＝2∠B＝2∠C（已知）， 又∵∠A+∠B+∠C＝180°（三角形内角和定理）， ∴2∠C+∠C+∠C＝180°（等量代换）， 即4∠C＝180°， 解得∠C＝45°， ∴∠B＝∠C＝45°，∠A ＝2∠C＝2×45°＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 【点评】本题考查了三角形的内角和定理，把∠A、∠B都换为∠C，得到关于∠C的方程是解题的关键． 题型三 三角形外角性质 【例3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．105° 【考点】三角形的外角性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形内角和定理 【分析】由三角板可知∠5＝60°，由平行线的性质得出∠2＝45°，由三角形内角和定理得出∠3＝90°﹣∠2＝45°，对顶角相等得出∠4＝∠3＝45°，再根据对顶角相等以及三角形内角和定理即可求出∠1的度数． 【解答】解：由三角板可知：∠5＝60°， ∵直尺两边平行， ∴∠2＝45°（两直线平行，同位角相等）， ∴∠3＝90°﹣∠2＝90°﹣45°＝45°， ∴∠4＝∠3＝45°（对顶角相等）， ∴∠1＝∠6＝180°﹣∠4﹣∠5＝180°﹣45°﹣60＝75°， 故选：B． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，对顶角、邻补角，三角形外角性质，关键是相关性质的熟练掌握． 【变式3-1】如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是　75　 度． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】先根据角平分线的定义可得∠CAE＝2∠DAE＝110°，然后根据三角形外角的性质解答，即可． 【解答】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠DAE＝55°， ∴∠CAE＝2∠DAE＝55°×2＝110°， ∵∠CAE＝∠B+∠ACB，∠B＝35°， ∴∠ACB＝∠CAE﹣∠B＝110°﹣35°＝75°， 即∠ACB的度数为75°． 故答案为：75． 【点评】本题主要查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是相关性质的熟练掌握． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】（1）根据三角形外角的性质得到∠3＝∠4＝∠1+∠2＝70°，再根据三角形内角和定理即可得到答案； （2）根据三角形中线的定义得到BD＝CD，再由三角形周长公式结合已知条件推出AB﹣AC＝3，据此可得答案． 【解答】解：（1）∵∠1＝∠2＝35°， ∴∠3＝∠1+∠2＝70°， ∴∠3＝∠4＝70°， ∴∠DAC＝180°﹣∠3﹣∠4＝40°； （2）∵AD为△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵△ABD的周长比△ACD的周长大3， ∴AB+AD+BD﹣（AC+AD+CD）＝3， ∴AB+AD+BD﹣AC﹣AD﹣CD＝3， ∴AB﹣AC＝3， ∵AB＝9， ∴AC＝6． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形中线的定义，根据三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角之和，三角形内角和为180度进行求解是解题的关键． 【变式3-3】如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】（1）先求解∠ECD＝∠B+∠E＝68°，可得∠ACE＝∠ECD＝68°，再利用三角形的外角的性质可得结论； （2）证明∠ACE＝∠ECD，结合∠ECD＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E，可得结论． 【解答】解：（1）由条件可知∠ECD＝∠B+∠E＝32°+36°＝68°， ∵EC平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠ECD＝68°， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝68°+36°＝104°； （2）∠BAC＝∠B+2∠E，理由如下： 由条件可知∠ACE＝∠ECD， 又∵∠ECD＝∠B+∠E， ∴∠BAC＝∠ACE+∠E＝∠ECD+∠E ＝∠B+∠E+∠E ＝∠B+2∠E， 即∠BAC＝∠B+2∠E． 【点评】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 题型四 三角形中线、高线、角平分线 【例4】如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．35° C．25° D．40° 【考点】三角形的外角性质 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解答】解：由条件可知∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故选：A． 【点评】本题考查三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相 【变式4-1】下列说法正确的是（　　） A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三角形的三条高线交于一点 D．平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；点到直线的距离；平行公理及推论；平行线的性质 【分析】根据点到直线的距离、平行公理、三角形的高、垂直的定义判断即可． 【解答】解：A、直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫做这点到直线的距离，故本选项说法错误，不符合题意； B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，说法正确，符合题意； C、三角形的三条高线所在的直线交于一点，故本选项说法错误，不符合题意； D、平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点评】本题考查的是点到直线的距离、平行公理、三角形的高、垂直的定义，掌握相关的概念和性质是解题的关键． 【变式4-2】如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可， 【解答】解：根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断如下： A、AE不是中线， ∴， ∵，， ∴S△ABC≠2S△ABE，该选项错误，符合题意； B、∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD，该选项正确，不符合题意； C、∵AF是△ABC的高线， ∴∠AFC＝90°，该选项正确，不符合题意； D、∵AE是△ABC的角平分线， ∴∠BAE＝∠CAE，该选项正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了三角形的角平分线、中线和高，熟练掌握三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此题的关键． 【变式4-3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　1　 cm2． 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】易得△ABD，△ACD为△ABC面积的一半，同理可得△BEC的面积等于△ABC面积的一半，那么阴影部分的面积等于△BEC的面积的一半． 【解答】解：∵D为BC中点，根据同底等高的三角形面积相等， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC4＝2（cm2）， 同理S△BDE＝S△CDES△BCE2＝1（cm2）， ∴S△BCE＝2（cm2）， ∵F为EC中点， ∴S△BEFS△BCE2＝1（cm2）． 故答案为1． 【点评】此题考查了三角形中线的性质，解答此题的关键是知道同底等高的三角形面积相等． 【变式4-4】如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，若∠BAD＝45°，则∠BFD＝　112.5°　 ． 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】由已知得出△ABD是等腰直角三角形，根据DE是△ADB的中线，得出DE⊥AB，根据角平分线的定义得出∠EBF＝22.5°，根据三角形的外角的性质即可求解． 【解答】解：∵AD是△ABC的高，∠BAD＝45°， ∴AD⊥BC，则△ABD是等腰直角三角形， ∴∠ABD＝45° ∵DE是△ADB的中线， ∴DE⊥AB， ∴∠DEB＝90° ∵BF是△EBD的角平分线， ∴∠EBF＝22.5°， ∴∠BFD＝∠EBF+∠DEB＝22.5°+90°＝112.5°， 故答案为：112.5°． 【点评】本题考查了等腰三角形的性质与判定，三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键． 【变式4-5】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝64°，求∠BOC的度数． 【考点】三角形的角平分线、中线和高 【分析】（1）根据三角形周长计算公式可得到△BCD与△ACD的周长差为：BC﹣AC+BD﹣AD，再由三角形中线的定义得到AD＝BD，据此代值计算即可； （2）根据角平分线的定义得到∠ABE＝32°，由三角形高的定义得到∠CDB＝90°，根据三角形外角的性质可得答案． 【解答】解：（1）∵△BCD的周长＝BC+CD+BD，△ACD的周长＝AC+CD+AD， ∴△BCD与△ACD的周长差为：（BC+CD+BD）﹣（AC+CD+AD）＝BC﹣AC+BD﹣AD， ∵CD是△ABC的中线， ∴AD＝BD， ∵BC＝3，AC＝2， ∴BC﹣AC+BD﹣AD＝BC﹣AC＝1， 答：△BCD与△ACD的周长差为1； （2）∵BE是∠ABC的平分线，∠ABC＝64°， ∴， ∵CD是△ABC的高， ∴∠CDB＝90°， ∴∠BOC＝∠CDB+∠ABE＝122°． 【点评】本题主要考查了三角形中线和高，三角形的周长，三角形的内角和，角平分线的性质，三角形外角的性质等知识点，熟记三角形中线的定义，三角形高的定义是解题的关键． 题型五 命题与定理 【例5】下列命题中是真命题的是（　　） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．如果a∥b，b∥c，那么a⊥c C．同旁内角相等，两直线平行 D．若a，b是两个无理数，则a+b一定也是无理数 【考点】命题与定理；无理数；平行公理及推论；平行线的判定与性质 【分析】利用相关知识分别判断后即可确定正确的选项． 【解答】解：利用相关知识逐项分析判断如下： A、互为相反数的两个数的绝对值相等，是真命题，符合题意； B、如果a∥b，b∥c，那么a∥c，故原说法错误，是假命题，不符合题意； C、同旁内角互补，两直线平行，故原说法错误，是假命题，不符合题意； D、若a，b是两个无理数，则a+b不一定也是无理数，故原说法错误，是假命题，不符合题意． 故选：A． 【点评】本题考查了命题的真假，平行线的判定、相反数和绝对值、平行公理，无理数的加法，等知识．熟练掌握以上知识点是关键． 【变式5-1】举反例说明下面的命题是假命题：“若a，b都是正数，且c＝ab，则c≥a．”你举的反例是：　，，，显然c＜a（答案不唯一）　 ． 【考点】命题与定理 【分析】举例时，满足条件，不满足结论即可得到答案． 【解答】解：举的反例是：，，， 此时c＝ab，但是c＜a， 故答案为：，，，显然c＜a（答案不唯一）． 【点评】本题考查命题与定理，掌握用举反例说明命题是假命题是解题的关键． 【变式5-2】将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式　如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行　 ． 【考点】命题与定理；平行公理及推论 【分析】根据命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论解答即可． 【解答】解：将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 故答案为：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点评】本题考查的是命题与定理，平行公理及推论，熟知任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论是解题的关键． 【变式5-3】下列命题是真命题的是（　　） A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．相等的角是对顶角 【考点】命题与定理；余角和补角；同位角、内错角、同旁内角；平行线的判定与性质 【分析】根据补角、平行线判定定理、内错角和对顶角的定义逐一分析选项即可． 【解答】解：根据命题与定理、对顶角、补角、平行线的性质等知识逐项分析判断如下： A、两个角的和等于平角时，这两个角互为补角，为真命题，此项符合题意； B、同旁内角互补，两直线平行，所以原选项为假命题，此项不符合题意； C、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，所以原选项为假命题，此项不符合题意； D、相等的角不一定是对顶角，所以原选项为假命题，此项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查命题与定理、对顶角、补角、平行线的性质等知识，熟练掌握以上知识点是关键． 题型六 证明 【例6】甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净，事后教师问他们是谁做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的”；丙说：“不是我做的”．如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗．（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【考点】推理与论证 【分析】假设甲说的是真话，可推出乙说的是假话，丙说的是真话，与“一人说的是真话”相矛盾，可见甲说的是假话，则乙说的是真话，所以丙说的是假话，可判断是丙做的，于是得到问题的答案． 【解答】解：假设甲说的是真话，则乙说的是假话，丙说的是真话，与“一人说的是真话”相矛盾，由此判断甲说的是假话， 所以乙说的是真话，则丙说的是假话， 所以是丙做的， 故选：C． 【点评】此题重点考查推理与论证的有关知识，运用假设法判断出甲说的是假话是解题的关键． 【变式6-1】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【考点】推理与论证 【分析】根据事件发生可能性大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目；②全部情况的总数．这里要考虑最差情况． 