第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·基础篇）高二数学人教A版选择性必修第一册

第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出直线的斜率，即得直线的倾斜角. 【解答过程】由，可得直线的斜率为， 故直线的倾斜角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【解答过程】设直线,的倾斜角为， 由图可知， 所以，即，， 所以． 故选：D. 3．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 【答案】 【解题思路】利用斜率公式求得直线的斜率，可得，可求直线的倾斜角. 【解答过程】因为直线过和， 所以直线的斜率， 记直线的倾斜角为，所以， 又，则可得． 故答案为：. 4．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知坐标平面内两点，，求直线的斜率和倾斜角. 【答案】斜率为，倾斜角为 【解题思路】根据两点坐标利用求斜率公式求出斜率，根据直线倾斜角与斜率关系即可求出倾斜角. 【解答过程】因为，， 所以直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，，所以. 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 【答案】(1)1 (2)3 【解题思路】（1）利用斜率与倾斜角的关系式及斜率公式即可求解； （2）三点共线，则 ，结合斜率公式即可求解. 【解答过程】（1）过两点的直线斜率， 所以，解得. （2），， 若三点共线，则 ， 即，解得， 所以当时，三点共线. 题型2 直线方程的求解 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程. 【解答过程】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率， 又直线过点，所以直线的方程为. 故选：D. 2．（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据垂直求出直线的斜率，再由点斜式方程可得答案. 【解答过程】直线的斜率为， 因为直线与直线垂直， 所以直线的斜率为， 又直线过点，所以直线的方程为， 即. 故选：D. 3．（24-25高二上·云南红河·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为 . 【答案】 【解题思路】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程. 【解答过程】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 【答案】(1) (2)； (3)或. 【解题思路】（1）由题知直线的斜率为，进而根据斜截式方程求解并化为一般式方程即可； （2）根据斜率公式得直线斜率为，进而根据点斜式方程求解并化为一般式方程即可； （3）分截距为0和不为0两种情况求解. 【解答过程】（1）因为直线经过点，且倾斜角为， 所以直线的斜率为，则直线方程为， 所以直线的一般方程为； （2）因为直线经过点和点， 所以直线斜率为，直线方程为， 所以直线的一般式方程为； （3）当直线在x，y轴上截距都为0时， 设直线方程为，则，得， 设直线方程为，即； 当直线在x，y轴上截距都不为0时， 由题设直线方程为， 因为直线过点，所以，解得， 所以直线的一般式方程为, 综上所述，所求直线为或. 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 (3)，或 【解题思路】（1）首先根据题意得到直线的斜率为，再利用点斜式求出直线方程即可. （2）首先求出线段AB垂直平分线的方程为，设出，根据得到或，再求直线方程即可. （3）分类讨论直线过原点和不过原点两种情况求解即可. 【解答过程】（1）因为，所以直线的斜率为， 则直线：，即. （2）的中点坐标为，因为， 因为是以为顶点的等腰直角三角形，所以线段垂线的斜率为， 且线段AB的中垂线过点，所以线段AB垂直平分线的方程为， 即，所以点在直线上， 设点，由可得：， 解得或，所以点坐标为或， 当坐标为时，，直线：，即. 当坐标为时，，直线：， 即. （3）①当直线经过原点时，直线在两坐标轴上截距均等于，设直线为， 因为过，得到，解得，所求直线方程为，即． ②当直线不过原点时，设其方程， 又经过点，有，解得，则方程为，即． 故所求直线的方程为，或． 题型3 直线的交点问题 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先利用垂直关系求出，再代入方程联立求解交点. 【解答过程】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出直线的交点，再设直线的平行直线，最后代入交点求参. 【解答过程】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 【答案】3 【解题思路】先由两直线方程求得交点，再将该点代入第三条直线方程，计算即得. 【解答过程】由和联立，解得， 依题意，点在直线上，解得. 故答案为：3. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【解题思路】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【解答过程】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 5．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线与直线相交于点，则 (1)求过点且平行于直线的直线 (2)求过点且垂直于直线的直线 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先求出点坐标，利用两直线平行得到所求直线斜率后，即可求出结果； （2）利用两直线垂直得到所求直线的斜率后，即可求出结果. 【解答过程】（1）由解得，即， 因为直线的斜率为， 所以过点且平行于直线的直线的斜率为， 所以直线为：，化简得. （2）因为直线的斜率为， 所以点且垂直于直线的直线的斜率为 所以直线为：，化简得. 题型4 距离公式的应用 1．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【解题思路】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【解答过程】由题点到直线的距离为. 故选：D. 2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】根据两平行直线的距离公式来求得正确答案. 【解答过程】由题意可知可以化为， 所以两平行直线，之间的距离. 故选：B. 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】 【解题思路】根据直线平行求出，再由平行线间的距离公式得解. 【解答过程】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为：. 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出在轴和轴的截距，利用截距相等构造方程求得结果； （2）由求出，再由两平行线的距离求解即可. 【解答过程】（1）由题意可知， 直线在轴的截距为，在轴的截距为， 则，解得． （2）若，则，得， 此时直线，即， 又直线， ∴直线与之间的距离． 5．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意可写出直线的点斜式方程，再化为一般方程即可； （2）将直线的方程变形，求出点的坐标，再利用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离. 【解答过程】（1）因为直线的斜率为，且这条直线经过点， 所以，直线的方程为，化为一般方程即为. （2）直线的方程可化为， 由，解得，即点， 所以，点到直线的距离为. 题型5 圆的方程的求解 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【解答过程】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 2．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先根据已知条件设出圆心坐标及半径，再结合圆上两点的坐标得到方程组，解方程组即可求解. 【解答过程】因为圆的圆心在轴上，设圆的圆心为，半径为， 则圆的方程为，因为点、在圆上， 所以有，整理得：， 解得：，所以圆的方程为：. 故选：D. 3．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 【答案】 【解题思路】根据题意结合圆的性质求得圆心为，即可得半径和圆的方程. 【解答过程】圆经过原点和点，可知圆心在线段的中垂线上， 因为圆心在直线， 联立方程，解得， 即，可得半径， 所以圆的标准方程为. 故答案为：. 4．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据两点式直线方程的特征即可求解， （2）利用待定系数法即可列方程求解. 【解答过程】（1）由题意，得. 化简，得直线的一般式方程为. （2）设外接圆的一般方程为.① 因为，，三点都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①，于是， 得， 即，解得. 故所求圆的一般方程为. 5．（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）依次求出线段的中点坐标和所在直线的斜率，即得线段的垂直平分线的斜率，即可写出方程； （2）求出线段的垂直平分线的方程，再将线段、的中垂线方程联立，求出圆心，再求出半径，即得圆的方程. 【解答过程】（1）依题意，设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 故其直线方程为：，即. （2）设线段的中点为，因，，则， 直线的斜率为：，则线段的垂直平分线的斜率为， 得线段的垂直平分线的方程为,即， 由（1）线段的垂直平分线方程为， 由，解得：， 即圆心为，圆的半径为：， 故圆的方程为：. 题型6 直线与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 【答案】C 【解题思路】确定直线过定点，而定点在圆内，从而可得结论． 【解答过程】将圆的方程化为标准方程，所以圆心坐标为，圆的半径为5， 直线恒过定点， ，点在圆内，所以直线与圆相交， 故选：C. 2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如果直线与圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题，圆心到直线的距离等于半径，列出方程求解即可． 【解答过程】由题，圆心到直线的距离等于半径，即， 故选：B． 3．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 【答案】①④ 【解题思路】圆心到直线的距离， 结合直线与圆的位置关系相应条件判断即可. 【解答过程】圆心到直线的距离， 对于①，若点在圆上，则，所以，直线与圆相切，故①正确； 对于②，若点在圆内，则，所以，直线与圆相离，故②错误； 对于③，若点在圆外，则，所以，直线与圆相交，故③错误； 对于④，若点在直线上，则，即， 所以，直线与圆相切，故④正确. 故答案为：①④. 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 【答案】(1)相交 (2) 【解题思路】（1）利用点到直线距离，即可判断圆心到直线的距离，与圆半径比较，即可判断直线与圆间的位置关系； （2）已知直线与圆相交的弦长，即可得到圆心到直线的距离，进而根据点到直线的距离公式求解直线斜率. 【解答过程】（1）圆， 圆心，半径，又直线， 圆心C到直线的距离， 所以直线l与圆C相交； （2）圆心到直线的距离， 又， 所以，解得    5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)直线与圆相交，证明见解析 (2)最小值为4，方程为 【解题思路】（1）由直线恒过定点，并且定点在圆的内部，即可得出直线与圆相交. （2）由题意得直线与直线垂直时，弦长最小，由直线和圆相交的弦长公式即可求得答案. 【解答过程】（1）∵（），∴， 令解得∴直线恒过定点. 又， ∴点在圆内部， ∴直线与圆相交. （2）∵圆：的圆心为，半径为3， 当直线与直线垂直时，弦长最小，此时， ∴直线的斜率为， ∴直线的方程为，即. 圆心到直线的距离为， ∴， ∴弦长的最小值为4，此时直线的方程为. 题型7 直线与部分圆的相交问题 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据曲线方程得到曲线的轨迹为半圆，根据直线方程得到直线过点，然后结合图形得到直线在之间，最后计算即可. 【解答过程】曲线可整理为，， 所以曲线为以为圆心，半径为2的半圆，图形如下： 直线表示过点的直线， 如图所示，当直线在之间时与曲线有两个交点， 与半圆相切，则，解得， 经过点，则，解得， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由曲线表示的几何图形，借助直线与圆的位置关系求出范围. 【解答过程】曲线，即表示以原点为圆心，1为半径的上半圆（含端点）， 在坐标平面内作出半圆及直线， 当直线与半圆相切时，且，则， 当直线过点时，，即，此时该直线与半圆有一个公共点， 当直线在直线与之间平行移动时，直线与半圆始终有公共点， 此时直线的纵截距在到之间， 当直线在直线与所夹区域外移动时，该直线与半圆无公共点， 所以直线与曲线有公共点，. 故选：B. 3．（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据直线过定点，以及直线和圆的位置关系，利用数形结合作出图象进行研究即可. 【解答过程】由知直线过定点， 由曲线，两边平方得， 则曲线是以为圆心，1为半径的上半圆（包含轴上的两点）， 当直线过点时，直线与曲线有两个不同的交点， 此时，解得， 当直线与曲线相切时，直线和圆有一个交点， 圆心到直线的距离，解得， 要使直线与曲线恰有两个交点， 则直线夹在两条直线之间，因此， 即实数的取值范围为. 故选：B. 4．（24-25高二上·海南·阶段练习）曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是 . 【答案】 【解题思路】通过化简知曲线是圆心为，半径为的上半圆，再借助数形结合的方法，利用直线与半圆相切时直线的斜率可得结果. 【解答过程】直线过定点，由得，故曲线是圆心为，半径为的上半圆，如图所示： 当直线与半圆相切时， 设切线倾斜角为，，则，∴切线的斜率， 所以曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是. 故答案为：. 5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 . 【答案】 【解题思路】根据分析可得曲线表示半圆，利用直线恒过定点，数形结合可得直线与曲线有两个交点时的取值范围. 【解答过程】由得， ∴曲线表示圆的下半圆，圆心为，半径为1. 由题意得，直线过点，斜率为. 如图，当直线与半圆相切时，，当直线过点时，， ∴的取值范围为. 故答案为：. 题型8 圆与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二下·湖北·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】C 【解题思路】求得两个圆的圆心和半径，求得圆心距，由此确定正确选项. 【解答过程】圆的圆心为，半径为， 圆方程可化为， 圆的圆心为，半径为，圆心距， 因为， 所以两个圆的位置关系是相交. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 【答案】B 【解题思路】由圆的面积被直线平分，可得圆心在直线上，求出，进而利用圆心距与半径和以及半径差的关系可得圆与圆的位置关系． 【解答过程】因为圆的面积被直线平分，所以圆的圆心在直线上， 所以，解得，所以圆的圆心为，半径为． 因为圆的圆心为，半径为，所以， 故，所以圆与圆的位置关系是相交． 故选：B． 3．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 【答案】外离 【解题思路】由圆和圆的方程求两圆的圆心坐标及半径，再求圆心距，比较与半径和，半径差的绝对值的大小，可得结论. 【解答过程】设圆的半径为，圆的半径为，则 圆的圆心的坐标为，半径为， 圆的圆心的坐标为，半径为， 因为，，， 所以， 所以圆和圆外离. 故答案为：外离. 4．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【答案】(1) (2)圆C与圆W相交 【解题思路】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程； （2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可. 【解答过程】（1）设圆W的方程为，， 则，解得， 故圆W的方程为，标准方程为． （2）圆W的圆心为，半径为5， 圆C的标准方程为， 圆心为，半径为3． 设两圆圆心之间的距离为d，则． 因为，所以圆C与圆W相交． 5．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)判断该轨迹与圆的位置关系. 【答案】(1) (2)相交. 【解题思路】（1）设点，表示出点的坐标，再利用坐标代换法求出轨迹方程. （2）确定轨迹图形，再求出圆心距并判断位置关系. 【解答过程】（1）设点，而点，且是线段中点，则， 又点在圆上，则，化简得， 所以点的轨迹方程是. （2）由（1）知，点的轨迹是以为圆心，3为半径的圆， 圆的圆心，半径为5， ， 所以该轨迹与圆相交. 题型9 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 1．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】通过点关于直线对称求圆的圆心和半径来求得正确答案. 【解答过程】圆的圆心为，半径为. 所以圆的半径为，设圆心为， 则，解得， 所以圆的方程为. 故选：A. 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【解题思路】先求出已知圆圆心和半径，再根据圆和圆的位置关系求解即可. 【解答过程】由，圆心为，半径为4， 设动圆圆心为，若动圆与已知圆外切，则， 即； 若动圆与已知圆内切，则， 即. 综上所述，动圆圆心的轨迹方程是或. 故选：D. 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 【答案】 【解题思路】利用圆系方程可求圆的方程. 【解答过程】设圆的方程为：， 整理得到：， 因为圆过，代入该点得到：即， 故圆的方程为：即， 故答案为：. 4．（24-25高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心到公共弦的距离，再利用弦心距，半径和弦的关系可求得答案， （2）解法一：设过两圆的交点的圆为，求出圆心坐标代入中可求出，从而可求出圆的方程，解法二：将公共弦方程代入圆方程中求出两圆的交点坐标，设所求圆的圆心坐标为，然后列方程组可求出，再求出圆的半径，从而可求出圆的方程. 【解答过程】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程， 即，化简得， 所以圆的圆心到直线的距离为， 则，解得， 所以公共弦长为. （2）解法一： 设过两圆的交点的圆为， 则； 由圆心在直线上，则，解得， 所求圆的方程为，即. 解法二： 由（1）得，代入圆， 化简可得，解得； 当时，；当时，； 设所求圆的圆心坐标为， 则，解得； 所以； 所以过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为. 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 【答案】(1) (2)①  ②或 【解题思路】（1）求出两圆的圆心距，再由两圆外切的性质求出. （2）①求出两圆公共弦所在的直线方程，利用圆的弦长公式求出弦长；②求出直线的方程，设出圆心坐标，借助①中弦长及切线建立方程求解. 【解答过程】（1）圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径为，则， 由圆与圆相外切，得，所以. （2）①当时，圆，，圆与圆相交， 两圆方程相减得，点到直线距离为， 所以圆与圆所得的公共弦长为； ②直线的方程为，即， 依题意，过两圆与圆的交点的圆的圆心在直线上，设圆心， 点到直线距离，圆的半径为， 由轴与圆相切，得，整理得， 解得或，当时，点，半径为1，方程为； 当时，点，半径为5，方程为， 所以圆的方程为或. 题型10 两圆的公共弦问题 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两圆方程作差即可求得公共弦的方程. 【解答过程】根据已知条件， ：，化为：， ：，化为：， 因为两圆相交，所以两圆方程相减得：， 所以直线的方程为：. 故选：A. 2．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【解题思路】判断出两圆相交，两圆相减求得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求得公共弦长. 【解答过程】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， ， ，所以两圆相交， 由两式相减并化简得， 到直线的距离为， 所以公共弦长为. 故选：B. 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线方程为 ． 【答案】 【解题思路】两圆方程相减后可得公共弦所在的直线方程. 【解答过程】由题设可得两圆公共弦的方程为：， 整理得：， 故答案为：. 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由线段的中垂线与圆心所在的直线的交点求出圆心坐标，再由两点间距离公式求出半径，可得圆的标准方程； （2）两圆相减得到圆的公共弦方程，再由点到直线的距离公式求出圆心M到直线的距离，最后由勾股定理求弦长即可； 【解答过程】（1）记点，线段的中垂线方程为：， 圆C经过A，B，所以圆心C在直线上，又因为圆心C在直线上， 所以圆心C的坐标为（2，－2）， 半径，所以圆C的方程为：. （2）设圆C与圆M相交与E，F两点，则直线EF的方程为： ， 即：， 圆心M到直线的距离， 所以，，即公共弦长为. 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点都在圆上； (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆相交于，求直线的方程，并求. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）利用待定系数法，设圆的一般方程为，列出方程组求出，然后化为标准方程即可； （2）根据两圆的方程相减可得直线的方程，利用点到直线的距离公式和弦长公式计算可求出． 【解答过程】（1）设圆的一般方程为， ∵点都在圆上， ∴，解得， ∴圆的一般方程为， 化为标准方程为：. （2）圆，圆， 圆与的方程相减得，即， ∴直线的方程为， 圆的圆心，半径， ∵到直线的距离为， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 直线和圆的方程（举一反三讲义·基础篇） 【人教A版（2019）】 题型1 求直线的倾斜角与斜率 1．（24-25高二上·浙江金华·期末）已知直线的方程为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·安徽阜阳·阶段练习）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海金山·期末）经过两点和的直线的倾斜角是 . 4．（24-25高二上·河南驻马店·阶段练习）已知坐标平面内两点，，求直线的斜率和倾斜角. 5．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）已知，，三点． (1)若过两点的直线的倾斜角为45°，求m的值． (2)三点可能共线吗？若能，求出m值． 题型2 直线方程的求解 1．（24-25高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为，且过点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·山西·期末）过点且与直线垂直的直线的方程是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·云南红河·阶段练习）过点且倾斜角为的直线方程为 . 4．（24-25高二上·陕西渭南·阶段练习）根据下列条件，写出直线方程的一般式： (1)经过点，且倾斜角为； (2)经过点和点 (3)经过点，在x，y轴上有相等的截距． 5．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面内两点． (1)求过点且与直线垂直的直线的方程． (2)若是以为顶点的等腰直角三角形，求直线的方程． (3)已知直线经过点且在两坐标轴上的截距之和为零，求直线的方程． 题型3 直线的交点问题 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知三条直线，，相交于一点，则 . 4．（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 5．（23-24高二上·新疆和田·期中）已知直线与直线相交于点，则 (1)求过点且平行于直线的直线 (2)求过点且垂直于直线的直线 题型4 距离公式的应用 1．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 2．（24-25高二上·甘肃金昌·期中）两平行直线，之间的距离为（   ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 4．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）已知直线和直线． (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求实数的值； (2)若，求直线与之间的距离． 5．（24-25高二上·上海杨浦·期末）已知直线的斜率为，且这条直线经过点. (1)求直线的一般式方程； (2)若直线恒过定点，求点到直线的距离. 题型5 圆的方程的求解 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖南永州·期末）圆的圆心在轴上，且过，两点，则圆的方程为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·广东广州·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的标准方程为 ． 4．（24-25高二上·新疆巴音郭楞·期末）已知点，，. (1)求直线的一般方程； (2)求外接圆的一般方程. 5．（24-25高二上·广东·期末）已知点 (1)求线段的垂直平分线的方程； (2)已知圆过点，求圆的方程. 题型6 直线与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二上·浙江·阶段练习）直线与圆的位置关系是（   ） A．相离 B．相切 C．相交 D．都有可能 2．（24-25高二上·浙江金华·阶段练习）如果直线与圆相切，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津蓟州·阶段练习）已知直线与圆，点， ①若点在圆上，则直线与圆相切   ②若点在圆内，则直线与圆相交 ③若点在圆外，则直线与圆相离   ④若点在直线上，则直线与圆相切 则上述说法正确的是 ． 4．（24-25高二上·浙江温州·期末）已知直线，圆 (1)当时，判断直线l与圆C的位置关系； (2)记直线l与圆C的交点为A，B，当时，求k的值. 5．（23-24高二上·四川绵阳·期末）已知直线：（），圆：. (1)试判断直线与圆的位置关系，并加以证明； (2)若直线与圆相交于，两点，求的最小值及此时直线的方程. 题型7 直线与部分圆的相交问题 1．（24-25高二上·甘肃兰州·期中）曲线与直线有两个交点，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·天津·期中）若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·海南海口·期中）若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·海南·阶段练习）曲线 与直线有公共点，则k的取值范围是 . 5．（24-25高二上·四川成都·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围为 . 题型8 圆与圆的位置关系的判定及应用 1．（24-25高二下·湖北·期末）已知圆，圆，则这两个圆的位置关系为（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 2．（24-25高二上·福建龙岩·阶段练习）已知圆的面积被直线平分，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．相交 C．内切 D．外切 3．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）圆与圆的位置关系为 . 4．（24-25高二上·青海海南·期中）已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 5．（24-25高二上·河南许昌·期中）已知一个动点在圆上移动，它与定点所连线段的中点为. (1)求点的轨迹方程； (2)判断该轨迹与圆的位置关系. 题型9 由圆与圆的位置关系确定圆的方程 1．（24-25高二上·江苏·期中）圆关于直线对称的圆的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25高二下·全国·课堂例题）圆经过点，且经过两圆和圆的交点，则圆的方程为 ． 4．（24-25高二上·辽宁本溪·阶段练习）已知圆，圆. (1)求圆与圆的公共弦长； (2)求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程. 5．（24-25高二上·河北唐山·期中）已知圆与圆． (1)若圆与圆相外切，求的值． (2)若，试求： ①圆与圆所得的公共弦长； ②经过两圆与圆的交点且与轴相切的圆的方程． 题型10 两圆的公共弦问题 1．（24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯·期末）已知圆：与圆：相交于A，B两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·海南海口·阶段练习）圆与圆的公共弦长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高二上·宁夏石嘴山·阶段练习）若圆与圆相交于两点，则两圆公共弦所在直线方程为 ． 4．（24-25高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆C的圆心在直线上，且经过点，． (1)求圆C的方程； (2)求圆C与圆M：的公共弦长． 5．（24-25高二上·江苏南通·阶段练习）已知点都在圆上； (1)求圆的标准方程； (2)已知圆与圆相交于，求直线的方程，并求. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $$