第二十四章 相似三角形（举一反三单元测试·培优卷）数学沪教版九年级上册

第二十四章 相似三角形·培优卷 【沪教版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 2．（3分）（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 3．（3分）（2025·江苏扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 4．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 5．（3分）（2024九年级上·上海·专题练习）已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块含角的三角板，若内外两三角形斜边长的比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 7．（3分）（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 8．（3分）（24-25九年级上·上海奉贤·期中）点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 9．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）两个直角三角形的三边长分别为和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 10．（3分）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知均不为0，且，若，则的值为 ； 12．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，，，则的长度是 ． 13．（3分）（24-25九年级下·上海·开学考试）已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 14．（3分）（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计） 15．（3分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 16．（3分）如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为（点在边上）． （1）当点为的中点时， ； （2）当点为的三等分点时， ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为24，求各边的长． 18．（6分）（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．    (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 19．（8分）（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 20．（8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 21．（10分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 22．（10分）（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 23．（12分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 24．（12分）（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 相似三角形·培优卷 【沪教版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）（24-25八年级下·山东威海·期末）如图，在锐角三角形、矩形、正六边形外加宽度一样的外框，外框边与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的是（   ） A．正六边形 B．矩形和正六边形 C．三角形和矩形 D．三角形和正六边形 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似多边形的判定定理对各个选项进行分析，从而确定最后答案，解题的关键是正确理解边数相同、各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形是相似多边形． 【详解】解：矩形不相似，因为其对应角的度数一定相同，但对应边的比值不一定相等，不符合相似的条件； 锐角三角形的原图与外框相似，因为其三个角均相等，三条边均对应成比例，符合相似的条件； 正六边形相似，因为它们的边长都对应成比例、对应角都相等，符合相似的条件； 故选：． 2．（3分）（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了成比例线段． 根据成比例线段的定义，若四条线段满足前两条的比等于后两条的比，则它们成比例，据此判断即可． 【详解】解：A．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； B．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； C．前两条的比，后两条的比，不相等，故不符合题意； D．前两条的比，后两条的比，相等，故符合题意； 故选：D． 3．（3分）（2025·江苏扬州·三模）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度约为（  ） A．3.82 B．4.82 C．6.18 D．6.28 【答案】A 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例可得，结合求解，即可解题． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴， ∴， 故选：A． 4．（3分）（24-25九年级上·辽宁沈阳·期末）野外考察队根据当地地形画出了“等高线示意图”，如图所示（注：若某地在等高线上，则其海拔就是其所在等高线的数值；若不在等高线上，则其海拔在相邻两条等高线的数值范围内），若A，B，C三点均在相应的等高线上，且三点在同一直线上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例，推导与之比等于所对应的海拔差之比是解题关键．画出示意图分别求得与、与的海拔差，求比值即可． 【详解】解：经过线段且垂直海平面的平面截面图如下， 其中垂直海平面，垂直于点D，垂直于点E， 则点的海拔为，点的海拔为，点的海拔为， ∴，，， 图可知与的海拔差为， 与的海拔差为， ∵， 则． 故选：B． 5．（3分）（2024九年级上·上海·专题练习）已知一个单位向量，设是非零向量，那么下列等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面向量，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据平面向量的性质一一判断即可． 【详解】解：A、与的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． B、，计算正确，故本选项符合题意． C、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． D、和的模相等，方向不一定相同，故本选项不符合题意． 故选：B． 6．（3分）（24-25八年级下·山东潍坊·期末）如图是一块含角的三角板，若内外两三角形斜边长的比为，则它们的面积比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例；相似三角形的面积比等于它们的相似比的平方．利用相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方求解即可． 【详解】解：∵两个三角形是含角的三角板， ∴这两个三角形相似， ∵它们的斜边之比为， ∴它们的面积之比为， 即它们的面积比为 故选：C． 7．（3分）（2025·河北·中考真题）如图，在五边形中，，延长，，分别交直线于点，．若添加下列一个条件后，仍无法判定，则这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，平行线的性质与判定，当时，可证明，由平行线的性质得到，，则可证明，据此可判断A、B；由平行线的性质可得，则，同理可判断C；D中条件结合已给条件不能证明． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故A不符合题意； B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故B不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故C不符合题意； D、根据结合已知条件不能证明，故D符合题意； 故选：D． 8．（3分）（24-25九年级上·上海奉贤·期中）点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平面向量的运算，掌握平面向量的运算法则是解题的关键. 根据平面向量的线性运算法则，即可解题． 【详解】解：点在线段上，如果，， ， 与方向相同， ， 故选：A． 9．（3分）（24-25九年级下·山东烟台·期末）两个直角三角形的三边长分别为和，且这两个直角三角形不相似，则的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质与勾股定理，分情况讨论直角三角形的斜边结合不相似是解决本题的关键 ． 分情况讨论直角三角形中直角边和斜边，再结合勾股定理求解m和n，由“不相似”这一条件再进行取舍即可 ． 【详解】解：第一个直角三角形的三边长为， 当5和12为直角边，m为斜边时， 由勾股定理可得， 当5和m为直角边，12为斜边时， 由勾股定理可得； 第二个直角三角形的三边长为， 当10和24为直角边，n为斜边时， 由勾股定理可得， 当10和n为直角边，24为斜边时， 由勾股定理可得； 当两个直角三角形的三边长分别为和时， 由可知，两个直角三角形相似，舍； 当两个直角三角形的三边长分别为和时， 由可知，两个直角三角形相似，舍； 经检验，当两个直角三角形的三边长分别为和时， 以及两个直角三角形的三边长分别为和时， 则或． 故选：D ． 10．（3分）如图，正方形ABCD边长为2，BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线，点P，Q分别是平分线BM、DN上的点，且满足∠PAQ＝45°，连接PQ、PC、CQ．则下列结论：①BP•DQ＝3.6；②∠QAD＝∠APB；③∠PCQ＝135°；④．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】运用正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质综合推理判断． 【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB=2，∠BAD=90°， ∵∠PAQ＝45°， ∴∠BAP+∠QAD =45°， ∵BM是正方形的外角的平分线， ∴∠MBC=135°， ∴∠BAP+∠APB=45°， ∴∠QAD＝∠APB， ∴②正确； ∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线， ∴∠ABP=∠QDA=135°， ∵∠QAD＝∠APB， ∴△ABP∽△QDA， ∴BP：DA=BA：DQ， ∴BP•DQ＝， ∴①错误； ∵△ABP∽△QDA， ∴BP：DA=BA：DQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA， ∴BP：BC=DC：DQ， ∵BM、DN分别是正方形的两个外角的平分线， ∴∠PBC=∠QDC=45°， ∴△BPC∽△DCQ， ∴∠BCP=∠DQC， ∴∠PCQ=360°-∠BCD-∠BCP-∠DCQ=270°-（∠DQC+∠DCQ）=270°-（180°-∠CDQ）=135°. ∴③正确； 如图，将△AQD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接PF．则△ABF≌△ADQ． ∴∠1=∠3，AF=AQ，BF=DQ，∠AFB=∠AQD． ∴∠PAF=∠1+∠2=∠2+∠3=∠BAD-∠PAQ=45°． ∴∠PAF=∠PAQ． 又∵AP=AP， ∴△APF≌△APQ．∴PF=PQ． ∵∠PBF=（∠AFB+∠1）+45°=（∠AQD+∠3）+45°=90°． ∴在Rt△BPF中，， ∴． ∴④正确； 故选C． 【点睛】本题考查了正方形的性质；角平分线的定义；全等三角形的判定和性质；勾股定理；相似三角形的判定和性质；旋转变换的性质．