【解答】解：最坏情况考虑就行了，摸出14个红球，14个绿球，12个黄球，14个蓝球，10个白球，10个黑球， 最后再摸出任意一个球，这时可以保证至少有15个颜色相同， 即最少要摸：14+14+12+14+10+10+1＝75个球； 故选：B． 【点评】此题考查的知识点是推理与论证，关键是考虑最差情况先摸出9个黑球，14个白球，再摸出另三色中一色的14个球，此时再任意摸出一个小球即可保证15个小球颜色相同． 【变式6-2】某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了． 婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字； 乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻； 香香记得：中间的数字不是8． 根据以上信息，可以确定密码是 　258　 ． 【考点】推理与论证 【分析】婷婷提供的“数字2且不在最后一位”、乐乐的“5和8相邻”、香香的“中间数字不是8”．通过条件逐步排除不符合的组合，最终锁定唯一解．确保最终答案同时满足所有条件．乐乐的条件限制了5和8必须相邻，且密码包含这三个数字中的两个．香香的条件直接排除中间为8的情况．婷婷的条件固定了2的位置，进一步缩小范围． 【解答】解：梳理条件：婷婷：密码含2，且2不在第三位． 乐乐：密码含5和8，且5和8相邻． 香香：中间数字不是8． ∴密码必须包含2、5、8三个不同数字（因乐乐提到两个数是5和8，且婷婷提到有2）． 5和8必须相邻，可能的相邻位置为：第1位和第2位（如58或85）第2位和第3位（如58或85）， 中间数字不能是8，因此排除中间为8的组合（如 X8X）． 假设前两位是58：组合为58×，第三位必须是2（因含2且不在最后），即582．矛盾：婷婷说2不在最后一位，排除．假设前两位是85：组合为85×，第三位必须是2，即852．矛盾：婷婷说2不在最后一位，排除．3假设后两位是58： 组合为X58，第一位必须是2（因含2且不在最最后），即258． 验证：婷婷条件：2在第一位，符合条件． 乐乐条件：5和8相邻（第2、3位）． 香香条件：中间数字是5，符合条件． 假设后两位是85：组合为X85，中间数字是8，矛盾香香条件，排除． ∴唯一符合条件的组合是258． 故答案为：258． 【点评】本题考查推理与论证，需要综合不同人的记忆片段，排除不可能的情况，确定唯一符合条件的密码组合． 【变式6-3】某气象台发现：在某段时间里，如果白天下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么白天是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天白天是晴天，则这一段时间有　11　 天． 【考点】推理与论证 【分析】解法一：根据题意设有x天白天下雨，这一段时间有y天；有9天下雨，即白天下雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数﹣白天下雨＝白天晴天；②总天数﹣晚上下雨＝晚上晴天；列方程组解出即可． 解法二：列三元一次方程组，解出即可． 【解答】解：解法一：设有x天白天下雨，这一段时间有y天， 根据题意得：， ①+②得：2y＝22， y＝11． 所以一共有11天； 解法二：设一共有x天，白天下雨的有y天，晚上下雨的有z天， 根据题意得：， 解得：． 所以一共有11天． 故答案为：11． 【点评】此题考查了推理与论证，本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，白天和晚上要么下雨，要么晴天；本题也可以用算术方法求解：（9+6+7）÷2＝11． 题型七 全等三角形性质 【例7】如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　20　 ． 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据△ABC≌△DEB，得出BE＝BC＝12，DE＝AB，根据AE＝8，得出AB＝AE+BE＝12+8＝20，即可得出答案． 【解答】解：由条件可知BE＝BC＝12，DE＝AB， ∴AB＝AE+BE＝12+8＝20， ∴DE＝20． 故答案为：20． 【点评】本题主要考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是关键． 【变式7-1】如图，△ABC≌△ADE，若AE＝5，则AC＝ 　5　 ． 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质即可得出AC＝AE＝5． 【解答】解：∵△ABC≌△ADE， ∴AC＝AE， ∵AE＝5， ∴AC＝5． 故答案为：5． 【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，理解全等三角形的对应边相等是解决问题的关键． 【变式7-2】如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若EF＝8，EC＝5，则BE的长是　3　 ． 【考点】全等三角形的性质 【分析】利用全等三角形的对应边相等，得出EF＝BC＝8，然后求解即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴根据全等三角形的性质，EF＝BC＝8， ∴BE＝BC﹣EC＝8﹣5＝3． 所以BE的长为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查全等三角形性质，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． 【变式7-3】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　） A．66° B．60° C．56° D．54° 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据三角形内角和定理可得∠C＝66°，由图形，结合题意得到AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝66°，由此即可求解． 【解答】解：如图所示， 在△ABC中，∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣64°﹣50°＝66°， ∵如图是两个全等三角形， ∴AB＝A′B′＝c，BC＝B′C′＝a， ∴AC＝A′C′，∠C＝∠C′＝66°， ∴∠1＝66°，即∠1的度数是66°， 综上所述，只有选项A正确，符合题意， 故选：A． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【变式7-4】如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数； （2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和． 【考点】全等三角形的性质 【分析】（1）利用全等三角形的性质、等式的性质可得出∠CAE＝∠BAD，然后利用角的和差关系求解即可； （2）利用全等三角形的性质可求出AB＝AD＝10，BC＝DE＝9，然后利用三角形的周长公式求解即可． 【解答】解：（1）∵△ABC≌△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠CAE＝∠BAD， 由条件可知∠CAE+∠BAD＝∠CAD﹣∠BAE＝80°， ∴∠CAE＝∠BAD＝40°； （2）∵AD＝10，BE＝CE＝4.5，△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD＝10，BC＝DE＝BE+CE＝9， AD+DF+AF+BF+EF+BE ＝AD+（DF+EF）+（AF+BF）+BE ＝AD+DE+AB+BE ＝10+9+10+4.5 ＝33.5． 【点评】本题考查了全等三角形的性质等知识，熟练掌握该知识点是关键． 【变式7-5】如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 【考点】全等三角形的性质 【分析】（1）由全等三角形的性质推出∠D＝∠CAB，判定AB∥DE； （2）由全等三角形的性质推出AC＝ED＝3，AB＝AD，求出AD＝7，即可得到AB的长． 【解答】解：（1）AB∥DE，理由如下： ∵△ABC≌△DAE， ∴∠D＝∠CAB， ∴AB∥DE； （2）∵△ABC≌△DAE， ∴AC＝ED＝3，AB＝AD， ∵AD＝AC+CD＝4+3＝7， ∴AB＝7． 【点评】本题考查全等三角形的性质，平行线的判定，关键是掌握全等三角形的对应边和对应角相等；内错角相等，两直线平行． 题型八 角平分线定理 【例8】如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 【考点】角平分线的性质 【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答． 【解答】解：过O作OE⊥AB于点E， ∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D， ∴OE＝OD＝5， ∴△AOB的面积， 故选：C． 【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答． 【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，则下列结论中正确的有 　①②③　 ． ①AD平分∠BAC； ②AD⊥BC； ③BD＝CD； ④∠EDA＝∠BDE． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】利用等腰三角形等边对等角，得到两底角相等，结合三角形全等，等腰三角形的性质，得到结果． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， ∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠DEB＝∠DFC＝90°， 又∵DE＝DF， ∴△DBE≌△DCF， ∴BD＝DC， ∵AB＝AC， ∴AD⊥BC，且AD平分∠BAC， ∴在Rt△ADB中，∠EDA+∠BDE＝90°． ∴结论正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【点评】本题考查了等腰三角形性质的应用，全等三角形的判定及性质，关键是结合图形，对各个结论逐一判断即可． 【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AD＝2，BC＝6，则△BCD的面积为　6　 ． 【考点】角平分线的性质 【分析】过点D作DE⊥BC交于点E，根据角平分线的性质定理可得DE＝AD＝2，再利用三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：如图，过点D作DE⊥BC交于点E， 由条件可知DE＝AD＝2， ∵BC＝6， ∴． 故答案为：6． 【点评】本题考查了角平分线的性质定理、三角形的面积公式，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键． 【变式8-3】如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G． （1）求证：CE＝FG． （2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积． 【考点】角平分线的性质；三角形的面积；三角形内角和定理 【分析】（1）先根据角平分线的性质得出FC＝FG，∠CAF＝∠DAE，再证∠AED＝∠AFC，由对顶角相等可知∠AED＝∠CEF，故可得出∠CEF＝∠AFC，那么CE＝CF，由此可得出结论； （2）先证FG＝CF＝CE＝4，再根据即可解答． 【解答】（1）证明：∵AF是∠BAC的平分线，∠ACB＝90°，FG⊥AB， ∴FC＝FG，∠CAF＝∠DAE∠BAC， ∠CAF+∠CFA＝90°，∠DAE+∠AED＝90°， ∴∠AED＝∠AFC， ∵∠AED＝∠CEF， ∴∠CEF＝∠AFC， ∴CE＝CF， ∴CE＝FG． （2）解：∵CE＝4， ∴FG＝CF＝CE＝4， ∵AC＝12，AB＝15， ∴， 所以△ABC的面积为54． 【点评】本题考查了角平分线的性质，三角形内角和定理，三角形面积，熟练掌握它们的性质是解题的关键． 题型九 垂直平分线定理 【例9】如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5，BD＝3，则DE的长为（　　） A．5 B．8 C．11 D．13 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段垂直平分线的性质，可分别求得AC和EC的长，即可求得答案． 【解答】解：由条件可知AB＝AC＝5，CD＝3， ∵点C在AE的垂直平分线上， ∴EC＝AC＝5， ∴DE＝CD+EC＝3+5＝8． 故选：B． 【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【变式9-1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10cm，且△ABD的周长为45cm，则△ABC的周长为（　　） A．55cm B．60cm C．65cm D．70cm 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝CE＝10cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【解答】解：由条件可知DA＝DC，AE＝CE＝10cm， ∴AC＝2AE＝20cm， ∴AB+BD+DA＝AB+BC＝45cm， ∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝65cm， 故选：C． 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式9-2】如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝9cm，求DC长． 【考点】线段垂直平分线的性质 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到AE＝EC，AB＝AE，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到AB+BC+AC＝20，根据AB＝EC，BD＝DE计算，得到答案． 【解答】（1）证明：∵EF垂直平分AC， ∴AE＝EC， ∵AD⊥BC，BD＝DE， ∴AD垂直平分BE， ∴AB＝AE， ∴AB＝EC； （2）解：∵△ABC的周长为20cm， ∴AB+BC+AC＝20cm， ∵AC＝9cm， ∴AB+BC＝11cm， ∵AB＝EC，BD＝DE， ∴ ＝5.5cm． 【点评】本题考查线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 【变式9-3】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　40°　 ； （2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 　　 ；（用含α的代数式表示） （3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为16cm，求FC的长． 【考点】线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理计算即可得解； （2）根据垂直平分线的性质得AM＝CM，BN＝CN，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，再求出∠A+∠B，然后求出，最后利用四边形的内角和定理计算即可得解； （3）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB，再由DF，EF分别垂直平分AC和BC，求出FA＝FC，FB＝FC即可求解． 【解答】解：（1）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠ACB＝∠ACM+∠BCN+∠MCN＝110°， ∴∠A+∠B＝70°， ∴∠A+∠B+∠ACM+∠BCN＝140°， ∴∠MCN＝180°﹣140°＝40°， 故答案为：40°； （2）∵DM，EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN，∠CDF＝∠CEF＝90°， ∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN， ∵∠A+∠B+∠ACM+∠BCN+∠MCN＝180°，∠MCN＝α， ∴， ∴， ∵四边形DFEC的内角和为360°， ∴∠ACB+∠MFN＝360°﹣∠CDF﹣∠CEF＝180°， ∴， 故答案为：； （3）如图， ∵DM、EN分别垂直平分AC和BC， ∴AM＝CM，BN＝CN， ∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB， ∵△CMN的周长为6cm， ∴AB＝6cm， ∵△FAB的周长为16cm， ∴FA+FB+AB＝16cm， ∴FA+FB＝10cm， ∵DF，EF分别垂直平分AC和BC， ∴FA＝FC，FB＝FC， ∴2FC＝10cm， ∴FC＝5cm． 【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识的应用及整体思想的应用． 题型十 三角形全等判定一（SSS） 【例10】如图，AB＝AD，AC＝AE，请添加一个条件 　BC＝DE（答案不唯一）　 ，使得△ABC≌△ADE． 【考点】全等三角形的判定 【分析】由全等三角形的判定方法，即可得到答案． 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SSS）． ∴添加一个条件BC＝DE（答案不唯一），使得△ABC≌△ADE． 故答案为：BC＝DE（答案不唯一）． 【点评】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL． 【变式10-1】如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为 　2或　 ． 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据题意，可以分两种情况讨论，第一种△CAP≌△PBQ，第二种△CAP≌△QBP，然后分别求出相应的a的值即可． 【解答】解：当△CAP≌△PBQ时，则AC＝PB，AP＝BQ， ∵AC＝6，AB＝14， ∴PB＝6，AP＝AB﹣AP＝14﹣6＝8， ∴BQ＝8， ∴8÷a＝8÷2， 解得a＝2； 当△CAP≌△QBP时，则AC＝BQ，AP＝BP，． ∵AC＝6，AB＝14， ∴BQ＝6，AP＝BP＝7， ∴6÷a＝7÷2， 解得a； 由上可得a的值是2或， 故答案为：2或． 【点评】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确有两种情况，利用数形结合的思想解答． 【变式10-2】已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF，求证：AB∥DC． 【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的判定 【分析】依据题意，由DE＝BF，从而DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE，进而可证得△AEB≌△CFD（SSS），则∠B＝∠D，最后可以判断得解． 【解答】证明：∵DE＝BF， ∴DE﹣EF＝BF﹣EF，即DF＝BE， 在△AEB和△CFD中， ， △AEB≌△CFD（SSS）， ∴∠B＝∠D， ∴AB∥DC． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定，熟练掌握其判定和性质定理是解题的关键． 【变式10-3】下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 　②　 ． ①AB＝3，BC＝7，CA＝11， ②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3； ③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11； ④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9． 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【解答】解：①AB＝3，BC＝7，CA＝11，3+7＜11，不能画出三角形； ②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3，根据“AAS”能画出唯一的△ABC； ③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC； ④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9，“SSA”不能确定三角形的性质，即不能画出唯一的△ABC； 综上所述，能画出唯一的△ABC的有②， 故答案为：②． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 题型十一 三角形全等判定（SAS） 【例11】如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝CD，连结BE． （1）求证：△ABE≌△CAD． （2）若∠D＝125°，∠ABE＝25°，求∠ACB的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CAB＝∠DCA，进一步可证△ABE≌△CAD（SAS）； （2）根据△ABE≌△CAD（SAS），可得∠AEB＝∠D＝125°，根据三角形的内角和定理，可得∠EAB的度数，根据等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB，根据三角形的内角和即可求出∠ACB的度数． 【解答】（1）证明：∵CD∥AB， ∴∠CAB＝∠DCA， 在△ABE和△CAD中， ， ∴△ABE≌△CAD（SAS）； （2）解：∵△ABE≌△CAD， ∴∠AEB＝∠D＝125°． ∵∠AEB+∠ABE+∠EAB＝180°，∠ABE＝25°， ∴∠EAB＝180°﹣∠AEB﹣∠ABE＝30°， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∴∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，平行线的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键． 【变式11-1】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE． （1）求证：△ABD≌△ACE． （2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）由已知条件可求得∠BAD＝∠CAE，利用SAS即可判定△ABD≌△ACE； （2）由题意可得∠ABC＝∠ACB，从而可求得∠ACE＝15°，结合（1）即可求得∠ABD的度数． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE． 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB． ∵∠BCE﹣∠ABC＝15°， ∴∠BCE﹣∠ACB＝15°， 即∠ACE＝15°， ∵△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠ACE＝15°． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是结合图形求得∠BAD＝∠CAE． 【变式11-2】如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 　8　 cm． （3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据SAS证明△CBD≌△CAE即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可； （3）根据全等三角形的性质和垂直的定义解答即可． 【解答】解：（1）△CBD≌△CAE，理由如下： ∵∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， 即∠BCD＝∠ACE， 在△CBD与△CAE中， ， ∴△CBD≌△CAE（SAS）； （2）∵△CBD≌△CAE， ∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm）， 故答案为：8； （3）AE⊥BD，理由如下： AE与CD相交于点O，在△AOD与△COE中， ∵△CBD≌△CAE， ∴∠ADO＝∠CEO， ∵∠AOD＝∠COE， ∴∠OAD＝∠OCE＝90°， ∴AE⊥BD． 【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SAS得出△CBD与△CAE全等解答． 【变式11-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线， （1）证明：△ABD≌△ACE； （2）证明：∠3＝∠1+∠2． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）先证明∠BAD＝∠1，再由SAS证明△ABD≌△ACE即可； （2）由全等三角形的性质得∠ABD＝∠2，再由三角形的外角性质即可得出结论． 【解答】证明：（1）∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠1， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（SAS）； （2）由（1）可知，△ABD≌△ACE， ∴∠ABD＝∠2， ∴∠3＝∠BAD+∠ABD＝∠1+∠2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质，证明三角形全等是解题的关键． 题型十二 三角形全等判定（ASA） 【例12】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据已知条件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可证明△ABF≌△ACG； （2）结合（1）的结论，再证明△AEF≌△AEG，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠FAG， ∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD， ∴∠BAD＝∠CAG， 在△ABF和△ACG中， ， ∴△ABF≌△ACG（ASA）； （2）证明：由（1）得△ABF≌△ACG， ∴AF＝AG，BF＝CG， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠BAD＝∠CAG， ∴∠CAD＝∠CAG， 在△AEF和△AEG中， ， ∴△AEF≌△AEG（SAS）． ∴EF＝EG， ∴BE＝BF+FE＝CG+EG． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△AEF≌△AEG． 【变式12-1】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE+BF＝BC． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出∠B＝∠ACB＝72°，由角平分线定义得出∠ACD＝∠BCD＝36°，由三角形的外角性质即可得出答案； （2）由（1）得∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°，得出AD＝CD，证出∠ADC＝∠EDF，得出∠ADE＝∠CDF，证明△ADE≌△CDF（ASA），得出AE＝CF，即可得出结论． 【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠B＝∠ACB（180°﹣36°）＝72°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝36°， ∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝72°+36°＝108°； （2）证明：由（1）得：∠ACD＝36°＝∠A，∠ADC＝108°， ∴AD＝CD， ∵∠EDF＝108°， ∴∠ADC＝∠EDF， ∴∠ADE＝∠CDF， 在△ADE和△CDF中，， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， ∵CF+BF＝BC， ∴AE+BF＝BC． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【变式12-2】如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据已知和三角形外角性质求出∠ABE＝∠CAF，∠BAE＝∠FCA，根据ASA证两三角形全等即可； （2）结合（1）△ABE≌△CAF，可得AE＝CF，BE＝AF，进而根据线段的和差即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠BAC＝∠BAE+∠CAF， ∴∠ABE＝∠CAF， 同理：∠BAE＝∠ACF， 在△ABE和△CAF中， ， ∴△ABE≌△CAF（ASA）； （2）EF+CF＝BE，理由如下： ∵△ABE≌△CAF， ∴AE＝CF，BE＝AF， ∵AE+EF＝AF， ∴CF+EF＝BE． 【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的外角性质等知识点，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，解本题的关键是得到△ABE≌△CAF． 【变式12-3】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△FBD； （2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）由题意易得∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA，则有∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°，然后可得∠DBF＝∠DCA，进而问题可求证； （2）由（1）可得DA＝DF＝2，则有AB＝BD+DA＝7，然后根据三角形的面积公式可进行求解． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDF＝∠CDA＝90°＝∠BEA， ∴∠DBF+∠A＝∠A+∠DCA＝90°， ∴∠DBF＝∠DCA， 在△ACD和△FBD中， ， ∴△ACD≌△FBD（ASA）； （2）解：∵△ACD≌△FBD，DF＝2， ∴DA＝DF＝2， ∴AB＝BD+DA＝7， ∵CD＝BD＝5， ∴． 【点评】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型十三 三角形全等判定（AAS） 【例13】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）结合条件利用直角三角形的性质可得∠BCE＝∠CAD，利用AAS和证得全等； （2）由全等三角形的性质可求得CD＝BE，利用线段的和差可求得BE的长度． 【解答】（1）证明：∵AD⊥CE，∠ACB＝90°， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴∠BCE＝∠CAD（同角的余角相等）， 在△ADC与△CEB中 ∴△ADC≌△CEB（AAS）； （2）解：由（1）知，△ADC≌△CEB， 则AD＝CE＝5cm，CD＝BE． ∵CD＝CE﹣DE， ∴BE＝AD﹣DE＝5﹣3＝2（cm）， 即BE的长度是2cm． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 【变式13-1】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】利用全等三角形的判定定理AAS证得△ABF≌△DCE；然后由全等三角形的对应边相等证得AB＝CD． 【解答】证明：∵点E，F在BC上，BE＝CF， ∴BE+EF＝CF+EF，即BF＝CE； 在△ABF和△DCE中， ， ∴△ABF≌△DCE（AAS）， ∴AB＝CD（全等三角形的对应边相等）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质．三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件． 【变式13-2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 【考点】三角形综合题；全等三角形的判定与性质 【分析】（1）①根据AD⊥MN，BE⊥MN，∠ACB＝90°，得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB；②根据全等三角形的对应边相等，即可得出CE＝AD，CD＝BE，进而得到DE＝CE+CD＝AD+BE； （2）先根据AD⊥MN，BE⊥MN，得到∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，进而得出∠CAD＝∠BCE，再根据AAS即可判定△ADC≌△CEB，进而得到CE＝AD，CD＝BE，最后得出DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）运用（2）中的方法即可得出DE，AD，BE之间的等量关系是：DE＝BE﹣AD． 【解答】解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB， ∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ②∵△ADC≌△CEB， ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CE+CD＝AD+BE； （2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）； ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE； （3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD． 理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN， ∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， ∵在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴CE＝AD，CD＝BE， ∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD． 【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的对应边相等，同角的余角相等，解决问题的关键是根据线段的和差关系进行推导，得出结论． 【变式13-3】已知，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α． （1）如图1，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　＝　 CF；EF　＝　 |BE﹣AF|（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； （3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，若∠BCA＝∠α，则EF、BE、AF三条线段有何数量关系，并予以证明． 【考点】三角形综合题 【分析】（1）根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF，故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|． （2）证明和（1）类似，根据△BCE≌△CAF即可得到BE＝CF，CE＝AF，故EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|． （3）求出∠BEC＝∠AFC，∠CBE＝∠ACF，根据AAS证△BCE≌△CAF，推出BE＝CF，CE＝AF即可． 【解答】解：（1）在图1中，∵∠BCA＝∠BEC＝∠AFC＝90°， ∴∠BCE+∠ACF＝90°，∠ACF+∠CAF＝90°， ∴∠BCE＝∠CAF， 在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF（AAS）， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|， 故答案为＝，＝． （2）在图2中，添加的条件为∠α+∠BCA＝180°， ∴∠CFA+∠BCA＝180°， ∴∠CFA+∠BCE+∠ACF＝180°， ∵∠CFA+∠ACF+∠CAF＝180°， ∴∠BCE＝∠CAF， 在△在△BCE和△CAF中， ， ∴△BCE≌△CAF， ∴BE＝CF，CE＝AF， ∴EF＝|CF﹣CE|＝|BE﹣AF|． （3）EF＝BE+AF． 理由是：如图3中， ∵∠BEC＝∠CFA＝∠a，∠a＝∠BCA， 又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC＝180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB＝180°， ∴∠EBC+∠BCE＝∠BCE+∠ACF， ∴∠EBC＝∠ACF， 在△BEC和△CFA中， ， ∴△BEC≌△CFA（AAS）， ∴AF＝CE，BE＝CF， ∵EF＝CE+CF， ∴EF＝BE+AF． 【点评】本题综合考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，注意这类题目图形发生变化，结论基本不变，证明方法完全类似，属于中考常考题型． 题型十四 三角形全等判定综合 【例14】情景观察：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB　 ； ②线段AF与线段CE的数量关系是　AF＝2CE　 ，并写出证明过程． 问题探究： 如图2，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE＝2CD． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】情境观察：①由全等三角形的判定方法容易得出结果； ②由全等三角形的性质即可得出结论； 问题探究：延长AB、CD交于点G，由ASA证明△ADC≌△ADG，得出对应边相等CD＝GD，即CG＝2CD，证出∠BAE＝∠BCG，由ASA证明△ABE≌△CBG，得出AE＝CG＝2CD即可． 【解答】解：①图1中所有的全等三角形为△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB； 故答案为：△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB ②线段AF与线段CE的数量关系是：AF＝2CE； 故答案为：AF＝2CE． 证明：线段AF与线段CE的数量关系是AF＝2CE， ∵△BCD≌△FAD， ∴AF＝BC， ∵AB＝AC，AE⊥BC， ∴BC＝2CE， ∴AF＝2CE； 问题探究： 证明：延长AB、CD交于点G，如图2所示： ∵AD平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠GAD， ∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ADG＝90°， 在△ADC和△ADG中， ， ∴△ADC≌△ADG（ASA）， ∴CD＝GD，即CG＝2CD， ∵∠BAC＝45°，AB＝BC， ∴∠ABC＝90°， ∴∠CBG＝90°， ∴∠G+∠BCG＝90°， ∵∠G+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠BCG， 在△ABE和△CBG中， ， ∴△ABE≌△CBG中（ASA）， ∴AE＝CG＝2CD． 故答案为：①△ABE≌△ACE，△ADF≌△CDB；②AF＝2CE； 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． 【变式14-1】已知：如图，在△ABC中，E是BC中点，D是AB上一点，F是AC上一点，若∠DEF＝90°，且∠BAC＝90°，求证：BD2+FC2＝FD2． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】延长FE到G使GE＝FE，连接DG，BG证△BEG≌△CEF，推出BG＝FC，∠C＝∠EBG，求出∠BGD＝90°，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】证明：延长FE到G使GE＝FE，连接DG，BG， ∵E为BC中点， ∴BE＝CE， 在△BEG和△CEF中， ， ∴△BEG≌△CEF（SAS）， ∴BG＝CF，∠EBG＝∠C， ∴BG∥AC， ∴∠GBD+∠BAC＝180°， ∴∠GBD＝90°， ∴BG2+BD2＝DG2， ∵DE⊥EF， ∴DG＝DF， ∴BD2+FC2＝FD2． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【变式14-2】将等边三角形ABC与等边三角形BDE按如图所示的位置放置，连接AD，CE，交点为O，M，N分别是线段AD，CE的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：△ABD≌△CBE． （2）判断△BMN的形状，并说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据等边三角形的性质即可证明△ABD≌△CBE； （2）结合（1）证明△ABM≌△CBN，进而可以判断△BMN的形状． 【解答】（1）证明：∵等边三角形ABC，等边三角形BDE， ∴AB＝BC，BD＝BE，∠ABC＝∠DBE＝60°， ∴∠ABC+∠DBC＝∠DBE+∠DBC， ∴∠ABD＝∠CBE， 在△ABD和△CBE中， ， ∴△ABD≌△CBE（SAS）； （2）解：△BMN是等边三角形，理由如下： 由（1）知：△ABD≌△CBE， ∴∠BAD＝∠BCE，AD＝CE， ∵M，N分别是线段AD，CE的中点， ∴AMAD，CNCE， ∴AM＝CN， 在△ABM和△CBN中， ， ∴△ABM≌△CBN（SAS）， ∴∠ABM＝∠CBN，BM＝BN， ∴∠ABM+∠MBC＝∠CBN+∠MBC， ∴∠ABC＝∠MBN＝60°， ∴△BMN是等边三角形． 【点评】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，解决本题的关键是证明△ABM≌△CBN． 【变式14-3】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点．若．求证：BE+DF＝EF． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质 【分析】延长CB到G，使BG＝DF，证明△ABG≌△ADF，根据全等三角形的性质得到AG＝AF，∠GAB＝∠FAD，证明△AEG≌△AEF，根据全等三角形的性质证明． 【解答】证明：延长CB到G，使BG＝DF， ∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ABC+∠ABG＝180°， ∴∠ADC＝∠ABG， 在△ABG和△ADF中， ， ∴△ABG≌△ADF（SAS）， ∴AG＝AF，∠GAB＝∠FAD， ∵， ∴2∠EAF＝∠BAD＝∠EAF+（∠FAD+∠BAE）， 即∠EAF＝∠FAD+∠BAE， 又∵∠GAB＝∠FAD， ∴∠EAF＝∠GAB+∠BAE＝∠EAG， ∴∠EAG＝∠EAF， 在△AEG和△AEF中， ， ∴△AEG≌△AEF（SAS）， ∴GE＝EF， 又∵BG＝DF， ∴BE+DF＝BE+BG＝GE， 即BE+DF＝EF． 【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 基础巩固通关测 1．下列说法中，正确的有（　　） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ③三角形的三条高交于一点，且这点在三角形内； ④过一点有且只有一条直线和已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】三角形的角平分线、中线和高；垂线；平行公理及推论；平行线的性质 【分析】根据平行公理、平行线性质、三角形高线性质及垂直性质，逐一分析各说法是否正确即可． 【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在直线上，则无法作平行线，故①错误； 平行线被第三条直线所截，同位角相等，符合平行线性质，故②正确； 三角形三条高所在直线交于一点，但钝角三角形的高交点在三角形外部，故③错误； 在平面内，过直线上一点有且只有一条垂线，但若未限定同一平面，可能存在多条；故④错误； 综上，正确个数为1个， 故选：A． 【点评】本题考查平行公理，掌握平行线性质、三角形高线性质及垂直性质是解题的关键． 2．下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（　　） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【考点】三角形三边关系 【分析】根据三角形三边关系定理，若两较小边之和大于较长边即能组成三角形，逐项验证即可． 【解答】解：根据三角形三边关系逐项分析判断如下： A、∵2+2＞3， ∴2，2，3能组成三角形．故此选项符合题意； B、∵2+3＝5， ∴2，3，5不能组成三角形．