第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·培优篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版（2019）】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 4．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 5．（24-25高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 题型2 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 1．（24-25高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 5．（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）直线和直线互相平行，则的值为（    ） A． B．3 C．3或 D． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线与直线相互垂直，则实数的值是（    ） A．3 B． C． D． 3．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 5．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 题型4 三线能围成三角形的问题 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 5．（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 题型5 与距离有关的最值问题 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为 ． 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 5．（2025高二·江苏·专题练习）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 题型6 点、线间的对称问题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 4．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知直线，点.求： （1）直线关于点对称的直线的方程； （2）直线关于直线的对称直线的方程. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 题型7 圆的切线长及切线方程问题 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 4．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 题型8 圆的弦长与中点弦问题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 3．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 4．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 5．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，圆. (1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程. 题型9 直线与圆有关的面积问题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 4．（24-25高二上·河南·期中）已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 题型10 直线与圆有关的最值问题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 4．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 题型11 两圆的公切线问题 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 4．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·培优篇） 【人教A版（2019）】 题型1 直线与线段的相交关系求斜率范围 1．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果. 【解答过程】由直线的斜率公式可得： ；. 结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或. 故选：C. 2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，经过点P作直线l，若直线l与连接，两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案. 【解答过程】由题意作图如下： 设直线的斜率为，直线的斜率为，直线的斜率为， 由图可知， 由，，，则，， 所以. 故选：B. 3．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据斜率公式求出，再结合图形求出直线l的斜率的取值范围. 【解答过程】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·陕西安康·阶段练习）已知直线过点，且与以和为端点的线段相交. (1)求直线的斜率k的取值范围； (2)求直线的倾斜角的取值范围. 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）在平面直角坐标系中画出图象，根据图象分析，，三点之间的关系，不难给出直线的斜率的取值范围； （2）根据直线斜率与倾斜角的关系，结合图象即可求解直线的倾斜角的取值范围． 【解答过程】（1）在平面直角坐标系中画出图象如图： ， 直线过点，且与以和为端点的线段相交. 所以直线的斜率的取值范围. （2）由（1）可知，， 直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， 由此可得此时直线的倾斜角的取值范围， 由图可知，当直线斜率不存在时，所得直线符合题意，故此时直线的倾斜角， 综上，直线的倾斜角的取值范围. 5．（24-25高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求： (1)的取值范围； (2)的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解； （2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解. 【解答过程】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，． 由题意可知点在线段AB上移动．记点， 则可看作过点与点的直线的斜率， 又因为，， 由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在， 所以的取值范围为．    （2）因为，记点， 则可看作过点与点的直线斜率， 又因为，，所以的取值范围为．    题型2 直线平行、垂直的判定在几何中的应用 1．（24-25高二上·青海海东·期中）已知点，，，是的垂心．则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先设点C的坐标,再求出直线的斜率，则可求出直线的斜率和直线的倾斜角，联立方程组求出C的坐标； 【解答过程】设C点标为，直线AH斜率， ∴，而点B的横坐标为6，则， 直线BH的斜率， ∴直线AC斜率， ∴， ∴点C的坐标为． 故选：D. 2．（24-25高三上·重庆·阶段练习）已知直线过点，直线与直线的交点B在第一象限， 点O为坐标原点. 若三角形OAB为钝角三角形时，则直线的斜率的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】找到三个极端位置的斜率值，并旋转相关直线得到斜率范围. 【解答过程】当三角形为直角三角形时，或， 此时的斜率或0. 当从顺时针旋转到轴之间时，三角形为钝角三角形，此时； 当从逆时针旋转到与直线平行之间时，三角形为钝角三角形，此时， 综上，， 故选：C. 故选：C. 3．（2025高二上·全国·专题练习）已知四边形的顶点，则四边形的形状为 . 【答案】矩形 【解题思路】分别求出直线的斜率，根据斜率判断对应直线得位置关系，即可得出结论. 【解答过程】解：，且不在直线上，. 又，且不在直线上，，四边形为平行四边形.又. 平行四边形为矩形. 故答案为：矩形. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知四边形的四个顶点分别为，，试判断四边形的形状，并给出证明． 【答案】四边形是平行四边形，证明见解析 【解题思路】根据直线的斜率和图象进行判断. 【解答过程】由题得，边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 因为，所以， 所以四边形是平行四边形． . 5．（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【答案】平行四边形，证明见解析. 【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 题型3 根据两直线平行、垂直求参数 1．（24-25高二上·广西钦州·阶段练习）直线和直线互相平行，则的值为（    ） A． B．3 C．3或 D． 【答案】A 【解题思路】根据两直线平行的条件求解． 【解答过程】因为直线和直线互相平行， 所以，解得或， 时，两直线方程分别为和，平行， 时，两直线方程分别为和，重合，不合题意． 所以， 故选：A． 2．（24-25高二上·江苏泰州·期中）直线与直线相互垂直，则实数的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据垂直的充要条件判断即可. 【解答过程】解：因为直线与直线相互垂直， 所以，即. 故选：C. 3．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 . 【答案】5 【解题思路】由直线一般式下两条直线垂直与平行的性质求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与直线. (1)当为何值时，？ (2)当为何值时，？ 【答案】(1) (2) 【解题思路】根据两直线平行和垂直时，斜率与截距的关系列式即可得解. 【解答过程】（1）设直线的斜率分别为， 则.当时，有，解得. （2）当时，，即， 所以，所以. 5．（24-25高二上·上海·期中）已知、为实数，平面直角坐标系内三条直线，直线，，：，：. (1)若，且经过点，求实数，的值； (2)若且，求实数，的值. 【答案】(1)或； (2) 【解题思路】（1）由直线垂直的特征及直线过的点可得关于、的方程组，即可得解； （2）由直线平行和垂直满足的系数关系，列方程即可求解，． 【解答过程】（1）因为，，且，所以， 又直线过点， 所以， 所以， 所以， 所以或； （2）若且，则或， 解得，或， 由于不能同时为，故这组解舍去， 故. 题型4 三线能围成三角形的问题 1．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线交点坐标，再利用斜率相等及3条直线共点求出值. 【解答过程】直线的斜率分别为，纵截距分别为 由，解得，即直线的交点为， 由直线不能围成三角形，得直线或或点在直线上， 则或或，解得或或， 所以实数的取值集合为. 故选：C. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）使三条直线不能围成三角形的实数m的值最多有几个（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m值，进而验证是否满足题设，即可得答案. 【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点， 若平行，则，即； 若平行，则，即无解； 若平行，则，即； 若三条直线交于一点，，可得或； 经检验知：均满足三条直线不能围成三角形，故m最多有4个. 故选：B. 3．（24-25高二·全国·课后作业）已知三条直线、、不能围成一个三角形，则实数的值为 ． 【答案】6或-4或 【解题思路】分直线与平行，与平行，过与的交点三种情况分别求解可得. 【解答过程】由题知，当直线与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 当与平行，即，时，三条直线无法围成三角形； 由解得，当直线过点，即，即时，三条直线无法围成三角形. 综上，当或或时，三条直线无法围成三角形. 故答案为：6或-4或. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线与坐标轴正半轴围成的三角形面积为2． (1)求直线的斜率； (2)已知直线，求直线与的交点坐标． 【答案】(1)． (2) 【解题思路】（1）易知直线斜率为负即可得，得出与坐标轴交点坐标解得，可得结果； （2）由（1）得，联立两直线方程即可解得交点坐标. 【解答过程】（1）易知直线斜率为负，可得，令，可得， 令0，可得， 所以，解得， 所以直线的斜率为． （2）由（1）得， 联立，解得， 所以直线与的交点坐标为. 5．（24-25高二上·河北保定·期中）已知三条直线：，：，：． (1)若，且过点，求a、b的值； (2)若，且、、三条直线能围成三角形，求a的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】（1）根据垂直满足的关系，结合直线经过的点，即可联立方程求解. （2）根据任意两条直线平行不可构成三角形，以及三条直线交于一点不能构成三角形，结合两直线平行满足的系数关系，以及两直线的交点坐标，即可求解. 【解答过程】（1）因为：，：，且，所以， 又直线过点，所以，所以， 即，即，解得或 所以或； （2）因为，则：，：， ①当时，由得， 此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ②当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ③当时，由得，此时为，为，为，都与相交，不能构成三角形； ④当，，交于一点时，，则由,解得 所以与的交点，将M代入到方程得，解得； 综上所述：时，，，三条直线能围成三角形时a的取值范围为． 题型5 与距离有关的最值问题 1．（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】y可看作x轴上一点到点与点的距离之和，可知当A，P，B三点共线时取得最小值可得答案. 【解答过程】， 则y可看作x轴上一点到点与点的距离之和， 即，则可知当A，P，B三点共线时，取得最小值， 即． 故选：A. 2．（24-25高二上·甘肃甘南·期末）在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解题思路】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【解答过程】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点M在直线l：上，则点M到点，的距离之和的最小值为 ． 【答案】 【解题思路】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案. 【解答过程】由已知，设关于直线的对称点为， 则解得，即， 所以． 故答案为：. 4．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知点，求： (1)过点且在坐标轴上截距相等的直线的方程； (2)过点且与原点距离为2的直线的方程； (3)过点且与原点距离最大的直线的方程，并求此最大距离． 【答案】(1)或 (2)或 (3)直线：，最大距离为 【解题思路】（1）分直线过截距为0和截距不为0两种情况讨论即可； （2）分直线斜率存在和不存在两种情况，结合点到直线的距离公式即可求； （3）由题可知过点且与原点距离最大的直线与垂直，由此求出，进而得到直线的方程及最大距离. 【解答过程】（1）①若直线的截距为0时，设直线方程为， 因为过点，所以， 所以，故直线的方程为． ②若直线的截距不为0时，设直线的方程为， 因为过点，所以， 解得， 故直线的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （2）①若直线的斜率不存在， 由于过点，则其方程为， 原点到直线的距离为2，满足题意； ②若直线的斜率存在，设为， 则直线的方程为，即． 由已知，得，解得． 此时的方程为． 综上，可得直线的方程为或． （3）记原点为，过点且与原点距离最大的直线是过点且与垂直的直线， 设直线、直线的斜率分别为，． 由题意知， 由，得，即． 由直线方程的点斜式得，即． 即直线：是过点P且与原点距离最大的直线，且最大距离为． 5．（2025高二·江苏·专题练习）已知光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点， (1)求反射光线所在的方程； (2)在直线上求一点，使；若点在直线上运动，求的最小值． 【答案】(1) (2) ． 【解题思路】（1）根据题意，求出点关于直线的对称点的坐标，反射光线为直线两点式写出方程，化简整理成一般式方程； （2）点是线段的垂直平分线与的交点，求出线段的垂直平分线，解方程组求交点坐标即可，设，整理之后为， 转化为求的最小值，这是与线段中点的距离的平方，其最小值为到直线的距离的平方． 【解答过程】（1）如图所示： 设线段中点，点关于直线的对称点，直线与直线交于， 因为直线与直线垂直，并且过点， 所以其方程为，即， 由，，解得，，即坐标为， 因为、两点关于直线对称，所以关于点对称， 所以，， 点坐标为， 根据光线反射定律，反射光线经过、两点， 由直线的两点式方程得： 直线方程为， 即反射光线所在直线的方程为 （2）线段的垂直平分线为，因为， 所以点在直线上，又因为点在直线上， 所以点为直线与交点， 由，的坐标可知， 线段中点，直线斜率为， 所以其垂直平分线斜率， 因其经过点，由直线的点斜式方程得直线的方程为 ，即， 与直线的方程联立 解方程组得点坐标为 设点坐标为，令， 则 ， 要使最小，则当且仅当最小， 可表示为点到点的距离的平方， 当，即计算点到直线的距离时取到最小值， 此时是点到直线的距离，由点到直线距离公式得 ， 所以． 题型6 点、线间的对称问题 1．（24-25高二上·江苏盐城·期中）已知直线，则点关于直线的对称点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由对称可知直线，且中点在上，设点坐标，可得方程组，解方程组即可. 【解答过程】设，则中点，且， 由，两点关于直线对称，且， 则，解得， 即， 故选：B. 2．（24-25高二上·陕西西安·期中）设直线，直线，则关于对称的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设所求直线上任一点，关于直线的对称点，利用轴对称的性质列出方程组解出，由点在直线上，代入方程可得答案. 【解答过程】设所求直线上任一点，关于直线的对称点， 则，解得， ∵点在直线上，即， ∴，化简得，即为所求直线方程. 故选：B. 3．（24-25高二上·重庆·阶段练习）直线关于点对称的直线方程为 . 【答案】 【解题思路】设直线关于点对称的直线任一点为，根据点对称代入即可求解. 【解答过程】设直线上任一点关于点对称的直线任一点为， 可得，解之可得， 所以在直线上，代入即可得， 化简的，即. 故答案为：. 4．（24-25高一下·江苏苏州·阶段练习）已知直线，点.求： （1）直线关于点对称的直线的方程； （2）直线关于直线的对称直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解题思路】（1）求出关于点的对称点，利用在直线上，即得解； （2）先求解关于直线的对称点的坐标，再求解与的交点N，由两点式得到直线方程 【解答过程】（1）设为上任意一点， 则关于点的对称点为， 在直线上，， 即. （2）在直线上取一点，如， 则关于直线的对称点必在上. 设对称点为，则 解得. 设与的交点为，则由 得. 又经过点， 由两点式得直线方程为. 5．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线，试求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线对称的直线方程； (3)直线关于点对称的直线方程． 【答案】(1)； (2)； (3) 【解题思路】（1）已知点和直线，求点关于直线的对称点问题，设出对称点的坐标，利用点和点中点在直线上以及直线与直线垂直列方程组，解方程组即可求解. （2）如果两条直线相交，求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程，可以先求两条已知直线的交点，再求直线上任取的一点关于另一条直线的对称点，两点和可以确定要求直线的方程，从而求得方程. （3）求直线关于点的对称直线的方程，可以转化成求直线上两点关于已知点的对称点，通过两个对称点的坐标求出直线方程即可. 【解答过程】（1）设点关于直线 的对称点的坐标为， 则有题意可得，解得， 故点关于直线的对称点的坐标为． （2）由可得， 直线与直线的交点为， 再在直线上取一点， 设点关于直线的对称点为， 则由解得， 即． 由题意可得、两点是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 则直线方程为， 化简为． （3）在直线上任意取出两个点， 求出这两个点关于点对称点分别为 由题意可得，是所求直线上的两个点， 则直线斜率为3， 则所求直线方程为， 即． 题型7 圆的切线长及切线方程问题 1．（24-25高二上·山东泰安·期中）已知圆，则过点的圆C的切线方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】分切线斜率存在与不存在讨论即可. 