熟练掌握上述性质，灵活运用旋转构图求解是解题的关键. 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）（24-25九年级上·贵州六盘水·期末）已知均不为0，且，若，则的值为 ； 【答案】2 【分析】此题考查了比例的性质．设，得到，，，得到，根据得到，即可得到答案． 【详解】解：设 ∴，， 三式相加得， ∵ ∴. ∴， 故答案为：2 12．（3分）（24-25八年级下·山东烟台·期中）如图，，，则的长度是 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：9． 13．（3分）（24-25九年级下·上海·开学考试）已知关系式，那么向量 ．（用，表示） 【答案】 【分析】本题考查了平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键．根据平面向量的运算法则求解即可． 【详解】∵ ∴ ． 故答案为：． 14．（3分）（24-25九年级上·广东东莞·期中）如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱中的高（点到点的距离）为米，踏板长（点到点的距离）为米，支撑点到踏脚的距离为米，原来捣头点着地，现在踏脚点着地，则捣头点上升了 米．（点下面部分的弯头长度忽略不计） 【答案】 【分析】设点E的着地点为F，根据题意，得，则，列出比例式计算解答即可． 本题考查了三角形相似的生活应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：设点E的着地点为F，根据题意，得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（3分）（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图，点是的重心，连接交于，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，也考查了相似三角形的判定与性质，中位线的性质．先根据三角形重心的性质得，为的中点，为的中点，根据中位线性质得出，证明，得出，得出，设，则，，得出，求出结果即可． 【详解】解：∵点G是的重心， ，为的中点，为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ． 故答案为：． 16．（3分）如图，点是等边边上一点，将等边折叠，使点与点重合，折痕为（点在边上）． （1）当点为的中点时， ； （2）当点为的三等分点时， ． 【答案】 1:1 或 【分析】（1）连接，根据三线合一和折叠得到，进而得到，再证明为等边三角形即可得到即可求出结果； （2）分两种情况，和，用表示和，然后利用相似三角形的性质：相似三角形的周长比等于相似比，即可求出，然后用表示即可得到结果． 【详解】解：（1）如图，连接， ∵为的中点，为等边三角形，折得到△DEF， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，即， 故答案为：； （2）当时， 设， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴; 当时， 设， 同上一种情况得： ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角形与折叠问题，等边三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关定理并灵活应用是解题关键． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25九年级上·广东佛山·阶段练习）已知a、b、c是的三边长，且，求： (1)的值； (2)若的周长为24，求各边的长． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出各边长是解题关键． （1）直接设，，，进而代入求出答案； （2）直接设，，，利用周长建立方程求解，进而代入求出答案． 【详解】（1）解：， 设，，， ； （2）解：设，，， 的周长为24， 可得， 解得， ． 18．（6分）（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，已知直线分别截直线于点A、B、C，截直线于点D、E、F，且．    (1)如果，求的长； (2)如果，求的长． 【答案】(1)12 (2)6 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例，掌握“两条直线被一组平行线所截的对应线段成比例”是解题的关键． （1）由可得，再代入数据即可得到结论； （2）由，可得，可得，结合，从而可得答案． 【详解】（1）解：， ， ，，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 19．（8分）（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，，相交于点F． (1)求的值； (2)如果 ，试用a，b表示 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，平面向量等知识， （1）利用相似三角形的判定与性质即可解决问题； （2）利用三角形法则即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 20．（8分）（24-25九年级上·贵州贵阳·阶段练习）如图，在中，点是的边上的一点． (1)请判断三人的对错：小星______，小红_______，小亮______．（填“对”“错”） (2)选择一种正确的方法求证：． 【答案】(1)小星和小红对，小亮错 (2)见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． （1）有两角对应相等的两个三角形相似，据此可得小星的结果；有两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似，据此可得小红的结果；有两边对应成比例，且一组角对应相等（不是成比例的两边的夹角）的两个三角形不一定相似，据此可得小亮的结果； （2）见解析（1）． 【详解】（1）解：小星和小红对，小亮错，证明如下： 小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴； 小亮的证明：由不能证明， ∴小星和小红对，小亮错； （2）证明：小星的证明： ∵， ∴； 小红的证明： ∵， ∴． 21．（10分）（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在梯形中，，点是的中点，且，与交于点． (1)若，．则______，______； (2)请在图中作出在、方向上的分向量． 【答案】(1)、； (2)见解析． 【分析】本题考查作图复杂作图，平面向量，三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则． （）利用平行向量的性质，以及三角形法则求解即可； （）利用平行四边形法则画出图形即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 故答案为：，； （2）解：如图， ∴、分别是在，方向上的分向量． 22．（10分）（2025·浙江绍兴·三模）如图，中，，，点是边上一点，过点作交于点，以为边作矩形，其中点、落在边上． (1)当时，求矩形的面积； (2)当经过的重心时，求矩形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形重心的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定，是解题的关键； （1）过点作，得出，证明，进而可得，，得出，即可求解． （2）同（1）可得，，进而得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∵ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴矩形的面积为 （2）解：经过的重心时， ∴， 同（1）可得， ∴ ∵， ∴矩形的面积为 23．（12分）（24-25八年级下·江苏苏州·期末）综合与实践：打卡“圆融”雕塑． 【了解】如图①，金鸡湖畔的“圆融”雕塑由两个动态扭转的圆紧密相叠而成，外圆内方，两种彼此矛盾的元素共存于一体，向世人昭示海纳百川、兼容并蓄、和谐为本的独特情怀．站在“圆融”雕塑正面取景，当雕塑顶部、被拍摄者的头顶和相机镜头在同一条直线上时，拍摄的照片视觉效果最佳． 【测高】如图②，小明在距离“圆融”雕塑底部A的的地面垂直放置一根标杆，然后沿水平直线后退至点C处，调整高度使眼睛D恰好通过标杆顶端F看到雕塑的顶部B．经测量，小明的眼睛距离地面的高度 ，标杆 ，求雕塑顶部距离地面的高度． 【应用】如图③，小明在点G处为站在点M处的哥哥拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知哥哥身高 ，此时相机镜头距离地面的高度．然后，他们互换位置，哥哥在点G处为站在点M处的小明也拍摄了一张视觉效果最佳的照片，已知小明身高 ，求此时相机镜头距离地面的高度（精确到）． 【答案】[测高]雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]此时相机镜头距离地面的高度约为． 【分析】本题考查了相似三角形的应用． [测高]如图②，延长，交于M，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到结论； [应用]延长，交于T，由，，，得到，推出，根据相似三角形的性质得到，设，则， ，求得， ，过Q作于S交于R，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：[测高]如图②，延长，交于M， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴（负值舍去）， 答：雕塑顶部距离地面的高度为； [应用]延长，交于T， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴，， 过Q作于S交于R， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：此时相机镜头距离地面的高度约为． 24．（12分）（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，，，为边的中点．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿运动到点停止；同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动到点停止，当点停止运动时，点也停止运动．设点的运动时间为（秒）． (1)当点与点重合时，的值为________； (2)用含的代数式表示长； (3)将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，求的值； (4)当点不与的顶点重合时，过点作交的边于点，以和为边作．连结，直接写出将分成面积相等的两部分时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）由勾股定理求得，从而有，点与点重合，则，求解即可； （2）分两种情况：当时，则点Q在上 ，当时，则点Q在上，分别求解即可； （3）分两种情况：当，则点Q在上时，当，则点Q在上时，根据相似三角形性质求解即可； （4）分两种情形：如图1中，连接，交于点．当时，，根据经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积，知此时平分平行四边形的面积．如图2中，连接，交于点，当时，，此时平分平行四边形的面积．分别求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ∵为边的中点， ， ∵点与点重合， ∴， ． 故答案为：． （2）解：当时，则点Q在上 ， ∴； 当时，则点Q在上 ， ∴； 综上，． （3）解：当，则点Q在上时， 则，， ∵将的分成的两部分，其中的三角形与相似时， ∴当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即， 解得：（舍去）； 当，则点Q在上时， 当时， 则，即， 解得：； 当时， 则，即 解得：（舍去）． 综上，将的分成的两部分，其中的三角形与相似时，t值为或． （4）解：如图1中，连接、相交于点．当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵， ∴， ， ， 解得． 如图2中，连接、相交于点O，当，且时，此时平分平行四边形的面积． ∵ ∴，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，列代数式，相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$