故此选项不符合题意； C、∵3+4＝7， ∴3，4，7不能组成三角形．故此选项不符合题意； D、∵4+5＜11， ∴4，5，11不能组成三角形．故此选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题考查三角形三边关系，熟练掌握三角形三边关系：任意两边之和大于第三边是解题的关键． 3．若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【考点】三角形三边关系；绝对值 【分析】根据三角形三边之间的关系得出a、b、c之间的大小关系，再根据绝对值的性质求值． 【解答】解：由条件可知a＜b+c，b＜a+c，c＜a+b， ∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a﹣c＜0，c﹣a﹣b＜0， ∴原式＝﹣a+b+c﹣b+a+c﹣c+a+b＝a+b+c． 故选：A． 【点评】本题考查了三角形的三边关系以及绝对值的化简．熟练掌握以上知识点是关键． 4．如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　） A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm 【考点】全等三角形的性质 【分析】根据全等三角形的性质解答即可． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF， ∴EF＝BC＝8cm，即x＝8cm； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的性质，熟知全等三角形的对应边相等是解题的关键． 5．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12，则S阴影＝ 　3　 ． 【考点】三角形的面积 【分析】根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”计算即可． 【解答】解：∵点D是BC的中点， ∴S△ABD＝S△ACDS△ABC， ∵点E是AD的中点， ∴S△BDES△ABDS△ABC，S△CDES△ACDS△ABC， ∴S△BCE＝S△BDE+S△CDES△ABCS△ABCS△ABC， ∵点F是CE的中点， ∴S阴影S△BCES△ABC12＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查三角形的面积，掌握“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”是解题的关键． 6．如图，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BE，AD⊥BE于点D，若BD＝3，则CE＝ 　3　 ． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】证明△ADB≌△BCE（AAS），推出EC＝BD可得结论． 【解答】解：∵∠ABC＝∠C＝90°，AD⊥BE， ∴∠ADB＝∠C＝90°， ∴∠ABD+∠A＝90°，∠ABD+∠EBC＝90°， ∴∠A＝∠EBC， 在△ADB和△BCE中， ， ∴△ADB≌△BCE（AAS）， ∴CE＝BD＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 7．如图所示，若AD＝BC，∠A＝∠B，请你添加一个条件后，就能证得∠ADF≌∠BCE，你添加的条件是 　∠D＝∠C（答案不唯一）　 ． 【考点】全等三角形的判定 【分析】根据“ASA”或“AAS”或“SAS”添加条件． 【解答】解：∵AD＝BC，∠A＝∠B， ∴当添加∠D＝∠C时，△ADF≌△BCE（ASA）； 当添加∠AFD＝∠BEC时，△ADF≌△BCE（AAS）； 当添加AF＝BE时，△ADF≌△BCE（SAS）； 故答案为：∠D＝∠C（答案不唯一）． 【点评】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件． 8．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　15°　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】根据题意先得到∠EAD＝45°，再根据三角形的外角性质进行计算即可． 【解答】解：由题意可知∠EAD＝90°﹣45°＝45°， ∴根据三角形外角性质，∠FBA＝∠EAD﹣∠F＝45°﹣30°＝15°， 所以∠FBA的度数为15°． 故答案为：15°． 【点评】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，熟知三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和是解题的关键． 9．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　30　 °． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数． 【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线， ∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°， ∵∠PCM是△BCP的外角， ∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°， 故答案为：30°． 【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）由题意，利用等腰三角形性质，得到∠B＝∠C，结合已知条件，得到两三角形全等； （2）由△ABD≌△DCE，得到CE＝BD＝3，从而知AC＝5，得到结果． 【解答】（1）证明：AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 又∵∠1＝∠2，AD＝DE， ∴△ABD≌△DCE（AAS）； （2）解：∵△ABD≌△DCE， ∴CE＝BD＝3，AB＝DC， ∵AE＝2， ∴AC＝CE+AE＝3+2＝5， ∵AB＝AC， ∴AB＝5， ∴CD＝5． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质的应用，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 11．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 【考点】角平分线的性质；全等三角形的判定与性质 【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可． 【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴∠ADB＝∠CDB， ∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD， ∴PM＝PN． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键． 12．安安同学遇到这样一个问题：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围． 宁宁同学提示她可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． （1）请说明△BED≌△CAD理由； （2）求BE的长，并根据AB、BE的长，求出AE的取值范围； （3）请根据AE与AD的数量关系，直接写出AD的取值范围； （4）过点D作直线FG，分别交边AC、BE于点F、G，画图并求证：DF＝DG． 【考点】全等三角形的判定与性质；三角形三边关系 【分析】（1）根据AD是中线得BD＝CD，进而可依据“SAS”判定△BED和△CAD全等， （2）根据全等三角形的性质得BE＝AC＝4，再根据三角形三边之间的关系得AB﹣BE＜AE＜AB+BE，由此可得出AE的取值范围； （3）根据DE＝AD得AE＝2AD，则2＜2AD＜10，由此可得出AD的取值范围； （4）依题意画出图形，根据全等三角形性质得∠C＝∠GBD，进而可依据“ASA”判定△DCF和△DBG全等，然后根据全等三角形的性质即可得出结论． 【解答】（1）证明：延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，如图1所示： ∵AD是中线， ∴BD＝CD， 在△BED和△CAD中， ， ∴△BED≌△CAD（SAS）； （2）解：∵△BED≌△CAD，AB＝6，AC＝4， ∴BE＝AC＝4， 在△ABE中，根据三角形三边之间的关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE， ∴2＜AE＜10； （3）解：∵DE＝AD， ∴AE＝2AD， 又∵2＜AE＜10， ∴2＜2AD＜10， ∴1＜AD＜5； （4）证明：如图2所示： ∵△BED≌△CAD， ∴∠EBD＝∠C， 即∠C＝∠GBD， 在△DCF和△DBG中， ， ∴△DCF≌△DBG（ASA）， ∴DF＝DG． 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形三边关系是解决问题的关键． 能力提升进阶练 1．下列说法错误的是（　　） A．同位角相等 B．三角形的三条角平分线交于一点 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【考点】三角形的角平分线、中线和高；余角和补角；垂线；同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据平行线的性质、三角形的性质及平面几何基本定理逐一分析选项． 【解答】解：A．同位角相等的前提是两直线平行，若未指明两直线平行，同位角不一定相等，故A错误，符合题意； B．三角形的三条角平分线必定交于一点（内心），故B正确，不符合题意； C．两个角互余和为90°，第三个角必为90°，故为直角三角形，故C正确，不符合题意； D．平面内过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，故D正确，不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握三角形的性质等知识是解题的关键． 2．课本第109页有一道习题：“先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“△DEF≌△ABC”的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定 【分析】由作图可知∠B＝∠E，BA＝ED，BC＝EF，根据SAS可以判定三角形全等． 【解答】解：由作图可知∠B＝∠E，BA＝ED，BC＝EF， ∴△ABC≌DEF（SAS）． 故选：B． 【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 3．如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC； ④AD＝DC．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的性质 【分析】由△ABC≌△ADE，推出AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE，再由等腰三角形的性质，可以求解． 【解答】解：AC和DE交于O， ∵△ABC≌△ADE， ∴AB＝AD，AC＝AE，∠ADE＝∠B，∠BAC＝∠DAE， ∴∠B＝∠ADB，∠BAD＝∠CAE，∠ACE＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠ADE，∠ACE＝∠ADB＝∠ADE， ∴AD平分∠BDE， ∵∠AOD＝∠EOC， ∴∠DAC＝∠DEC， ∵∠CDE+∠ADE＝∠B+∠BAD， ∴∠CDE＝∠BAD， 由条件不能推出AD＝DC， ∴①②③正确． 故选：C． 【点评】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的性质，关键是掌握并灵活应用全等三角形的对应边相等，对应角相等；等腰三角形的底角相等． 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（　　） A．80 B．40 C．20 D．10 【考点】角平分线的性质 【分析】作DE⊥AB于E，根据角平分线性质可得，DE＝CD，进而得出结果． 【解答】解：如图， 作DE⊥AB于E， ∵∠C＝90°， ∴DE＝CD＝5， ∴S△ABD40， 故选：B． 【点评】本题考查了角平分线的性质，解决问题的关键是熟练掌握角平分线的性质． 5．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】由SAS证明△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，①正确； 由全等三角形的性质得出∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，据此得出∠AMB＝∠AOB＝40°，②正确； 作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，则∠OGC＝∠OHD＝90°，由AAS证明△OCG≌△ODH（AAS），得出OG＝OH，由角平分线的判定方法得出MO平分∠BMC，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，则∠COM＝∠BOM，由MO平分∠BMC得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM，得OB＝OC，而OA＝OB，所以OA＝OC，而OA＞OC，故③错误；即可得出结论． 【解答】解：∵∠AOB＝∠COD， ∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC和△BOD中， ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD， 故①正确，符合题意； ∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD， ∴∠AMB＝∠AOB＝40°， 故②正确，符合题意； 如图所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H， 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG和△ODH中， ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴MO平分∠BMC， 故④正确，符合题意； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM时，OM才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM， ∵∠AOB＝∠COD＝40°， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM和△BOM中， ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB， ∴OA＝OC， 与题意不符， 故③错误，不符合题意； 综上，符合题意的有①②④； 故选：B． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键． 6．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理有 【分析】由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB），再由三角形的内角和定理可求解∠BOC＝90°∠A，即可判定①；由角平分线的定义可得∠DCF∠ACF，结合三角形外角的额性质可判定②；由三角形外角的性质可得∠MBC+∠BCN＝180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得∠E+∠DCF＝90°+∠DBC，结合∠ABD＝∠DBC可判定④． 【解答】解：∵∠ABC，∠ACB的平分线交于点O， ∴∠ABD＝∠OBC∠ABC，∠OCB＝∠ACO∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB＝180°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A，故①正确， ∵CD平分∠ACF， ∴∠DCF∠ACF， ∵∠ACF＝∠ABC+∠A，∠DCF＝∠OBC+∠D， ∴∠D∠A，故②正确； ∵∠MBC＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC＝180°， ∴∠MBC+∠BCN＝∠A+∠ACB+∠A+∠ABC＝180°+∠A， ∵BE平分∠MBC，CE平分∠BCN， ∴∠MBC＝2∠EBC，∠BCN＝2∠BCE， ∴∠EBC+∠BCE＝90°∠A， ∵∠E+∠EBC++BCE＝180°， ∴∠E＝180°﹣（∠EBC+∠BCE）＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，故③错误； ∵∠DCF＝∠DBC+∠D， ∴∠E+∠DCF＝90°∠A+∠DBC∠A＝90°+∠DBC， ∵∠ABD＝∠DBC， ∴∠E+∠DCF＝90°+∠ABD．故④正确， 综上正确的有：①②④． 【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 7．如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P，过点P作PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．有下列结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中，正确的是 　①③④　 （填序号）． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质 【分析】作PD⊥AC于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可以证明点P到AC、BC的垂线段相等，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上即可证明①正确；根据四边形的内角和等于360°可以证明②错误；根据①的结论先证明三角形全等，再根据全等三角形对应边相等即可证明③正确；利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用△ABC与△PBC写出关系式整理即可得到④正确． 【解答】解：①作PD⊥AC于D． ∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，PM⊥BE，PN⊥BF， ∴PM＝PN，PM＝PD， ∴PM＝PN＝PD， ∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）， ∴CP平分∠ACF，故①正确； ②∵PM⊥AB，PN⊥BC， ∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°， ∴∠ABC+∠MPN＝180°， 很明显∠MPN≠∠APC， ∴∠ABC+∠APC＝180°错误，故②错误； ③在Rt△APM与Rt△APD中， ， ∴Rt△APM≌Rt△APD（HL）， ∴AD＝AM， 同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN（HL）， ∴CD＝CN， ∴AM+CN＝AD+CD＝AC，故③正确； ④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF， ∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN∠ACF＝∠BPC∠ABC， ∴∠BAC＝2∠BPC，故④正确． 综上所述，①③④正确． 故答案为：①③④． 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质以及到角的两边距离相等的点在角的平分线上的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，有一定综合性，但难度不大，只要仔细分析便不难求解． 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝　6　 ． 【考点】三角形的外角性质；三角形内角和定理 【分析】连接BE，GE，FG，根据三角形内角与外角的性质可得，∠1＝∠A+∠D，∠1+∠G＝∠2，再根据四边形及三角形内角和定理解答即可． 【解答】解：连接BE，GE，FG， ∵∠1是△ADH的外角， ∴∠1＝∠A+∠D， ∵∠2是△JHG的外角， ∴∠1+∠G＝∠2， ∴在四边形BEFJ中，∠EBJ+∠BJF+∠EFJ+∠BEF＝360°…①， 在△BCE中，∠EBC+∠C+∠BEC＝180°…②， ①+②得，∠BEG+∠BGF+∠F+∠BEF+∠EBC+∠C+∠BEC＝360°+180°＝540°， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝540°， ∴n6． ∴n＝6． 故答案为：6． 【点评】此题比较复杂，解答此题的关键是作出辅助线，利用三角形内角与外角的关系把所求的角的度数归结到三角形或四边形中，利用三角形和四边形的内角和定理解答． 9．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为　2.5　 cm． 【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质 【分析】过C作CF⊥AB的延长线于点F，由条件可证△AFC≌△AEC，得到CF＝CE．再由条件∠ABC+∠D＝180°，由△FBC≌△EDC，由全等的性质可得BF＝ED，问题可得解． 【解答】证明：如图， 过C作CF⊥AB的延长线于点F， ∵AC平分∠BAD， ∴∠FAC＝∠EAC， ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠BFC＝∠CED＝90°， 在△AFC和△AEC中， ， ∴△AFC≌△AEC（AAS）， ∴AF＝AE，CF＝CE， ∵∠ABC+∠D＝180°， ∴∠FBC＝∠EDC， ∴△FBC≌△EDC， ∴BF＝ED， ∴AB+AD＝AE+ED+AF﹣BF＝2AE， ∵AD＝12cm，AB＝7cm， ∴19＝2AE， ∴AE＝9.5cm， ∴DE＝AD﹣AE＝12﹣9.5＝2.5cm． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握常用的判定方法为：SAS，SSS，AAS，ASA是解决问题的关键． 10．综合与实践：问题情境：如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，连接AE，DE，AB＝CE，BE＝CD． 问题探究： （1）求证：△DEA是等腰直角三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知△AED是等腰直角三角形，AE＝DE，∠AED＝90°，点B，E，C在同一直线上，AB⊥BC，DC⊥BC，试探究AB，CD与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线MN上，AE＝DE，∠ABE＝∠ECD＝∠AED，若AB＝7，CD＝5，求BC的长． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）先运用SAS证明△ABE≌△ECD可得AE＝DE，再说明∠AED＝90°即可证明结论； （2）证明△ABE≌△ECD可得AB＝EC，BE＝CD，然后根据线段的和差即可解答； （3）先根据三角形外角的性质、角的和差以及已知条件可得∠DEC＝∠A，再证明△ABE≌△ECD可得EC＝AB＝7，BE＝CD＝5，最后根据BC＝BE+EC即可解答． 【解答】解：（1）由条件可知∠B＝∠C＝90°， 在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（SAS）， ∴AE＝DE，∠AEB＝∠EDC， ∵DC⊥BC， ∴∠CED+∠EDC＝90°， ∴∠CED+∠AEB＝90°，即∠AED＝90°， ∴△ADE是等腰直角三角形． （2）BC＝CD+AB，理由如下： 由条件可知∠B＝∠C＝90°， ∵∠AED＝90°， ∴∠BAE+∠BEA＝∠BEA+∠CED＝90°， ∴∠BAE＝∠CED， 又∵AE＝DE， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴AB＝EC，BE＝CD， ∴BC＝BE+EC＝CD+AB． （3）由条件可知∠DEC＝∠A， 在△ABE和△ECD中， ， ∴△ABE≌△ECD（AAS）， ∴EC＝AB＝7，BE＝CD＝5， ∴BC＝BE+EC＝12． 【点评】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，掌握全等三角形的判定与性质成为解题的关键． 11．我们知道，如果一个三角形的两边长分别为a，b，其中a＞b，那么第三边长c的范围为a﹣b＜c＜a+b．小明提出问题：第三边上的中线长度与a，b有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长AD至E，使得DE＝AD，连接CE，可得△ADB≌△EDC． （1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝6，AC＝4，求AD的范围． （2）如图2，在△ABC中，AE是BC边上的中线，BD平分∠ABC，交AE于点D．若∠DBE+∠BAE＝∠CAE，说明BD＝AC； （3）如图2，在（2）的条件下，若AB＝2AE，∠ABC＝α，∠C＝β，直接用等式表示α，β之间满足的等量关系，不用说明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）延长AD至E，使得DE＝AD，连接CE，证明△ADB≌△EDC，可得AB＝CE，再结合三角形三边关系解答即可； （2）延长AE至F，使得EF＝AE，连接BE，证明△AEC≌△FEB，可得AC＝FB，∠CAE＝∠F，再由BD平分∠ABC，以及三角形外角的性质可得∠BDE＝∠ABD+∠BAE＝∠DBE+∠BAE，然后根据∠DBE+∠BAE＝∠CAE，可得∠BDE＝∠CAE，从而得到∠BDE＝∠F，继而得到DB＝FB，即可解答； （3）由（2）得：∠BDE＝∠CAE＝∠F，∠EBF＝∠C＝β，根据角平分线的定义可得，从而得到，进而得到，再由AB＝2AE，可得AB＝AF，从而得到∠F＝∠ABF，即可解答． 【解答】解：（1）如图1，延长AD至E，使得DE＝AD，连接CE， ∴AE＝2AD． 由条件可知BD＝CD． 在△ABD和△ECD中， ∵， ∴△ADB≌△EDC（SAS）． ∴AB＝CE． 在△ACE中，∵AC＝4，CE＝AB＝6， ∴CE﹣AC＜AE＜CE+AC． ∴6﹣4＜2AD＜6+4． ∴1＜AD＜5． （2）延长AE至F，使得EF＝AE，连接BE． ∴AF＝2AE． 由条件可知BE＝CE． 在△AEC和△FEB中， ∵， ∴△AEC≌△FEB（SAS）， ∴AC＝FB，∠CAE＝∠F． ∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠DBE． ∴∠BDE＝∠ABD+∠BAE＝∠DBE+∠BAE． ∵∠DBE+∠BAE＝∠CAE， ∴∠BDE＝∠CAE． ∴∠BDE＝∠F． ∴DB＝FB． ∴DB＝AC． （3）如（2）图，由（2）得：∠BDE＝∠CAE＝∠F，∠EBF＝∠C＝β， 由条件可得， ∴， ∴， ∵AB＝2AE，AF＝2AE， ∴AB＝AF， ∴∠ABF＝∠F，即∠ABC+∠EBF＝∠F， ∴， 整理得：． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，理解倍长中线法证明三角形全等是解题的关键． 12．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，则AE＝BD，AD＝CE，即可得出结论； （2）由∠BDA＝∠BAC＝α，则∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA即可得出答案； （3）由∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，∴∠CAE＝∠ABD，得出∠CAE＝∠ABD，由AAS证得△ADB≌△CEA，得出S△ABD＝S△CEA，再由不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，得出S△ACF即可得出结果． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m， ∴∠BDA＝∠CEA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠BAD+∠CAE＝90°， ∵∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （2）解：结论DE＝BD+CE成立；理由如下： ∵∠BDA＝∠BAC＝α， ∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ADB和△CEA中，， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE＝BD，AD＝CE， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）解：∵∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC， ∴∠CAE＝∠ABD， 在△ABD和△CEA中，， ∴△ABD≌△CEA（AAS）， ∴S△ABD＝S△CEA， 设△ABC的底边BC上的高为h，则△ACF的底边CF上的高为h， ∴S△ABCBC•h＝12，S△ACFCF•h， ∵BC＝2CF， ∴S△ACF＝6， ∵S△ACF＝S△CEF+S△CEA＝S△CEF+S△ABD＝6， ∴△ABD与△CEF的面积之和为6． 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及不同底等高的两个三角形的面积之比等于底的比，结合题目所给条件，得出∠CAE＝∠ABD是解决问题的关键． 13．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）由CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，利用SAS，即可判定：△ACD≌△BCE； （2）首先作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N，由△ACD≌△BCE，可证∠CAD＝∠CBE，再证△ACM≌△BCN，（或证△ECN≌△DCM），可得CM＝CN，即可证得HC平分∠AHE； （3）由△ACD≌△BCE，可得∠CAD＝∠CBE，继而求得∠AHB＝∠ACB＝α，则可求得∠CHE的度数． 【解答】（1）证明：∵∠ACB＝∠DCE＝α， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）； （2）证明：过点C作CM⊥AD于M，CN⊥BE于N， ∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAM＝∠CBN， 在△ACM和△BCN中， ， ∴△ACM≌△BCN（AAS）， ∴CM＝CN， ∴HC平分∠AHE； （3）∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE， ∴∠AHB＝∠ACB＝α， ∴∠AHE＝180°﹣α， ∴∠CHE∠AHE＝90°α． 【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD． （1）求证：CD⊥AB； （2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． ①求证：DE平分∠BDC； ②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明； ③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质即可证明； （2）①易证BD＝AD，可得△ADC≌△BDC，即可求得∠ACD＝∠BCD＝45°即可解题； ②连接MC，易证△MCD为等边三角形，即可证明△BDC≌△EMC即可解题； ③分三种情形讨论即可； 【解答】（1）证明：∵CB＝CA，DB＝DA， ∴CD垂直平分线段AB， ∴CD⊥AB． （2）①证明：∵AC＝BC， ∴∠CBA＝∠CAB， 又∵∠ACB＝90°， ∴∠CBA＝∠CAB＝45°， 又∵∠CAD＝∠CBD＝15°， ∴∠DBA＝∠DAB＝30°， ∴∠BDE＝30°+30°＝60°， ∵AC＝BC，∠CAD＝∠CBD＝15°，BD＝AD， 在△ADC和△BDC中， ， ∴△ADC≌△BDC（SAS）， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°， ∴∠CDE＝60°， ∵∠CDE＝∠BDE＝60°， ∴DE平分∠BDC； ②解：结论：ME＝BD， 理由：连接MC， ∵DC＝DM，∠CDE＝60°， ∴△MCD为等边三角形， ∴CM＝CD， ∵EC＝CA，∠EMC＝120°， ∴∠ECM＝∠BCD＝45° 在△BDC和△EMC中， ， ∴△BDC≌△EMC（SAS）， ∴ME＝BD． ③当EN＝EC时，∠ENC＝7.5°或82.5°；当EN＝CN时，∠ENC＝150°；当CE＝CN时，∠CNE＝15°， 所以∠CNE的度数为7.5°、15°、82.5°、150°． 【点评】本题考查了全等三角形的判定、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 15．如图，已知等腰△ABC，∠ACB＝120°，P是线段CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得∠PAC＝∠QAC，过点Q作射线QH交线段AP于H，交AB于点M，使得∠AHQ＝60°． （1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明． 【考点】全等三角形的判定与性质 【分析】（1）根据∠ACB＝120°，AC＝BC，易得∠B＝∠CAB＝30°，∠ACQ＝60°，进而得∠AMQ＝∠B+∠MQB＝30°+α； （2）过点M作ME∥AC，交BQ于点E，证明△QAC≌△MQE，进而利用30度特殊角可得BMCQ． 【解答】解：（1）∠ACB＝120°，AC＝BC， ∴∠B＝∠CAB＝30°，∠ACQ＝60°， ∵∠AHQ＝60°． ∵∠AGH＝∠QGC ∴∠MQB＝∠PAC＝α ∠AMQ＝∠B+∠MQB＝30°+α； （2）如图， ∵∠PAC＝∠QAC＝α， ∴∠QAM＝∠QMA＝30°+α ∴QA＝QM 过点M作ME∥AC，交BQ于点E， ∴∠ACQ＝∠MEQ＝60°， ∠QAC＝∠MQE ∴△QAC≌△MQE（AAS） ∴CQ＝EM ∵∠B＝30° ∴∠EMB＝30° ∴EM＝EB， 作EN⊥BM于点N， 设EN＝x，则BE＝EM＝2x，BNx， ∴BM＝2x， CQ＝EM＝2x， ∴BMCQ． 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是作适当的辅助线构造全等三角形． 1 / 80 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 三角形初步认识（复习讲义） 课标要求：从生活实物抽象三角形模型，通过推理掌握基本性质； 中考命题：基础题占比高，压轴题聚焦动态全等与实际建模； 备考关键： ✅ 概念零混淆（三边关系/全等判定/高线位置）； ✅ 证明严步骤（条件标注+定理引用）； ✅ 作图保规范（尺规作图半径一致、延长线用虚线） ✅ 掌握高、中线、角平分线的定义及画法，理解其交点特性（如三条高交于一点） 层级 训练重点 典型例题 基础层 三边关系判断、内角和直接计算 已知△ABC中∠A=60°, ∠B=40°，则∠C=80° 进阶层 全等证明（SSS/SAS）、尺规作图规范 用SAS证明△ABC≌△DEF6 拓展层 动态全等问题、外角性质综合应用 求五角星五个尖角度数和（180°） 知识点 重点归纳 常见易错点 三角形的定义 三条不在同一直线的线段首尾顺次相接组成的封闭图形 忽略"三边不共线"条件（如认为三点共线可组成三角形） 三角形的分类 按边：等边、等腰、不等边； 按角：锐角（0°<∠<90°）、直角（∠=90°）、钝角（90°<∠<180°） 误判等腰三角形类型（如默认顶角是锐角） 三边关系定理 任意两边之和 > 第三边 （设a≤b≤c，则需满足 a+b>c） 仅验证一组两边和（如a=3,b=4,c=8时只验3+4>8❌，忽略3+8>4且4+8>3） 高/中线/角平分线 高：顶点到对边的垂线段（钝角△高在形外）； 中线：顶点到对边中点的线段； 角平分线：平分内角的射线 钝角三角形画高时未延长边（如∠A>90°时高AD在△ABC外） 内角和定理 内角和恒为180° → 证明：作平行线转化角（如图） 多边形公式误用（如套用(n-2)×180°算得360°❌） 全等判定定理 SSS（三边）、SAS（两边夹角）、 ASA（两角夹边）、AAS（两角一对边）、 HL（直角△专用） SSA不能判定全等（如两边及其中一边对角相等时，可能有两种情况） 尺规作图 作角等于已知角：截取等弧法； 作角平分线：同半径画弧→交点连线法 作角平分线时两次画弧半径不同（导致交点不对称） 题型一 三角形边之间关系 【例1】下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（　　） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 【变式1-1】若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 【变式1-2】已知三角形的两边长分别是2cm和5cm，选一个你喜欢的奇数作第三边，则该三角形的周长是 　　 ． 【变式1-3】已知O是△ABC中任意一点（如图）．求证：． 题型二 三角形内角和 【例2】如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于点E，∠BAC＝55°，∠ABE＝25°，则∠CAD的度数是（　　） A．15° B．20° C．25° D．30° 【变式2-1】如图，AD与BC交于点O，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠M的度数为 　　 ． 【变式2-2】如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于　　 ． 【变式2-3】在△ABC中，∠A＝2∠B＝2∠C，请通过计算判断△ABC的形状． 题型三 三角形外角性质 【例3】将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（　　） A．60° B．75° C．85° D．105° 【变式3-1】如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝35°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是　　 度． 【变式3-2】如图，在△ABC中，点D在边BC上． （1）若∠1＝∠2＝35°，∠3＝∠4，求∠DAC的度数； （2）若AD为△ABC的中线，△ABD的周长比△ACD的周长大3，AB＝9，求AC的长． 【变式3-3】如图，CE平分△ABC的外角∠ACD，且CE交BA的延长线于点E． （1）若∠B＝32°，∠E＝36°，求∠BAC的度数； （2）试猜想∠BAC、∠B、∠E三个角之间存在的等量关系，并证明你的猜想． 题型四 三角形中线、高线、角平分线 【例4】如图，BP是∠ABC的平分线，CP是△ABC的外角∠ACM的平分线，∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝（　　） A．30° B．35° C．25° D．40° 【变式4-1】下列说法正确的是（　　） A．直线外一点到已知直线的垂线段叫做这点到直线的距离 B．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．三角形的三条高线交于一点 D．平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直 【变式4-2】如图，已知点D是BC的中点，AE，AF分别是△ABC的角平分线、高线，则下列结论错误的是（　　） A．S△ABC＝2S△ABE B．BD＝CD C．∠AFC＝90° D．∠BAE＝∠CAE 【变式4-3】已知：如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4cm2，则阴影部分的面积为 　　 cm2． 【变式4-4】如图，AD是△ABC的高，DE是△ADB的中线，BF是△EBD的角平分线，若∠BAD＝45°，则∠BFD＝　　 ． 【变式4-5】如图，在△ABC中，BE是角平分线，点D在边AB上（不与点A，B重合），连接CD交BE于点O． （1）若CD是中线，BC＝3，AC＝2，求△BCD与△ACD的周长差； （2）若CD是高，∠ABC＝64°，求∠BOC的度数． 题型五 命题与定理 【例5】下列命题中是真命题的是（　　） A．互为相反数的两个数的绝对值相等 B．如果a∥b，b∥c，那么a⊥c C．同旁内角相等，两直线平行 D．若a，b是两个无理数，则a+b一定也是无理数 【变式5-1】举反例说明下面的命题是假命题：“若a，b都是正数，且c＝ab，则c≥a．”你举的反例是：　 　 ． 【变式5-2】将命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”改写成“如果……，那么……”的形式　 　 ． 【变式5-3】下列命题是真命题的是（　　） A．两个角的和等于平角时，这两个角互为补角 B．同旁内角相等，两直线平行 C．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D．相等的角是对顶角 题型六 证明 【例6】甲、乙、丙三个同学中有一个在同学们都不在时把教室扫净，事后教师问他们是谁做的好事，甲说：“是乙做的”；乙说：“不是我做的”；丙说：“不是我做的”．如果他们中有两人说了假话，一人说的是真话，你能判断是谁做的吗．（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断 【变式6-1】布袋里有100个球，其中有红球28个，绿球20个，黄球12个，蓝球20个，白球10个，黑球10个，从袋中任意摸出球来，若要一次摸出至少15个同色的球，则需要从袋中摸出球至少（　　） A．85 个 B．75个 C．15 个 D．16 个 【变式6-2】某教室的储物柜密码由三个不同的数字组成，婷婷、乐乐、香香三人都开过，但都记不清了． 婷婷记得：有个数字是2，但不是最后一个数字； 乐乐记得：有两个数是5和8，并且它们的位置相邻； 香香记得：中间的数字不是8． 根据以上信息，可以确定密码是 　　 ． 【变式6-3】某气象台发现：在某段时间里，如果白天下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么白天是晴天．已知这段时间有9天下了雨，并且有6天晚上是晴天，7天白天是晴天，则这一段时间有　11　 天． 题型七 全等三角形性质 【例7】如图，已知△ABC≌△DEB，点A、B、C的对应点分别是点D、E、B，点E在AB边上，DE与AC交于点F．如果AE＝8，BC＝12，则线段DE的长是 　　 ． 【变式7-1】如图，△ABC≌△ADE，若AE＝5，则AC＝ 　　 ． 【变式7-2】如图，已知△ABC≌△DEF，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若EF＝8，EC＝5，则BE的长是　　 ． 【变式7-3】如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　） A．66° B．60° C．56° D．54° 【变式7-4】如图，△ABC≌△ADE，点E在边BC上（不与点B，C重合），DE与AB交于点F． （1）若∠CAD＝110°，∠BAE＝30°，求∠BAD的度数； （2）若AD＝10，BE＝CE＝4.5，求△ADF与△BEF的周长和． 【变式7-5】如图，已知△ABC≌△DAE，点A、C、D在同一条直线上． （1）请判断AB与DE的位置关系，并说明理由； （2）若ED＝3，CD＝4，求线段AB的长． 题型八 角平分线定理 【例8】如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（　　） A．20 B．30 C．50 D．100 【变式8-1】如图，△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，且DE＝DF，则下列结论中正确的有 　　 ． ①AD平分∠BAC； ②AD⊥BC； ③BD＝CD； ④∠EDA＝∠BDE． 【变式8-2】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，若AD＝2，BC＝6，则△BCD的面积为　　 ． 【变式8-3】如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD，BC于点E、F，FG⊥AB，垂足为点G． （1）求证：CE＝FG． （2）若AC＝12，AB＝15，CE＝4，求△ABC的面积． 题型九 垂直平分线定理 【例9】如图，AD⊥BC，BD＝CD，点C在AE的垂直平分线上．若AB＝5，BD＝3，则DE的长为（　　） A．5 B．8 C．11 D．13 【变式9-1】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝10cm，且△ABD的周长为45cm，则△ABC的周长为（　　） A．55cm B．60cm C．65cm D．70cm 【变式9-2】如图，△ABC中，AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE，连接AE． （1）求证：AB＝EC； （2）若△ABC的周长为20cm，AC＝9cm，求DC长． 【变式9-3】如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M，N两点，DM与EN相交于点F． （1）若∠ACB＝110°，则∠MCN的度数为 　　 ； （2）若∠MCN＝α，则∠MFN的度数为 　　 ；（用含α的代数式表示） （3）连接FA、FB、FC，△CMN的周长为6cm，△FAB的周长为16cm，求FC的长． 题型十 三角形全等判定一（SSS） 【例10】如图，AB＝AD，AC＝AE，请添加一个条件 　　 ，使得△ABC≌△ADE． 【变式10-1】如图，AB＝14，AC＝6，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B．点P从点A出发，以每秒2个单位的速度沿AB向点B运动；点Q从点B出发，以每秒a个单位的速度沿射线BD方向运动．点P、点Q同时出发，当以P、B、Q为顶点的三角形与△CAP全等时，a的值为 　　 ． 【变式10-2】已知：如图，AB＝CD，DE＝BF，AE＝CF，求证：AB∥DC． 【变式10-3】下列条件中能确定△ABC的形状与大小的有 　　 ． ①AB＝3，BC＝7，CA＝11， ②∠A＝30°，∠B＝70°，AC＝3； ③∠A＝30°，AB＝7，BC＝11； ④∠A＝30°，AB＝14，BC＝9． 题型十一 三角形全等判定（SAS） 【例11】如图，在四边形ABCD中，CD∥AB，AB＝AC，点E在AC上，且AE＝CD，连结BE． （1）求证：△ABE≌△CAD． （2）若∠D＝125°，∠ABE＝25°，求∠ACB的度数． 【变式11-1】如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连结BD，CE． （1）求证：△ABD≌△ACE． （2）若∠BCE﹣∠ABC＝15°，求∠ABD的度数． 【变式11-2】如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上． （1）找出图中的全等三角形，并说明理由； （2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 　　 cm． （3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由． 【变式11-3】如图，已知AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，且B、D、E三点共线， （1）证明：△ABD≌△ACE； （2）证明：∠3＝∠1+∠2． 题型十二 三角形全等判定（ASA） 【例12】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，E为AC边上一点，连接BE与AD交于点F，G为△ABC外一点，满足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，连接EG． （1）求证：△ABF≌△ACG； （2）求证：BE＝CG+EG． 【变式12-1】在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，CD平分∠ACB交AB于D，E，F在AC，BC上，且∠EDF＝108°． （1）求∠ADC的度数； （2）求证：AE+BF＝BC． 【变式12-2】如图，点B，C分别在射线AM，AN上，点E，F都在∠MAN内部的射线AD上，已知AB＝AC，且∠BED＝∠CFD＝∠BAC． （1）求证：△ABE≌△CAF； （2）试判断EF，BE，CF之间的数量关系，并说明理由． 【变式12-3】如图，在△ABC中，DB＝DC，CD⊥AB，BE⊥AC，CD与BE相交于点F． （1）求证：△ACD≌△FBD； （2）若DF＝2，BD＝5，求△ABC的面积． 题型十三 三角形全等判定（AAS） 【例13】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D． （1）求证：△ADC≌△CEB． （2）AD＝5cm，DE＝3cm，求BE的长度． 【变式13-1】如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，求证：AB＝DC． 【变式13-2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E． （1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时， 求证：①△ADC≌△CEB； ②DE＝AD+BE； （2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE； （3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系． 【变式13-3】已知，CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB，E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝α． （1）如图1，若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE　　 CF；EF　　 |BE﹣AF|（填“＞”、“＜”或“＝”） （2）如图2，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件，使（1）中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立； （3）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，若∠BCA＝∠α，则EF、BE、AF三条线段有何数量关系，并予以证明． 题型十四 三角形全等判定综合 【例14】情景观察：如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． ①写出图1中所有的全等三角形　 　 ； ②线段AF与线段CE的数量关系是　 　 ，并写出证明过程． 问题探究： 如图2，△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E． 求证：AE＝2CD． 【变式14-1】已知：如图，在△ABC中，E是BC中点，D是AB上一点，F是AC上一点，若∠DEF＝90°，且∠BAC＝90°，求证：BD2+FC2＝FD2． 【变式14-2】将等边三角形ABC与等边三角形BDE按如图所示的位置放置，连接AD，CE，交点为O，M，N分别是线段AD，CE的中点，连接BM，MN，BN． （1）求证：△ABD≌△CBE． （2）判断△BMN的形状，并说明理由． 【变式14-3】在四边形ABCD中，AB＝AD，∠ABC+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点．若．求证：BE+DF＝EF． 基础巩固通关测 1．下列说法中，正确的有（　　） ①过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等； ③三角形的三条高交于一点，且这点在三角形内； ④过一点有且只有一条直线和已知直线垂直． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列长度的三条线段首尾顺次连接能组成三角形的是（　　） A．2，2，3 B．2，3，5 C．3，4，7 D．4，5，11 3．若a、b、c是三角形的三边长，则化简|a﹣b﹣c|+|b﹣a﹣c|+|c﹣b﹣a|的结果为（　　） A．a+b+c B．﹣3a+b+c C．﹣a﹣b﹣c D．2a﹣b﹣c 4．如图，若△ABC≌△DEF，则根据图中提供的信息，可得出x的值为（　　） A．10cm B．8cm C．7cm D．5cm 5．如图，已知在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝12，则S阴影＝ 　　 ． 6．如图，∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BE，AD⊥BE于点D，若BD＝3，则CE＝ 　　 ． 7．如图所示，若AD＝BC，∠A＝∠B，请你添加一个条件后，就能证得∠ADF≌∠BCE，你添加的条件是 　　 ． 8．将一副三角板按照如图方式摆放，则∠FBA的度数为 　　 ． 9．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝　　 °． 10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连接AD，DE，AD＝DE，∠1＝∠2． （1）求证：△ABD≌△DCE； （2）若AE＝2，BD＝3，求CD的长． 11．如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN． 12．安安同学遇到这样一个问题：如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中线，求AD的取值范围． 宁宁同学提示她可以延长AD到E，使DE＝AD，连接BE，证明△BED≌△CAD，经过推理和计算使问题得到解决． （1）请说明△BED≌△CAD理由； （2）求BE的长，并根据AB、BE的长，求出AE的取值范围； （3）请根据AE与AD的数量关系，直接写出AD的取值范围； （4）过点D作直线FG，分别交边AC、BE于点F、G，画图并求证：DF＝DG． 能力提升进阶练 1．下列说法错误的是（　　） A．同位角相等 B．三角形的三条角平分线交于一点 C．有两个角互余的三角形是直角三角形 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．课本第109页有一道习题：“先画一个△ABC，然后选择△ABC中适当的边和角，用尺规作出与△ABC全等的三角形”，晋晋的作法如图．这一作法中，“△DEF≌△ABC”的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 3．如图，△ABC≌△ADE，D在BC上，连接CE，则以下结论：①AD平分∠BDE；②∠CDE＝∠BAD；③∠DAC＝∠DEC； ④AD＝DC．其中正确的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D．已知AB＝16，CD＝5，则△ABD的面积为（　　） A．80 B．40 C．20 D．10 5．如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，连接AC，BD交于点M，连接OM．下列结论：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正确的个数为（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 6．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线相交于点D，与∠ABC的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是 　　 ．（填写所有正确结论的序号） ①；②；③∠E＝∠A；④∠E+∠DCF＝90°+∠ABD． 7．如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P，过点P作PM⊥BE，PN⊥BF，垂足分别为M、N．有下列结论：①CP平分∠ACF；②∠ABC+∠APC＝180°；③AM+CN＝AC；④∠BAC＝2∠BPC．其中，正确的是 　　 （填序号）． 8．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝n•90°，则n＝　　 ． 9．如图，AC平分∠BAD，∠B+∠D＝180°，CE⊥AD于点E，AD＝12cm，AB＝7cm，那么DE的长度为　　cm． 10．综合与实践：问题情境：如图1，在四边形ABCD中，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，连接AE，DE，AB＝CE，BE＝CD． 问题探究： （1）求证：△DEA是等腰直角三角形； （2）“智慧小组”的同学把题目进行改编：如图1，已知△AED是等腰直角三角形，AE＝DE，∠AED＝90°，点B，E，C在同一直线上，AB⊥BC，DC⊥BC，试探究AB，CD与BC之间的数量关系，并说明理由； （3）“创新小组”在图1的基础上变为图2，已知点B，E，C在直线MN上，AE＝DE，∠ABE＝∠ECD＝∠AED，若AB＝7，CD＝5，求BC的长． 11．我们知道，如果一个三角形的两边长分别为a，b，其中a＞b，那么第三边长c的范围为a﹣b＜c＜a+b．小明提出问题：第三边上的中线长度与a，b有关系吗？经过思考、交流，找到解决思路：延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和需求的结果转化到同一个三角形中．如图1，延长AD至E，使得DE＝AD，连接CE，可得△ADB≌△EDC． （1）如图1，在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB＝6，AC＝4，求AD的范围． （2）如图2，在△ABC中，AE是BC边上的中线，BD平分∠ABC，交AE于点D．若∠DBE+∠BAE＝∠CAE，说明BD＝AC； （3）如图2，在（2）的条件下，若AB＝2AE，∠ABC＝α，∠C＝β，直接用等式表示α，β之间满足的等量关系，不用说明理由． 12．（1）如图①，已知：△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥m于D，CE⊥m于E，求证：DE＝BD+CE； （2）拓展：如图②，将（1）中的条件改为：△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，α为任意锐角或钝角，请问结论DE＝BD+CE是否成立？如成立，请证明；若不成立，请说明理由； （3）应用：如图③，在△ABC中，∠BAC是钝角，AB＝AC，∠BAD＞∠CAE，∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，直线m与BC的延长线交于点F，若BC＝2CF，△ABC的面积是12，求△ABD与△CEF的面积之和． 13．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝α，AD、BE交于点H，连CH． （1）求证：△ACD≌△BCE； （2）求证：HC平分∠AHE； （3）求∠CHE的度数．（用含α的式子表示） 14．如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点D为△ABC内一点，且BD＝AD． （1）求证：CD⊥AB； （2）∠CAD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA． ①求证：DE平分∠BDC； ②若点M在DE上，且DC＝DM，请判断ME、BD的数量关系，并给出证明； ③若N为直线AE上一点，且△CEN为等腰三角形，直接写出∠CNE的度数． 15．如图，已知等腰△ABC，∠ACB＝120°，P是线段CB上一动点（与点C，B不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得∠PAC＝∠QAC，过点Q作射线QH交线段AP于H，交AB于点M，使得∠AHQ＝60°． （1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）； （2）用等式表示线段QC和BM之间的数量关系，并证明． 2 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $$