2.6.2 双曲线的几何性质（题型专练）数学人教B版选择性必修第一册

2.6.2 双曲线的几何性质 题型一 求双曲线的焦点坐标 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将双曲线方程化为标准式，即可得到结果. 【详解】由题意可知双曲线标准方程为，则， 则双曲线的焦点坐标为. 故选：C 2．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据双曲线与椭圆的的公式求解即可. 【详解】双曲线中，焦点在轴， 故椭圆中有，解得， 故选：C. 3．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再逐项判断得解. 【详解】椭圆：的焦点在轴上，其坐标为， 选项AC的双曲线焦点在轴上，AC不是； 对于B，焦点在轴上，半焦距，即该双曲线焦点与椭圆C焦点不同，B不是； 对于D，焦点在轴上，半焦距，其焦点与椭圆C焦点相同，D是. 故选：D 题型二 求双曲线的焦距 1．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，结合离心率的意义列式求解. 【详解】设的半焦距为，依题意，则，， 所以的焦距为. 故选：D 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】根据双曲线渐近线倾斜角的关系求出渐近线的斜率，进而得到的关系，再结合点到直线的距离公式求出的值，最后根据的关系求出焦距. 【详解】双曲线（，）的渐近线方程为，即． ，分别为C的两条渐近线的倾斜角， ． 又，， ，． 又双曲线的右焦点到其中一条渐近线（不妨取这条）的距离为，，，， 双曲线C的焦距为． 故选：C 题型三 判断两个双曲线共焦点 1．（多选）（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 【答案】BD 【分析】根据双曲线的方程一一求出它们的实轴长、焦点位置、离心率和渐近线方程即可判断各选项． 【详解】对于A，由题意可知双曲线的长轴长均为，所以它们的实轴长相等，故A正确； 对于B，双曲线的焦点分别在轴和y轴上，所以它们的焦点不相同，故B错误； 对于C，双曲线的焦距均为，所以它们的离心率均为，即它们的离心率相等，故C正确； 对于D，双曲线的渐近线分别为和， 因为，所以它们的渐近线不相同，故D错误. 故选：BD 题型四 求共焦点的双曲线方程 1．（22-23高二上·江苏常州·期中）试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据双曲线的焦点写出双曲线的方程即可. 【详解】解：双曲线为， ， 则焦点坐标为， 故以为焦点的双曲线的标准方程可以为. 故答案为：. 2．（21-22高二·全国·课后作业）求实半轴长为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的标准方程． 【答案】 【分析】设所求双曲线方程为，依题意可得，代入即可得解； 【详解】解：依题意设所求双曲线方程为，又实半轴长为，所以，所以双曲线方程为. 题型五 双曲线x、y的范围及应用 1．（24-25高二下·云南·期中）椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知求得双曲线渐近线方程为，求出渐近线与椭圆交点横坐标，结合渐近线与双曲线位置关系有，即可得. 【详解】椭圆离心率，所以双曲线离心率，则渐近线方程为， 联立椭圆方程，得， 由渐近线与双曲线位置关系，它们与椭圆在第一象限交点横坐标有， 所以，只有满足. 故选：D 2．（21-22高三下·湖南·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，得，要由，解得，故当时，即可得到答案. 【详解】设的焦距为，离心率为．当时，由平面几何知识得 ，解得．∵，∴．根据双曲线上点的横坐标的取值范围以及平面向量内积的几何意义可知，当时，实数的取值范围是． 故选：D. 3．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】化简双曲线方程，求出值，即可得到答案. 【详解】由双曲线，可得：，所以，则，故的取值范围是， 故答案为： 题型六 点与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6，，则 (1)求双曲线标准方程； (2)判断点在不在双曲线上，并说明理由. 【答案】(1) (2)点在双曲线上 【分析】（1）求得，由此求得双曲线的标准方程. （2）根据点的坐标满足方程，由此得点在双曲线上. 【详解】（1）因为双曲线的焦距为6，所以，又，所以， 又双曲线的焦点在轴上，所以双曲线的标准方程为； （2）因为，所以点的坐标满足双曲线的方程， 所以点在双曲线上. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．    (1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ (2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． (3)有多少株树苗沿PB运输较近？ 【答案】(1)应通过入口运输路程较短. (2)能，界线的方程为：. (3)一共有30株树苗沿PB运输较近. 【分析】（1）通过与的比较，可以确定树苗应从哪个入口运输路程最短. （2）在以，，，为顶点的矩形内的点，可以分为三类，第一类沿PA运输较近，第二类沿PB运输较近，第三类沿PA、PB运输一样近,由题可知，界线应该是第三类点的轨迹.设界线上的点为，则满足关系式，带入坐标即可求出对应边界线. （3）通过点带入，判断其位于边界线上的位置，确定沿PB运输较近的点. 【详解】（1）由题可知，因为，，， 所以，，. 则与. 所以从应通过入口运输路程较短. （2）存在这样一条界线，使得从两边运输的距离一样. 设点在界线上，有，整理，    根据双曲线的定义可知，这条界线是以为、为焦点的双曲线的右支. 则，即，又因为， 所以界线的方程为：. （3）判断在双曲线中的位置，，在双曲线的右侧，所以一共有30株树苗沿PB运输较近. 题型七 双曲线的对称性及其应用 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知反比例函数的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 . 【答案】 【分析】求出对称轴与双曲线交点得到顶点坐标从而得到实轴长. 【详解】函数图象的对称轴是直线，对称轴与双曲线的交点坐标满足条件，可解得， 因此两交点坐标分别为，这就是双曲线的两个顶点的坐标. 两顶点的距离， 因此实轴长. 故答案为： 2．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 . 【答案】/ 【分析】根据给定条件，结合双曲线的对称性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出点坐标，代入双曲线方程求出离心率. 【详解】轴，令垂足为，由双曲线的对称性知，则是正三角形， 又，，则是的中心，， 而，则，点在双曲线， 因此，即，整理得，即， 解得，所以的离心率 故答案为： 3．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 【答案】/ 【分析】利用双曲线的对称性和题设条件，推出正三角形，求得点的坐标，代入双曲线方程，化成关于的齐次方程，解方程即得. 【详解】    如图，因直线与双曲线的图象均关于原点对称，故， 且直线的斜率为，故倾斜角为，即，则是正三角形， 则可得点的坐标为，代入，整理得： ， 因，代入整理得：， 即，解得，因，故. 故答案为：. 题型八 求双曲线的顶点坐标 1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据双曲线的几何性质即可求解. 【详解】由双曲线方程可知双曲线焦点在轴上，，所以双曲线的顶点坐标为，. 故选：B. 2．（22-23高二下·江苏盐城·期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 【答案】ACD 【分析】由双曲线方程确定、、的值，利用双曲线的几何性质可判断各项的正误. 【详解】对于双曲线，，，则， 对于A，双曲线的顶点坐标为，A对； 对于B，双曲线的焦点坐标为，B错； 对于C，双曲线的实轴长为，C对； 对于D，双曲线的渐近线方程为，即，D对. 故选：ACD. 题型九 求双曲线的实轴长、虚轴长 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线中的关系式，结合，即可求解. 【详解】由题意得：，，， 联立可解得：，即实轴长为 故选：C. 题型十 根据顶点、实虚轴求双曲线标准方程 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 2．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，结合焦点在上的双曲线方程特征写出结论. 【详解】依题设，设双曲线方程为，且，即， 所以双曲线方程为. 故答案为： 3.（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，结合双曲线渐近线方程求出即可. 【详解】由双曲线C：的实轴长为4，得， 双曲线C：的渐近线方程为，而双曲线C的一条渐近线方程为， 则，解得，所以C的方程为. 故答案为： 题型十一 根据实虚轴长求参数 1．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，则实数的值为（    ）. A．4 B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线方程确定虚轴在轴，从而确定参数值． 【详解】由题意虚轴在轴，，． 故选：A． 2．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 【答案】C 【分析】将双曲线方程转化为标准方程，根据实轴长与虚轴长相等列方程来求得的值. 【详解】依题意，双曲线的标准方程为，即， 由于虚轴长与实轴长相等，所以，即，即，解得. 故选：C 3．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据“虚轴长是实轴长的3倍”列方程，化简求得的自豪. 【详解】由题意有，解得． 故选：A 题型十二 等轴双曲线问题 1．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等轴双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出的值，即可得出该双曲线的方程. 【详解】设等轴双曲线的方程为， 将点的坐标代入等轴双曲线的方程可得， 因此，该双曲线的方程为. 故选：C. 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】D 【分析】根据等轴双曲线定义可设方程为，根据焦点坐标算出，解得双曲线方程，从而得出长轴. 【详解】由题意，设等轴双曲线方程为：， 注意到双曲线的焦点在轴上，则， 双曲线方程可化为， 由焦点可知，，则， 于是实半轴为，于是实轴长是. 故选：D 题型十三 求渐近线方程 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由双曲线的焦距与实轴长，可得的值，从而计算的值，利用渐近线方程，可得答案. 【详解】由题意可得，则， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 2．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是 . 【答案】 【分析】由双曲线的标准方程直接求解渐近线. 【详解】因为双曲线所以渐近线方程为， 故答案为：. 题型十四 根据渐近线求双曲线标准方程 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据双曲线的焦点位置设出方程，由渐近线方程及实轴长列出的方程，求解即可． 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 当双曲线的焦点在轴上时，方程为， ∵渐近线方程为，实轴长为4， ∴且，解得， ∴的方程为． 综上，的方程为或． 故选：C． 2．（22-23高二上·山西运城·期中）若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】讨论焦点的位置，设出方程，由渐近线、虚轴的性质求出方程. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 当双曲线的焦点在轴上时，双曲线的方程可设为 由，解得，此时双曲线的方程为 故选：C 题型十五 共渐近线的双曲线标准方程 1．（24-25高二上·北京·期末）如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过斜杆与圆盘所成角以及斜杆与特定边的距离，求出渐近线与某一坐标轴的夹角，从而得到渐近线斜率，再根据双曲线标准方程中渐近线斜率与参数的关系，确定合适的双曲线方程. 【详解】已知斜杆与圆盘所成角为，那么斜杆与竖屏（即与竖屏所在平面）所成角为. 则渐近线与轴正方向夹角为，所以渐近线斜率， 双曲线的标准方程为：，可知，所以. 所以双曲线的方程为， 观察选项，只有满足. 故选：B. 2．（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线方程为，将代入，求出，可求双曲线的标准方程． 【详解】因为双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线， 所以设双曲线方程为， 将代入，可得，则， 所求双曲线的标准方程是． 故选：D． 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）请写出一个焦点在轴，且以为渐近线方程的双曲线的标准方程 . 【答案】（只要满足就行） 【分析】首先设出双曲线的标准方程，再根据渐近线方程求满足条件的一组，即可求解. 【详解】设双曲线的标准方程为，， 由题意可知，，满足条件的一组解为， 所以满足条件的一个双曲线的标准方程为. 故答案为： 题型十六 根据a，b，c齐次关系式求渐近线方程 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，结合双曲线的定义可得，可求得，结合勾股定理可得，求解即可. 【详解】设，又，所以， 又在双曲线上的一点，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：D. 题型十七 求双曲线的离心率 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线方程得，代入双曲线离心率公式求解即可. 【详解】因为双曲线，所以， 所以离心率为． 故选：B 2．（24-25高二下·广西贵港·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，是上一点，且，，则的离心率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】结合双曲线的定义求得，再由余弦定理即可求解. 【详解】由题意得得， 在中，由余弦定理得， 得，则， 得（负值舍去）． 故选：C 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，且，，则的离心率为 . 【答案】 【分析】设，得到，由得，在中由余弦定理得，即，在中，得，代入计算即可. 【详解】如图所示，由双曲线的定义可得， 因为，设，则， 因为，所以，得， 在中，，化简得， 所以为直角三角形，即， 在中，有，即，解得， 代入得，即. 故答案为： 题型十八 根据离心率求参数 1．（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案． 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为，由余弦定理可得， 整理可得，所以， 即，解得或，又因为，即． 故选：A． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先判断双曲线的焦点位置，写出，利用离心率列出方程，求解即得. 【详解】由双曲线的方程可知其焦点在轴上，， 因，，，， 则，解得，符合题意． 故选：A. 题型十九 根据离心率求双曲线标准方程 1．（24-25高二下·河南安阳·期末）双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为 .（写出一个即可） 【答案】（或） 【分析】利用直线与圆的位置关系得，结合离心率得，分类讨论即的答案. 【详解】当双曲线的焦点在轴上时，，因为离心率，所以，则， 所以双曲线的标准方程为. 同理，当双曲线的焦点在轴上时，，，所以双曲线的标准方程为. 故答案为：（或） 2．（20-21高二上·四川乐山·期中）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 【答案】 【解析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出的值，再由双曲线的离心率得出，进而可得双曲线的标准方程． 【详解】由椭圆方程，可得焦点为 设双曲线的半焦距为，则，因双曲线的离心率为，则 故，所以， 所以双曲线的标准方程为： 故答案为： 题型二十 离心率相等的双曲线标准方程 1．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出双曲线的离心率和渐近线方程，然后逐项求解即可判断. 【详解】双曲线中，，，，渐近线， 对于A：，，，，渐近线，故A错误； 对于B ：，，，，渐近线，故B错误； 对于C ：，，，，渐近线，故C正确； 对于D：，，，，渐近线，故D错误.   故选：C. 题型二十一 焦点到渐近线距离问题 1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据标准方程写出焦点坐标与渐近线方程，代入点到直线的距离公式即可求解. 【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，， 所以焦点到渐近线的距离. 故选：B. 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得双曲线的方程，得出焦点坐标和渐近线方程，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】由双曲线的离心率为， 可得，解得，即双曲线， 则双曲线的右焦点为，其中一条渐近线方程为，即， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 故选：A. 题型二十二 由渐近线方程求参数 1．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的方程写出渐近线方程，对照条件可求答案． 【详解】因为双曲线为，所以它的渐近线方程为， 因为有一条渐近线方程为，所以． 故答案为：. 2．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ． 【答案】 【分析】根据渐近线与标准方程求解. 【详解】标准方程的一条渐近线方程为, 则,, 故. 故答案为：，. 题型二十三 由双曲线离心率求参数范围 1．（24-25高二上·江西抚州·期末）双曲线的离心率为2，求 . 【答案】/ 【分析】根据双曲线的方程及离心率公式列方程求参数值即可. 【详解】由题设，易知，则，所以， 由，可得. 故答案为： 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为 ． 【答案】 【分析】根据离心率求出，即可求出双曲线的渐近线方程，根据斜率求出渐近线的倾斜角，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为2，所以， 所以，所以渐近线方程为，所以渐近线的倾斜角分别为与， 所以其两条渐近线的夹角大小为. 故答案为： 题型一 双曲线离心率最值、范围问题 1．（24-25高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用双曲线的定义和性质即可求解. 【详解】因为在双曲线的右支上， 所以由双曲线的定义可得：， 又因为， 所以，. 则，即. 故选：B. 2．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，由椭圆、双曲线的定义得到，，再结合余弦定理即可求解. 【详解】根据椭圆、双曲线的对称性，不妨设焦点分别为左、右焦点，点在第一象限， 设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为， 根据椭圆及双曲线的定义，得，， ∴，， 设，在中，∵， 由余弦定理，得， 化简得，两边同除以，得. 又∵，∴，解得，当且仅当， 即时等号成立， ∴椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为， 故选：B. 题型二 双曲线、椭圆等综合问题 1.．（24-25高二上·吉林·期末）已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出的值，可得出双曲线的方程，根据题意，设所求双曲线的方程为，根据所求双曲线与双曲线有相同的渐近线可得出的值，即可得出所求双曲线的方程. 【详解】由题意且，则，则双曲线的方程为. 以椭圆的短轴端点为顶点的双曲线可设为， 若与双曲线具有相同渐近线，则，即. 故所求双曲线的方程为，即. 故选：B. 2．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设的内切圆分别切，于点，，然后结合三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得，再结合可求出，从而可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】设的内切圆分别切，于点，， 则，，， 因为，所以， 得， 所以，即，① 因为，所以， 即，②， 所以①+②，得，得， 因为，所以，所以， 所以双曲线：的渐近线方程为， 即. 故选：D. 3．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定的坐标，由的坐标结合求得的坐标，根据在双曲线上，得出和离心率的关系，进而得解. 【详解】 由题可得，，根据对称性设点M在第一象限，可得， 设，由，得，所以， 解得，即， 因为点N在双曲线C上，所以， 所以，解得. 因为，所以，则， 所以，又.所以. 故选：B 4．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设为第一象限的交点，，，由椭圆、双曲线定义可得，，结合余弦定理、离心率公式可得，由不等式及其取等条件即可求解. 【详解】设为第一象限的交点，，， 则，，解得，， 在中，由余弦定理得， ，， ，，， ，即， 当且仅当，即，时等号成立，此时， 故选：D． 5.（2025·广西河池·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，应用正弦定理有得，再由椭圆和双曲线定义及离心率公式有，结合对勾函数的单调性求的范围，即可得. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由正弦定理得. ， ，故， ， ， ， ， ，即， ， 由函数性质知在上单调递增， ，即. 故答案为： 6．（2024高三·全国·专题练习）将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为 ． 【答案】 【分析】新双曲线的实轴长为2, 若的离心率最大，即焦距最大,由双曲线的定义可求得的值，从而知道点的轨迹，进而知道在何时取得最大值，即能求出点坐标. 【详解】由题意知，新双曲线的实轴长为2．若的离心率最大，则最大． 由双曲线定义可知，，又， 所以或， 所以点在以为圆心，7为半径的圆上，或者点在以为圆心，3为半径的圆上， 故，或， 所以，此时点在的延长线上， 设，则，解得，，即． 故答案为：. 题型三 双曲线最值、范围问题 1．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分，，和四种情况讨论，然后画出图象，结合图象求解即可. 【详解】解：根据题意，对于方程， 当时，原方程为，为椭圆在第一象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第四象限的部分； 当时，原方程为，为双曲线在第二象限的部分； 当时，原方程无解，曲线在第三象限没有图象， 记，变形可得，则的几何意义是直线纵截距的2倍， 由图知，，当直线与四分之一椭圆相切时，取最大值， ，而，当且仅当时等号成立， 则有，变形可得， 则有，当且仅当时等号成立， 即的取值范围为． 故选：B．    2．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】A 【分析】利用数形结合的思想，将等式两边平方后可看作曲线的方程，最后将看作是曲线上的点到原点距离的平方，结合图形求其最小值. 【详解】由题意得，， 将两边同时平方可得：， 即， 所以可看作是双曲线的右支上的点， 又如图所示， 双曲线的右支上的点到原点距离最小， 即的最小值为1，故的最小值为1. 故选：A. 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 4．（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由共渐近线方程设法将点代入直接求解； （2）向量坐标化，由点在双曲线上化简整理为二次函数求得范围. 【详解】（1）由题意可设的方程为， 将代入可得，，解得， 的标准方程为． （2）设，则， 点在第一象限，，且，， ， 的取值范围是． 1．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】设出点的坐标，求出点的坐标，由已知建立方程组即可求得离心率. 【详解】双曲线的左焦点，渐近线， 依题意，点在直线上，设，则， 由点在的左支上，得，整理得， 由，得，整理得， 消去得，解得，所以双曲线的离心率. 故选：C 2．（24-25高三上·天津河西·期末）已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到和渐近线方程，并设点，则，由点到直线距离公式得到方程，求出，得到双曲线方程. 【详解】由题意得，解得， 双曲线渐近线方程为，即， 设点，则，即， 则到两渐近线方程的距离分别为， 所以， 解得， 故双曲线方程为. 故选：A 3．（24-25高二上·河南·期末）设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】由，所以点在以为直径的圆上可得， 联立曲线方程，解出交点坐标关系，代入得，由正整数条件找出解的个数即可. 【详解】由题意，曲线的方程分别为、， 故，且，且，且. 联立方程组解得 由且，得， 又因为，所以点在以为直径的圆上，故， 所以， 解得，所以有序数对可以为： ，共6个． 故选：D． 4．（多选）（24-25高二下·湖南永州·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定. 【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以； 又因为是双曲线的焦点，所以 所以，故A正确； 对于B，由题意可得，两式平方整理得， 在中，由，得，即， 又由，，可得，解得，故B正确； 对于C，由B可得，即，即，故C错误； 对于D，由C可得， 所以， 当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确． 故选：ABD. 5.（24-25高二上·江西·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则 ． 【答案】4 【分析】根据双曲线顶点坐标以及旋转角度可得，即可求得答案. 【详解】易知双曲线的右顶点坐标为， 且双曲线绕点逆时针旋转得曲线， 又曲线的其中一个顶点坐标为，所以， 解得． 故答案为：4 6．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 【答案】 【分析】由题可得四边形为矩形，则，由，结合，求出，再利用勾股定理即可求解. 【详解】如图，设为C的左焦点，连接，则四边形为平行四边形， 因为以线段MN为直径的圆过F，所以，从而四边形为矩形， 所以． 由双曲线的定义，得，即， 又因为，所以． 由，得，解得， 所以，故C的渐近线方程为． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线，求曲线的方程 【答案】 【分析】根据圆锥曲线的第二定义概念：到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线，利用两点间距离公式和焦半径公式和圆锥曲线第二定义计算即可. 【详解】设动点，则，点P到直线的距离， 由题意知，即， 化简得，即曲线的方程为． 8．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用向量的坐标运算，来求动点的轨迹； （2）利用两点间的距离公式，消元后求值域即可. 【详解】（1）设，则，， 由题意，，， 所以由直线，的方向向量分别为，， 即有：,, 所以有：，， 消去得点的轨迹方程：， 整理得：； （2）由题意， 由，所以. 9．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，可求得轨迹的方程； （2）由余弦定理得，给合，可求得的面积； （3）设，分别用向量表示，由题意可求得的取值范围. 【详解】（1）因为，所以点的轨迹为以为焦点的双曲线， 设此双曲线方程为， 易知，又由，解得， 即轨迹的方程为：； （2）∵为双曲线E:上的一点， ∴，平方得 ①， 在中，由余弦定理，得， 即 ②， 由，得，即， 所以的面积.    （3）设，则，所以，. 所以的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2.6.2 双曲线的几何性质 题型一 求双曲线的焦点坐标 1．（24-25高二上·浙江杭州·期中）双曲线的焦点坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（24-25高二上·贵州黔西·期末）已知椭圆：，下列与椭圆C焦点相同的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 题型二 求双曲线的焦距 1．（2025·山东·模拟预测）已知双曲线的离心率为，虚半轴长为2，则的焦距为（   ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期末）设F为双曲线（，）的右焦点，，分别为C的两条渐近线的倾斜角，且满足，已知点F到其中一条渐近线的距离为，则双曲线C的焦距为（   ） A． B．2 C． D．4 题型三 判断两个双曲线共焦点 1．（多选）（24-25高二下·广西南宁·开学考试）已知，且，双曲线与，则下列结论错误的是（   ） A．它们的实轴长相等 B．它们的焦点相同 C．它们的离心率相等 D．它们的渐近线相同 题型四 求共焦点的双曲线方程 1．（22-23高二上·江苏常州·期中）试写出一个以为焦点的双曲线的标准方程： ． 2．（21-22高二·全国·课后作业）求实半轴长为，且与双曲线有公共焦点的双曲线的标准方程． 题型五 双曲线x、y的范围及应用 1．（24-25高二下·云南·期中）椭圆的离心率与双曲线的离心率之积为1，点P是两曲线在第一象限的交点，则点P的横坐标可能为（   ） A．2 B．2.5 C．3 D．4 2．（21-22高三下·湖南·阶段练习）已知F1，F2是双曲线C：（，）的两个焦点，C的离心率为5，点在C上，，则的取值范围是（       ） A． B． C． D． 3．（23-24高二下·上海·期中）在双曲线中，的取值范围是 ． 题型六 点与双曲线的位置关系 1．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知双曲线焦点在x轴上，且焦距为6，，则 (1)求双曲线标准方程； (2)判断点在不在双曲线上，并说明理由. 2．（23-24高二上·上海浦东新·期中）某苗圃有两个入口A、B，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．    (1)种在点处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？ (2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由． (3)有多少株树苗沿PB运输较近？ 题型七 双曲线的对称性及其应用 1．（24-25高二下·四川南充·阶段练习）已知反比例函数的图象是双曲线，则这个双曲线的实轴长为 . 2．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知双曲线：（，）的右焦点为.为坐标原点，若在的左支上存在关于轴对称的两点，，使得，且，则的离心率为 . 3．（24-25高二下·上海·期中）已知直线与双曲线的左，右两支分别交于，两点，是双曲线的左焦点，且，则双曲线的离心率是 ． 题型八 求双曲线的顶点坐标 1．（24-25高二上·山西太原·期末）双曲线的顶点坐标为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（22-23高二下·江苏盐城·期末）下列关于双曲线的判断，正确的是（    ） A．顶点坐标为 B．焦点坐标为 C．实轴长为4 D．渐近线方程为 题型九 求双曲线的实轴长、虚轴长 1．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知双曲线，焦距为10，则实轴长为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型十 根据顶点、实虚轴求双曲线标准方程 1．（24-25高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东汕头·阶段练习）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为 . 3.（24-25高二下·上海黄浦·期末）已知双曲线C：（，）的一条渐近线方程为，且C的实轴长为4，则C的方程为 ． 题型十一 根据实虚轴长求参数 1．（22-23高二上·山西晋中·阶段练习）已知双曲线的虚轴长为4，则实数的值为（    ）. A．4 B． C． D． 2．（23-24高二下·安徽淮北·开学考试）若双曲线的虚轴长与实轴长相等，则的值为（    ） A．4 B． C． D．1 3．（22-23高二上·陕西咸阳·阶段练习）已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 题型十二 等轴双曲线问题 1．．（24-25高二上·四川宜宾·期中）已知等轴双曲线过点，则该双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山东青岛·期中）等轴双曲线C的一个焦点为，则它的实轴长为（    ） A． B．2 C．4 D． 题型十三 求渐近线方程 1．（24-25高二上·天津西青·期末）已知双曲线的焦距，实轴长为4，则曲线的渐近线为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期末）双曲线的渐近线方程是 . 题型十四 根据渐近线求双曲线标准方程 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，实轴长为4，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（22-23高二上·山西运城·期中）若双曲线的渐近线方程是，虚轴长为8，则该双曲线的标准方程是（    ） A． B． C．或 D．或 题型十五 共渐近线的双曲线标准方程 1．（24-25高二上·北京·期末）如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·广东·期末）已知双曲线过点，且与双曲线有相同的渐近线，则的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）请写出一个焦点在轴，且以为渐近线方程的双曲线的标准方程 . 题型十六 根据a，b，c齐次关系式求渐近线方程 1．（24-25高二下·贵州贵阳·阶段练习）已知是双曲线的左、右焦点，在双曲线上存在点满足，且，则双曲线的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 题型十七 求双曲线的离心率 1．（24-25高二下·内蒙古·期末）双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知双曲线：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与的左支交于，两点，且，，则的离心率为 . 题型十八 根据离心率求参数 1．（24-25高二上·天津河北·期末）已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 2．（24-25高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线的离心率为，则实数的值为（   ） A．1 B．2 C． D． 题型十九 根据离心率求双曲线标准方程 1．（24-25高二下·河南安阳·期末）双曲线的离心率为2，且双曲线与圆：有且仅有两个交点，则双曲线的标准方程为 .（写出一个即可） 2．（20-21高二上·四川乐山·期中）已知双曲线的离心率为，且与椭圆有公共焦点，则的方程为 ． 题型二十 离心率相等的双曲线标准方程 1．（23-24高二上·安徽宣城·阶段练习）与双曲线有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 题型二十一 焦点到渐近线距离问题 1．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）已知双曲线的离心率为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（    ） A． B．2 C．4 D． 题型二十二 由渐近线方程求参数 1．（24-25高二下·上海·期中）已知双曲线的一条渐近线方程为，则 ． 2．（2025·北京西城·模拟预测）若双曲线的一条渐近线方程为，则 ；离心率 ． 题型二十三 由双曲线离心率求参数范围 1．（24-25高二上·江西抚州·期末）双曲线的离心率为2，求 . 2．（24-25高二下·上海杨浦·期中）已知双曲线的离心率为2，其两条渐近线的夹角大小为 ． 题型一 双曲线离心率最值、范围问题 1．（24-25高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线的右支上，且，则双曲线的离心率的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·河南周口·阶段练习）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点.若，则椭圆与双曲线的离心率之积的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 题型二 双曲线、椭圆等综合问题 1.．（24-25高二上·吉林·期末）已知双曲线与椭圆的焦点重合，则以椭圆的短轴端点为顶点，且与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖南长沙·期中）已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（    ）. A． B． C． D． 3．（2025高三下·甘肃白银·学业考试）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且垂直于x轴的直线与C交于点M，与C交于点N，设，若，则C的离心率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·湖南·期末）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为椭圆与双曲线的交点，且，则当取最大值时，的值为（   ）. A． B． C． D． 5.（2025·广西河池·二模）已知椭圆与双曲线有公共焦点，分别为其左､右焦点，点为它们在第一象限的交点，满足，椭圆与双曲线的离心率分别为，则的取值范围是 . 6．（2024高三·全国·专题练习）将双曲线经过平移和旋转后，得到的新双曲线是以为一个焦点，且过点，则当的离心率最大时，它的另一个焦点的坐标为 ． 题型三 双曲线最值、范围问题 1．．（23-24高二下·江苏南京·期末）已知实数满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江西南昌·期中）若，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D． 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（22-23高二上·全国·期中）已知双曲线过点且与双曲线有共同的渐近线，，分别是的左、右焦点． (1)求的标准方程； (2)设点是上第一象限内的点，求的取值范围． 1．（24-25高二下·安徽马鞍山·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 2．（24-25高三上·天津河西·期末）已知双曲线的虚轴长为为上一点，过点向的两条渐近线作垂线，垂足分别为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河南·期末）设一组曲线，若存在两条曲线，其交点与，满足，则满足条件的所有有序数对的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（多选）（24-25高二下·湖南永州·期末）已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（    ） A． B． C． D．的最小值为 5.（24-25高二上·江西·期中）已知曲线可以由双曲线绕原点逆时针旋转得到，则 ． 6．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）过原点的直线与双曲线的左、右两支分别交于M，N两点，若以线段MN为直径的圆过C的右焦点F，且，则C的渐近线方程为 ． 7．（2024高三·全国·专题练习）已知动点P到点的距离等于其到直线距离的2倍，记点P的轨迹为曲线，求曲线的方程 8．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）已知向量，，点，.直线，的方向向量分别为，，其中，记动点的轨迹为 (1)求的方程； (2)已知，求的取值范围 9．（24-25高二上·四川眉山·期末）已知，，点满足，记点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)当时，求的面积. (3)求的取值范围. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$