【解答过程】，则圆心坐标为，半径为2， 由于，可知点在圆外， 当切线斜率不存在时，此时切线方程为，符合题意， 当切线斜率存在时，设切线方程为，即， 则，解得，此时直线方程为，即. 综上所述，切线方程为：或. 故选：D. 2．（24-25高二上·山东临沂·期中）若圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点为，则切线长的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】B 【解题思路】先求出圆心到直线的距离，根据勾股定理，切线长、圆的半径和圆心到点的距离构成直角三角形，圆的半径固定，当圆心到点的距离最小时，切线长最小，而圆心到直线上点的最小距离就是圆心到直线的距离. 【解答过程】对于圆，其圆心坐标为，半径. 根据点到直线的距离公式， 则. 根据切线长、圆半径和圆心到点距离构成直角三角形，设切线长为，圆心到点的距离为，圆半径. 由勾股定理，当取最小值时，最小， 此时. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏泰州·期中）若过点作圆的切线，则切线方程为 . 【答案】或. 【解题思路】分直线斜率是否存在及结合点到直线的距离公式即可求解. 【解答过程】当直线斜率存在时，设切线的方程为:，即， 圆心到切线的距离为， 由得，化简得到， 此时切线方程为：，即； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，圆心到直线的距离为，满足题意. 故答案为：或. 4．（24-25高二上·湖南永州·阶段练习）已知圆经过三点. (1)求的标准方程； (2)过点作圆的切线，求切线的一般式方程. 【答案】(1)； (2)或. 【解题思路】（1）应用待定系数法求圆的方程，进而标准化即可； （2）由（1）圆心为，半径，讨论直线的斜率存在性，结合直线与圆相切求直线方程. 【解答过程】（1）由题意，可设圆的一般方程为， 代入三点坐标可得，解得， 所以圆的一般方程为，标准方程为. （2）由（1）知，圆心为，半径， ①当过点的直线斜率不存在时， 此时切线的一般式方程为，且圆心到该直线的距离，满足条件； ②当过点的直线斜率存在时， 设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 此时切线的一般式方程为， 综上所述：切线的一般式方程为或. 5．（24-25高二上·江苏泰州·期中）（1）从圆外一点向圆引切线，求此切线的长； （2）自点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1）2；（2）或. 【解题思路】（1）利用切线与半径的垂直关系，利用勾股定理求得切线长； （2）法1，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，再根据圆心到直线距离等于半径列式运算求解；法2，分直线的斜率存在和不存在讨论设出直线方程，联立方程组根据判别式等于0求解. 【解答过程】（1）设从向圆引切线的一个切点为，则， 又因为， 所以，即切线的长为2. （2）解法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件； 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为，即， 因为直线与圆相切，所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 解法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件. 当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为， 因为直线与圆相切，所以方程组仅有一组解， 由方程组消去得， 所以， 解得或， 因此，切线的方程为或. 题型8 圆的弦长与中点弦问题 1．（24-25高二上·重庆·阶段练习）若点为圆的弦的中点，则弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据垂径定理可知，，结合直线的位置关系，即可求解. 【解答过程】圆 的圆心为，而点， 所以 由题意可知，， 则，所以 所以弦所在的直线的方程为， 即. 故选：A. 2．（24-25高二上·山西太原·期中）已知直线与圆相交于，两点，则的最小值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意，由条件可得直线过定点，且当直线与直线垂直时，弦最短，代入计算，即可得到结果. 【解答过程】由直线可得， 令，解得，所以直线恒过定点， 且圆的圆心，半径为， 易知当直线与直线垂直时，弦最短，且， 所以. 故选：D. 3．（24-25高二上·安徽宣城·期末）过坐标原点O作倾斜角为的直线l，则直线l被圆所截得的弦长为 . 【答案】 【解题思路】写出直线方程，求出圆心到直线l的距离，由垂径定理求得弦长. 【解答过程】由题意可得直线l的方程为，即，即， 圆的圆心为，半径为， 圆心到直线l的距离为， 所以直线l被圆所截得的弦长为 故答案为：. 4．（24-25高二上·新疆乌鲁木齐·期末）已知圆内一点，直线过点且与圆交于，两点． (1)求圆的圆心坐标和面积； (2)若直线的斜率为，求弦的长． 【答案】(1)圆心坐标为，面积为 (2) 【解题思路】（1）将圆的一般式化为标准方程，即可得到圆心坐标与半径； （2）先求圆心到直线的距离，再利用勾股定理计算可得. 【解答过程】（1）由可得， 则圆的圆心坐标为,半径，面积； （2）依题意直线的方程为， 即， 圆心到直线的距离， 所以； 5．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）已知直线，圆. (1)若直线与直线平行，且与圆相切，求的直线方程； (2)若直线与直线垂直，且与圆相交于AB两点，，求的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【解题思路】（1）根据题意假设所求直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求得，从而得解； （2）根据题意假设直线的方程，利用圆的弦长公式求得圆心到直线的距离，进而利用点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设所求直线方程为， 因为所求直线与圆相切，且圆心为，半径为， ，解得或， 所求直线方程为或； （2）依题意，设直线的方程为， 因为直线与圆相交于A，B两点，， 圆心到直线的距离为，，解得或， 直线的方程为或. 题型9 直线与圆有关的面积问题 1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则面积的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据直线方程可得，根据圆的方程圆心到直线的距离为，进而可得点到直线的距离的取值范围和面积的取值范围. 【解答过程】由直线可知，则， 由圆可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 设点到直线的距离为， 则，即， 所以面积. 故选：C. 2．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）已知圆，点为直线上的动点，以为直径的圆与圆相交于两点，则四边形面积的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解题思路】写出面积表达式，从而得到当与直线垂直时面积最小，代入数据计算即可. 【解答过程】由已知在以为直径的圆上， 所以， 又在圆上， 所以为圆的两条切线， 故 所以四边形面积， 圆的圆心坐标为，半径为， 所以， 所以， 而的最小值为点到直线的距离，此时与直线垂直，垂足为， 且点到直线的距离， 所以四边形面积的最小值为. 故选：B. 3．（24-25高二上·广东广州·期中）已知圆，为直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则四边形的面积的最小值为 . 【答案】 【解题思路】首先判断直线与圆的位置关系，再由、，将问题化为先求最小值，进而求最小面积. 【解答过程】由，即，则，半径， 所以到的距离，即直线与圆相离，如下图示，    由题意，且，而， 所以，要使四边形的面积最小，只需最小， 又，即只需最小，显然， 所以，故最小. 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南·期中）已知的外接圆为圆. (1)求圆的方程； (2)已知直线与圆交于E，F两点，求的面积. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用待定系数法设圆的方程为，结合题意解出即可求解； （2）由（1）得圆心和半径，求出圆心到直线的距离，从而可得弦长，再用点到直线的距离公式可得点到直线的距离，继而利用三角形面积公式即可求解. 【解答过程】（1）设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. （2）由，得， 所以圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离为， ， 又点到直线的距离为， 所以的面积为.    5．（24-25高二上·安徽合肥·期中）如图所示，圆与轴的交点分别为，过点的直线与圆交于两点. (1)记直线的斜率分别为，求的值； (2)设为直线与的交点，△，△的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）联立直线与圆的方程可得韦达定理，根据圆的性质可得垂直关系，进而可得,即可利用解法一求解，或者直接利用两点斜率公式，代入韦达定理化简求解（解答二），或者设直线的方程为同解法二，代入韦达定理化简求解， （2）根据三角形的面积公式可得 ，即可根据不等式的性质求解. 【解答过程】（1）解法一：设由题知，． ①当直线的斜率不存在时，直线方程为，如图所示， 将，代入，解得，∴， ∴，∴． ②当直线的斜率存在时，设直线斜率为，则直线方程为， 设，则， 联立，消去得，， ∴，， 连接，由圆的性质可得，∴， ∴ ． 综上可得，． 解法二：由题知，． ①当直线的斜率不存在时，同法1． ②当直线的斜率存在时，同法1得∴， ∴ ． 综上可得，． 解法三：设直线方程为，则 联立，消去得， ∴，， ∴，整理得， ∴ （2）由（1）知，∴直线和直线方程分别为和， 联立，消去得，∴点在直线上，如图所示， f ∴ ∵，∴，∴． ∴的取值范围范围为． 题型10 直线与圆有关的最值问题 1．（24-25高二上·北京·阶段练习）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为. 故选：A. 2．（24-25高二上·山西·期中）已知，直线，P为l上的一动点，A，B为上任意不重合的两点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】判定直线与的位置关系，利用圆的切线长定理，结合三角函数求出最小值. 【解答过程】依题意，：的圆心，半径为2， 圆心到直线的距离为，即直线与相离， 则当PA，PB分别为圆的切线，且最小时，最大， 又，则最大，即最大，此时最小， 而，则， 所以的最小值为. 故选：D. 3．（24-25高二上·重庆九龙坡·期中）已知圆上有一动点，记点到直线的距离为，平面上有一定点，则的最小值为 . 【答案】 【解题思路】求出中点的轨迹，再结合图形找到线段和最小值的情况. 【解答过程】作出图形，分别取线段中点分别为， 因为，则，则， 则点的轨迹是以点为圆心，半径为1的圆， 其轨迹方程，半径， 则，设点到直线的距离为， 则，则的最小值为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·海南海口·期末）已知点在圆上． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值与最小值． 【答案】(1)最大值是，最小值为 (2)最小值，最大值． 【解题思路】（1）先把圆方程化为标准式，得到圆心和半径．设，它代表圆上点与原点连线斜率．利用圆心到直线距离小于等于半径，列出不等式求解，得出的范围，即的最值． （2）方法一：将圆方程用参数表示，令，，得到关于的式子，根据三角函数取值范围求最值． 方法二：设，与圆方程联立，消去得到关于的一元二次方程．因为直线与圆有公共点，所以方程有解，通过判别式得出的范围，即的最值． 【解答过程】（1）    圆即为， 可得圆心为，半径为， 设，即， 则圆心到直线的距离，即， 平方得，解得：， 故的最大值是，最小值为， （2）方法1：圆即为， 令， 则， ∵，∴， ∴的最大值为，最小值为． 方法2：设，则， 化简整理得到， ，解得， 故的最小值，最大值． 5．（2025高三·全国·专题练习）已知点是圆上任意一点． (1)求P点到直线的距离的最大值和最小值． (2)求的最大值和最小值． (3)求的最大值和最小值 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【解题思路】（1）转化为圆心到直线的距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【解答过程】（1）圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． （2）解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． （3）表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 题型11 两圆的公切线问题 1．（24-25高二上·浙江杭州·阶段练习）圆与圆的公切线条数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解题思路】利用两圆的位置关系来确定公切线的条数. 【解答过程】由圆可得：， 所以该圆心，半径， 又由圆可得：， 所以该圆心，半径， 由于圆心距，而， 所以，即两圆相外切， 所以两圆的公切线有3条， 故选：C. 2．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【解答过程】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 3．（24-25高二上·湖南·期中）写出与圆和圆都相切的一条直线方程 . 【答案】（或或，任写一条即可，答案不唯一） 【解题思路】求出两圆圆心和半径，两圆圆心距以及两圆心所在直线方程即可得两圆公切线情况，再结合直线垂直关系以及两平行直线距离公式即可求公切线方程. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆心距为，故两圆外切， 两圆圆心所在直线的方程为，即，中点为， 切线垂直于直线，且经过中点，所以切线的方程为； 切线平行于直线，且到直线的距离为， 设平行于直线切线方程为， 则或， 所以切线的方程分别为.    故答案为：（或或，任写一条即可，答案不唯一）. 4．（23-24高二上·福建福州·阶段练习）已知：圆与圆． (1)当时，判断两圆是否相交，并说明理由．如果相交，求公共弦所在直线的方程． (2)若两圆外切，求的值及外公切线的长． 【答案】(1)两圆相交，理由见解析； (2)，4. 【解题思路】（1）根据两圆方程得出圆心和半径，计算出圆心距，利用两圆相交的必要条件即可判断，相交时，将两圆的一般式方程左右分别相减，整理即得公共弦方程； （2）利用两圆外切的必要条件得出关于参数的方程，求出值，继而运用外公切线的计算公式即得.(外公切线计算公式初中已知) 【解答过程】（1）由圆与圆，可知两圆圆心分别为，半径为， 因,时，，因为，故两圆相交． 用圆的两边减去圆的两边即得两圆公共弦所在直线的方程为：． （2）若两圆外切，则，即，解得． 此时，，所以外公切线长为： 5．（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知动点到两定点和的距离之比为. (1)求动点的轨迹的方程； (2)已知圆：，判断和的位置关系，并求它们的公切线方程. 【答案】(1) (2)相交；或 【解题思路】（1）设，根据题意得到，利用两点间距离公式列式化简即可得解； （2）利用两圆的位置关系判断得和的位置关系，再利用公切线的性质，结合点线距离公式列式即可得解. 【解答过程】（1）依题意，设，则，即， 所以，则，整理得， 故动点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，动点的轨迹是一个圆，其圆心，半径为， 圆：的圆心，半径为， 所以，显然，则圆和圆相交， 所以圆和圆的公切线有两条，且斜率都存在， 不妨设为，即， 则有，则，解得或， 当时，得，解得或， 当时，，此时公切线方程为； 当时，，此时公切线方程为； 当时，得，方程无解； 综上，公切线方程为或. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$